串講04 第4章 數(shù)列（考點串講）-2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中考點大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊） 課件

蘇教版(2019)選擇性必修第一冊數(shù)學

期中考點大串講串講

04第4章數(shù)列考場練兵典例剖析010203目

錄考點透視01考點透視考點1.數(shù)列的概念

1．定義：按照確定的________排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．2．項：數(shù)列中的__________叫做這個數(shù)列的項．數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號______表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用______表示……第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用______表示．其中第1項也叫做________．3．記法：數(shù)列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡記為{an}．順序每一個數(shù)a1

a2

an首項考點2.數(shù)列的分類

1．按項的個數(shù)分類類別含義有窮數(shù)列__________的數(shù)列無窮數(shù)列__________的數(shù)列2．按項的變化趨勢分類類別含義遞增數(shù)列從第2項起，每一項都______它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都______它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項________的數(shù)列項數(shù)有限項數(shù)無限大于小于都相等考點3.數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與它的________之間的對應關系可以用__________來表示，那么這個________叫做這個數(shù)列的通項公式．序號n

一個式子式子考點4.數(shù)列的遞推公式

如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用__________來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式．一個式子考點5.數(shù)列的前n項和

1．定義：把數(shù)列{an}從第____項起到第____項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝________________．2．數(shù)列的前n項和公式(1)如果數(shù)列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關系可以用__________來表示，那么____________叫做這個數(shù)列的前n項和公式；1

na1＋a2＋…＋an一個式子這個式子a1＋a2＋…＋an－1

Sn－Sn－1考點6.等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于________常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的______，通常用字母____表示．同一個公差d考點7.等差中項

由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時，A叫做a與b的等差中項，根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝________．a＋b任何兩個數(shù)都有等差中項嗎？提示：任何兩個數(shù)都有等差中項．考點8.等差數(shù)列的通項公式

已知等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d．遞推公式通項公式________＝d(n≥2)an＝__________(n∈N*)an－an－1

a1＋(n－1)d

考點9.等差數(shù)列的性質性質1通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)性質2若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an考點9.等差數(shù)列的性質性質3若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d性質4若{an}，{bn}分別是以d1，d2為公差的等差數(shù)列，則{pan＋qbn}是以pd1＋qd2為公差的等差數(shù)列性質5若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)組成公差為md的等差數(shù)列性質6若ap＝q，aq＝p，則ap＋q＝0性質7有窮等差數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項之和都相等，都等于首末兩項之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…性質8若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差為d，則{λan＋m}(λ，m為常數(shù))是公差為λd的等差數(shù)列考點10.等差數(shù)列的前n項和公式

已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)選用公式Sn＝________Sn＝________________考點11.等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于____________，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的______，通常用字母______表示(q≠0)．同一個常數(shù)公比q

考點12.等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成__________，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝______．等比數(shù)列ab考點12.等比中項任何兩個非零實數(shù)都有等比中項嗎？提示：不一定，當兩個實數(shù)同號時才有等比中項，異號時不存在等比中項．知識點三等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q(q≠0)，則通項公式為an＝a1qn－1．

考點13.

am·an＝ap·aqqn－m

qk考點14.等比數(shù)列的前n項和公式已知量首項a1與公比q首項a1，末項an與公比q公式Sn＝_________________Sn＝________________考點142．若等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比數(shù)列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不為0)．3．Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm．考點15.數(shù)學歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n＝n0(n0∈N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)以“當n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當n＝k＋1時命題也成立”．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學歸納法．02典例透析考點1解(5)是有窮數(shù)列；(1)(2)(3)(4)(6)是無窮數(shù)列；(2)是遞增數(shù)列；(1)(4)(5)是遞減數(shù)列；(3)是常數(shù)列．考點2.數(shù)列的表示方法

寫出下列數(shù)列的前5項，并作出它們的圖象：(1)按從小到大的順序排列的所有素數(shù)構成的數(shù)列；解：前5項為2，3，5，7，11，函數(shù)圖象如圖①所示．(2)an＝－n＋1．解：前5項為0，－1，－2，－3，－4，函數(shù)圖象如圖②所示．考點3考點3.寫出數(shù)列的通項公式考點3.寫出數(shù)列的通項公式(3)9，99，999，9999．解：各項加1后，變?yōu)?0，100，1000，10000，此數(shù)列的通項公式為10n，可得原數(shù)列的一個通項公式為an＝10n－1，n∈N*．考點4.數(shù)列通項公式的應用2．在數(shù)列{an}中，a1＝2，a17＝66，通項公式an是n的一次函數(shù)．(1)求{an}的通項公式；(2)判斷2022是不是數(shù)列{an}中的項？解：令an＝2022，即4n－2＝2022，解得n＝506，∵506∈N*，∴2022是數(shù)列{an}中的項．考點5.考點6.由遞推公式求數(shù)列的通項公式【例6】

(1)對于任意數(shù)列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．試根據(jù)這一結論，完成問題：已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，求通項an；解當n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)a1＝1也符合上式，所以數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n－1，n∈N*．考點7.利用Sn與an的關系求通項公式已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，根據(jù)條件求an．(1)Sn＝2n2＋3n＋2；解：當n＝1時，a1＝S1＝7，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，又a1＝7不適合上式，

(2)Sn＝3n－1．解：當n＝1時，a1＝S1＝2，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，顯然a1＝2適合上式，所以an＝2×3n－1(n∈N*)．考點8.等差數(shù)列的通項公式及其應用10

(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，則公差d＝________；(3)已知{an}的前3項依次為2，6，10，則a15＝________．解析：由題意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，∴a15＝4×15－2＝58．58考點9.等差中項的應用【例題9】已知m和2n的等差中項是4，2m和n的等差中項是5，則m和n的等差中項是

(

)A．2 B．3C．6 D．9B

考點10.等差數(shù)列的證明考點11.等差數(shù)列的探究

考點11.an＝am＋(n－m)d的應用已知{bn}為等差數(shù)列，若b3＝－2，b10＝12，則b8＝________．解析：法一：∵{bn}為等差數(shù)列，∴可設其公差為d，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8．∴b8＝2×8－8＝8．8考點12.等差數(shù)列性質的應用(2)已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么數(shù)列{an＋bn}的第37項為

(

)A．0 B．37C．100 D．－37解析設等差數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，則(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以數(shù)列{an＋bn}仍然是等差數(shù)列．又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100．C考點13.等差數(shù)列中項的設法考點14.等差數(shù)列的實際應用假設某市2021年新建住房400萬平方米，預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬平方米．那么該市在________年新建住房的面積開始大于820萬平方米．2030考點15.求{|an|}的前n項和D

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－5n＋2，則數(shù)列{|an|}的前10項和為 (

)A．56

B．58C．62 D．60考點16.等差數(shù)列前n項和最值的判斷

B

考點17.等差數(shù)列前n項和最值的計算

考點17.等差數(shù)列前n項和最值的計算(2)求Tn及Tn的最小值．考點18.等差數(shù)列求和的實際應用某地去年9月份曾發(fā)生流感，據(jù)統(tǒng)計，9月1日該地區(qū)流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人數(shù)比前一天新感染者人數(shù)增加40．從9月11日起，該地區(qū)醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到有效控制，每天的新感染者人數(shù)比前一天的新感染者人數(shù)減少10．(1)分別求出該地區(qū)在9月10日和9月11日這兩天的流感病毒的新感染者人數(shù)；解：由題意，知該地區(qū)9月份前10天每天新感染者人數(shù)構成一個首項a1＝40，公差d＝40的等差數(shù)列{an}，所以9月10日的新感染者人數(shù)為a10＝40＋(10－1)×40＝400．從9月11日起，每天的新感染者人數(shù)比前一天的新感染者人數(shù)減少10，所以9月11日的新感染者人數(shù)為400－10＝390．考點18.等差數(shù)列求和的實際應用

(2)該地區(qū)9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？9月份后20天每天新感染者人數(shù)構成一個首項b1＝390，公差d1＝－10的等差數(shù)列{bn}，又b20＝390－10×19＝200，所以該地區(qū)9月份流感病毒的新感染者共有2200＋5900＝8100(人)．考點19.等比數(shù)列中的基本運算

C

考點20.等比中項在等比數(shù)列{an}中，a1＝－16，a4＝8，則a7＝ (

)A．－4 B．±4C．－2 D．±2A

考點21.等比數(shù)列的判定與證明已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，an＋1＝2an＋4．證明：數(shù)列{an＋4}是等比數(shù)列．證明：∵a1＝－2，∴a1＋4＝2．∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，∴{an＋4}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．考點22.＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5．(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解根據(jù)等比數(shù)列的性質，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10．考點23.等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應用題型二等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應用【例2】已知{an}為等差數(shù)列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12．(1)求{an}的通項公式；(2)記{an}的前n項和為Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值．即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6．

考點24.等比數(shù)列的實際應用

畫一個邊長為2的正方形，再以這個正方形的一條對角線為邊畫第2個正方形，以第2個正方形的一條對角線為邊畫第3個正方形，……，這樣共畫了10個正方形，則第10個正方形的面積等于________．2048考點25.等比數(shù)列前n項和公式的基本運算【例25】在等比數(shù)列{an}中．(1)若S2＝30，S3＝155，求Sn；考點25.等比數(shù)列前n項和公式的基本運算(3)若a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q．解因為a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的兩個根．考點26.等比數(shù)列連續(xù)n項和的性質一個等比數(shù)列的首項是1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求此數(shù)列的公比和項數(shù)．解：法一：設該等比數(shù)列為{an}，公比為q，項數(shù)為2n(n∈N*)．考點27.等比數(shù)列前n項和公式的實際應用一個熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘內，它上升的高度都是它在前一分鐘內上升高度的80%．這個熱氣球上升的高度能超過125m嗎？解：用an表示熱氣球在第n分鐘內上升的高度，即這個熱氣球上升的高度不可能超過125m．考點28.所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5．因為bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以數(shù)列{bn}是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*．考點28.(2)求{an}的前20項和．所以k∈N*時，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，

①a2k＋1＝a2k＋2，

②a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，

③所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，又a2＝2，所以數(shù)列{an}的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列．考點29.并項轉化法求和求和12－22＋32－42＋…＋992－1002．解：12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5050．考點30.裂項相消法求和整理得(an＋1＋an)(an＋1－an)＝2(an＋1＋an)，因為an＋1＋an≠0，所以an＋1－an＝2，故數(shù)列{an}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以an＝2n－1．考點31.(1)求{an}和{bn}的通項公式；解設{an}的公比為q，則an＝qn－1．考點31.考點32.

考點32.上式表明當n＝k＋1時，命題也成立．由(1)(2)知，命題對任何n∈N*均成立．那么當n＝k＋1時，考點33.證明(1)當n＝2時，(2)假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時不等式成立，即考點33.則當n＝k＋1時，所以當n＝k＋1時不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式對一切n≥2，n∈N*均成立．考點34.

考點34.(2)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項公式，并且用數(shù)學歸納法證明你的猜想．下面用數(shù)學歸納法證明．03考場練兵

B

D3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝

(

)A．5 B．8C．10 D．14解析：法一：設等差數(shù)列的公差為d，則a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8．法二：由等差數(shù)列的性質可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8．B

B

C

5.《九章算術》一書中有如下問題：今有女子善織，日增等尺，七日織28尺，第二日，第五日，第八日所織之和為15尺，則第十五日所織尺數(shù)為

(

)A．13 B．14C．15 D．16解析：由題意可知，每日所織數(shù)量構成等差數(shù)列{an}，且a2＋a5＋a8＝15，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝28，設公差為d，由a2＋a5＋a8＝15，得3a5＝15，所以a5＝5，由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝28，得a4＝4，則d＝a5－a4＝1，所以a15＝a5＋10d＝5＋10×1＝15．6.若數(shù)列{an}的通項公式是an＝2(n＋1)＋3，則此數(shù)列

(

)A．是公差為2的等差數(shù)列B．是公差為3的等差數(shù)列C．是公差為5的等差數(shù)列D．不是等差數(shù)列解析：an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差為2的等差數(shù)列．A

7．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9＝

(

)A．63 B．45C．36 D．27B

解析：由等差數(shù)列前n項和的性質可知，S3，S6－S3，S9－S6構成等差數(shù)列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9＝3S6－3S3，又S3＝9，S6＝36，所以S9＝3×36－3×9＝81，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝81－36＝45．B

8．已知數(shù)列{2n－19}，那么這個數(shù)列的前n項和Sn

(

)A．有最大值且是整數(shù)

B．有最小值且是整數(shù)C．有最大值且是分數(shù)

D．無最大值和最小值9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，則此數(shù)列的通項公式an＝ (

)A．n2＋1 B．n＋1C．1－n D．3－nD

解析：由題意得an＋1－an＝－1．∴當n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋當n＝1時，