2025屆高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考第二輪專題復(fù)習(xí)第15講圓錐曲線中的定量問題限時(shí)集訓(xùn)理含解析

第15講圓錐曲線中的定量問題基礎(chǔ)過關(guān)1.如圖X15-1,點(diǎn)A(-1,0),B(1,-1)和拋物線C:y2=4x,過點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線于M,P兩點(diǎn),直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求OM·OP;(2)證明:直線PQ恒過定點(diǎn).圖X15-12.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與它到直線l:x=4的距離d的比值為12,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線(1)求曲線C的方程.(2)過點(diǎn)Q(2,3)的直線l1與C交于E,F兩點(diǎn),已知點(diǎn)D(2,0),直線x=x0分別與直線DE,DF交于點(diǎn)S,T,問:線段ST的中點(diǎn)M是否在定直線上?若是,求出該直線的方程;若不是,請(qǐng)說明理由.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,中心在原點(diǎn)的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)-332,1,其右焦點(diǎn)與拋物線y2=45x的焦點(diǎn)重合.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)為長軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作斜率為23的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),試證明|MA|2+|MB|2為定值4.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為32,F1,F2分別為橢圓E的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓E上,以線段F1F2為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P,線段F1P與y軸交于點(diǎn)B,且|F1P|·|F1B|=6(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)動(dòng)直線l與橢圓E交于M,N兩點(diǎn),且OM·ON=0.求證:動(dòng)直線l與圓x2+y2=45相切實(shí)力提升5.已知F1(-1,0),F2(1,0)分別為橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過F2的直線交橢圓Γ于A,B兩點(diǎn),△(1)求橢圓Γ的方程.(2)已知P(x0,y0)(y0≠0)是直線l:x=4上一動(dòng)點(diǎn),若直線PA,PB與x軸分別交于點(diǎn)M(xM,0),N(xN,0),則1xM-1+1xN-1是否為定值?6.如圖X15-2,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(diǎn)P(2,1),F1,F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),且(1)求橢圓C的方程.(2)過P點(diǎn)的直線l1與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),直線l2平行于OP(O為原點(diǎn)),且與橢圓C交于兩點(diǎn)A,B,與直線x=2交于點(diǎn)M(M介于A,B兩點(diǎn)之間).(i)當(dāng)△PAB的面積最大時(shí),求直線l2的方程;(ii)證明|PA||MB|=|PB||MA|,并推斷直線l1,l2,PA,PB的斜率是否可以按某種依次構(gòu)成等比數(shù)列.圖X15-2限時(shí)集訓(xùn)(十五)1.解:(1)設(shè)點(diǎn)My124,y1,Py224,y2,因?yàn)镻,M,A三點(diǎn)共線,所以kAM=kPM,即y1y124+1=y1-y2y1故OM·OP=y124·y224+y(2)證明:設(shè)點(diǎn)Qy324,y3,因?yàn)镸,B,Q三點(diǎn)共線,所以kBQ=kQM,即y3+1y324-1=y1-y3y124-y3由(1)知y1y2=4,所以y1=4y2,即4y2·y3+4y2+y3+4=0,得4(y2+y3)+y2y因?yàn)閗PQ=y2-y3y224-y324=4即(y-y2)(y2+y3)=4x-y22,即y(y2+y3)-y2y3=4x②,由①得-y2y3=4(y2+y3)+4,代入②可得(y+4)(y2+y3)=4(x-所以直線PQ恒過定點(diǎn)(1,-4).2.解:(1)設(shè)P(x,y),由題意得|PF|d=(化簡整理得x24+y23=1,即曲線C的方程為x2(2)設(shè)直線l1的方程為x=ty+(2-3t),E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0),S(x0,yS),T(x0,yT),則直線DE的方程為y=y1x1-2(x-2),得yS=y1同理可得yT=y2x2-2(所以2y0=yS+yT=y1x1-2(x0-2)+y2即2y0x0-2=由x=ty+(2-3t),3x2+4y2-12=0,得(3t2+4)y2+所以y1y2=9t2-123t3t則2y0x0-得3x0+2y0-23=0,所以點(diǎn)M在定直線3x+2y-23=0上.3.解:(1)由題意知橢圓C的左焦點(diǎn)F1(-5,0),右焦點(diǎn)F2(5,0).設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=由274a故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y2(2)證明:由題意可設(shè)直線l的方程為y=23(x-m)聯(lián)立y=23(x-m),x29+y24=1因?yàn)棣?(-2m)2-8(m2-9)>0,所以m∈(-32,32).因?yàn)辄c(diǎn)M(m,0)為橢圓C長軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),所以m∈(-3,3).此時(shí)Δ>0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=m,x1x2=m2于是|MA|2+|MB|2=(x1-m)2+y12+(x2-m)2=139(x1-m)2+139(x2-m=139(x12+x22)-269m(x1+x=139[(x1+x2)2-2x1x2]-269m(x1+x2)+269m2故|MA|2+|MB|2為定值13.4.解:(1)設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),|F1F2|=2∵∠BF1O=∠PF1F2,∠F1OB=∠F1PF2=π2∴△F1BO∽△F1F2P.∴|F1B||F1F2|=|F1O||F1P|,即|F1∴c=3.又e=ca=32,∴a=由a2=b2+c2,得b2=1.∴橢圓E的方程為x24+y2=(2)證明:①當(dāng)動(dòng)直線l的斜率不存在時(shí),設(shè)l的方程為x=t,M(t,y1),N(t,y2).由x=t,x24+y2=1∵直線x=t與橢圓E交于M,N兩點(diǎn),∴方程y2+t24-1=0∴t2<4,且y∴OM·ON=t2+y1y2=5t24-1=0,則∵圓心O到直線x=t的距離d=|t|=25∴直線l與圓x2+y2=45相切②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,即kx-y+m=0,M(x1,kx1+m),N(x2,kx2+m).由y=kx+m,x24+y2=1得(4k2+1)x∵動(dòng)直線l與橢圓E交于M,N兩點(diǎn),∴方程(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.∴Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,即4k2+1-m2>0,且x∴OM·ON=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2=(1+k2)(4m2化簡得k2+1=5m可得原點(diǎn)O到直線l的距離d=|m|k2+1則直線l與圓x2+y2=45相切綜上所述,動(dòng)直線l與圓x2+y2=45相切5.解:(1)依題意得c=1,由橢圓的定義可得△F1AB的周長為4a=8,即a=2,所以b=a2-c2=3,故橢圓Г的方程為x2(2)由題意設(shè)直線AB的方程為x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=ty+1,x24+y23=1得(3t2明顯Δ>0,則y1+y2=-6t3t2+4,y又P(4,y0),則直線PA的方程為y-y0=y1-y0x1-4·(x-4即Mx1y0-4y1y0-y1,則xM-1=x1y0-4y1y0同理xN-1=y2故1xM-1+1xN-1=1ty0-3y0-y1y1+y0-y2y2=1ty0-所以1xM-1+1x6.解:(1)設(shè)F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),則PF1=(-c-2,-1),PF2=(c-2∵PF1·PF2=-c2+4+1=-1又P(2,1)在橢圓C上,故4a2+1b2=1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b故橢圓C的方程為x28+y2(2)(i)由題知kOP=12,設(shè)l2的方程為y=12x+t(t<0),A(x1,y1),B(x2,y2由y=12x+t,x28+y22=1,由Δ=-4(t2-4)>0,得t2<4,故-2<t<0.又x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4,則|AB|=1+=524t2-∵點(diǎn)P到l2的距離d=|t|1+(∴S△PAB=12×54-t2×2|t當(dāng)且僅當(dāng)4-t2=t2,即t=-2時(shí),等號(hào)成立.故△PAB的面積最大時(shí),直線l2的方程為y=12x-2(ii)要證|PA||MB|=|PB||MA|,只需證|PA||由角平分線的性質(zhì)可知,即證直線x=2為∠APB的平分線,轉(zhuǎn)化成證明kPA+kPB=0.∵kPA+kPB=y1-=[(=x=2t2-4-2t(t-由l1與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),知l1為橢圓C的切線.由x28+y22=1得y2=2-當(dāng)0<x<22,0<y<2時(shí),y=2-14x2,則∴y'|x=2=-1