2024-2025學(xué)年湖北省武漢十七中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖北省武漢十七中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.從裝有十個(gè)紅球和十個(gè)白球的罐子里任取2球，下列情況中互斥而不對立的兩個(gè)事件是(

)A.至少有一個(gè)紅球，至少有一個(gè)白球 B.恰有一個(gè)紅球，都是白球

C.至少有一個(gè)紅球，都是白球 D.至多有一個(gè)紅球，都是紅球2.對空間任意一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A，B，C，能得到A，B，C，D四點(diǎn)共面的是(

)A.OD=OA+2OB?3OC B.OD3.向量{a,b,c}是空間的一個(gè)單位正交基底，向量p在基底a，b，c下的坐標(biāo)為(?1,2,3)，則pA.(12,?32,3) B.(?14.如圖，四面體OABC中，點(diǎn)E為OA中點(diǎn)，F(xiàn)為BE中點(diǎn)，G為CF中點(diǎn)，設(shè)OA=a,OB=b,A.14a+14b+125.在?ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且?ABC的面積S?ABC=3，S?ABCA.3 B.?3 C.26.如圖，某電子元件由A，B，C三種部件組成，現(xiàn)將該電子元件應(yīng)用到某研發(fā)設(shè)備中，經(jīng)過反復(fù)測試，A，B，C三種部件不能正常工作的概率分別為15，14，13，各個(gè)部件是否正常工作相互獨(dú)立，則該電子元件能正常工作的概率是(

)

A.1825 B.725 C.64757.已知二面角α?l?β的棱上兩點(diǎn)A，C，線段AB與CD分別在這個(gè)二面角內(nèi)的兩個(gè)半平面內(nèi)，并且都垂直于棱l.若AB=6，CD=8，AC=2，BD=12.則這兩個(gè)平面的夾角的余弦值為(

)A.512 B.45 C.358.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，定義：經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0,z0)且一個(gè)方向向量為m=(a,b,c)(abc≠0)的直線l方程為x?x0a=y?y0b=z?z0c，經(jīng)過點(diǎn)P(x0,A.16 B.15 C.56二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)A，B為古典概率模型中的兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為(

)A.若P(A)=13，P(B)=12，則當(dāng)且僅當(dāng)P(A+B)=56時(shí)，A，B是互斥事件

B.若P(A)=13，P(B)=23，則A+B是必然事件

C.若P(A)=13，P(B)=23，則P(A+B)=7910.已知空間三點(diǎn)A(1,3,2)，B(0,2,4)，C(3,4,5)，則下列說法正確的是(

)A.AB?AC=3

B.AC在AB方向上的投影向量為(12,12,?1)

C.點(diǎn)C到直線11.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，N為底面ABCD的中心，P為線段A1D1上的動點(diǎn)A.CM與PN是異面直線

B.平面PAN⊥平面BDD1B1

C.存在P點(diǎn)使得PN⊥AN

D.當(dāng)P為線段A1D1中點(diǎn)時(shí)，過A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在用隨機(jī)數(shù)(整數(shù))模擬“有5個(gè)男生和5個(gè)女生，從中抽選4人，求選出2個(gè)男生2個(gè)女生的概率”時(shí)，可讓計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～9的隨機(jī)整數(shù)，并且0～4代表男生，用5～9代表女生.因?yàn)槭沁x出4個(gè)，所以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組.通過模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：68303215705664317840452378342604534609526837981657344725657859249768605191386754由此估計(jì)“選出2個(gè)男生2個(gè)女生”的概率為______．13.已知平面α內(nèi)一點(diǎn)P(8,9,5)，點(diǎn)Q(1,2,2)在平面α外，若α的一個(gè)法向量為n=(4,3,?12)，則Q到平面α的距離為______．14.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若3asinC?a?b=a2?b2?四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，BC=12AD，PA=AB=2，E為棱PD的中點(diǎn)．

(1)求證：EC//平面PAB；

(2)當(dāng)PC=3時(shí)，求直線PC與平面BCE16.(本小題12分)

2023年，某省實(shí)行新高考，數(shù)學(xué)設(shè)有4個(gè)多選題，在給出的A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中，有兩項(xiàng)或三項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.現(xiàn)正在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試．

(1)根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，小李同學(xué)做對第一個(gè)多選的概率為34，做對第二個(gè)多選題的概率為12，對第三個(gè)多選題的概率為16.求小李同學(xué)前三個(gè)多選題錯一個(gè)的概率．

(2)若最后一道數(shù)學(xué)多選題有三個(gè)正確的選項(xiàng)，而小智和小博同學(xué)完全不會做，只能對這道題的選項(xiàng)進(jìn)行隨機(jī)選取，每個(gè)選項(xiàng)是否被選到是等可能的，若小智打算從中隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)，小博打算從中隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)．

(i)求小博得2分的概率；

17.(本小題12分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中底面為正三角形，AA1=4，AB=2，∠A1AB=∠A118.(本小題12分)

2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務(wù)，標(biāo)志著中國空間站關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段圓滿完成.并將進(jìn)入建造階段，洪山區(qū)為了激發(fā)市民對天文學(xué)的興趣，開展了天文知識比賽，滿分100分(95分及以上為認(rèn)知程度高)，結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，這m人按年齡分成5組，其中第一組：[20,25)，第二組：[25,30)，第三組：[30,35)，第四組：[35,40)，第五組：[40,45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這m人的第60百分位數(shù)；(精確到0.1)

(2)現(xiàn)從第四組和第五組用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人，擔(dān)任“黨章黨史”宣傳使者．

①有甲(年齡36)，乙(年齡42)，且甲、乙確定入選，從6人中要選擇兩個(gè)人擔(dān)任組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上組長的概率；

②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和52，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計(jì)這m人中35～45歲所有人的年齡平均數(shù)和方差．19.(本小題12分)

如圖，在多面體ABCDEF中，側(cè)面BCDF為菱形，側(cè)面ACDE為直角梯形，AC//DE，AC⊥CD，N為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段DF上一動點(diǎn)，且BC=23，AC=2DE，∠DCB=120°．

(1)若點(diǎn)M為線段DF的中點(diǎn)，證明：MN//平面ACDE；

(2)若平面BCDF⊥平面ACDE，且DE=2，問：線段DF上是否存在點(diǎn)M，使得直線MN與平面ABF所成角的正弦值為310？若存在，求出

參考答案1.B

2.B

3.A

4.B

5.D

6.C

7.A

8.A

9.ACD

10.ACD

11.BD

12.1213.1

14.6+215.解：(1)證明：取PA中點(diǎn)為M，連接ME，MB，如下圖所示：

在△PAD中，因?yàn)镸，E分別為PA，PD的中點(diǎn)，

故ME//AD,ME=12AD，

又AD//BC,BC=12AD，

故ME/?/BC，ME=BC，則四邊形MBCE為平行四邊形，EC//MB，

又MB?面PAB，EC?面PAB，

故EC/?/面PAB．

(2)過點(diǎn)P作BM延長線的垂線，垂足為N，連接NC，如下圖所示：

由(1)可知，EC//BM，

故平面BCE也即平面NMBCE，

因?yàn)锳B⊥AD，BC/?/AD，

則BC⊥AB，

又PA⊥面ABCD，BC?面ABCD，

故BC⊥PA，

又PA∩AB=A，PA，AB?面PAB，

故BC⊥面PAB，

又PN?面PAB，則PN⊥BC，又PN⊥BN，

BC∩BN=B，BC，BN?面BCE，

故PN⊥面BCE，

則∠PCN即為PC與平面BCE的夾角，

在△ABM中，因?yàn)锳B=2,AM=12PA=1，

則BM=AB2+AM2=5，sin∠AMB=255，

在△PMN中，因?yàn)镻M=16.解：(1)根據(jù)題意，設(shè)事件A=“小李同學(xué)前三個(gè)多選題錯一個(gè)”，

則P(A)=(1?34)×12×16+34×(1?12)×16+34×12×(1?16)=1948；

(2)設(shè)小博得分為X，小智得分為Y，

(i)根據(jù)題意，最后一道數(shù)學(xué)多選題有三個(gè)正確的選項(xiàng)，不妨設(shè)正確的選項(xiàng)為ABC，

而小博打算從選項(xiàng)中隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)，有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6種情況，

其中得2分的有AB、AC、17.解：(1)證明：因?yàn)锽C=AC?AB，所以AA1?BC=AA1?(AC?AB)=AA1?AC?AA1?AB

=|AA1|?|AC|cos<AA1，AC>?|AA1|?|AB|cos<AA1，AB>=0，所以AA1⊥BC，即AA1⊥BC；

(2)取AB的中點(diǎn)M，連接AC1交A1C于點(diǎn)O，連接CM、OM，則18.解：(1)設(shè)第60百分位數(shù)為a，

∵0.01×5+0.07×5=0.4<0.6，0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7>0.6，

∴a位于第三組：[30,35)內(nèi)，

∴a=30+0.6?0.45×0.06×(35?30)≈33.3；

(2)①由題意得，第四組和第五組抽取人數(shù)之比為2：1，即第四組4人，記為A，B，C，甲，

第五組2人，記為D，乙，

對應(yīng)的樣本空間為：AB，AC，A甲，AD，A乙，BC，B甲，BD，B乙，C甲，CD，C乙，甲D，甲乙，D乙，共15個(gè)樣本點(diǎn)，

設(shè)事件M為“甲、乙兩人至少一人被選上”，

則有A甲，A乙，B甲，B乙，C甲，C乙，甲D，甲乙，D乙，共有9個(gè)樣本點(diǎn)，

∴P(M)=915=35；

②設(shè)第四組的宣傳使者的年齡平均數(shù)分為x?=36，方差為s12=52，

設(shè)第五組的宣傳使者的年齡平均數(shù)為y?=42，方差為s22=1，

19.證明：(1)取AC的中點(diǎn)G，連接GN，DG，

因?yàn)镸，N分別為DF，AB的中點(diǎn)，在菱形BCDF中，所以GN/?/BC，DM//BC，且GN=12BC=DM，

所以四邊形MNGD為平行四邊形，所以MN//DG，

而MN?平面ACDE，DG?平面ACDE，

可證得：MN/?/平面ACDE；

(2)因?yàn)槠矫鍮CDF⊥平面ACDE，∠DCB=120°，取DF的中點(diǎn)H，

由(1)可得CH⊥DF，菱形BCDF中，

即CH⊥BC，平面BCDF∩平面ACDE=BC，HC?平面BCDF，

所以HC⊥底面ABC，

所以HC⊥AC，而AC⊥CD，CM∩CD=C，

所以AC⊥平面BCDF，

所以AC⊥BC，

建立以CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，CH所在的直線為z軸的