寒假作業(yè)08相似三角形的性質(zhì)與判定-2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)08相似三角形的性質(zhì)與判定1、比例的相關(guān)概念及性質(zhì)1）線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長(zhǎng)度之比．2）比例中項(xiàng)：如果eq\f(a,b)=eq\f(b,c)，即b2=ac，我們就把b叫做a，c的比例中項(xiàng)．3）黃金分割：如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段，使，那么點(diǎn)C叫做線段AC的黃金分割點(diǎn)，AC是BC與AB的比例中項(xiàng)，AC與AB的比叫做黃金比．4）比例的性質(zhì)性質(zhì)1：=?ad=bc（a，b，c，d≠0）；性質(zhì)2：如果=，那么；性質(zhì)3：如果==…=（b+d+…+n≠0），則=（不唯一）．2、相似三角形的判定及性質(zhì)1）定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．2）性質(zhì)：（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；（2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；（3）相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方．3）判定：（1）有兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．3、相似多邊形1）定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫它們的相似比．2）性質(zhì)：（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例；（2）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等；（3）相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．4、位似圖形1）定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比．2）性質(zhì)：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k；（2）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．3）找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來(lái)，若它們的直線或延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心．4）畫(huà)位似圖形的步驟：（1）確定位似中心；（2）確定原圖形關(guān)鍵點(diǎn)；（3）確定位似比，即將圖形放大或縮小的倍數(shù)；（4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（5）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)．1．在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺(jué)美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（

）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)雕像的下部高為xm，則上部長(zhǎng)為（2x）m，∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，雷鋒雕像為2m，∴

∴（負(fù)值已舍去），即該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是1.24m，故選B．2．如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長(zhǎng)是（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，根據(jù)題意得，∵，∴，又∵，∴.故選C.3．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形的位似圖形﹐已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（

）A．4 B．6 C．16 D．18【答案】D【解析】由題意可知，四邊形與四邊形相似，由兩圖形相似面積比等于相似比的平方可知：，又四邊形的面積是2，∴四邊形的面積為18，故選D．4．下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形都相似；④對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形都相似．【答案】1【解析】所有的正方形都相似，所以①正確；所有的菱形不一定相似，所以②錯(cuò)誤；邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形，形狀不一定相同，即：邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形不一定相似，所以③錯(cuò)誤；對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，即不一定相似，所以④錯(cuò)誤，故答案是1．5．已知，則________．【答案】【解析】設(shè)，則，故，故答案為．6．如圖，在矩形中，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】1【解析】在矩形中，，，∴，，∴，∴，故答案為1．7．如圖，中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，．若，，，則______．【答案】【解析】∵∠1=∠2，∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴，即，∵，，，∴，∴EF=，故答案為．8．如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．(1)若，求線段AD的長(zhǎng)；(2)若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．【解析】(1)∵四邊形BFED是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∴.(2)∵四邊形BFED是平行四邊形，∴，，DE=BF，∴，∴∴，∵，DE=BF，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．9．如圖，四邊形為菱形，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【解析】(1)∵四邊形ABCD為菱形，∴，，，，∵，∴，∴．(2)∵，∴，即，解得．10．如圖所示，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，把小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，矩形OABC的4個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，連接對(duì)角線OB．（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)O為位似中心，把△OAB縮小，作出它的位似圖形，并且使所作的位似圖形與△OAB的相似比等于；（2）將△OAB以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到，作出，并求出線段OB旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所形成扇形的周長(zhǎng)．【解析】（1）位似圖形如圖所示：

（2）作出旋轉(zhuǎn)后圖形，，周長(zhǎng)是．11．魏時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表高”，稱(chēng)為“表距”，和都稱(chēng)為表目距”，和的差稱(chēng)為“表目距的差”，則海島的高（）A．表高B．表高C．表距D．表距【答案】A【解析】根據(jù)題意得：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴表高．故選A.12．如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)H，則的長(zhǎng)等于___________．【答案】【解析】如圖，連接FB，作交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．∵四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，∴，，∵，∴，∴，，∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，即點(diǎn)B為線段EG的中點(diǎn)，又∵F為的中點(diǎn)，∴FB為的中位線，∴，，∴，即是直角三角形，∴．在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．故答案為．13．問(wèn)題提出：如圖（1），中，，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，探究的值．問(wèn)題探究：(1)先將問(wèn)題特殊化．如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的值；(2)再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問(wèn)題拓展：如圖（3），在中，，是的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．直接寫(xiě)出的值（用含的式子表示）．【解析】[問(wèn)題探究]（1）中，，是的中點(diǎn)，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，．（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接．∵是的中點(diǎn)，∴，．∵，∴，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．[問(wèn)題拓展]如圖，取的中點(diǎn)，連接．∵是的中點(diǎn)，∴，．∵，∴，∴．∵，∴．∴．∴．∴．．，，，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．．14．綜合與實(shí)踐【問(wèn)題提出】勾股定理和黃金分割是幾何學(xué)中的兩大瑰寶，其中“黃金分割”給人以美感．課本這樣定義“黃金分割點(diǎn)”：如圖1，點(diǎn)將線段分成兩部分（），若，則稱(chēng)點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，這個(gè)比值稱(chēng)為黃金比．

【初步感知】（1）如圖1，若，求黃金比的值．【類(lèi)比探究】（2）如圖2，在△中，是邊上一點(diǎn)，將△分割成兩個(gè)三角形（），若，則稱(chēng)為△的黃金分割線．①求證：點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)；②若△的面積為4，求△的面積．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在△中，為上的一點(diǎn)（不與，重合），過(guò)作，交于，，相交于，連接并延長(zhǎng)，與，分別交于，．請(qǐng)問(wèn)直線是△的黃金分割線嗎？并說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)，則，由題意，，∴，整理得，解得，（不合題意，舍去），∴，∴．（2）①設(shè)中邊上的高為，∵，∴，∴，∴點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)．②設(shè)的面積為，則的面積為，∵，∴，整理得，解得，（不合題意，舍去），∴的面積為．（3）直線不是的黃金分割線．理由如下：∵，∴，，，，∴，，∴，，∴，即，∴，∴，∴直線不是的黃金分割線．15．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有邑方不知大小，各中開(kāi)門(mén)，出北門(mén)一百步立一表，出西門(mén)二百二十五步適可見(jiàn)之，問(wèn)邑方幾何?”它的意思是：如圖，分別是正方形的邊的中點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)，且步，步，那么該正方形城邑邊長(zhǎng)約為（

）步A．300 B．260 C．225 D．185【答案】A【解析】，，，正方形中，，過(guò)點(diǎn)，，則，，，分別是正方形的邊的中點(diǎn)，設(shè)，，步，步，，即，解得，正方形城邑邊長(zhǎng)步，故選A．16．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：公元前300年前后，歐幾里得撰寫(xiě)的《幾何原本》系統(tǒng)地論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著．黃金分割是指把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大部分的比值．如圖①，在線段上找一個(gè)點(diǎn)C，C把分為和兩段，其中是較小的一段，如果，那么稱(chēng)線段被C點(diǎn)黃金分割，點(diǎn)C叫做線段的黃金分割點(diǎn)，與的比值叫做黃金分割數(shù)．為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)，則．∵，∴……任務(wù)：(1)請(qǐng)根據(jù)上面的部分解題過(guò)程，求黃金分割數(shù)．(2)如圖②，采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：①設(shè)是已知線段，過(guò)點(diǎn)B作且使；②連接，在上截取；③在上截取，則點(diǎn)C即為線段黃金分割點(diǎn)．你能說(shuō)說(shuō)其中的道理嗎？(3)已知線段，點(diǎn)C，D是線段上的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)是．【解析】（1）設(shè)，則．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即黃金分割數(shù)為．（2）能，道理如下：設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)．（3）如圖，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．17．（2023·四川遂寧·中考真題）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖得：，設(shè)直線的解析式為：，將點(diǎn)代入得，解得，∴直線的解析式為：，所在直線與BE所在直線x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為位似中心，∴當(dāng)時(shí)，，∴位似中心的坐標(biāo)為，故選A．18．（2023·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故選C．19．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，，相交于點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】，，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，故選B．20．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在△中，，，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作弧交于點(diǎn)，再分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，連接．以下結(jié)論不正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得，，平分，∵在中，，，∴，∵平分，∴，故A正確；∵平分，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故B正確；∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，解得，∴，∴，故C錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)E作于G，于H，∵平分，，，∴，∴，故D正確，故選C．21．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，在梯形中，點(diǎn)F，E分別在線段，上，且，.(1)求證：；(2)若，求證：.【解析】（1），，在和中，，，．（2），，，即，在和中，，，，由（1）已證：，，．22．（2023?蘇州·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，，，點(diǎn)F在AB上，連接CF并延