四川省宜賓市2024年中考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

四川省宜賓市2024年中考數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1．2的絕對值是（）A．2 B．12 C．?122．下列計算正確的是（）A．a(chǎn)+a=a2 C．3x?2x=6x2 3．某校為了解九年級學(xué)生在校的鍛煉情況，隨機抽取10名學(xué)生，記錄他們某一天在校的鍛煉時間（單位：分鐘）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．對這組數(shù)據(jù)判斷正確的是（）A．方差為0 B．眾數(shù)為75C．中位數(shù)為77.5 D．平均數(shù)為754．如圖，AB是⊙O的直徑，若∠CDB=60°，則∠ABC的度數(shù)等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數(shù)是（）A．5天 B．10天 C．15天 D．20天6．如果一個數(shù)等于它的全部真因數(shù)（含單位1，不含它本身）的和，那么這個數(shù)稱為完美數(shù)．例如：6的真因數(shù)是1、2、3，且6=1+2+3，則稱6為完美數(shù)．下列數(shù)中為完美數(shù)的是（）A．8 B．18 C．28 D．327．如圖是正方體表面展開圖．將其折疊成正方體后，距頂點A最遠的點是（）A．B點 B．C點 C．D點 D．E點8．某果農(nóng)將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝．該果農(nóng)現(xiàn)采摘有32千克荔枝，根據(jù)市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則所裝的箱數(shù)最多為（）A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱9．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC為⊙O的直徑，AD平分∠BAC交⊙O于D．則AB+ACADA．2 B．3 C．22 D．10．如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象經(jīng)過點A、B及AC的中點M，BC∥x軸，AB與y軸交于點NA．13 B．14 C．1511．如圖，在△ABC中，AB=32,AC=2，以BC為邊作Rt△BCD，BC=BD，點D與點A在BCA．2+32 B．6+22 C．512．如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a<0)的圖象交x軸于點A(?3,0)、B(1,0)，交y軸于點C．以下結(jié)論：①a+b+c=0；②a+3b+2c<0；③當(dāng)以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．13．分解因式：2a214．分式方程x+1x?1?3=0的解為15．如圖，正五邊形ABCDE的邊長為4，則這個正五邊形的對角線AC的長是．16．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=4，E、F分別是邊CD、AD上的動點，且CE=DF．當(dāng)AE+CF的值最小時，則CE=17．如圖，一個圓柱體容器，其底部有三個完全相同的小孔槽，分別命名為甲槽、乙槽、丙槽．有大小質(zhì)地完全相同的三個小球，每個小球標(biāo)有從1至9中選取的一個數(shù)字，且每個小球所標(biāo)數(shù)字互不相同．作如下操作：將這三個小球放入容器中，搖動容器使這三個小球全部落入不同的小孔槽（每個小孔槽只能容下一個小球），取出小球記錄下各小孔槽的計分（分?jǐn)?shù)為落入該小孔槽小球上所標(biāo)的數(shù)字），完成第一次操作．再重復(fù)以上操作兩次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計分之和分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計分最高的是乙槽，則第二次操作計分最低的是（從“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中選填）．18．如圖，正方形ABCD的邊長為1，M、N是邊BC、CD上的動點．若∠MAN=45°，則MN的最小值為．三、解答題：本大題共7個小題，共78分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（1）計算：(?2)0（2）計算：2a20．某校為了落實“五育并舉”，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)．在課外活動中開設(shè)了四個興趣小組：A．插花組：B．跳繩組；C．話劇組；D．書法組．為了解學(xué)生對每個興趣小組的參與情況，隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合圖中信息解答下列問題：（1）本次共調(diào)查了名學(xué)生，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）話劇組所對應(yīng)扇形的圓心角為度；（3）書法組成績最好的4名學(xué)生由3名男生和1名女生構(gòu)成．從中隨機抽取2名參加比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求剛好抽到1名男生與1名女生的概率．21．如圖，點D、E分別是等邊三角形ABC邊BC、AC上的點，且BD=CE，BE與AD交于點F．求證：AD=BE．22．宜賓地標(biāo)廣場位于三江匯合口（如圖1，左側(cè)是岷江，右側(cè)是金沙江，正面是長江）．某同學(xué)在數(shù)學(xué)實踐中測量長江口的寬度，他在長江口的兩岸選擇兩個標(biāo)點C、D，在地標(biāo)廣場上選擇兩個觀測點A、B（點A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如圖2所示，在點A處測得點C在北偏西18.17°方向上，測得點D在北偏東21.34°方向上；在B處測得點C在北偏西21.34°方向上，測得點D在北偏東18.17°方向上，測得AB=100米．求長江口的寬度CD的值（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin18.17°≈023．如圖，一次函數(shù)．y=ax+b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)y=kx(k≠0)（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）利用圖象，直接寫出不等式ax+b<k（3）已知點D在x軸上，點C在反比例函數(shù)圖象上．若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點C的坐標(biāo)．24．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=10，過點A作AE∥BC，交⊙O的直徑BD的延長線于點E，連結(jié)CD．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若tan∠ABE=12，求CD25．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A(?1,0)和點B，與y軸交于點C(0,?4)（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標(biāo)；（2）在y軸上是否存在一點M，使得△BDM的周長最小．若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若點E在以點P(3,0)為圓心，1為半徑的⊙P上，連結(jié)AE，以AE為邊在AE的下方作等邊三角形AEF，連結(jié)BF．求答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：2故答案為：A.【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，正數(shù)的絕對值是是它本身.2．【答案】A3．【答案】B【解析】【解答】解：這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：65，65，67，75，75，75，78，80，80，88，

故平均數(shù)為x=11065+65+67+75+75+75+78+80+80+88+88?74.82]≈61

75出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為75；

第5和第6個數(shù)都是75，故中位數(shù)是75；

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差計算公式計算并判斷AD，根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可判斷BC.4．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°.∵∠CAB=∠CDB=60°，

∴∠ABC=90°－∠CAB=30°.

故答案為：A.【分析】根據(jù)圓周角定理的推論求出∠DAB和∠ACB，即可得到結(jié)論.5．【答案】D【解析】【解答】解：快馬追上慢馬的天數(shù)是x天，

根據(jù)題意得：240x=150(x+12)

解得：x=20.

∴快馬追上慢馬的天數(shù)是20天.

故答案為：D.

【分析】設(shè)快馬追上慢馬的天數(shù)是x天，利用路程=速度×?xí)r間，結(jié)合快馬追上慢馬時兩馬跑的路程相同，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.6．【答案】C【解析】【解答】解：A、8的真因數(shù)是1，2，4，和為1+2+4=7≠8，故不是完美數(shù)，故不符合題意；

B、18的真因數(shù)是1，2，3，6，9，且1+2+3+6+9=21≠18，故不是完美數(shù)，故不符合題意；

C、28的真因數(shù)是1，2，4，7，14，且1+2+4+7+14=28，故是完美數(shù)，故符合題意；

D、32的真因數(shù)是1，2，4，8，16，且1+2+4+8+16=31≠32，故不是完美數(shù)，故不符合題意；故答案為：C.【分析】按照定義，分別計算出各個選項的真因數(shù)并求和，再與原數(shù)據(jù)比較，即可得到結(jié)論.7．【答案】B【解析】【解答】解：把圖形圍成立方體如圖所示，設(shè)正方體的棱長為1，則AD=1，AB=AE=2，AC=1+(2)2=3

∵【分析】可以把展開圖圍成正方體，再分別計算出AB，AC，AD，AE，即可得到結(jié)論.8．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)用x個大箱，y個小箱裝荔枝，由題意得：

4x+3y=32

故y=32?4x故x=2，y=8，2+8=10；

x=5，y=4，5+4=9；

x=8，y=0，x+y=8.

8<9<10，

故答案為：C.【分析】根據(jù)題意：用x個大箱，y個小箱裝荔枝，且每個箱都裝滿，可得4x+3y=32，計算出x，y的值，即可得到最大箱數(shù)；9．【答案】A【解析】【解答】解：連接BD、CD，AD饒點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得A'D，連接A'B，如圖：

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC=∠BDC=90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD=45°，

∵∠BCD=∠BAD，∠CAD=∠CBD，

∴∠BCD=∠CBD=45°，

∴BD=DC，在四邊形ABDC中，∠BAC=∠BDC=90°

∴∠ACD+∠ABD=180°.

∵∠ADA'=∠CDB=90°，

∴∠ADC=∠A'DB，

又A'D=AD，BD=CD，

∴△A'DB≌△ADC(SAS)，

∴∠A'BD=∠ACD，A'B=AC，

∴∠A'BD+∠ABD=180°.

∴A'，B，A三點共線，

∴在△A'DA中，A'A=2AD，AA'=AB+A'B=AB+AC，

∴AB+ACAD=【分析】連接BD、CD，AD饒點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得A'D，連接A'B，利用圓周角定理和角平分線證得∠BCD=∠CBD=45°，于是有BD=CD；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得∠ACD+∠ABD=180°.利用SAS證明△A'DB≌△ADC，∠A'BD=∠ACD，A'B=AC，于是有∠A'BD+∠ABD=180°，即可得A'，B，A三點共線，在等腰直角△A'DA中利用勾股定理即可得到結(jié)論.10．【答案】A【解析】【解答】解：作過A作AD⊥BC于點D，BC與y軸交于E點，如圖：

設(shè)A(a,ka)，B(b，kb)，

∵BC//x軸，AD⊥x軸，

∴點D(a，kb).

在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴點D是BC的中點，

∴C(2a?b，kb)

∵AC的中點為M，

∴Ma+2a?b2，ka+kb2，即11．【答案】D【解析】【解答】解：將BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到BE，連接AE，DE，如圖：∵BE=AB，∠ABE=90°，

∴AE=2AB=2×32=6.

∵∠DBC=90°=∠EBA，

∴∠DBE=∠CBA，

又∵BD=BC，AB=BE，

∴△DBE≌△CBA(SAS)

∴DE=AC=2.

在△ADE中，AD<AE+DE

∵【分析】將BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到BE，連接AE，DE，由“SAS”可證△DBE≌△CBA，可得DE=AC=2，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE，由三角形的三邊關(guān)系即可求解.12．【答案】C【解析】【解答】解：由圖象可得a<0，c>0，∴b<0.

∵拋物線y=ax2+bx+c(a<0)的圖象交x軸于點A(?3,0)、B(1,0)，

∴x=1時，y=0，即a+b+c=0；故選項①正確；

對稱軸為x=?3+12=?1，即?b2a=?1，∴b=2a，

∴a+b+c=a+2a+c=0，∴c=﹣3a，∴a+3b+2c=a+3·2a+2·?3a=a<0，故選項②正確；

當(dāng)以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，∵對稱軸為x=﹣1，AB=1－(-3)=4，

∴AC=AB=4或AB=CB=4.

點C（0，c），∴AC2=?32+c2=9+c2，BC2=12+c2=1+c2，

當(dāng)AC=AB時，9+c2=42，解得：c=7（負(fù)數(shù)舍去）；

當(dāng)CB=AB時，1+c2=42，解得：c=15（負(fù)數(shù)舍去）；

綜上，當(dāng)以點A、B、故答案為：C.【分析】拋物線過點(1，0)，求得求得a+b+c=0，即可判斷①；求得對稱軸為直線x=-1，即可求得b=2a，由a+b+c=0，求得c=﹣3a，則a+3b+2c=a<0，即可判斷②；分AC=AB=4和AB=BC=4兩種情況求得c的值即可判斷③；在OA上取點P，使OHOP=23，連接PH，則OH=43，于是可證明△HOP∽△POA，即可得PHPA13．【答案】2(a+1)(a-1)【解析】【解答】解：原式=2（a2-1）=2(a+1)(a-1).

故答案為：2(a+1)(a-1)。

【分析】先利用提公因式法分解因式，然后再用平方差公式法分解到每一個因式都不能再分解為止。14．【答案】x=2【解析】【解答】解：x+1x?1?3=0解得：x=2

經(jīng)檢驗，x-1=2-1≠0，

∴x=2是分式方程的解.

故答案為：x=2.【分析】先將分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后驗根即可.15．【答案】2+2【解析】【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，

∴每個內(nèi)角的度數(shù)為：5?2×180°5=108°，AB=BC=4，

∴∠BCA=∠BAC=12180°?108°=36°.

在AC上截取AF，使AB=AF=4，如圖：

∴∠ABF=∠AFB=12180°?36°=72°，

∴∠CBF=∠AFB－∠BCA=72°－36°=36°=∠CAB.

又∵∠BCF=∠ACB，

∴△BCF∽△ACB，故答案為：2+25【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得∠B=108°，AB=AC=4，由等腰三角形的性質(zhì)得∠BAC=∠BCA=36°，在AC上截取AF，使AB=AF=4，計算出∠AFB的度數(shù)，根據(jù)外角性質(zhì)得∠CBF=36°=∠CAB，即可證明△BCF∽△ACB，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得BCAC16．【答案】217．【答案】乙槽【解析】【解答】解：∵三次操作相同，且總得分是20+10+9=39（分），

∴一次操作的總分，即三個球數(shù)字之后為39÷3=13（分），

則有以下情況：

1，3，9；1，4，8；1，5，7；2，3，8；2，4，7；2，5，6；3，4，6；

其中只有1，4，8這一組能同時滿足三個數(shù)組合相加得20，10，9；

4+8+8=20(甲槽)；

8+1+1=10(乙槽)；

1+4+4=9(丙槽)

∴第一次操作甲槽，乙槽，丙槽的數(shù)字分?jǐn)?shù)分別為4，8，1；

第二次操作甲槽，乙槽，丙槽的分?jǐn)?shù)分別為8，1，4；

第三次操作甲槽，乙槽，丙槽的分?jǐn)?shù)分別為8，1，4；

∴第二次操作計分最低的是乙槽.

故答案為：乙槽.

【分析】由三次操作三個槽總分是20+10+9=39分，所以一次操作得總分就是13分，再根據(jù)三個球得數(shù)不相同可以列舉出綜合為13得所有情況，然后再根據(jù)各自得分逐一分析比較即可.18．【答案】2【解析】【解答】解：延長CD到點G，使DG=BM，如圖：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB=BC=CD=1，∠BAD=∠ADN=90°=∠ADG，

又∵BM=DG，AB=AD.

∴△ABM≌△ADG(SAS)，

∴∠BAM=∠DAG，AM=AG，

∵∠MAN=45°，

∴∠BAM+∠DAN=90°－∠MAN=45°.

∴∠DAG+∠DAN=45°，即∠GAN=45°，

在△GAN和△MAN中，

AG=AM∠GAN=∠MAN,AN=AN

∴△GAN≌△MAN(SAS)，

∴GN=MN.

設(shè)BM=x，MN=y，則GN=y，DG=x，

∵BC=CD=1，

∴CM=1-x，CN=DC－DN=1－(y-x)=1－y+x，

在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN2=CM2+CN2，

即y解得：y=x2+1x+1=x2+2x+1?2x?2+2x+1=x+12?2x+1【分析】由∠MAN=45°識別出半角模型，從而構(gòu)造△GAN≌△MAN，將MN線段進行轉(zhuǎn)化得到GN，設(shè)BM=x，MN=y，再利用勾股方程進行轉(zhuǎn)化，建立一個關(guān)于y的式子，利用不等式的性質(zhì)求最值即可19．【答案】（1）解：(?2)0+2sin30°?|2?3|

=1+2×（2）解：=2a+1a?1÷【解析】【分析】（1）根據(jù)無理數(shù)的混合運算法則，先計算非零數(shù)的零次冪，特殊角的三角函數(shù)值，去絕對值，再進行加減運算即可；

（2）先對括號內(nèi)部分進行通分運算，再變除為乘，同時對分?jǐn)?shù)的分子分母因式分解，再進行約分即可.20．【答案】（1）解：40；

C組的人數(shù)為：40－4－16－12=8（名）故補全同學(xué)統(tǒng)計圖如圖所示：

（2）72（3）解：將1名女生記為A，3名男生分別記為B，C，D.

畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽到1名男生與1名女生的結(jié)果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6種，

∴剛好抽到1名男生與1名女生的概率為612=【解析】【解答】解：（1）4÷10%=40（名）

故本次共調(diào)查了40名學(xué)生，

故答案為：40.

（2）360°×840=72°，

故話劇組所對應(yīng)扇形的圓心角為72度

故答案為：72.

【分析】（1）用條形統(tǒng)計圖中A的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計圖中A的百分比可得本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，求出C組的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；

21．【答案】證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC，

在△ABD和△BCE中，

AB=BC∠ABD=∠CBD=CE

∴△ABD≌△BCE(SAS)

22．【答案】解：過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F，如圖所示：

∵AB//CD，

∴AE//BF.

∴四邊形ABFE是矩形，

∴AB=EF=100m，

設(shè)AE=BF=xm，

由題意得：∠CAE=18.17°，∠DAE=21.34°，∠DBF=18.17°，∠CBF=18.17°.

在Rt△ACE中，CE=AE·tan18.17°≈0.33xm，

在Rt△BDF中，DF=BF·tan18.17°≈0.33xm，

在Rt△AED中，DE=AE·tan21.34°≈0.39xm，

∵DE=EF+DF.

∴0.39x=100+0.33x，

解得：x=50003【解析】【分析】過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F，證明四邊形ABFE是矩形，可得AE=BF=x，AB=EF=100m，然后分別在Rt△ACE、Rt△BDF和Rt△AED中利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE、DF和DE的長，從而列出關(guān)于x的方程，進行計算即可解答.23．【答案】（1）解：∵反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象經(jīng)過點A(1，4)，

∴k=1×4=4，

∴y=4x.

∵反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象經(jīng)過點B(n，-1)，

∴?1=4n，

∴n=﹣4.

∴B（-4，-1）.

∵一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)（2）解：由圖象可知，x＜-4或0<x<1時，ax+b<kx，

故不等式（3）設(shè)點C的坐標(biāo)為：(m，4m)，點D(x，0)，

∵A(1，4)，B（-4，-1），

當(dāng)AB為對角線時：由中點坐標(biāo)公式得：4?1=4m+0

解得：m=43，則點C(43，3)；

當(dāng)AC為對角線時，4+4m=?1+0，

解得：m=?45，則點C(?45【解析】【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；

（2）觀察函數(shù)圖象即可求解；同一自變量下，函數(shù)值大的函數(shù)的圖象位于函數(shù)值小的函數(shù)的圖象的上方；

（3）點C的坐標(biāo)為：(m，4m)，點D(x，0)，設(shè)根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中平行四邊形的性質(zhì)，對角線的交點即對角線的中點，再分①AB為對角線，②24．【答案】（1）證明：連接并延長AO交BC于點F，連接OC，如圖：

則OB=OC

∵AB=AC，

∴AF垂直平分BC，即AF⊥BC，BF=CF

∵AE//BC，

∴AE⊥AF，

∵OA是⊙O的半徑，且AE⊥OA，

∴AE是⊙O的切線.（2）解：OB=OA，

∴∠BAF=∠ABE，