2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明3.1.1歸納推理學(xué)案含解析北師大版選修1-2

PAGE§1歸納與類比1．1歸納推理授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第16頁(yè)[自主梳理]一、推理推理一般包括______推理和________推理．二、歸納推理的定義依據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中________都有這種屬性．我們將這種推理方式稱為歸納推理．三、歸納推理的特征歸納推理是由部分到________，由個(gè)別到________的推理．[雙基自測(cè)]1．?dāng)?shù)列1,5,10,16,23,31，x,50，…中的x等于()A．38B．39C．40D．2．如圖所示，探究以下規(guī)律：依據(jù)規(guī)律，從2015到2017，箭頭的方向依次為()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓3．1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42,1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，….由上述詳細(xì)事實(shí)可得結(jié)論：________________.[自主梳理]一、合情演繹二、每一個(gè)事物三、整體一般[雙基自測(cè)]1．C前6項(xiàng)從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差分別為4,5,6,7,8，由此可得x＝31＋9＝40.2．D視察規(guī)律可得周期T＝4，因此2015到2017的箭頭與3到5的一樣，故選D.3．1＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N＋)．利用歸納推理，第n個(gè)等式的左邊應(yīng)為1＋3＋…＋(2n＋1)，右邊應(yīng)為(n＋1)2.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第16頁(yè)探究一數(shù)式中的歸納推理[例1](1)視察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．(2)已知函數(shù)y＝f(x)，對(duì)隨意的兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)成立，且f(0)≠0，則f(－2012)·f(－2011)·…·f(2011)·f(2012)的值是()A．0 B．1C．2011×2012 D．20122[解析](1)視察各等式的右邊，它們分別為1,3,4,7,11，…，發(fā)覺從第3項(xiàng)起先，每一項(xiàng)就是它的前兩項(xiàng)之和，故等式的右邊依次為1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，故a10＋b10＝123.(2)當(dāng)x1＝x2＝0時(shí)，f(0)＝f(0)·f(0)，又因?yàn)閒(0)≠0，所以f(0)＝1，于是有f(－x＋x)＝f(－x)·f(x)＝f(0)＝1.所以f(－2012)·f(2012)＝1，f(－2011)·f(2011)＝1，…，f(－1)·f(1)＝1，f(0)＝1，把上面式子等號(hào)兩邊分別相乘，即可得f(－2012)·f(－2011)·…·f(2011)·f(2012)＝f(－2012＋2012)·…·f(－2011＋2011)·…·f(－1＋1)·f(0)＝1.[答案](1)C(2)B利用歸納推理解決問(wèn)題的留意事項(xiàng)：歸納推理是一種思維工具，解決這類問(wèn)題要熟識(shí)有關(guān)的學(xué)問(wèn)，要正確運(yùn)用從特別到一般的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)常借助前n項(xiàng)的共性來(lái)推出一般性的命題．本題(2)在求解時(shí)，運(yùn)用了從特別到一般的方法，先找特別狀況f(0)＝1，再歸納出一般結(jié)論f(－x)·f(x)＝1.1．視察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，依據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為________．解析：由前三個(gè)式子可以得出如下規(guī)律：每個(gè)式子等號(hào)的左邊是從1起先的連續(xù)正整數(shù)的立方和，且個(gè)數(shù)依次多1，等號(hào)的右邊是一個(gè)正整數(shù)的平方，后一個(gè)正整數(shù)依次比前一個(gè)大3,4，….因此，第五個(gè)等式為13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212探究二圖與形的歸納推理[例2]有兩種花色的正六邊形地面磚．按下圖的規(guī)律，拼成若干個(gè)圖案，則第6個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是()A．26 B．31C．32 D．36[解析]解法一有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案123…個(gè)數(shù)61116…由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第6個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5×(6－1)＝31.解法二由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無(wú)紋正六邊形需6個(gè)有菱形紋正六邊形圍繞(圖案1)外，每增加一塊無(wú)紋正六邊形，只需增加5塊有菱形紋正六邊形(每?jī)蓧K相鄰的無(wú)紋正六邊形之間有一塊“公共”的有菱形紋正六邊形)，故第6個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)為6＋5×(6－1)＝31.[答案]B圖形的歸納推理問(wèn)題，可從圖形的改變規(guī)律入手求解，一般探討圖形中點(diǎn)、線或面等的增加改變數(shù)值，結(jié)合數(shù)列的學(xué)問(wèn)得出規(guī)律．2．在平面內(nèi)視察：凸四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，凸六邊形有9條對(duì)角線，…由此猜想凸n(n≥4且n∈N＋)邊形有幾條對(duì)角線？解析：凸四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，比凸四邊形多3條，凸六邊形有9條對(duì)角線，比凸五邊形多4條，…于是猜想凸n邊形比凸(n－1)邊形多(n－2)條對(duì)角線．因此凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4且n∈N＋)．第三章推理與證明數(shù)學(xué)·選修1－2探究三數(shù)列中的歸納推理[例3]已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項(xiàng)公式an.[解析](1)當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝2a1＋1＝2×當(dāng)n＝2時(shí)，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，同理可得a4＝15，a5＝31.(2)由于a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，所以可歸納猜想an＝2n－1(n∈N＋)．?dāng)?shù)列的歸納推理問(wèn)題，可求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式．3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－eq\f(2,3)，且Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式．解析：當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝－eq\f(2,3)；當(dāng)n＝2時(shí)，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－eq\f(4,3)，所以S2＝－eq\f(3,4)；當(dāng)n＝3時(shí)，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,4)，所以S3＝－eq\f(4,5)；當(dāng)n＝4時(shí)，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(6,5)，所以S4＝－eq\f(5,6).猜想：Sn＝－eq\f(n＋1,n＋2)，n∈N＋.歸納推理在圖表問(wèn)題中的應(yīng)用[典例]如圖，一個(gè)粒子在第一象限及邊界運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(0,1)，然后它接著按圖示在x軸，y軸的平行方一直回運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則2014秒時(shí)，這個(gè)粒子所處的位置對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(44,10) B．(10,44)C．(11,44) D．(43,46)[解析]考查粒子運(yùn)動(dòng)到關(guān)鍵點(diǎn)(1,1)用時(shí)2秒，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2,2)用時(shí)6秒，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(3,3)用時(shí)12秒，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(4,4)用時(shí)20秒，…，歸納猜想粒子運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(n，n)用時(shí)n(n＋1)秒．又當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，此后x秒粒子運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(n，n－x)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，此后x秒粒子運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(n－x，n