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福建省福州市鼓樓區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.下列各組角中,兩個角終邊不相同的一組是()A.與 B.與C.與 D.與2.已知集合,集合,則()A. B.C. D.3.下圖是函數(shù)的部分圖象,則()A. B.C. D.4.已知矩形,,,沿矩形的對角線將平面折起,若四點(diǎn)都在同一球面上,則該球面的面積為()A. B.C. D.5.已知函數(shù)若則的值為().A. B.或4C. D.或46.下列命題中是真命題的是()A.“”是“”的充分條件B.“”是“”的必要條件C.“”是“”的充要條件D.“”是“”的充要條件7.集合,則A∩B=()A.[0,2] B.(1,2]C.[1,2] D.(1,+∞)8.已知函數(shù)是奇函數(shù),則A. B.C. D.9.我國古代《九章算術(shù)》里,記載了一個“商功”的例子:今有芻童,下廣二丈,袤三丈,上廣三丈,袤四丈,高三丈.問積幾何?其意思是:今有上下底面皆為長方形的草垛(如圖所示),下底寬2丈,長3丈;上底寬3丈,長4丈;高3丈.問它的體積是多少?該書提供的算法是:上底長的2倍與下底長的和與上底寬相乘,同樣下底長的2倍與上底長的和與下底寬相乘,將兩次運(yùn)算結(jié)果相加,再乘以高,最后除以6.則這個問題中的芻童的體積為A.13.25立方丈 B.26.5立方丈C.53立方丈 D.106立方丈10.已知一個樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5,方差為2,現(xiàn)樣本加入新數(shù)據(jù)4,5,6,此時樣本容量為10,若此時平均數(shù)為,方差為,則()A., B.,C., D.,二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.的值是________12.漏斗作為中國傳統(tǒng)器具而存在于日常生活之中,某漏斗有蓋的三視圖如圖所示,其中俯視圖為正方形,則該漏斗的容積為不考慮漏斗的厚度______,若該漏斗存在外接球,則______.13.一個棱長為2cm的正方體的頂點(diǎn)都在球面上,則球的體積為_______cm3.14.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,其中"方田"章給出了計(jì)算弧田面積時所用的經(jīng)驗(yàn)公式,即弧田面積(弦×矢+矢2),弧田(如圖)由圓弧和其所對弦圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”指圓弧頂?shù)较业木嚯x(等于半徑長與圓心到弦的距離之差),現(xiàn)有圓心角為2,半徑為1米的弧田,按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積是_________平方米.(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字,參考數(shù)據(jù):,)15.函數(shù)恒過定點(diǎn)________.16.已知兩點(diǎn),,以線段為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知函數(shù)滿足:.(1)證明:;(2)對滿足已知的任意值,都有成立,求m的最小值.18.如圖,在△ABC中,A(5,–2),B(7,4),且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上,BC的中點(diǎn)N在x軸上(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)求△ABC的面積19.若實(shí)數(shù),,滿足,則稱比遠(yuǎn)離.(1)若比遠(yuǎn)離,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,,試問:與哪一個更遠(yuǎn)離,并說明理由.20.已知函數(shù)為奇函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)的值,判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義證明;(2)求關(guān)于的不等式的解集21.已知函數(shù),函數(shù)為R上的奇函數(shù),且.(1)求的解析式:(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,并用定義給予證明:(3)若的定義域?yàn)闀r,求關(guān)于x的不等式的解集.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】由終邊相同的角的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對于A,因?yàn)椋耘c終邊相同;對于B,因?yàn)?,所以與終邊相同;對于C,因?yàn)?,所以與終邊相同;對于D,若,解得,所以與終邊不同.故選:D.2、C【解析】解不等式求出集合A中的x的范圍,然后求出A的補(bǔ)集,再與集合B求交集即可.【詳解】集合,則集合,,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】由圖象求出函數(shù)的周期,進(jìn)而可得的值,然后逆用五點(diǎn)作圖法求出的值即可求解.【詳解】解:由圖象可知,函數(shù)的周期,即,所以,不妨設(shè)時,由五點(diǎn)作圖法,得,所以,所以故選:B.4、C【解析】矩形ABCD,AB=6,BC=8,矩形的對角線AC=10為該球的直徑,所以該球面的面積為.故選C.5、B【解析】利用分段討論進(jìn)行求解.【詳解】當(dāng)時,,(舍);當(dāng)時,,或(舍);當(dāng)時,,;綜上可得或.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的求值問題,側(cè)重考查分類討論的意識.6、B【解析】利用充分條件、必要條件的定義逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)槭羌螦的子集,故“”是“”的必要條件,故選項(xiàng)A為假命題;當(dāng)時,則,所以“”是“”的必要條件,故選項(xiàng)B為真命題;因?yàn)槭巧系臏p函數(shù),所以當(dāng)時,,故選項(xiàng)C為假命題;取,,但,故選項(xiàng)D為假命題.故選:B.7、B【解析】先求出集合A,B,再求兩集合的交集即可【詳解】解:由,得,所以,由于,所以,所以,所以,故選:B8、A【解析】由函數(shù)的奇偶性求出,進(jìn)而求得答案【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),所以,即,則,故.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】根據(jù)題目給出的體積計(jì)算方法,將幾何體已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算,求得幾何體體積【詳解】由題,芻童的體積為立方丈【點(diǎn)睛】本題考查幾何體體積的計(jì)算,正確利用題目條件,弄清楚問題本質(zhì)是關(guān)鍵10、B【解析】設(shè)這10個數(shù)據(jù)分別為:,進(jìn)而根據(jù)題意求出和,進(jìn)而再根據(jù)平均數(shù)和方差的定義求得答案.【詳解】設(shè)這10個數(shù)據(jù)分別為:,根據(jù)題意,,所以,.故選:B.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值求解.【詳解】解:故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值,解答的關(guān)鍵是熟練記憶公式,屬于基礎(chǔ)題.12、①.②.0.5【解析】先將三視圖還原幾何體,然后利用長方體和錐體的體積公式求解容積即可;設(shè)該漏斗外接球的半徑為,設(shè)球心為,利用,列式求解的值即可.【詳解】由題中的三視圖可得,原幾何體如圖所示,其中,,正四棱錐的高為,,,所以該漏斗的容積為;正視圖為該幾何體的軸截面,設(shè)該漏斗外接球的半徑為,設(shè)球心為,則,因?yàn)?,又,所以,整理可得,解得,所以該漏斗存在外接球,則故答案為:①;②.13、【解析】因?yàn)橐粋€正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長為2,所以正方體的外接球的直徑就是正方體的對角線的長度:2所以球的半徑為:所求球的體積為=故答案為:14、【解析】由題設(shè)可得“弦”為,“矢”為,結(jié)合弧田面積公式求面積即可.【詳解】由題設(shè),“弦”為,“矢”為,所以所得弧田面積是.故答案為:.15、【解析】根據(jù)函數(shù)圖象平移法則和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】將的圖象現(xiàn)左平移1個單位,再向下平移2個單位,可得到的圖象,因?yàn)榈膱D象恒過定點(diǎn),所以恒過定點(diǎn),故答案為:16、【解析】由以線段為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),則可得,求得參數(shù)的值,然后由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求所求圓的圓心,用兩點(diǎn)距離公式求所求圓的直徑,再運(yùn)算即可.【詳解】解:由題意有,,又以線段為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),則,則,解得,即,則的中點(diǎn)坐標(biāo)為,即為,又,即該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)及以兩定點(diǎn)為直徑的圓的方程的求法,重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)由二次不等式恒成立,可得判別式小于等于0,化簡即可得證;(2)由(1)可得,分別討論或,運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性,可求得所求的最小值.【詳解】(1)證明:.即恒成立.則,化簡得;(2)由(1)得,當(dāng)時,,令,則,令在上單調(diào)遞增,所以,所以;當(dāng)時,,所以,此時或0,,從而有,綜上可得,m的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:本題考查不等式的證明,以及不等式恒成立問題,常運(yùn)用參變分離的方法,運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性,最值的方法得以解決.18、(1)(–5,–4)(2)【解析】(1)設(shè)點(diǎn),根據(jù)題意寫出關(guān)于的方程組,得到點(diǎn)坐標(biāo);(2)由兩點(diǎn)間距離公式求出,再由兩點(diǎn)得到直線的方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式,求出點(diǎn)到的距離,由三角形面積公式得到答案.【詳解】(1)由題意,設(shè)點(diǎn),根據(jù)AC邊的中點(diǎn)M在y軸上,BC的中點(diǎn)N在x軸上,根據(jù)中點(diǎn)公式,可得,解得,所以點(diǎn)的坐標(biāo)是(2)因?yàn)?,得,所以直線的方程為,即,故點(diǎn)到直線的距離,所以的面積【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式,兩點(diǎn)間距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式,屬于簡單題.19、(1);(2)比更遠(yuǎn)離,理由見解析.【解析】(1)由絕對值的幾何意義可得,即可求的取值范圍;(2)只需比較大小,討論、分別判斷代數(shù)式的大小關(guān)系,即知與哪一個更遠(yuǎn)離.【小問1詳解】由比遠(yuǎn)離,則,即.∴或,得:或.∴的取值范圍是.【小問2詳解】因?yàn)?,有,因?yàn)椋詮亩佼?dāng)時,,即;②當(dāng)時,,又,則∴,即綜上,,即比更遠(yuǎn)離20、(1),函數(shù)為R上的增函數(shù),證明見解析(2)【解析】(1)f(x)是R上奇函數(shù),則f(0)=0,即可求出a;設(shè)R,且,作差化簡判斷大小關(guān)系,根據(jù)單調(diào)性的定義即可判斷單調(diào)性;(2),根據(jù)(1)中單調(diào)性可去掉“f”,將問題轉(zhuǎn)化為解三角不等式.【小問1詳解】∵的定義域是R且是奇函數(shù),∴,即.為R上的增函數(shù),證明如下:任取R,且,則,∴為增函數(shù),,∴∴,∴,即,∴在R上是增函數(shù)【小問2詳解】∵,,又在R上是增函數(shù),,
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