滬科版 數(shù)學(xué) 九上 第23章 解直角三角形《解直角三角形的應(yīng)用》課件

23．2解直角三角形及其應(yīng)用第二十三章解直角三角形第2課時解直角三角形的應(yīng)用逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時講解1課時流程2解直角三角形在解實際問題中的應(yīng)用解直角三角形在解仰角和俯角中的應(yīng)用解直角三角形在解方向角問題中的應(yīng)用解直角三角形在解坡角、坡度問題中的應(yīng)用坐標(biāo)系中直線與x

軸的夾角知識點解直角三角形在解實際問題中的應(yīng)用知1－講11.

利用解直角三角形解決實際問題的一般步驟(1)畫出平面圖形，將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題；(2)根據(jù)已知條件的特點，靈活選用銳角三角函數(shù)等知識解直角三角形；(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案；(4)得到實際問題的答案.知1－講2.

解決實際問題時，常見的基本圖形及相應(yīng)的表達(dá)式圖形表達(dá)式圖形表達(dá)式AC＝BC·tanα，AG＝AC＋BEBC＝DC－BD＝AD·(tanα－tanβ)知1－講續(xù)表圖形表達(dá)式圖形表達(dá)式AB＝DE＝AE·tanβ

，CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)知1－講續(xù)表圖形表達(dá)式圖形表達(dá)式知1－講特別提醒1.當(dāng)實際問題中涉及的圖形可以直接轉(zhuǎn)化為直角三角形時，可利用解直角三角形的知識直接求解.2.若相關(guān)的角不是直角三角形的內(nèi)角，應(yīng)利用平行線的性質(zhì)或互余、互補的角的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角，再利用解直角三角形的知識求解.3.問題中有兩個或兩個以上的直角三角形，當(dāng)用其中一個直角三角形不能求解時，可考慮分別由兩個直角三角形找出含有相同未知元素的表達(dá)式，運用方程求解.知1－練感悟新知[母題教材P126例3]如圖23.2-8所示，某居民樓Ⅰ高20m，窗戶朝南，該樓內(nèi)一樓住戶的窗臺離地面的距離CM為2m，窗戶CD高1.8m.現(xiàn)計劃在樓Ⅰ的正南方距樓Ⅰ30m處新建一居民樓Ⅱ.當(dāng)正午時刻太陽光線與地面成30°角時，要使樓Ⅱ的影子不影響樓Ⅰ所有住戶的采光，新建樓Ⅱ最高只能建多少米？例1知1－練感悟新知解：設(shè)正午時刻，太陽光線正好照在樓Ⅰ一樓的窗臺處，此時新建居民樓Ⅱ高EG=xm，如圖23.2-8所示，過點C

作CF⊥EG

于點F，則FG=CM=2m.解題秘方：將實際應(yīng)用問題建模成解直角三角形問題.知1－練感悟新知

知1－練感悟新知1-1.

[模擬·宿州]合肥包公園是合肥市有名的4A級旅游景區(qū)，是為了紀(jì)念北宋著明清官包拯而修建的園林.為了讓游客能更好地休息，在園中設(shè)計如圖所示的涼亭，點D，A，E

在同一水平線上，測得∠DAC=79°，∠BCA=109°，AC=2m，AN=1.35m，求涼亭最高點到地面的距離BN的長.(sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，結(jié)果精確到0.1m)知1－練感悟新知解：過點C作CF⊥BN于點F，過點C作CG⊥DE于點G，則∠AGC＝90°，∠BFC＝90°.易得四邊形CGNF為矩形，∴CF∥GN，CG＝FN，CF＝GN.∴∠ACF＝∠DAC＝79°.∴∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝30°.在Rt△ACG中，CG＝AC·sin∠GAC≈2×0.98＝1.96(m)，知1－練感悟新知知1－練

例2知1－練解題秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜為直法”解含公共直角邊的直角三角形問題.知1－練

知1－練

知1－練感悟新知2-1.如圖，要測量小河兩岸相對的兩點P，A的距離，可以在小河邊取PA

的垂線PB

上的一點C，測得PC=100米，∠PCA=35°，則小河寬PA

等于(

)

A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米C知2－講知識點解直角三角形在解仰角和俯角問題中的應(yīng)用21.

仰角和俯角的定義在進(jìn)行高度測量時，由視線與水平線所夾的角中，當(dāng)視線在水平線上方時叫做仰角；當(dāng)視線在水平線下方時叫做俯角.知2－講2.

示圖如圖23.2-10所示.知2－講特別提醒1.仰角和俯角是視線的位置相對于水平線而言的，可巧記為“上仰下俯”.2.實際問題中遇到仰角或俯角時，要放在直角三角形中或轉(zhuǎn)化到直角三角形中，注意確定水平線.知2－練如圖23.2-11，在數(shù)學(xué)活動課中，小敏為了測量校園內(nèi)旗桿CD的高度，先在教學(xué)樓的底端A處，觀測到旗桿頂端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教學(xué)樓上的B處，觀測到旗桿底端D的俯角是30°，已知教學(xué)樓AB高4m.解題秘方：將實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題求解.例3知2－練(1)求教學(xué)樓與旗桿的水平距離AD(結(jié)果保留根號)；

知2－練(2)求旗桿CD的高度.

知2－練感悟新知3-1.

[月考·合肥]浮山是安徽省名山之一，也是我國著名文山，山上有大量的摩崖石刻，奇峰異石，有大小七十二個溶洞．如圖，為了測量浮山與學(xué)校的相對高度DO，某校數(shù)學(xué)興趣小組在操場A

處觀測到山頂最高點D的仰角為35°，向著山的方向前進(jìn)20米后到達(dá)點B，觀測到知2－練感悟新知山頂最高點D

的仰角為37°.求浮山與學(xué)校的相對高度DO.(參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)知2－練感悟新知知3－講知識點解直角三角形在解方向角問題中的應(yīng)用31.

方向角的定義一般地，指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角.特別警示：方向角和方位角不同，方位角是指從某點的指北方向線起，按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角，變化范圍為0°~360°，而方向角的變化范圍是0°~90°.知3－講2.示圖如圖23.2-12，目標(biāo)方向線OA，OB，OC的方向角分別可以表示為北偏東30°、南偏東45°、北偏西30°.南偏東45°習(xí)慣上又叫做東南方向，北偏東45°習(xí)慣上又叫做東北方向，北偏西45°習(xí)慣上又叫做西北方向，南偏西45°習(xí)慣上又叫做西南方向.知3－講特別提醒1.因為方向角是指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角，所以方向角通常都寫成“北偏……”“南偏……”的形式.2.解決實際問題時，可利用正南、正北、正西、正東方向線構(gòu)造直角三角形來求解.3.觀測點不同，所得的方向角也不同，但各個觀測點的南北方向線是互相平行的，通常借助此性質(zhì)進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換.知3－練

例4知3－練解題秘方：建立數(shù)學(xué)模型后，用化斜為直法，將斜三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題求解.知3－練解：如圖23.2-11，過點C作CE⊥AB于點E，則∠AEC=∠BEC=90°.易得∠ACE＝30°，∠BCE＝45°=∠CBE，

∴BE=CE.(1)分別求出A與C及B與C的距離AC，BC(結(jié)果保留根號)；知3－練

知3－練

知3－練

知3－練感悟新知4-1.

[中考·安徽]如圖，為了測量河對岸A，B

兩點間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測點C，測得A，B

均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D

的北偏西53°方向上.求A，B兩點間的距離.(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)知3－練感悟新知解：如圖，易知∠ADB＝53°，∠ECA＝37°，∠ADC＝90°，CE∥AD，∴∠BDC＝90°－53°＝37°，∠A＝∠ECA＝37°.∴∠CBD＝∠A＋∠ADB＝37°＋53°＝90°.∴∠ABD＝90°.在Rt△BCD中，∠BDC＝37°，CD＝90米，知3－練感悟新知知4－講知識點解直角三角形在解坡角、坡度問題中的應(yīng)用41.

坡角與坡度(坡比)的定義(1)坡角：坡面與水平面的夾角，如圖23.2-14中的α.知4－講(2)坡度(坡比)：我們通常把坡面的鉛直高度h和水平長度l的比叫做坡度(坡比)(如圖23.2-14所示)，坡度(坡比)也可寫成i＝h∶l的形式，在實際應(yīng)用中常表示成1∶x的形式.知4－講

知4－講特別提醒1.坡度是兩條線段的比值，不是度數(shù).2.表示坡度時，通常把比的前項取作1，后項可以是小數(shù).3.坡面的傾斜程度通?？捎闷露缺硎?坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越緩.知3－練感悟新知[母題教材P129例6]如圖23.2-15，水壩的橫斷面為梯形ABCD，迎水坡BC

的坡角為30°，背水坡AD

的坡度為1：1.2，壩頂寬DC

＝2.5米，壩高4.5米．求：(1)迎水坡BC

的長；(2)迎水坡BC

的坡度；(3)壩底AB

的長．例5知3－練感悟新知解題秘方：緊扣坡角和坡度的定義，構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解題的關(guān)鍵．知4－練感悟新知(1)迎水坡BC

的長；

知4－練感悟新知(2)迎水坡BC

的坡度；

知4－練感悟新知(3)壩底AB

的長．

知4－練感悟新知

知4－練感悟新知5-1.

[模擬·合肥]如圖，一架無人機在滑雪賽道的一段坡道AB

的上方進(jìn)行跟蹤拍攝，無人機伴隨運動員水平向右飛行．某次拍攝中，當(dāng)運動員在點A

位置時，無人機在他的仰角為45°的斜上方C

處，當(dāng)運動員到達(dá)地面B

點時，無人機恰好到達(dá)知4－練感悟新知

解：過點A作地面的垂線，交地面于點M，過點C作CE⊥AF于點E，則∠AEC＝90°.由題意可知四邊形CEFD為矩形，∴EF＝CD＝60米，DF＝CE.知4－練感悟新知知4－練感悟新知感悟