2025屆廣東省顏錫祺中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

2025屆廣東省顏錫祺中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)是橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓上存在不同兩點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，則|MA|+|MF|的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.63．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，4．已知雙曲線右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A.2 B.C. D.5．下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.6．兩個(gè)圓和的位置是關(guān)系是（）A.相離 B.外切C.相交 D.內(nèi)含7．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知，，的面積為，則（）A. B.C. D.8．已知F是拋物線的焦點(diǎn)，直線l是拋物線的準(zhǔn)線，則F到直線l的距離為（）A.2 B.4C.6 D.89．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，且滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.10．某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，則抽取的3人中，女教師最多為1人的選法種數(shù)為（）A.10 B.30C.40 D.4611．從集合中任取兩個(gè)不同元素，則這兩個(gè)元素相差的概率為（）A. B.C. D.12．設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數(shù)列的公差，是其前n項(xiàng)和，給出下列命題：若，且，則和都是中的最大項(xiàng)；給定n，對(duì)于一些，都有；存在使和同號(hào)；.其中正確命題的序號(hào)為___________.14．已知數(shù)列滿足，，則_____________.15．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________16．已知、均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：，右焦點(diǎn)為F(，0)，且離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，且直線MN與圓O：相切，若T為弦MN的中點(diǎn)，求|OT||MN|的取值范圍18．（12分）如圖，在直三棱柱中，，是中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到平面的的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值；19．（12分）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且（1）求證；、、成等差數(shù)列；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.（1）當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；（2）是否存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面所成的二面角的余弦值為，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，說(shuō)明理由.21．（12分）如圖，在四棱錐中，面ABCD，，且，，，，，N為PD的中點(diǎn).（1）求證：平面PBC；（2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限；（1）若直線的斜率為，求的值；（2）求線段的長(zhǎng)度的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先設(shè)點(diǎn)，利用向量關(guān)系得到兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，代入方程，消去即得，根據(jù)題意，構(gòu)建的齊次式，解不等式即得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由得，，，即，由在橢圓上，故，即，消去得，，根據(jù)橢圓上點(diǎn)滿足，又兩點(diǎn)不同，可知，整理得，故，故.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：圓錐曲線中離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)題中條件，結(jié)合曲線性質(zhì)，找到一組等量關(guān)系（齊次式），進(jìn)而求解離心率或范圍.2、B【解析】作出圖象，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，結(jié)合圖形可得當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)M，A，H共線時(shí)|MA|+|MH|最小，求解即可【詳解】過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，由拋物線的定義可知|MF|＝|MH|，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為|MA|+|MH|的最小值，結(jié)合圖形可得當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)M，A，H共線時(shí)|MA|+|MH|最小，其最小值為.故選：B3、B【解析】由空間向量?jī)?nèi)容知，構(gòu)成基底的三個(gè)向量不共面，對(duì)選項(xiàng)逐一分析【詳解】對(duì)于A：，因此A不滿足題意；對(duì)于B：根據(jù)題意知道，，不共面，而和顯然位于向量和向量所成平面內(nèi)，與向量不共面，因此B正確；對(duì)于C：，故C不滿足題意；對(duì)于D：顯然有，選項(xiàng)D不滿足題意.故選：B4、B【解析】，得出到漸近線的距離為，由此可得的關(guān)系，從而求得離心率【詳解】因?yàn)?，而，所以是等邊三角形，到直線的距離為，又，漸近線方程取，即，所以，化簡(jiǎn)得故選：B5、C【解析】焦點(diǎn)在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點(diǎn)：1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)6、C【解析】根據(jù)圓的方程得出兩圓的圓心和半徑，再得出圓心距離與兩圓的半徑的關(guān)系，可得選項(xiàng).【詳解】圓的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，則，所以兩圓的位置是關(guān)系是相交，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于運(yùn)用判定兩圓的位置關(guān)系一般利用幾何法.即比較圓心之間的距離與半徑之和、之差的大小關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】利用面積公式，求出，進(jìn)而求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出【詳解】由面積公式得：，因?yàn)榈拿娣e為，所以，求得：因，所以由余弦定理得：所以由正弦定理得：，即，解得：故選：C8、B【解析】根據(jù)拋物線定義即可求解【詳解】由得，所以F到直線l的距離為故選：B9、C【解析】由空間向量共面定理可得點(diǎn)四點(diǎn)共面，從而將求的最小值轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離，再根據(jù)等體積法計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，由空間向量的共面定理可知，點(diǎn)四點(diǎn)共面，即點(diǎn)在平面上，所以的最小值為點(diǎn)到平面的距離，由正方體棱長(zhǎng)為，可得是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則，，由等體積法得，，所以，所以的最小值為.故選：C【點(diǎn)睛】共面定理的應(yīng)用：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任意一點(diǎn)，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組使得，說(shuō)明：若，則四點(diǎn)共面.10、C【解析】可分為女教師0人，男教師3人和女教師1人，男教師2人兩種情況，用組合數(shù)表示計(jì)算即得解【詳解】女教師最多為1人即女教師為0人或者1人若女教師為0人，則男教師有3人，有種選擇；若女教師為1人，則男教師2人，有種選擇；故女教師最多為1人的選法種數(shù)為種故選：C11、B【解析】一一列出所有基本事件，然后數(shù)出基本事件數(shù)和有利事件數(shù)，代入古典概型的概率計(jì)算公式，即可得解.【詳解】解：從集合中任取兩個(gè)不同元素的取法有、、、、、共6種，其中滿足兩個(gè)元素相差的取法有、、共3種.故這兩個(gè)元素相差的概率為.故選：B.12、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，故所求切線的傾斜角為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】對(duì)，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性和可判斷；對(duì)和，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可直接推導(dǎo)；對(duì)，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和可直接推導(dǎo).【詳解】不妨設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為對(duì)，，可得：，解得：，即又，則是遞減的，則中的前5項(xiàng)均為正數(shù)，所以和都是中的最大項(xiàng)，故正確；對(duì)，，故有：，故正確；對(duì)，，又，則，說(shuō)明不存在使和同號(hào)，故錯(cuò)誤；對(duì)，有：故并不是恒成立的，故錯(cuò)誤故答案為：14、【解析】由題設(shè)可得，應(yīng)用累加法有，結(jié)合已知即可求.【詳解】由題設(shè)，，所以，又，所以.故答案為：.15、【解析】求導(dǎo)易得函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，根據(jù)題意，由求解.【詳解】由，可得函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，，，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，必有解得或故答案為：16、【解析】由基本不等式可得出關(guān)于的不等式，即可解得的最小值.【詳解】因、均為正實(shí)數(shù)，由基本不等式可得，整理可得，，，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由題可得，即求；（2）當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)?，易求，當(dāng)直線MN斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：，利用直線與圓相切可得，再聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理求得，然后利用基本不等式即得.【小問(wèn)1詳解】由題可得，∴??=2，??=∴橢圓C的方程為：；小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線MN斜率為0時(shí)，不妨取直線MN為??=，則，此時(shí)，則；當(dāng)直線MN斜率不存在，不妨取直線MN為x=，則，此時(shí)，則；當(dāng)直線MN斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：，，因?yàn)橹本€MN與圓相切，所以，即，又因?yàn)橹本€MN與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)：由，得，則，所以MN中點(diǎn)T坐標(biāo)為，則，，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，∴|OT||MN|；綜上所述：|OT|?|MN|的取值范圍為[，3].18、（1）（2）【解析】（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量為，再利用公式計(jì)算即可；（2）易得平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，再利用計(jì)算即可小問(wèn)1詳解】解：（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系所以因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則有，得，令則，所以可以取，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的的距離的距離為；【小問(wèn)2詳解】（2）因?yàn)槠矫妫∑矫娴姆ㄏ蛄繛樵O(shè)平面與平面的夾角為，所以平面與平面夾角的余弦值19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，可求得的值，即可證得結(jié)論成立；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，結(jié)合余弦定理可求得的值，進(jìn)而可求得的周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】證明：由正弦定理及，得，所以，，所以，，，則，所以，，又，，，因此，、、成等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】解：，，又，，故的周長(zhǎng)為.20、（1）（2）存在，A1P=【解析】（1）作出線面角，因?yàn)閷?duì)邊為定值，所以鄰邊最小時(shí)線面角最大；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求二面角列方程可得.【小問(wèn)1詳解】直線PN與平面A1B1C1所成的角即為直線PN與平面ABC所成角，過(guò)P作,即PN與面ABC所成的角，因?yàn)镻H為定值，所以當(dāng)NH最小時(shí)線面角最大，因?yàn)楫?dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，,此時(shí)NH最小，即PN與平面ABC所成角最大，此時(shí).【小問(wèn)2詳解】以AB,AC,AA1為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系，則：A（0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)設(shè)=，，，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，解得，平面AC1C的法向量為,.所以P點(diǎn)為A1B1的四等分點(diǎn)，且A1P=.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，且【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）設(shè)，利用直線與平面所成角的正弦值列方程，化簡(jiǎn)求得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，所以四邊形是矩形，所以，由于平面，所以，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，且平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】，設(shè)，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）.所以存在，使