串講02 第2章 常用邏輯用語（考點(diǎn)串講）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（蘇教版2019必修第一冊）

蘇教版(2019)必修第一冊

數(shù)學(xué)

期中考點(diǎn)大串講串講

02第2章常用邏輯用語考場練兵典例剖析010203目

錄考點(diǎn)透視01考點(diǎn)透視考點(diǎn)1.命題的概念及結(jié)構(gòu)、充分條件與必要條件命題真命題假命題pq真命題p?q充分條件必要條件充分條件必要條件考點(diǎn)2.充要條件p?qq?pp?q充要條件充要條件充要條件p?q充要條件考點(diǎn)3.全稱量詞與全稱量詞命題所有的任意一個(gè)?全稱量詞?x∈M，p(x)考點(diǎn)4.存在量詞與存在量詞命題存在一個(gè)至少有一個(gè)?存在量詞?x∈M，p(x)考點(diǎn)5.全稱量詞命題的否定?x∈M，綈p(x)存在量詞考點(diǎn)6.存在量詞命題的否定?x∈M，綈p(x)全稱量詞02典例透析考點(diǎn)1.充分條件的判斷【例題1】下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？(1)若a∈Q，則a∈R；(2)若x>1，則x2>1；(3)若A?B，則A∩B＝A；(4)若(a－2)(a－3)＝0，則a＝3；(5)在△ABC中，若∠A>∠B，則BC>AC.考點(diǎn)1.充分條件的判斷解考點(diǎn)2.必要條件的判斷解考點(diǎn)3.利用充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍【例題3】已知集合M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，p：x∈M，q：x∈N.若q是p的必要條件，求a的取值范圍．解考點(diǎn)4.充要條件的判斷解

(1)因?yàn)橛蓌≠0推不出x＋|x|>0，如當(dāng)x＝－1時(shí)，x＋|x|＝0，所以pq，所以p不是q的充要條件．(2)若關(guān)于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，則a≠0，所以pq，所以p不是q的充要條件．解考點(diǎn)4.充要條件的判斷(3)當(dāng)c＝0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象經(jīng)過原點(diǎn)；當(dāng)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p?q，所以p是q的充要條件．解考點(diǎn)5.充要條件的證明【例題5】設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：關(guān)于x的方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°.證明：①充分性：因?yàn)椤螦＝90°，所以a2＝b2＋c2，所以x2＋2ax＋b2＝0可化為x2＋2ax＋a2－c2＝0.即(x＋a)2－c2＝0，(x＋a＋c)(x＋a－c)＝0，所以x1＝－a－c，x2＝－a＋c.同理，x2＋2cx－b2＝0可化為x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c)2－a2＝0，(x＋a＋c)(x＋c－a)＝0，所以x3＝－a－c，x4＝a－c.所以兩個(gè)方程有公共根－a－c.證明考點(diǎn)5.充要條件的證明②必要性：設(shè)兩個(gè)方程有公共根α，則α2＋2aα＋b2＝0，α2＋2cα－b2＝0，兩式相加，得α2＋(a＋c)α＝0，所以α＝0或α＝－a－c.若α＝0，代入任一方程，得b＝0，這與已知a，b，c為△ABC的三邊相矛盾，所以α＝－a－c，代入題中的任何一個(gè)方程，均可得a2＝b2＋c2，所以∠A＝90°.綜上所述，關(guān)于x的方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°.證明考點(diǎn)6.探求充要條件【例題6】求方程x2＋kx＋1＝0與x2＋x＋k＝0有一個(gè)公共實(shí)根的充要條件．解考點(diǎn)6.探求充要條件反過來，當(dāng)k＝－2時(shí)，x2＋kx＋1＝x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1.x2＋x＋k＝x2＋x－2＝0，解得x3＝1，x4＝－2.因此兩個(gè)方程有公共實(shí)根1，所以方程x2＋kx＋1＝0與x2＋x＋k＝0有一個(gè)公共實(shí)根的充要條件是k＝－2.解考點(diǎn)7.全稱量詞命題與存在量詞命題的識(shí)別【例題7】判斷下列命題的真假：(1)任何實(shí)數(shù)都有平方根；(2)存在有理數(shù)x，使x2－2＝0；(3)?x∈R，x2－x＋1>0；(4)?x∈Z，3x＋4＝5.解考點(diǎn)7.全稱量詞命題與存在量詞命題的識(shí)別考點(diǎn)8.含有量詞的命題的應(yīng)用【例題8】已知命題p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0.若p為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________．答案解析考點(diǎn)9.全稱量詞命題的否定【例題9】寫出下列命題的否定，并判斷其否定的真假．(1)不論m取何實(shí)數(shù)，方程x2＋x－m＝0必有實(shí)數(shù)根；(2)等圓的面積相等；(3)每個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角．考點(diǎn)9.全稱量詞命題的否定解考點(diǎn)10.存在量詞命題的否定考點(diǎn)10.存在量詞命題的否定解考點(diǎn)11.含有量詞命題的否定的應(yīng)用【例題11】命題“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：因?yàn)槊}“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命題，所以此命題的否定“對(duì)任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命題，因?yàn)閷?duì)任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≥1}．解03考場練兵1．(2024·重慶育才中學(xué)高一上期中)設(shè)p：|x|≤3，q：－4<x<5，則p是q的(

)A．充分不必要條件 B.必要不充分條件C．充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：由題設(shè)，p：－3≤x≤3，q：－4<x<5，所以p是q的充分不必要條件．故選A.答案解析答案解析解析：a<0，b<0?a＋b<0.故選A.答案解析4．(2024·安徽蚌埠二中高一上階段考試)設(shè)x∈Z，集合A＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，B＝{y|y＝4n＋2，n∈N}．若命題p：?x∈A，2x∈B，則命題p的否定和命題p的真假為(

)A．?x∈A，2x∈B，且p是真命題B．?x?A，2x∈B，且p是假命題C．?x∈A，2x?B，且p是真命題D．?x?A，2x?B，且p是假命題解析：命題p：?x∈A，2x∈B，則命題p的否定為?x∈A，2x?B.對(duì)于x∈A，則2x＝4n＋2，n∈N，即2x∈B，故p是真命題．故選C.答案解析5．已知命題p：?x>0，x＋a－1＝0，若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}解析：∵p為假命題，∴綈p為真命題，即?x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，∴1－a≤0，則a≥1.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}．故選B.答案解析答案解析答案解析8．(2024·安徽鳳陽縣第二中學(xué)高一上期中)下列選項(xiàng)中，可以作為一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分條件的是(

)A．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)>0C．a(chǎn)<－1 D．a(chǎn)<1答案解析9．已知集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，N＝{x|x＝4m＋1，m∈Z}，則“x∈M”是“x∈N”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件答案解析解析：A是全稱量詞命題，但不是真命題，故A不滿足題意；B是真命題，但不是全稱量詞命題，故B不滿足題意；C是全稱量詞命題，也是真命題，故C滿足題意；D是全稱量詞命題，但不是真命題，故D不滿足題意．故選C.答案解析11．下列存在量詞命題中是假命題的是(

)A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C．有的自然數(shù)是偶數(shù)D．存在一個(gè)實(shí)數(shù)與其相反數(shù)的和為0答案解析12．(多選)已知p，q都是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，則(

)A．p是q的既不充分也不必要條件B．p是s的充分條件C．r是q的必要不充分條件D．s是q的充要條件解析：由已知，得p?r?s?q，q?r?s.所以p是q的充分條件；p是s的充分條件；r是q的充要條件；s是q的充要條件．故選BD.答案解析答案解析答案解析15．(2024·河南商丘高一檢測)已知命題p：?x∈R，x2－2x＋k＋2＝0，命題q：?x∈R，x2－2(k－1)x＋k2－3≠0.若p是真命題，q是假命題，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_____________．解析：若命題p為真命題，即關(guān)于x的方程x2－2x＋k＋2＝0有實(shí)根，則Δ1＝4－4(k＋2)≥0，解得k≤－1.若命題q為真命題，則Δ2＝4(k－1)2－4(k2－3)<0，解得k>2，故當(dāng)q為假命題時(shí)，k≤2.因?yàn)閜是真命題，q是假命題，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為{k|k≤－1}．{k|k≤－1}答案解析16．(2024·江蘇宿遷青華中學(xué)高一上月考)設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R.(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求a的取值范圍；(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求a的取值范圍．解解17．(2024·湖南岳陽高一上期中)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，如果命題“?m∈R，使得A∩B