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2024屆山西省太原市四十八中高三第二次診斷性考試數(shù)學(xué)試題(2020眉山二診)注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,則的值為()A.2 B.3 C.4 D.2.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成,則這個(gè)幾何體的表面積是()A. B. C. D.3.若,,則的值為()A. B. C. D.4.要得到函數(shù)的圖像,只需把函數(shù)的圖像()A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的的值是()A.8 B.32 C.64 D.1286.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為,且,則()A. B. C. D.7.已知,,,,則()A. B. C. D.8.在鈍角中,角所對(duì)的邊分別為,為鈍角,若,則的最大值為()A. B. C.1 D.9.已知雙曲線,點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),若圓與雙曲線的右支沒(méi)有公共點(diǎn),則雙曲線的離心率取值范圍是().A. B. C. D.10.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.11.函數(shù)f(x)=的圖象大致為()A. B.C. D.12.已知復(fù)數(shù)z,則復(fù)數(shù)z的虛部為()A. B. C.i D.i二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的焦點(diǎn)為,其準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn),過(guò)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),若,則直線的斜率________.14.已知半徑為的圓周上有一定點(diǎn),在圓周上等可能地任意取一點(diǎn)與點(diǎn)連接,則所得弦長(zhǎng)介于與之間的概率為_(kāi)_________.15.如圖,直線是曲線在處的切線,則________.16.已知的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)分別為135與,則展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)之和為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)求證:在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且;(2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求證:.18.(12分)已知x,y,z均為正數(shù).(1)若xy<1,證明:|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy?2yz?2xz的最小值.19.(12分)已知在等比數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列前項(xiàng)的和.20.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)如果對(duì)所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知數(shù)列中,,且,若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:.21.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍22.(10分)已知,且滿足,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
因?yàn)閷⒑瘮?shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】將函數(shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,又和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,由,得,,即,又,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據(jù)圖象對(duì)稱求參數(shù),解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象的特征,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
畫(huà)出直觀圖,由球的表面積公式求解即可【詳解】這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示,它是由一個(gè)正方體中挖掉個(gè)球而形成的,所以它的表面積為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計(jì)算,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.3、A【解析】
取,得到,取,則,計(jì)算得到答案.【詳解】取,得到;取,則.故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,取和是解題的關(guān)鍵.4、A【解析】
運(yùn)用輔助角公式將兩個(gè)函數(shù)公式進(jìn)行變形得以及,按四個(gè)選項(xiàng)分別對(duì)變形,整理后與對(duì)比,從而可選出正確答案.【詳解】解:.對(duì)于A:可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換,考查了輔助角公式.本題的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè),一個(gè)是混淆了已知函數(shù)和目標(biāo)函數(shù);二是在平移時(shí),忘記乘了自變量前的系數(shù).5、C【解析】
根據(jù)給定的程序框圖,逐次計(jì)算,結(jié)合判斷條件,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行上述程序框圖,可得第1次循環(huán),滿足判斷條件,;第2次循環(huán),滿足判斷條件,;第3次循環(huán),滿足判斷條件,;第4次循環(huán),滿足判斷條件,;不滿足判斷條件,輸出.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出,其中解答中認(rèn)真審題,逐次計(jì)算,結(jié)合判斷條件求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
令,求出在的對(duì)稱軸,由三角函數(shù)的對(duì)稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令,得,即對(duì)稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對(duì)稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,將以上各式相加得:故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點(diǎn)是將所求的式子拆分為的形式.7、D【解析】
令,求,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【詳解】時(shí),令,求導(dǎo),,故單調(diào)遞增:∴,當(dāng),設(shè),,又,,即,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小,考查了構(gòu)造函數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.8、B【解析】
首先由正弦定理將邊化角可得,即可得到,再求出,最后根據(jù)求出的最大值;【詳解】解:因?yàn)?,所以因?yàn)樗?,即,,時(shí)故選:【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用,余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.9、B【解析】
先求出雙曲線的漸近線方程,可得則直線與直線的距離,根據(jù)圓與雙曲線的右支沒(méi)有公共點(diǎn),可得,解得即可.【詳解】由題意,雙曲線的一條漸近線方程為,即,∵是直線上任意一點(diǎn),則直線與直線的距離,∵圓與雙曲線的右支沒(méi)有公共點(diǎn),則,∴,即,又故的取值范圍為,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系,以及兩平行線間的距離公式,其中解答中根據(jù)圓與雙曲線的右支沒(méi)有公共點(diǎn)得出是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
由題中垂直關(guān)系,可得漸近線的方程,結(jié)合,構(gòu)造齊次關(guān)系即得解【詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直.∴雙曲線的漸近線方程為.,得.則離心率.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11、D【解析】
根據(jù)函數(shù)為非偶函數(shù)可排除兩個(gè)選項(xiàng),再根據(jù)特殊值可區(qū)分剩余兩個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閒(-x)=≠f(x)知f(x)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱,排除選項(xiàng)B,C.又f(2)==-<0.排除A,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱性及特值法區(qū)分函數(shù)圖象,屬于中檔題.12、B【解析】
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出【詳解】,則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo),由,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算得,直線方程為,代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得,,從而可求得,得斜率.【詳解】由得,即聯(lián)立得解得或,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交,考查向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元,應(yīng)用韋達(dá)定理是解決直線與拋物線相交問(wèn)題的常用方法.14、【解析】在圓上其他位置任取一點(diǎn)B,設(shè)圓半徑為R,其中滿足條件AB弦長(zhǎng)介于與之間的弧長(zhǎng)為?2πR,則AB弦的長(zhǎng)度大于等于半徑長(zhǎng)度的概率P==;故答案為:.15、.【解析】
求出切線的斜率,即可求出結(jié)論.【詳解】由圖可知直線過(guò)點(diǎn),可求出直線的斜率,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與曲線的切線的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.16、64【解析】
由題意先求得的值,再令求出展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和.【詳解】的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)分別為135與,,,由兩式可組成方程組,解得或,令,求得展開(kāi)式中所有的系數(shù)之和為.故答案為:64【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理,考查了賦值法求多項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)和,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
(1)利用求導(dǎo)數(shù),判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,然后再證異號(hào),即可證明結(jié)論;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,分離參數(shù)只需時(shí),恒成立,設(shè)(),需,根據(jù)(1)中的結(jié)論先求出,再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)法,證明即可.【詳解】(1),令,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),則,所以在區(qū)間上是增函數(shù).又因?yàn)椋?,所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且.(2)由題意,在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),恒成立,設(shè)(),所以.由(1)可知,,使,所以,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由此在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以.又因?yàn)?,所以,從而,所?令,,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),所以,故.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)、極值最值、不等式的證明,分離參數(shù)是解題的關(guān)鍵,意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于較難題.18、(1)證明見(jiàn)解析;(2)最小值為1【解析】
(1)利用基本不等式可得,再根據(jù)0<xy<1時(shí),即可證明|x+z|?|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,從而求出2xy?2yz?2xz的最小值.【詳解】(1)證明:∵x,y,z均為正數(shù),∴|x+z|?|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z時(shí)取等號(hào).又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)∵=,即.∵,,,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z=1時(shí)取等號(hào),∴,∴xy+yz+xz≥3,∴2xy?2yz?2xz=2xy+yz+xz≥1,∴2xy?2yz?2xz的最小值為1.【點(diǎn)睛】本題考查了利用綜合法證明不等式和利用基本不等式求最值,考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬中檔題.19、(1)(2)【解析】
(1)由基本量法,求出公比后可得通項(xiàng)公式;(2)求出,用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】解:(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為又因?yàn)?,所以解得(舍)或所以,即?)據(jù)(1)求解知,,所以所以【點(diǎn)睛】本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查裂項(xiàng)相消法求和.解題方法是基本量法.基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法,務(wù)必掌握.20、(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見(jiàn)解析.【解析】
(Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)﹣ax,先求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,,,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明:,通過(guò)換元法或數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞),,當(dāng)時(shí),f′(x)<2,當(dāng)時(shí),f′(x)>2,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(Ⅱ)設(shè),則,因?yàn)閤≥2,故,(ⅰ)當(dāng)a≥1時(shí),1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,而g(2)=2,所以對(duì)所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)當(dāng)1<a<1時(shí),2<1﹣a<1,若,則g′(x)>2,g(x)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以當(dāng)時(shí),g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)當(dāng)a≤1時(shí),1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以對(duì)所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;綜上,a的最小值為1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an?an+1,由a1=1得,an≠2,所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,故,,,?,由(Ⅱ)知a=1時(shí),,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因?yàn)?,所以,故.法二?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n=1時(shí),令x=1代入,即得,不等式成立(1)假設(shè)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),不等式成立,即,則n=k+1時(shí),,令代入,得,即:,由(1)(1)可知不等式對(duì)任何n∈N*都成立.故.考點(diǎn):1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;3、數(shù)列的通項(xiàng)公式;4、數(shù)列的前項(xiàng)和;5、不等式的證明.21、(1).(2).【解析】試題分析:(Ⅰ)通過(guò)討論x的范圍,得到關(guān)于x的不等式組,解出取并集即可;(Ⅱ)求出f(x)的最大值,得到關(guān)于a的不等式,解出即
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