2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式學(xué)案含解析新人教A版必修4

PAGE3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.會(huì)用兩角和的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能嫻熟運(yùn)用二倍角的公式進(jìn)行簡潔的恒等變換并能敏捷地將公式變形運(yùn)用.發(fā)展邏輯推理提升數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第78頁[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問點(diǎn)二倍角的正弦、余弦、正切公式閱讀教材P132～133，思索并完成以下問題能利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)推導(dǎo)出sin2α，cos2α，tan2α的公式嗎？(1)在公式Sα＋β中，假如β＝α，有怎樣的結(jié)果？提示：當(dāng)β＝α?xí)r，sin(α＋β)＝sin2α＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα.(2)在公式Cα＋β中，假如β＝α，有怎樣的結(jié)果？提示：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，當(dāng)β＝α?xí)r，cos2α＝cos2α－sin2α.(3)在Tα＋β中，假如β＝α，有怎樣的結(jié)果？提示：T(α＋β)＝tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，當(dāng)β＝α?xí)r，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).學(xué)問梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式三角函數(shù)公式簡記正弦sin2α＝2sin__αcos__αS2α余弦cos2α＝cos2α－sin2αC2α正切tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)T2α思索在cos2α＝cos2α－sin2α中，結(jié)合sin2α＋cos2α＝1.有怎樣的變形？提示：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.[自我檢測]1．已知cosx＝eq\f(3,4)，則cos2x等于()A．－eq\f(1,4)B.eq\f(1,4)C．－eq\f(1,8)D.eq\f(1,8)答案：D2．sin15°sin75°的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(\r(3),4)答案：C授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第79頁探究一二倍角公式的正用[教材P133例5、例6]方法步驟：(1)求“單角”的函數(shù)值．(2)用“單角”表示“倍角”，代入公式．[例1]化簡eq\r(1＋cos2α)＋eq\r(1－cos2α)(α為其次象限角)．[解析]原式＝eq\r(1＋2cos2α－1)＋eq\r(1－（1－2sin2α）)＝eq\r(2)|cosα|＋eq\r(2)|sinα|＝eq\r(2)(sinα－cosα)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))).方法技巧干脆將S2α、C2α、T2α變?yōu)閱谓恰唉痢钡谋磉_(dá)形式．跟蹤探究已知sinα＝eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求sin2α，cos2α，tan2α的值．解析：∵sinα＝eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))\s\up12(2))＝－eq\f(12,13)，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(5,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＝－eq\f(120,169)，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))eq\s\up12(2)＝eq\f(119,169)，tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\f(120,119).探究二二倍角公式的逆用、變形用[教材P135練習(xí)5(4)題]求2cos222.5°－1.解析：原式＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).[例2]求下列各式的值：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)－sin\f(π,12)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)＋sin\f(π,12)))；(2)2cos105°cos15°；(3)eq\f(tan15°,1－tan215°)；(4)eq\f(1,2)－cos2eq\f(π,8).[解析](1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)－sin\f(π,12)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)＋sin\f(π,12)))＝cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).(2)2cos105°cos15°＝2cos(90°＋15°)cos15°＝2(－sin15°)cos15°＝－2sin15°cos15°＝－sin30°＝－eq\f(1,2).(3)eq\f(tan15°,1－tan215°)＝eq\f(1,2)×eq\f(2tan15°,1－tan215°)＝eq\f(1,2)×tan30°＝eq\f(\r(3),6).(4)eq\f(1,2)－cos2eq\f(π,8)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(π,8)－1))＝－eq\f(1,2)coseq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),4).方法技巧依據(jù)三角函數(shù)的特征，經(jīng)過適當(dāng)變形，進(jìn)而利用公式，同時(shí)變換出特別角，獲得三角函數(shù)式的值，在變形中肯定要整體考慮式子的特征．延長探究將本例(2)變?yōu)椋呵髎in10°sin30°sin50°sin70°的值．解析：法一：∵sin10°sin50°sin70°＝eq\f(sin20°sin50°sin70°,2cos10°)＝eq\f(sin20°cos20°sin50°,2cos10°)＝eq\f(sin40°sin50°,4cos10°)＝eq\f(sin40°cos40°,4cos10°)＝eq\f(sin80°,8cos10°)＝eq\f(1,8)，∴sin10°sin30°sin50°sin70°＝eq\f(1,16).法二：原式＝eq\f(1,2)cos20°cos40°cos80°＝eq\f(2sin20°cos20°cos40°cos80°,4sin20°)＝eq\f(sin40°cos40°cos80°,4sin20°)＝eq\f(sin80°cos80°,8sin20°)＝eq\f(1,16)·eq\f(sin160°,sin20°)＝eq\f(1,16).授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第79頁[課后小結(jié)]1．對于“二倍角”應(yīng)當(dāng)有廣義上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是eq\f(3,2)α的二倍；eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的二倍；eq\f(α,3)是eq\f(α,6)的二倍；eq\f(α,2n)是eq\f(α,2n＋1)的二倍(n∈N*)．2．二倍角余弦公式的運(yùn)用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最為敏捷多樣，應(yīng)用廣泛．常用形式：(1)1＋cos2α＝2cos2α；(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；(3)1－cos2α＝2sin2α；(4)sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).[素養(yǎng)培優(yōu)]二倍角公式的運(yùn)用技巧與提升(1)特別角的三角函數(shù)與特別值的互化；(2)對于分式形式，應(yīng)分別對分子、分母進(jìn)行變形處理，有公因式的提取公因式后進(jìn)行約分；(3)對于二次根式，留意倍角公式的逆用；(4)利用角與角之間的隱含關(guān)系，如互余、互補(bǔ)等；(5)利用“1”的恒等變形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．(6)留意降冪、升冪的應(yīng)用：降冪：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).升冪：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2.[典例]1.已知α∈(0，π)，化簡：eq\f(（1＋sinα＋cosα）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(2＋2cosα))＝________．[解析]原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(4cos2\f(α,2)))因?yàn)棣痢?0，π)，所以coseq\f(α,2)>0，所以原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),2cos\f(α,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2)))＝cos2eq\f(α,2)－sin2eq\f(α,2)＝cosα.[答案]cosα2．化簡：eq\f(1＋sin2θ－cos2θ,1＋sin2θ＋cos2θ).[解析]法一：原式＝eq\f(（1－cos2θ）＋sin2θ,（1＋cos2θ）＋sin2θ)＝eq\f(2sin2θ＋2sinθcosθ,2cos2θ＋2sinθcosθ)＝eq\f(2sinθ（sinθ＋cosθ）,2cosθ（cosθ＋sinθ）)＝tanθ.法二：原式＝eq\f(（sinθ＋cosθ）2－（cos2θ－sin2θ）,（sinθ＋cosθ）2＋（cos2θ－sin2θ）)＝eq\f(（sinθ＋cosθ）[（sinθ＋cosθ）－（cosθ－sinθ）],（sinθ＋cosθ）[（sinθ＋cosθ）＋（cosθ－sinθ）])＝eq\f(2sinθ,2cosθ)＝tanθ.3．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)探討f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的單調(diào)性．[解析](1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x＝cosxsinx－eq\f(\r(3),2)(1＋cos2x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2)，因此f(x)的最小正周期為π，最大值為eq\f(2－\r(3),2).(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))時(shí)，0≤2x－e