第二章 直線與圓單元測(cè)試（基礎(chǔ)卷）（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)第二章直線與圓單元過(guò)關(guān)檢測(cè)基礎(chǔ)A卷解析版學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________評(píng)卷人得分一、單選題1．若圓的半徑為，則實(shí)數(shù)（）A． B．-1 C．1 D．【答案】B【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出半徑的表達(dá)式，從而可求出的值.【詳解】由題意，圓的方程可化為，所以半徑為，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．若直線l的傾斜角滿足，且，則其斜率k滿足（）．A． B．C．，或 D．，或【答案】C【分析】由直線的傾斜角的范圍，得到斜率的范圍，求解即可.【詳解】由，得，由，，故，或.所以本題答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，注意傾斜角的范圍，正切函數(shù)在和上都是單調(diào)增函數(shù)．3．點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：設(shè)圓上任一點(diǎn)為，中點(diǎn)為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，因?yàn)樵趫A上，所以，即，化為，故選A.考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、“逆代法”求軌跡方程.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、“逆代法”求軌跡方程，屬于難題.求軌跡方程的常見(jiàn)方法有:①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.本題就是利用方法④求的軌跡方程的.4．下列直線中，斜率為，且經(jīng)過(guò)第一象限的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件斜率為，且經(jīng)過(guò)第一象限，依次討論選項(xiàng)，即得解.【詳解】由直線的斜率為，故可排除A，D又B中直線在x,y軸的截距分別為，故不經(jīng)過(guò)第一象限，排除B故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方程與圖像，考查了學(xué)生概念理解，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．順次連接點(diǎn)，，，所構(gòu)成的圖形是（）A．平行四邊形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不對(duì)【答案】A【分析】由四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可求出，，，根據(jù)斜率關(guān)系以及線段的長(zhǎng)度，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，，所以，，，所以，，所以四邊形是平行四邊?故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線平行的條件，考查了直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題.6．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線，若直線與連接的線段總有公共點(diǎn)，則的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖形利用的斜率得到直線的斜率的取值范圍，從而可得直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，，，由圖可知，，所以或.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求直線傾斜角的取值范圍的關(guān)鍵是求出直線的斜率的取值范圍，結(jié)合圖象，利用的斜率可得所要求的斜率的取值范圍.7．集合，,且,則r的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知集合M與N中的兩個(gè)圓內(nèi)含或內(nèi)切，由圓心距與半徑差的關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】由得，∴圓與圓內(nèi)切或內(nèi)含，∴，即.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了集合間關(guān)系的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題.8．已知圓，圓，分別為圓上的點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)A，以及半徑，然后求解圓A與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求得的最小值，得到答案．【詳解】如圖所示，圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為,，半徑為3，由圖象可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑之和，即，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的對(duì)稱圓的方程的求解，以及兩個(gè)圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中合理利用兩個(gè)圓的位置關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合法，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．評(píng)卷人得分二、多選題9．過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是（）A． B． C． D．【答案】AC【分析】分兩種情況求解，過(guò)原點(diǎn)時(shí)和不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，結(jié)合所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)可求.【詳解】當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為；當(dāng)直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)可得，即.故選：AC.【點(diǎn)睛】直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等時(shí)，有兩種情況：一是直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；二是直線斜率為.10．（多選）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線l的距離相等，則直線l的方程可能為（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由題可知直線l的斜率存在，所以設(shè)直線l的方程為，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程，可求出直線的斜率，從而可得直線方程【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即．由已知得，所以或，所以直線l的方程為或．故選：AB【點(diǎn)睛】此題考查直線方程的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11．已知圓和圓相交于、兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的為（）A．兩圓有兩條公切線 B．直線的方程為C．線段的長(zhǎng)為 D．圓上點(diǎn)，圓上點(diǎn)，的最大值為【答案】AD【分析】由圓與圓相交可判斷A；兩圓方程作差可判斷B；利用垂徑定理可判斷C；轉(zhuǎn)化為圓心間的距離可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閮蓤A相交，所以兩圓有兩條公切線，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閳A，圓，兩圓作差得即，所以直線的方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓的圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的圓心，半徑為1，所以，故D正確.故選：AD.12．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值（）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為圓，下列結(jié)論正確的是（）A．圓的方程是B．過(guò)點(diǎn)向圓引切線，兩條切線的夾角為C．過(guò)點(diǎn)作直線，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線距離為2，該直線斜率為D．在直線上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得【答案】ABD【分析】根據(jù)，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)，求出其軌跡方程，然后再逐項(xiàng)運(yùn)算驗(yàn)證.【詳解】因?yàn)椋?，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得：，即，故A正確；因?yàn)?，所以，則，解得，故B正確；易知直線的斜率存在，設(shè)直線，因?yàn)閳A上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線距離為2，則圓心到直線的距離為：，解得，故C錯(cuò)誤；假設(shè)存在異于，的兩點(diǎn)，，則，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)辄c(diǎn)P的軌跡方程為：，所以解得或（舍去），故存在，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)求出點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解.評(píng)卷人得分三、填空題13．已知圓，圓，則兩圓公切線的方程為_(kāi)_______.【答案】【分析】首先判斷兩圓的位置關(guān)系，根據(jù)位置關(guān)系再求兩圓公切線方程.【詳解】解析圓，圓心為，半徑為1；圓，圓心為，半徑為5.易知兩圓內(nèi)切，切點(diǎn)為，又兩圓圓心都在軸上，所以兩圓公切線的方程為，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，公切線方程，屬于基礎(chǔ)題型.14．已知直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)的值是______．【答案】0或【分析】利用直線垂直的性質(zhì)得到，解方程即得解.【詳解】∵直線和直線垂直，解得或.故答案為：0或.15．光線從點(diǎn)射向y軸，經(jīng)過(guò)y軸反射后過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程是________.【答案】（或?qū)懗桑窘馕觥俊痉治觥抗饩€從點(diǎn)射向y軸，即反射光線反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，則反射光線通過(guò)和兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)直線方程求解即可?！驹斀狻坑深}意可知，所求直線方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則所求直線方程為，即.【點(diǎn)睛】此題的關(guān)鍵點(diǎn)在于物理學(xué)上光線的反射光線和入射光線關(guān)于鏡面對(duì)稱，屬于基礎(chǔ)題目。16．如下圖所示,一座圓拱橋,當(dāng)水面在某位置時(shí),拱頂離水面2m,水面寬12m,當(dāng)水面下降1m后,水面寬為_(kāi)_______m.【答案】【分析】以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以水平與圓拱相切的直線為橫軸,以過(guò)拱頂?shù)呢Q線為縱軸,建立直角坐標(biāo)系,根據(jù)題意可以求出找到一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),這樣可以求出圓的方程,最后可以求出當(dāng)水面下降1m后,水面寬的大小.【詳解】以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以水平與圓拱相切的直線為橫軸,以過(guò)拱頂?shù)呢Q線為縱軸,建立直角坐標(biāo)系,如下圖所示：由題意可知：設(shè)圓的方程為：(其中為圓的半徑),因?yàn)楣绊旊x水面2m,水面寬12m,所以設(shè),代入圓的方程中得：,所以圓的方程為：,當(dāng)水面下降1m后,設(shè)代入圓的方程中得：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程的實(shí)際應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和閱讀能力.評(píng)卷人得分四、解答題17．已知直線：.(1)求證：無(wú)論為何實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)一定點(diǎn)；(2)若直線過(guò)點(diǎn)，且與軸負(fù)半軸、軸負(fù)半軸圍成三角形面積最小，求直線的方程.【答案】(1)無(wú)論為何實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)一定點(diǎn),(2)【解析】試題分析：直線化為,聯(lián)立，解出即可得出結(jié)論．設(shè)直線的方程為,,可得,由基本不等式可得．解析：（1）證明：：．則所以無(wú)論為何實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)一定點(diǎn)．（2）由題知直線的斜率，設(shè)直線：，，，，即：點(diǎn)睛：直線恒過(guò)定點(diǎn)在求解過(guò)程中先整理直線解析式，根據(jù)性質(zhì)聯(lián)立方程組即可求出直線恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，欲求面積最小值，給出面積表達(dá)式，利用基本不等式求解．18．已知坐標(biāo)平面上點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比等于5.（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形；（2）記（1）中的軌跡為，線段，點(diǎn)為上一點(diǎn)，點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）；以為圓心，以5為半徑的圓；（2）.【分析】（1）直接利用距離之比，列出方程即可求出點(diǎn)的軌跡方程，然后說(shuō)明軌跡是什么圖形；（2）利用相關(guān)點(diǎn)代入法即得．【詳解】（1）由題意可得：即．即所求軌跡是以為圓心，以5為半徑的圓．（2）設(shè)且的中點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)為上一點(diǎn)，即即．19．已知圓.（1）求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程；（2）直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求的范圍；（3）已知圓的圓心在軸上，與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，且與相內(nèi)切，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）或；（2）；（3）答案不唯一，具體見(jiàn)解析.【分析】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心為，半徑為1，討論切線的斜率存在或不存在，設(shè)出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑即可求解斜率，即求.（2）當(dāng)直線時(shí)，弦長(zhǎng)最短，求出，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，即求.（3）設(shè)圓，與圓相交于，兩點(diǎn)，根據(jù)，求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出或在圓上，代入即可求解.【詳解】（1）圓，即，其圓心為，半徑為1.當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為，符合題意.當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線斜率為，則切線方程為，即，由圓心到切線的距離等于半徑，得，解得，此時(shí)，切線方程為.綜上可得，圓的切線方程為或.（2）當(dāng)直線時(shí)，弦長(zhǎng)最短，此時(shí)直線的方程為，所以，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，長(zhǎng)為2，所以.（3）設(shè)圓，與圓相交于，兩點(diǎn)，∵，∴兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，，將代入圓的方程，得或，∴或在圓上.∵圓內(nèi)切于，∴圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)或，若圓經(jīng)過(guò)和，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為，若圓經(jīng)過(guò)和，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為，若圓經(jīng)過(guò)和，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為，若圓經(jīng)過(guò)和，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線方程、弦長(zhǎng)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.20．已知圓的圓心坐標(biāo)為，且該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)也在圓上，且弦長(zhǎng)為8，求直線的方程；（3）直線交圓于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率之積為2，求證：直線過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）或（3）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)【分析】（1）圓以為圓心，為半徑，直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對(duì)直線的斜率進(jìn)行討論，再利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式，可求得直線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程求得答案；（3）設(shè)直線：，，，利用得到的關(guān)系，從而證得結(jié)論.【詳解】（1）圓以為圓心，為半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①不存在時(shí)，直線的方程為：；②存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，所以直線的方程為：，綜上所述，直線的方程為或.（3）設(shè)直線：，，，①聯(lián)立方程，所以，代入①得，化簡(jiǎn)得，所以直線的方程為：，所以過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意對(duì)斜率存在和存在的討論.21．已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，、是圓的兩條切線，A、B是切點(diǎn).（1）求四邊形面積的最小值；（2）直線上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）不存在；答案見(jiàn)解析.【分析】（1）如圖，而，所以只要當(dāng)最小時(shí)，四邊形面積取最小值，而的最小值為點(diǎn)到直線的距離；（2）由（1）知圓心C到直線的最小距離為3，即，而要使，就要，所以不存在【詳解】解析（1）易知.如圖，連接，易知.因?yàn)椋援?dāng)最小時(shí)，最小.的最小值即為點(diǎn)C到直線的距離，故，所以，所以，即四邊形面積的最小值為.（2）不存在.理由：由（1）知圓心C到直線的最小距離為3，即，要使，則，顯然不成立，所以這樣的點(diǎn)P是不存在的.【點(diǎn)睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題22．近年來(lái)，隨著我市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，政府對(duì)民生越來(lái)越關(guān)注市區(qū)現(xiàn)有一塊近似正三角形的土地（如圖所示），其邊長(zhǎng)為2百米，為了滿足市民的休閑需求，市政府?dāng)M在三個(gè)頂點(diǎn)處分別修建扇形廣場(chǎng)，即扇形和，其中與、分別相切于點(diǎn)，且與無(wú)重疊，剩余部分（陰影部分）種植草坪.設(shè)長(zhǎng)為（單位：百米），草坪面積為（單位：萬(wàn)平方米）.（1）試用分別表示扇形和的面積，并寫出的取值范圍；（2）當(dāng)為何值時(shí)，草坪面積最大？并求