北京市西城區(qū)第十三中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末檢測(cè)試題含解析

北京市西城區(qū)第十三中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A.與B.與C.與D.與2．下列關(guān)于函數(shù)的說法不正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.最小正周期是2C.圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱D.圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱3．如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時(shí)間t（單位：月）的關(guān)系為，關(guān)于下列說法不正確的是（）A.浮萍每月的增長(zhǎng)率為2B.浮萍每月增加的面積都相等C.第4個(gè)月時(shí)，浮萍面積超過D.若浮萍蔓延到所經(jīng)過的時(shí)間分別是，、，則4．已知扇形的面積為，扇形圓心角的弧度是，則扇形的周長(zhǎng)為（）A. B.C. D.5．已知集合A. B.C. D.6．已知f（x-1）=2x-5，且f（a）=6，則a等于（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)的上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8．下面各組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，9．函數(shù)f（x）=-x＋tanx（＜x＜）的圖象大致為（）A. B.C. D.10．設(shè)，，，則，，三者的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．給出下列命題：①函數(shù)是偶函數(shù)；②方程是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程；③在銳角中，；④函數(shù)的最小正周期為；⑤函數(shù)的對(duì)稱中心是，，其中正確命題的序號(hào)是________.12．大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速v（單位：）可以表示為，其中L表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù)，當(dāng)一條鮭魚以的速度游動(dòng)時(shí)，它的耗氧量的單位數(shù)為___________.13．從含有兩件正品和一件次品b的3件產(chǎn)品中，按先后順序任意取出兩件產(chǎn)品，每次取出后不放回，取出的兩件產(chǎn)品都是正品的概率為__________.14．寫出一個(gè)定義域?yàn)?，周期為的偶函?shù)________15．函數(shù)的定義域是______________．16．已知函數(shù)是定義在上且以3為周期的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，__________，函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．化簡(jiǎn)與計(jì)算（1）；（2）.18．已知（1）求；（2）若，求.19．設(shè)（1）分別求（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．函數(shù)（，）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為（1）求函數(shù)的解析式以及它的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）是否存在實(shí)數(shù)，滿足不等式？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由21．計(jì)算下列式子的值：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同且對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，逐項(xiàng)判斷即可【詳解】由于函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，所以與不是同一個(gè)函數(shù)，故A錯(cuò)誤；由于的定義域?yàn)?，函?shù)且定義域?yàn)?，所以與是同一函數(shù)，故B正確；在函數(shù)中，，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋诤瘮?shù)中，，解得，所以的定義域?yàn)椋耘c不是同一函數(shù)，故C錯(cuò)誤；由于函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)闉?，所以與不是同一函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：B.2、D【解析】結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，利用整體代換思想依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，A選項(xiàng)正確；由函數(shù)周期公式，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，由于是的對(duì)稱軸，故直線是函數(shù)的對(duì)稱軸，C選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，，由于是的對(duì)稱軸，故不是函數(shù)的中心對(duì)稱，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D.3、B【解析】先利用特殊點(diǎn)求出函數(shù)解析式為，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出正誤【詳解】解：圖象可知，函數(shù)過點(diǎn)，，函數(shù)解析式為，浮萍每月的增長(zhǎng)率為，故選項(xiàng)A正確，函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，是曲線型函數(shù)，浮萍每月增加的面積不相等，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于D選項(xiàng)，，，，，又，，故選項(xiàng)D正確，故選：B4、A【解析】根據(jù)扇形的面積公式和弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，求得弧長(zhǎng)和半徑，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為.由題意：，解得，所以扇形的周長(zhǎng)為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長(zhǎng)和面積公式，屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】由已知，所以考點(diǎn)：集合的運(yùn)算6、B【解析】先用換元法求出，然后由函數(shù)值求自變量即可.【詳解】令，則，可得，即，由題知，解得.故選：B7、C【解析】利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得，二次函數(shù)f（x）在其對(duì)稱軸左側(cè)的圖象下降，由此得到關(guān)于a的不等關(guān)系，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然適合題意，當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上：的取值范圍是故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題8、B【解析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)镽，而的定義域?yàn)?，兩函?shù)的定義域不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B，兩個(gè)函數(shù)的定義域都為R，定義域相同，，這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C，的定義域?yàn)椋亩x域是R，兩個(gè)函數(shù)的定義城不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D，的定義域?yàn)?，而的定義域是R，兩個(gè)的數(shù)的定義域不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù).故選：B.9、D【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除部分選項(xiàng)，再利用特殊值判斷.【詳解】因?yàn)?，所以是奇函?shù)，排除BC，又因?yàn)?，排除A，故選：D10、D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算變形、，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：，，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，且，所以，即，故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①②③【解析】由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得函數(shù)，判斷①正確；求出函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸（），當(dāng)時(shí)，，判斷②正確；在銳角中，由化簡(jiǎn)得到，判斷③正確；直接求出函數(shù)的最小正周期為，判斷④錯(cuò)誤；直接求出函數(shù)的對(duì)稱中心是，判斷⑤錯(cuò)誤.【詳解】①因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故①正確；②因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱軸（），即（），當(dāng)時(shí)，，故②正確；③在銳角中，，即，所以，故③正確；④函數(shù)的最小正周期為，故④錯(cuò)誤；⑤令，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心是，故⑤錯(cuò)誤.故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換，是中檔題.12、8100【解析】將代入，化簡(jiǎn)即可得答案.【詳解】因?yàn)轷q魚的游速v（單位：）可以表示為：，所以，當(dāng)一條鮭魚以的速度游動(dòng)時(shí)，，∴，∴故答案為：8100.13、【解析】基本事件總數(shù)6，取出的兩件產(chǎn)品都是正品包含的基本事件個(gè)數(shù)2，由此能求出取出的兩件產(chǎn)品都是正品的概率.【詳解】從含有兩件正品和一件次品的3件產(chǎn)品中，按先后順序任意取出兩件產(chǎn)品，每次取出后不放回，共包含，，，，，6個(gè)基本事件，取出的兩件產(chǎn)品都是正品包含，2個(gè)基本事件，∴取出的兩件產(chǎn)品都是正品的概率為，故答案為：.14、（答案不唯一）【解析】結(jié)合定義域與周期與奇偶性，寫出符合要求的三角函數(shù)即可.【詳解】滿足定義域?yàn)镽，最小正周期，且為偶函數(shù)，符合要求.故答案為：15、【解析】根據(jù)表達(dá)式有意義列條件，再求解條件得定義域.【詳解】由題知，，整理得解得.所以函數(shù)定義域是.故答案為：.16、①.②.5【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，又函數(shù)是奇函數(shù)，∴故當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，令，得，即，解得，即，又函數(shù)為奇函數(shù)，故可得，且∵函數(shù)是以3為周期的函數(shù)，∴，，又，∴綜上可得函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)為，共5個(gè)答案：，5三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）5【解析】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【小問1詳解】原式=.【小問2詳解】原式.18、（1）（2）【解析】（1）利用誘導(dǎo)公式可得答案；（2）利用誘導(dǎo)公式得到，再根據(jù)的范圍和平方關(guān)系可得答案.小問1詳解】.【小問2詳解】，若，則，所以.19、（1）；或（2）【解析】（1）解不等式，直接計(jì)算集合的交集并集與補(bǔ)集；（2）根據(jù)集合間的計(jì)算結(jié)果判斷集合間關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)取值范圍.【小問1詳解】解：解不等式可得，，所以，或，或；【小問2詳解】解：由可得，且，所以，解得，即.20、（1）（）；（2）【解析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，則，又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（