2024-2025高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo) 電場(chǎng)含答案

2024-2025高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)電場(chǎng)高中物理競(jìng)賽熱學(xué)電學(xué)教程第四講物態(tài)變化第一講電場(chǎng)電場(chǎng)§1、1庫(kù)侖定律和電場(chǎng)強(qiáng)度1．1．1、電荷守恒定律大量實(shí)驗(yàn)證明：電荷既不能創(chuàng)造，也不能被消滅，它們只能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，或者從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，正負(fù)電荷的代數(shù)和任何物理過程中始終保持不變。我們熟知的摩擦起電就是電荷在不同物體間的轉(zhuǎn)移，靜電感應(yīng)現(xiàn)象是電荷在同一物體上、不同部位間的轉(zhuǎn)移。此外，液體和氣體的電離以及電中和等實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象都遵循電荷守恒定律。1．1．2、庫(kù)侖定律真空中，兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷和之間的相互作用力的大小和兩點(diǎn)電荷電量的乘積成正比，和它們之間距離r的平方成正比；作用力的方向沿它們的連線，同號(hào)相斥，異號(hào)相吸式中k是比例常數(shù)，依賴于各量所用的單位，在國(guó)際單位制（SI）中的數(shù)值為：（常將k寫成的形式，是真空介電常數(shù)，）庫(kù)侖定律成立的條件，歸納起來有三條：（1）電荷是點(diǎn)電荷；（2）兩點(diǎn)電荷是靜止或相對(duì)靜止的；（3）只適用真空。條件（1）很容易理解，但我們可以把任何連續(xù)分布的電荷看成無限多個(gè)電荷元（可視作點(diǎn)電荷）的集合，再利用疊加原理，求得非點(diǎn)電荷情況下，庫(kù)侖力的大小。由于庫(kù)侖定律給出的是一種靜電場(chǎng)分布，因此在應(yīng)用庫(kù)侖定律時(shí)，可以把條件（2）放寬到靜止源電荷對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用，但不能推廣到運(yùn)動(dòng)源電荷對(duì)靜止電荷的作用，因?yàn)橛型七t效應(yīng)。關(guān)于條件（3），其實(shí)庫(kù)侖定律不僅適用于真空，也適用于導(dǎo)體和介質(zhì)。當(dāng)空間有了導(dǎo)體或介質(zhì)時(shí)，無非是出現(xiàn)一些新電荷——感應(yīng)電荷和極化電荷，此時(shí)必須考慮它們對(duì)源電場(chǎng)的影響，但它們也遵循庫(kù)侖定律。1．1．3、電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度是從力的角度描述電場(chǎng)的物理量，其定義式為式中q是引入電場(chǎng)中的檢驗(yàn)電荷的電量，F(xiàn)是q受到的電場(chǎng)力。借助于庫(kù)侖定律，可以計(jì)算出在真空中點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)中各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為圖1-1-1圖1-1-1（a）式中r為該點(diǎn)到場(chǎng)源電荷的距離，Q為場(chǎng)源電荷的電量。

1．1．4、場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理在若干場(chǎng)源電荷所激發(fā)的電場(chǎng)中任一點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)，等于每個(gè)場(chǎng)源電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。原則上講，有庫(kù)侖定律和疊加原理就可解決靜電學(xué)中的全部問題。例1、如圖1-1-1（a）所示，在半徑為R、體電荷密度為的均勻圖1-1-1（b）（b）

帶電球體內(nèi)部挖去半徑為的一個(gè)小球，小球球心與大球球心O相距為圖1-1-1（b）（b）

分析：把挖去空腔的帶電球看作由帶電大球與帶異號(hào)電的小球構(gòu)成。由公式求出它們各自在的電場(chǎng)強(qiáng)度，再疊加即得。這是利用不具有對(duì)稱性的帶電體的特點(diǎn)，把它湊成由若干具有對(duì)稱性的帶電體組成，使問題得以簡(jiǎn)化。在小球內(nèi)任取一點(diǎn)P，用同樣的方法求出，比較和，即可證明空腔內(nèi)電場(chǎng)是均勻的。采用矢量表述，可使證明簡(jiǎn)單明確。解：由公式可得均勻帶電大球（無空腔）在點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，，方向?yàn)镺指向。同理，均勻帶異號(hào)電荷的小球在球心點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度所以，圖1-1-2（a）圖1-1-2（b）

如圖1-1-1（b）所示，在小球內(nèi)任取一點(diǎn)P，設(shè)從O點(diǎn)到點(diǎn)的矢量為，為，OP圖1-1-2（a）圖1-1-2（b）

可見：因P點(diǎn)任取，故球形空腔內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的。1．1．5、電通量、高斯定理、（1）磁通量是指穿過某一截面的磁感應(yīng)線的總條數(shù)，其大小為，其中為截面與磁感線的夾角。與此相似，電通量是指穿過某一截面的電場(chǎng)線的條數(shù)，其大小為為截面與電場(chǎng)線的夾角。高斯定量：在任意場(chǎng)源所激發(fā)的電場(chǎng)中，對(duì)任一閉合曲面的總通量可以表示為（）為真空介電常數(shù)式中k是靜電常量，為閉合曲面所圍的所有電荷電量的代數(shù)和。由于高中缺少高等數(shù)學(xué)知識(shí)，因此選取的高斯面即閉合曲面，往往和電場(chǎng)線垂直或平行，這樣便于電通量的計(jì)算。盡管高中教學(xué)對(duì)高斯定律不作要求，但筆者認(rèn)為簡(jiǎn)單了解高斯定律的內(nèi)容，并利用高斯定律推導(dǎo)幾種特殊電場(chǎng)，這對(duì)掌握幾種特殊電場(chǎng)的分布是很有幫助的。（2）利用高斯定理求幾種常見帶電體的場(chǎng)強(qiáng)①無限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)一無限長(zhǎng)直線均勻帶電，電荷線密度為，如圖1-1-2（a）所示?？疾禳c(diǎn)P到直線的距離為r。由于帶電直線無限長(zhǎng)且均勻帶電，因此直線周圍的電場(chǎng)在豎直方向分量為零，即徑向分布，且關(guān)于直線對(duì)稱。取以長(zhǎng)直線為主軸，半徑為r，長(zhǎng)為l的圓柱面為高斯面，如圖1-1-2（b），上下表面與電場(chǎng)平行，側(cè)面與電場(chǎng)垂直，因此電通量圖1-1-3圖1-1-3②無限大均勻帶電平面的電場(chǎng)根據(jù)無限大均勻帶電平面的對(duì)稱性，可以判定整個(gè)帶電平面上的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)與帶電平面垂直并指向兩側(cè)，在離平面等距離的各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)應(yīng)相等。因此可作一柱形高斯面，使其側(cè)面與帶電平面垂直，兩底分別與帶電平面平行，并位于離帶電平面等距離的兩側(cè)如圖1-1-3由高斯定律：式中為電荷的面密度，由公式可知，無限大均勻帶電平面兩側(cè)是勻強(qiáng)電場(chǎng)。平行板電容器可認(rèn)為由兩塊無限帶電均勻?qū)w板構(gòu)成，其間場(chǎng)強(qiáng)為，則由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可知③均勻帶電球殼的場(chǎng)強(qiáng)有一半徑為R，電量為Q的均勻帶電球殼，如圖1-1-4。由于電荷分布的對(duì)稱性，故不難理解球殼內(nèi)外電場(chǎng)的分布應(yīng)具有球?qū)ΨQ性，因此可在球殼內(nèi)外取同心球面為高斯面。對(duì)高斯面1而言：圖1-1-4；圖1-1-4對(duì)高斯面2：。④球?qū)ΨQ分布的帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)推導(dǎo)方法同上，如圖1-1-4，對(duì)高斯面1，；對(duì)高斯面2，圖圖1-1-5

⑤電偶極子產(chǎn)生的電場(chǎng)真空中一對(duì)相距為l的帶等量異號(hào)電荷的點(diǎn)電荷系統(tǒng)，且l遠(yuǎn)小于討論中所涉及的距離，這樣的電荷體系稱為電偶極子，并且把連接兩電荷的直線稱為電偶極子的軸線，將電量q與兩點(diǎn)電荷間距l(xiāng)的乘積定義為電偶極矩。a.設(shè)兩電荷連線中垂面上有一點(diǎn)P，該點(diǎn)到兩電荷連線的距離為r，則P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)如圖1-1-5所示，其中b.若為兩電荷延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，到兩電荷連線中點(diǎn)的距離為r，如圖1-1-6所示，圖1-1-6則圖1-1-6c.若T為空間任意一點(diǎn)，它到兩電荷連線的中點(diǎn)的距離為r，如圖1-1-7所示，則在T點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分量為圖1-1-7

圖1-1-7

由在T點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分量為故例2、如圖所示，在-d≤x≤d的空間區(qū)域內(nèi)（y，z方向無限延伸）均勻分布著密度為ρ的正電荷，此外均為真空（1）試求≤d處的場(chǎng)強(qiáng)分布；（2）若將一質(zhì)量為m，電量為的帶點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)，從x=d處由靜止釋放，試問該帶電質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過過多長(zhǎng)時(shí)間第一次到達(dá)x=0處。圖1-1-8

解：根據(jù)給定區(qū)域電荷分布均勻且對(duì)稱，在y、z方向無限伸展的特點(diǎn)，我們想象存在這樣一個(gè)圓柱體，底面積為S，高為2x，左、右底面在x軸上的坐標(biāo)分別是-x和x，如圖1-1-8所示?？梢耘袛鄨A柱體左、右底面處的場(chǎng)強(qiáng)必定相等，且方向分別是逆x軸方向和順x圖1-1-8

（1）根據(jù)高斯定律。坐標(biāo)為x處的場(chǎng)強(qiáng)：（≤d），x＞0時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)與x軸同向，x＜0時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)與x軸反向。（2）若將一質(zhì)量為m、電量為的帶電質(zhì)點(diǎn)置于此電場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)所受的電場(chǎng)力為：（≤d）顯然質(zhì)點(diǎn)所受的電場(chǎng)力總是與位移x成正比，且與位移方向相反，符合準(zhǔn)彈性力的特點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)在電場(chǎng)力的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的周期為當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從x=d處?kù)o止釋放，第一次達(dá)到x=0處所用的時(shí)間為

§1、2電勢(shì)與電勢(shì)差1．2．1、電勢(shì)差、電勢(shì)、電勢(shì)能電場(chǎng)力與重力一樣，都是保守力，即電場(chǎng)力做功與具體路徑無關(guān)，只取決于始末位置。我們把在電場(chǎng)中的兩點(diǎn)間移動(dòng)電荷所做的功與被移動(dòng)電荷電量的比值，定義為這兩點(diǎn)間的電勢(shì)差，即這就是說，在靜電場(chǎng)內(nèi)任意兩點(diǎn)A和B間的電勢(shì)差，在數(shù)值等于一個(gè)單位正電荷從A沿任一路徑移到B的過程中，電場(chǎng)力所做的功。反映了電場(chǎng)力做功的能力。即電勢(shì)差僅由電場(chǎng)本身性質(zhì)決定，與被移動(dòng)電荷的電量無關(guān)；即使不移動(dòng)電荷，這兩點(diǎn)間的電勢(shì)差依然存在。如果我們?cè)陔妶?chǎng)中選定一個(gè)參考位置，規(guī)定它為零電勢(shì)點(diǎn)，則電場(chǎng)中的某點(diǎn)跟參考位置間的電勢(shì)差就叫做該點(diǎn)的電勢(shì)。通常我們?nèi)〈蟮鼗驘o窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)點(diǎn)。電勢(shì)是標(biāo)準(zhǔn)量，其正負(fù)代表電勢(shì)的高低，單位是伏特（V）。電勢(shì)是反映電場(chǎng)能的性質(zhì)的物理量，電場(chǎng)中任意一點(diǎn)A的電勢(shì)，在數(shù)值上等于一個(gè)單位正電荷A點(diǎn)處所具有的電勢(shì)能，因此電量為q的電荷放在電場(chǎng)中電勢(shì)為U的某點(diǎn)所具有的電勢(shì)能表示為。1．2．2、幾種常見帶電體的電勢(shì)分布（1）點(diǎn)電荷周圍的電勢(shì)如圖1-2-1所示，場(chǎng)源電荷電量為Q，在離Q為r的P點(diǎn)處有一帶電量為q的檢驗(yàn)電荷，圖1-2-1現(xiàn)將該檢驗(yàn)電荷由P點(diǎn)移至無窮遠(yuǎn)處（取無窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)），由于此過程中，所受電場(chǎng)力為變力，故將q移動(dòng)的整個(gè)過程理解為由P移至很近的（離Q距離為）點(diǎn)，再由移至很近的（離Q距離為）點(diǎn)……直至無窮遠(yuǎn)處。在每一段很小的過程中，電場(chǎng)力可視作恒力，因此這一過程中，電場(chǎng)力做功可表示為：圖1-2-1………………所以點(diǎn)電荷周圍任一點(diǎn)的電勢(shì)可表示為：式中Q為場(chǎng)源電荷的電量，r為該點(diǎn)到場(chǎng)源電荷的距離。（2）均勻帶電球殼，實(shí)心導(dǎo)體球周圍及內(nèi)部的電勢(shì)。由于實(shí)心導(dǎo)體球處于靜電平衡時(shí)，其凈電荷只分布在導(dǎo)體球的外表面，因此其內(nèi)部及周圍電場(chǎng)、電勢(shì)的分布與均勻帶電球殼完全相同。由于均勻帶電球殼外部電場(chǎng)的分布與點(diǎn)電荷周圍電場(chǎng)的分布完全相同，因此用上面類似方法不難證明均勻帶電球殼周圍的電勢(shì)為。r＞R式中Q為均勻帶電球殼的電量，R為球殼的半徑，r為該點(diǎn)到球殼球心的距離。在球殼上任取一個(gè)微元，設(shè)其電量為，該微元在球心O處產(chǎn)生的電勢(shì)。由電勢(shì)疊加原理，可知O點(diǎn)處電勢(shì)等于球殼表面各微元產(chǎn)生電勢(shì)的代數(shù)和，。因?yàn)榫鶆驇щ娗驓ぜ皩?shí)心導(dǎo)體球均為等勢(shì)體，因而它們內(nèi)部及表面的電勢(shì)均為。圖1-2-2

圖1-2-2

1．2．3、電勢(shì)疊加原理電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)一樣，也可以疊加。因?yàn)殡妱?shì)是標(biāo)量，因此在點(diǎn)電荷組形成的電場(chǎng)中，任一點(diǎn)的電勢(shì)等于每個(gè)電荷單獨(dú)存在時(shí)，在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和，這就是電勢(shì)疊加原理。例3、如圖1-2-2所示，兩個(gè)同心導(dǎo)體球，內(nèi)球半徑為，外球是個(gè)球殼，內(nèi)半徑為，外半徑。在下列各種情況下求內(nèi)外球殼的電勢(shì)，以及殼內(nèi)空腔和殼外空間的電勢(shì)分布規(guī)律。（1）內(nèi)球帶，外球殼帶。（2）內(nèi)球帶，外球殼不帶電。（3）內(nèi)球帶，外球殼不帶電且接地。（4）內(nèi)球通過外殼小孔接地，外球殼帶。解:如圖1-2-2所示，根據(jù)疊原理：（1）處有均勻的，必有均勻的，處當(dāng)然有電荷，因此：內(nèi)球外球電勢(shì)差腔內(nèi)（＜r＜）殼外（r＞）（2）處有，處有，處有，因此：內(nèi)球外球電勢(shì)差腔內(nèi)（＜r＜）殼外（r＞）（3）處有，處有，外球殼接地，外球殼，處無電荷。內(nèi)球電勢(shì)差腔內(nèi)（＜r＜）殼外（r＞）（4）內(nèi)球接地電勢(shì)為零，內(nèi)球帶，處有，處有，先求，因?yàn)榻獾脙?nèi)球外球腔內(nèi)（＜r＜）殼外1．2．4、勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系圖1-2-3圖1-2-3

場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)雖然都是反映場(chǎng)強(qiáng)本身性質(zhì)特點(diǎn)的物理量，但兩者之間沒有相應(yīng)的對(duì)應(yīng)聯(lián)系，但沿著場(chǎng)強(qiáng)方向電勢(shì)必定降低，而電勢(shì)階低最快的方向也就是場(chǎng)強(qiáng)所指方向，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)E與電勢(shì)差U之間滿足這就是說，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，兩點(diǎn)間的電勢(shì)等于場(chǎng)強(qiáng)大小和這兩點(diǎn)在沿場(chǎng)強(qiáng)方向的位移的乘積。例4、半徑為R的半球形薄殼，其表面均勻分布面電荷密度為的電荷，求該球開口處圓面上任一點(diǎn)的電勢(shì)。解：設(shè)想填補(bǔ)面電荷密度亦為的另半個(gè)球面如圖1-2-3所示，則球內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)均為0，對(duì)原半球面開口處圓面上的任一點(diǎn)P而言，也有，而是上、下兩個(gè)半球在P點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)、的合成。另?yè)?jù)對(duì)稱性易知，、的大小必定相等，而、的合場(chǎng)強(qiáng)為零，說明、均垂直于半球開口平面，故在半球面帶均勻電荷的情況下，它的開口圓面應(yīng)為等勢(shì)點(diǎn)，即圓面上任一點(diǎn)的電勢(shì)都等于開口圓面圓心點(diǎn)處的電勢(shì)。故說明雖然場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)是描述電場(chǎng)不同方面特性的兩個(gè)物理量，它們之間沒有必然的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但電勢(shì)相等的各點(diǎn)構(gòu)成的等勢(shì)面應(yīng)與該處的場(chǎng)強(qiáng)方向垂直，利用這個(gè)關(guān)系可為求取場(chǎng)強(qiáng)或電勢(shì)提供一條有用的解題路徑。

§1.3、電場(chǎng)中的導(dǎo)體與電介質(zhì)一般的物體分為導(dǎo)體與電介質(zhì)兩類。導(dǎo)體中含有大量自由電子；而電介質(zhì)中各個(gè)分子的正負(fù)電荷結(jié)合得比較緊密。處于束縛狀態(tài)，幾乎沒有自由電荷，而只有束縛電子當(dāng)它們處于電場(chǎng)中時(shí)，導(dǎo)體與電介質(zhì)中的電子均會(huì)逆著原靜電場(chǎng)方向偏移，由此產(chǎn)生的附加電場(chǎng)起著反抗原電場(chǎng)的作用，但由于它們內(nèi)部電子的束縛程度不同。使它們處于電場(chǎng)中表現(xiàn)現(xiàn)不同的現(xiàn)象。1．3．1、靜電感應(yīng)、靜電平衡和靜電屏蔽①靜電感應(yīng)與靜電平衡把金屬放入電場(chǎng)中時(shí)，自由電子除了無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)外，還要沿場(chǎng)強(qiáng)反方向做定向移動(dòng)，結(jié)果會(huì)使導(dǎo)體兩個(gè)端面上分別出現(xiàn)正、負(fù)凈電荷。這種現(xiàn)象叫做“靜電感應(yīng)”。所產(chǎn)生的電荷叫“感應(yīng)電荷”。由于感應(yīng)電荷的聚集，在導(dǎo)體內(nèi)部將建立起一個(gè)與外電場(chǎng)方向相反的內(nèi)電場(chǎng)（稱附加電場(chǎng)），隨著自由電荷的定向移動(dòng)，感應(yīng)電荷的不斷增加，附加電場(chǎng)也不斷增圖1-3-1圖1-3-1

處于靜電平衡狀態(tài)下的導(dǎo)體具有下列四個(gè)特點(diǎn)：（a）導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為零；（b）凈電荷僅分布在導(dǎo)體表面上（孤立導(dǎo)體的凈電荷僅分布在導(dǎo)體的外表面上）；（c）導(dǎo)體為等勢(shì)體，導(dǎo)體表面為等勢(shì)面；（d）電場(chǎng)線與導(dǎo)體表面處處垂直，表面處合場(chǎng)強(qiáng)不為0。②靜電屏蔽靜電平衡時(shí)內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為零這一現(xiàn)象，在技術(shù)上用來實(shí)現(xiàn)靜電屏蔽。金屬外殼或金屬網(wǎng)罩可以使其內(nèi)部不受外電場(chǎng)的影響。如圖1-3-1所示，由于感應(yīng)電荷的存在，金屬殼外的電場(chǎng)線依然存在，此時(shí)，金屬殼的電勢(shì)高于零，但如圖把外殼接地，金屬殼外的感應(yīng)電荷流入大地（實(shí)際上自由電子沿相反方向移動(dòng)），殼外電場(chǎng)線消失?？梢姡拥氐慕饘贇ぜ饶芷帘瓮鈭?chǎng)，也能屏蔽內(nèi)場(chǎng)。在無線電技術(shù)中，為了防止不同電子器件互相干擾，它們都裝有金屬外殼，在使用時(shí)，這些外殼都必須接地，如精密的電磁測(cè)量?jī)x器都裝有金屬外殼，示波管的外部也套有一個(gè)金屬罩就是為了實(shí)現(xiàn)靜電屏蔽，高壓帶電作用時(shí)工作人員穿的等電勢(shì)服也是根據(jù)靜電屏蔽的原理制成。1．3．2、電介質(zhì)及其極化①電介質(zhì)電介質(zhì)分為兩類：一類是外電場(chǎng)不存在時(shí)，分子的正負(fù)電荷中心是重合的，這種電介質(zhì)圖1-3-2

稱為非極性分子電介質(zhì)，如、等及所有的單質(zhì)氣體；另一類是外電場(chǎng)不存在時(shí)，分子的正負(fù)電荷中心也不相重合，這種電介質(zhì)稱為極性分子電介質(zhì)，如、等。對(duì)于有極分子，由于分子的無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，不加外電場(chǎng)時(shí)，分子的取向是混亂的（如圖1-3-2），因此，不加外電場(chǎng)時(shí)，無論是極性分子電介質(zhì)，還是非極性分子電介質(zhì)，宏觀上都不顯電性。圖1-3-2

②電介質(zhì)的極化當(dāng)把介質(zhì)放入電場(chǎng)后，非極性分子正負(fù)電荷的中心被拉開，分子成為一個(gè)偶極子；極性分子在外電場(chǎng)作用下發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，趨向于有序排列。因此，無論圖1-3-3是極性分子還是非極性分子，在外電場(chǎng)作用下偶極子沿外電場(chǎng)方向進(jìn)行有序排列（如圖1-3-3圖1-3-3極化電荷在電介質(zhì)內(nèi)部產(chǎn)生一個(gè)與外電場(chǎng)相反的附加電場(chǎng)，因此與真空相比，電介質(zhì)內(nèi)部的電場(chǎng)要減弱，但又不能像導(dǎo)體一樣可使體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)削弱到處處為零。減弱的程度隨電介質(zhì)而不同，故物理上引入相對(duì)介電常數(shù)來表示電介質(zhì)的這一特性，對(duì)電介質(zhì)均大于1，對(duì)真空等于1，對(duì)空氣可近似認(rèn)為等于1。真空中場(chǎng)強(qiáng)為的區(qū)域內(nèi)充滿電介質(zhì)后，設(shè)場(chǎng)強(qiáng)減小到E，那么比值就叫做這種電介質(zhì)的介常數(shù)，用表示，則引入介電常數(shù)后，極化電荷的附加電場(chǎng)和總電場(chǎng)原則上解決了。但實(shí)際上附加電場(chǎng)和總電場(chǎng)的分布是很復(fù)雜的，只有在電介質(zhì)表現(xiàn)為各向同性，且對(duì)稱性極強(qiáng)的情況下，才有較為簡(jiǎn)單的解。如：點(diǎn)電荷在電介質(zhì)中產(chǎn)生的電場(chǎng)的表達(dá)式為：電勢(shì)的表達(dá)式為：庫(kù)侖定律的表達(dá)式為：例5、有一空氣平行板電容器，極板面積為S，與電池連接，極板上充有電荷和，斷開電源后，保持兩板間距離不變，在極板中部占極板間的一半體積的空間填滿（相對(duì)）介電常圖1-3-4數(shù)為的電介質(zhì)，如圖1-3-4所示。求：圖1-3-4（1）圖中極板間a點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度？（2）圖中極板間b點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度？（3）圖中與電介質(zhì)接觸的那部分正極板上的電荷？（4）圖中與空氣接觸的那部分正極板上的電荷？（5）圖中與正極板相接觸的那部分介質(zhì)界面上的極化電荷？解：設(shè)未插入電介質(zhì)時(shí)平行板電容器的電容為，則（1）（2）（3）（4）（5）因故圖1-3-5

圖1-3-5

負(fù)號(hào)表示上極板處的極化電荷為負(fù)。1．3．3．電像法電像法的實(shí)質(zhì)在于將一給定的靜電場(chǎng)變換為另一易于計(jì)算的等效靜電場(chǎng)，多用于求解在邊界面（例如接地或保持電勢(shì)不變的導(dǎo)體）前面有一個(gè)或一個(gè)以上點(diǎn)電荷的問題，在某些情況下，從邊界面和電荷的幾何位置能夠推斷：在所考察的區(qū)域外，適當(dāng)放幾個(gè)量值合適的電荷，就能夠模擬所需要的邊界條件。這些電荷稱為像電荷，而這種用一個(gè)帶有像電荷的、無界的擴(kuò)大區(qū)域，來代替有界區(qū)域的實(shí)際問題的方法，就稱為電像法。例如：①一無限大接地導(dǎo)體板A前面有一點(diǎn)電荷Q，如圖1-3-5所示，則導(dǎo)體板A有（圖中左半平面）的空間電場(chǎng)，可看作是在沒有導(dǎo)體板A存在情況下，由點(diǎn)電荷Q與其像電荷-Q所共同激發(fā)產(chǎn)生。像電荷—Q的位置就是把導(dǎo)體板A當(dāng)作平面鏡時(shí)，由電荷Q在此鏡中的像點(diǎn)位置。于是左半空間任一點(diǎn)的P的電勢(shì)為式中和分別是點(diǎn)電荷Q和像電荷-Q到點(diǎn)P的距離，并且圖1-3-6

o，此處d是點(diǎn)電荷Q到導(dǎo)體板圖1-3-6

o電像法的正確性可用靜電場(chǎng)的唯一性定理來論證，定性分析可從電場(chǎng)線等效的角度去說明。②一半徑為r的接地導(dǎo)體球置于電荷q的電場(chǎng)中，點(diǎn)電荷到球心的距離為h，球上感應(yīng)電荷同點(diǎn)電荷q之間的相互作用也可以用一像電荷替代，顯然由對(duì)稱性易知像電荷在導(dǎo)體球的球心O與點(diǎn)電荷q的連線上，設(shè)其電量為，離球心O的距離為，如圖1-3-6所示，則對(duì)球面上任一點(diǎn)P，其電勢(shì)整理化簡(jiǎn)得要使此式對(duì)任意成立，則必須滿足解得圖1-3-7

③對(duì)（2）中情況，如將q移到無限遠(yuǎn)處，同時(shí)增大q，使在球心處的電場(chǎng)保持有限（相當(dāng)于勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)），這時(shí)，像電荷對(duì)應(yīng)的無限趨近球心，但保持有限，因而像電荷和在球心形成一個(gè)電偶極子，其電偶極矩。圖1-3-7

無限遠(yuǎn)的一個(gè)帶無限多電量的點(diǎn)電荷在導(dǎo)體附近產(chǎn)生的電場(chǎng)可看作是均勻的，因此一個(gè)絕緣的金屬球在勻強(qiáng)電場(chǎng)中受感應(yīng)后，它的感應(yīng)電荷在球外空間的作用相當(dāng)于一個(gè)處在球心，電偶極矩為的電偶極子。例6、在距離一個(gè)接地的很大的導(dǎo)體板為d的A處放一個(gè)帶電量為的點(diǎn)電荷（圖1-3-7）。（1）求板上感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)P點(diǎn)（）產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。（2）求板上感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，已知點(diǎn)與P點(diǎn)以導(dǎo)體板右表面對(duì)稱。（3）求證導(dǎo)體板表面化的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量總與導(dǎo)體板表面垂直。（4）求導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷對(duì)電荷的作用力，（5）若切斷導(dǎo)體板跟地的連接線，再把電荷置于導(dǎo)體板上，試說明這部分電荷在導(dǎo)體板上應(yīng)如何分布才可以達(dá)到靜電平衡（略去邊緣效應(yīng)）。分析：由于導(dǎo)體板很大且接地，因此只有右邊表面才分布有正的感圖1-3-8乙圖1-3-8丙圖1-3-8乙圖1-3-8丙解：（1）因?yàn)殪o電平衡后導(dǎo)體內(nèi)部合場(chǎng)強(qiáng)為零，所以感應(yīng)電荷在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)和在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向相反，即圖1-3-8丁圖1-3-8戍

方向如圖1-3-8圖1-3-8丁圖1-3-8戍

（2）由于導(dǎo)體板接地，因此感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體的右邊。根據(jù)對(duì)稱原理，可知感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外任意一點(diǎn)處場(chǎng)生的場(chǎng)強(qiáng)一定和感應(yīng)電荷在對(duì)稱點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)鏡像對(duì)稱（如圖1-3-8丙），即，而，式中為到的距離，因此，方向如圖1-3-8丙所示。（3）根據(jù)（2）的討論將取在導(dǎo)體的外表面，此處的場(chǎng)強(qiáng)由和疊加而成（如圖1-3-8丁所示），不難看出，這兩個(gè)場(chǎng)強(qiáng)的合場(chǎng)強(qiáng)是垂直于導(dǎo)體表面的。（4）在導(dǎo)體板內(nèi)取一點(diǎn)和所在點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)，的場(chǎng)強(qiáng)由和疊加而為零。由對(duì)稱可知，A處的和應(yīng)是大小相等，方向相反的（如圖1-3-8戍），所以所受的電場(chǎng)力大小為方向垂直板面向左。（5）因?yàn)楹驮趯?dǎo)體內(nèi)處處平衡，所以+Q只有均勻分布在導(dǎo)體兩側(cè)，才能保持導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零。從以上（2）、（3）、（4）的分析中可看出：導(dǎo)體外部的電場(chǎng)分布與等量異種電荷的電場(chǎng)分布完全相似，即感應(yīng)電荷的作用和在與A點(diǎn)對(duì)稱的位置上放一個(gè)的作用完全等效，這就是所謂的“電像法”?！?、4電容器1．4．1、電容器的電容電容器是以電場(chǎng)能的形式儲(chǔ)存電能的一種裝置，與以化學(xué)能儲(chǔ)存電能的蓄電池不同。任何兩個(gè)彼此絕緣又互相靠近的導(dǎo)體，都可以看成是一個(gè)電容器，電容器所帶電荷Q與它兩板間電勢(shì)差U的比值，叫做電容器的電容，記作C，即電容的意義就是每單位電勢(shì)差的帶電量，顯然C越大，電容器儲(chǔ)電本領(lǐng)越強(qiáng)，而電容是電容器的固有屬性，僅與兩導(dǎo)體的形狀、大小位置及其間電介質(zhì)的種類有關(guān)，而與電容器的帶電量無關(guān)。電容器的電容有固定的、可變的和半可變的三類，按極片間所用的電介質(zhì)，則有空氣電容器、真空電容器、紙質(zhì)電容器、陶瓷電容器、滌綸電容器、云母電容器、電解電容器等。每個(gè)電容器的型號(hào)都標(biāo)明兩個(gè)重要數(shù)值：電容量和耐壓值（即電容器所承受的最大電壓，亦稱擊穿電壓）。1．4．2、幾種常用電容器的電容（1）平行板電容器若兩金屬板平行放置，距離d很小，兩板的正對(duì)面積為S、兩極板間充滿相對(duì)介電常數(shù)為的電介質(zhì)，即構(gòu)成平行板電容器。設(shè)平行板電容器帶電量為Q、則兩極板間電勢(shì)差故電容（2）真空中半徑為R的孤立導(dǎo)體球的電容由公式可知，導(dǎo)體球的電勢(shì)為：因此孤立導(dǎo)體球的電容為地球半徑很大，電容很大，容納電荷的本領(lǐng)極強(qiáng)。（3）同軸圓柱形電容器高H、半徑的導(dǎo)體圓柱外，同軸地放置高也為H、內(nèi)半徑為＞的導(dǎo)體筒，當(dāng)H時(shí)，便構(gòu)成一個(gè)同軸圓柱形電容器。如果-，則可將它近似處理為平行板電容器，由公式可得其電容為（4）同心球形電容器半徑為的導(dǎo)體球（或球殼）和由半徑為的導(dǎo)體球殼同心放置，便構(gòu)成了同心球形電容器。若同心球形電容器內(nèi)、外球殼之間也充以介電常數(shù)為的電介質(zhì)，內(nèi)球殼帶電量為Q，外球殼帶-Q電荷，則內(nèi)、外球殼之間的電勢(shì)差為故電容當(dāng)時(shí)，同心球形電容器便成為孤立導(dǎo)體（孤立導(dǎo)分是指在該導(dǎo)體周圍沒有其他導(dǎo)體或帶電體，或者這些物體都接地）球形電容器，設(shè)，則其電容為若孤立導(dǎo)體外無電介質(zhì)，則，即。圖1-4-1例8、如圖2-4-1所示，兩個(gè)豎直放置的同軸導(dǎo)體薄圓筒，內(nèi)筒半徑為R，兩筒間距為d，筒高為L(zhǎng)，內(nèi)筒通過一個(gè)未知電容的電容器與電動(dòng)勢(shì)U足夠大的直流電源的圖1-4-1正極連接，外筒與該電源的負(fù)極相連。在兩筒之間有相距為h的A、B兩點(diǎn)，其連線AB與豎直的筒中央軸平行。在A點(diǎn)有一質(zhì)量為m、電量為-Q的帶電粒子，它以的初速率運(yùn)動(dòng)，且方向垂直于由A點(diǎn)和筒中央軸構(gòu)成的平面。為了使此帶電粒子能夠經(jīng)過B點(diǎn)，試求所有可供選擇的和值。分析：帶電粒子從A點(diǎn)射出后，受到重力和筒間電場(chǎng)力的作用。重力豎直向下，使帶電粒子在豎直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)；電場(chǎng)力的方向在垂直筒中央軸的平面內(nèi)，沿徑向指向中央軸。為了使帶電粒子能通過B點(diǎn)，要求它在垂直中央軸的平面內(nèi)以R為半徑作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這就要求電場(chǎng)力能提供適當(dāng)?shù)南蛐牧Γ磳?duì)有一定要求。為了使帶電粒子經(jīng)過B點(diǎn)，還要求它從A點(diǎn)沿AB到達(dá)B點(diǎn)的時(shí)間剛好等于帶電粒子作圓周運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間的整數(shù)倍，亦即對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的速度有一定的要求。解：帶電粒子重力作用下，從A點(diǎn)自由下落至B點(diǎn)所需的時(shí)間為帶電粒子在垂直于筒中央軸的平面內(nèi)，作勻速圓周運(yùn)動(dòng)一圈所需的時(shí)間為為了使帶電粒子經(jīng)過B點(diǎn)，要求……由以上三式，得……帶電粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)（速率，半徑R）所需的向心力由電場(chǎng)力提供，電場(chǎng)力為此電場(chǎng)力由內(nèi)外筒之間的電場(chǎng)提供。因，近似認(rèn)為內(nèi)外筒構(gòu)成平行板電容器，其間是大小相同的徑向電場(chǎng)E，設(shè)內(nèi)外筒電勢(shì)差為，則帶電粒子所受電場(chǎng)力應(yīng)為由以上兩式，得代入，得……因?yàn)閮?nèi)、外筒電容器與串聯(lián)，故有解得由公式可知，同軸圓柱形電容器電容代入，得……這就是全部可供選擇的。1．4．3、電容器的連接電容器的性能有兩個(gè)指標(biāo)；電容和耐壓值。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，當(dāng)這兩個(gè)指標(biāo)不能滿足要求時(shí)，就要將電容器串聯(lián)或并聯(lián)使用。（1）串聯(lián)幾個(gè)電容器，前一個(gè)的負(fù)極和后一個(gè)的正極相連，這種連接方式稱為電容器的串聯(lián)。充電后各電容器的電量相同，即…=；第一個(gè)電容器的正極與第n個(gè)電容器的負(fù)極之間的電U為各電容器電壓之和，即，因此電容器串聯(lián)可以增大耐壓值。用一個(gè)電量為Q，電壓為U的等效電容來代替上述n個(gè)串聯(lián)的電容器，則電容為（2）并聯(lián)把n個(gè)電容器的正極連在一起，負(fù)極連在一起，這種連接方式稱為電容器的并聯(lián)。充電后正極總電量Q等于各電容器正極電量之和，即；正極和負(fù)極之間的電壓U等于各電容器的電壓，即。用一個(gè)電量為Q、電壓為U的等效電容器代替上述幾個(gè)并聯(lián)的電容器，則電容為

§1、5靜電場(chǎng)的能量1．5．1、帶電導(dǎo)體的能量圖1-5-1一帶電體的電量為Q，電容為C，則其電勢(shì)。我們不妨設(shè)想帶電體上的電量Q，是一些分散在無限遠(yuǎn)處的電荷，在外力作用下一點(diǎn)點(diǎn)搬到帶電體上的，因此就搬運(yùn)過程中，外力克服靜電場(chǎng)力作的功，就是帶電體的電能。該導(dǎo)體的電勢(shì)與其所帶電量之間的函數(shù)關(guān)系如圖1-5-1所示，斜率為。設(shè)每次都搬運(yùn)極少量的電荷，此過程可認(rèn)為導(dǎo)體上的電勢(shì)不變，設(shè)為，該過程中搬運(yùn)電荷所做的功為，即圖中一狹條矩形的面積（圖中斜線所示）因此整個(gè)過程中，帶電導(dǎo)體儲(chǔ)存的能量為圖1-5-1其數(shù)值正好等于圖線下的許多小狹條面積之和，若取得盡可能小，則數(shù)值就趨向于圖線下三角形的面積。上述帶電導(dǎo)體的靜電能公式也可推廣到帶電的電容器，因?yàn)殡娙萜鲀砂彘g的電勢(shì)差與極板上所帶電量的關(guān)系也是線性的。1．5．2、電場(chǎng)的能量由公式，似乎可以認(rèn)為能量與帶電體的電量有關(guān)，能量是集中在電荷上的。其實(shí)，前面只是根據(jù)功能關(guān)系求得帶電導(dǎo)體的靜電能，并未涉及能量的分布問題。由于在靜電場(chǎng)范圍內(nèi)，電荷與電場(chǎng)總是聯(lián)系在一起的，因此電能究竟與電荷還是與電場(chǎng)聯(lián)系在一起，尚無法確定。以后學(xué)習(xí)了麥克斯韋的電磁場(chǎng)理論可知，電場(chǎng)可以脫離電荷而單獨(dú)存在，并以有限的速度在空間傳播，形成電磁波，而電磁波攜帶能量早已被實(shí)踐所證實(shí)。因此我們說，電場(chǎng)是電能的攜帶者，電能是電場(chǎng)的能量。下面以平行板電容器為例，用電場(chǎng)強(qiáng)度表示能量公式。單位體積的電場(chǎng)能量稱為電場(chǎng)的能量密度，用來表示上式是一個(gè)普遍適用的表達(dá)式，只要空間某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度已知，該處的能量密度即可求出，而整個(gè)電場(chǎng)區(qū)的電場(chǎng)能量可以通過對(duì)體積求和來求得。1．5．3、電容器的充電如圖1-5-2所示，一電動(dòng)勢(shì)為U的電源對(duì)一電容為C的電容器充電，充電完畢后，電容器所帶電量圖1-5-2圖1-5-2

電容器所帶能量而電源在對(duì)電容器充電過程中，所提供的能量為也就是說，在充電過程中，電容器僅得到了電源提供的一半能量，另一半能量在導(dǎo)線和電源內(nèi)阻上轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，以及以電磁波的形式發(fā)射出去。例7、用N節(jié)電動(dòng)勢(shì)為的電池對(duì)某個(gè)電容器充電，頭一次用N節(jié)電池串聯(lián)后對(duì)電容器充電；第二次先用一節(jié)電池對(duì)電容器充電，再用兩節(jié)串聯(lián)再充一次，再用三節(jié)串聯(lián)再充……直到用N節(jié)串聯(lián)充電，哪一種方案消耗電能多？解：第一次電源提供的能量，電容器儲(chǔ)能，消耗的能量。第二次充電時(shí)，電容器上電量從0→Q1→Q2→Q3……而電源每次提供能量為…………消耗的能量顯然，前一種方案消耗能量多，實(shí)際上，頭一種方案電源搬運(yùn)電量Q全部是在電勢(shì)差條件下進(jìn)行的。第二種方案中，只有最后一次搬運(yùn)電量是在電勢(shì)差下進(jìn)行的，其余是在小于下進(jìn)行的。電磁感應(yīng)§3。1基本磁現(xiàn)象由于自然界中有磁石()存在，人類很早以前就開始了對(duì)磁現(xiàn)象的研究。人們把磁石能吸引鐵`鈷`鎳等物質(zhì)的性質(zhì)稱為磁性。條形磁鐵或磁針總是兩端吸引鐵屑的能力最強(qiáng)，我們把這吸引鐵屑能力最強(qiáng)的區(qū)域稱之為磁極。將一條形磁鐵懸掛起來，則兩極總是分別指向南北方向，指北的一端稱北極(N表示)；指南的一端稱南極(S表示)。磁極之間有相互作用力，同性磁極互相排斥，異性磁極互相吸引。磁針靜止時(shí)沿南北方向取向說明地球是一個(gè)大磁體，它的N極位于地理南極附近，S極位于地理北極附近。1820年，丹麥科學(xué)家奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)。第一個(gè)揭示了磁與電存在著聯(lián)系。長(zhǎng)直通電導(dǎo)線能給磁針作用；通電長(zhǎng)直螺線管與條形磁鐵作用時(shí)就如同條形磁鐵一般；兩根平行通電直導(dǎo)線之間的相互作用……，所有這些都啟發(fā)我們一個(gè)問題:磁鐵和電流是否在本源上一致?1822年，法國(guó)科學(xué)家安培提出了組成磁鐵的最小單元就是環(huán)形電流，這些分子環(huán)流定向排列，在宏觀上就會(huì)顯示出N、S極的分子環(huán)流假說。近代物理指出，正是電子的圍繞原子核運(yùn)動(dòng)以及它本身的自旋運(yùn)動(dòng)形成了“分子電流”，這就是物質(zhì)磁性的基本來源。一切磁現(xiàn)象的根源是電流，以下我們只研究電流的磁現(xiàn)象?！?。2磁感應(yīng)強(qiáng)度3．2．1、磁感應(yīng)強(qiáng)度、畢奧薩伐爾定律將一個(gè)長(zhǎng)L，I的電流元放在磁場(chǎng)中某一點(diǎn)，電流元受到的作用力為F。當(dāng)電流元在某一方位時(shí)，這個(gè)力最大，這個(gè)最大的力和IL的比值，叫做該點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。將一個(gè)能自由轉(zhuǎn)動(dòng)的小磁針放在該點(diǎn)，小磁針靜止時(shí)N極所指的方向，被規(guī)定為該點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向。OIRP圖3－2－2真空中，當(dāng)產(chǎn)生磁場(chǎng)的載流回路確定后，那空間的磁場(chǎng)就確定了，空間各點(diǎn)的也就確定了。根據(jù)載流回路而求出空間各點(diǎn)的要運(yùn)用一個(gè)稱為畢奧—薩伐爾定律的實(shí)驗(yàn)定律。畢—薩定律告訴我們：一個(gè)電流元IL(如圖3-2-1)在相對(duì)電流元的位置矢量為的P點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度大小為，為順著電流IL的方向與方向的夾角，的方向可用右手螺旋法則確定，即伸出右手，先把四指放在IL的方向上，順著小于的角轉(zhuǎn)向方向時(shí)大拇指方向即為的方向。式中K為一常數(shù)，K=韋伯/安培米。載流回路是由許多個(gè)IL組成的，求出每個(gè)IL在P點(diǎn)的后矢量求和，就得到了整個(gè)載流回路在P點(diǎn)的。OIRP圖3－2－2圖3-2-1如果令，特斯拉米安，那么又可寫為圖3-2-1稱為真空的磁導(dǎo)率。下面我們運(yùn)用畢——薩定律，來求一個(gè)半徑為R，載電流為I的圓電流軸線上，距圓心O為的一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度在圓環(huán)上選一I，它在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，其方向垂直于I和所確定的平面，將分解到沿OP方向和垂直于OP方向，環(huán)上所有電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的的和為零，B=（線性一元疊加）在圓心處，，3．2．2、由畢——薩定律可以求出的幾個(gè)載流回路產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度(1)無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線為了形象直觀地描述磁場(chǎng)，引進(jìn)了與電感線相似的磁感線。長(zhǎng)直通電導(dǎo)線周圍的磁感線如圖3-2-3所示。如果導(dǎo)線中通過的電流強(qiáng)度為I，在理論上I圖3-2-3和實(shí)驗(yàn)中都可證明，在真空中離導(dǎo)線距離為I圖3-2-3或式中稱為真空中的磁導(dǎo)率，大小為。(2)無限長(zhǎng)圓柱體圖3-2-4無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線r為所求點(diǎn)到直導(dǎo)線的垂直距離。半徑為R，均勻載有電流，其電流密度為j的無限長(zhǎng)圓柱體圖3-2-4當(dāng)r＜R，即圓柱體內(nèi)當(dāng)r＞R，即圓柱體外(3)長(zhǎng)直通電螺線管內(nèi)磁場(chǎng)長(zhǎng)直導(dǎo)電螺線管內(nèi)磁場(chǎng)如圖圖3-2-4所示可認(rèn)為是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小可近似用無限長(zhǎng)螺線管內(nèi)B的大小表示n為螺線管單位長(zhǎng)度的匝數(shù)(4)螺繞環(huán)的磁場(chǎng)與長(zhǎng)直通電螺線管內(nèi)磁場(chǎng)的磁場(chǎng)相同。3．2．3、磁感應(yīng)線和磁通量為了形象地描繪磁場(chǎng)的分布，在磁場(chǎng)中引入磁感應(yīng)線，亦即磁力線。磁力線應(yīng)滿足以下兩點(diǎn)：I(a)I(b)圖3-2-5第一，磁感應(yīng)線上任一點(diǎn)的切線方向?yàn)樵擖c(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向；第二，通過垂直于I(a)I(b)圖3-2-5圖3-2-5的(a)和(b)分別給出了無限長(zhǎng)載流導(dǎo)線和圓電流的磁場(chǎng)的磁力線。從圖中可看到：磁力線是無頭無尾的閉合線，與閉合電路互相套合。磁感線是一簇閉合曲線，而靜電場(chǎng)的電感線是一簇不閉合的曲線(或者是從正電荷到負(fù)電荷，或者是從正電荷到無窮遠(yuǎn)處，從無窮遠(yuǎn)處到負(fù)電荷)。這是一個(gè)十分重要的區(qū)別，凡是感線為閉合曲線的場(chǎng)都不可能是保守場(chǎng)。磁感強(qiáng)度是一個(gè)矢量，如果兩個(gè)電流都對(duì)某處的磁場(chǎng)有貢獻(xiàn)，就要用矢量合成的方法。如果有a、b兩根長(zhǎng)直通電導(dǎo)線垂直于紙面相距r放置，電流的大小，(圖3-2-6)那么哪些位置的磁感強(qiáng)度為零呢？在a、b連線以外的位置上，兩根導(dǎo)線上電流所產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度和的方向都不在一直線上，不可能互相抵消；在a、b連線上，a左邊或b右邊的位置上，和的方向是相同的，也不可能互相抵消；因此只有在a、b中間的連線上，和才有可能互相抵消，設(shè)離a距離為的P處合磁感應(yīng)強(qiáng)度為零(圖3-2-6)（a）

（b）（a）

（b）圖2-3-7，通過一給定曲面的總磁力線數(shù)稱為通過該曲面的磁通量，磁通量的單位是韋伯，1韋伯=1特斯拉1米。圖3-2-7(a)中，通過勻磁場(chǎng)中與磁力線垂直的平面的磁通量為；而通過與磁力線斜交的S面的磁通量為：(角即是兩個(gè)平面S和S的夾角，也是S面的法線與的夾角)。而在(b)中，磁場(chǎng)和曲面都是任意的，要求出通過S面的磁通量應(yīng)把通過S面上每一小面元的磁通量求出后求和，即：3．2．4、磁場(chǎng)中的高斯定理考慮到磁力線是無頭無尾的封閉曲線，對(duì)磁場(chǎng)中任一封閉曲面來說，有多少根磁力線穿入，必有多少根穿出，即通過磁場(chǎng)中任一封閉曲面的磁通量為零。這就是磁場(chǎng)的高斯定理，它表明了磁場(chǎng)一個(gè)重要性質(zhì)，即磁場(chǎng)是無源場(chǎng)，自然界中沒有單獨(dú)的N極或S極存在。3．2．5、典型例題ⅣⅠⅡⅢ圖3-2-8例1：圖3-2-8ⅣⅠⅡⅢ圖3-2-8分析：建立圖示直角坐標(biāo)系，用安培定則判斷出兩電流形成的磁場(chǎng)方向后，可以看出在Ⅰ、Ⅲ兩象限內(nèi)，兩磁場(chǎng)方向相反，因此合磁場(chǎng)為零區(qū)域只能出現(xiàn)在這兩個(gè)象限內(nèi)。解：設(shè)P(x、y)點(diǎn)合磁感強(qiáng)度為零，即有得這就是過原點(diǎn)的直線方程，其斜率為I/I。例2：如圖3-2-9所示，將均勻細(xì)導(dǎo)線做成的圓環(huán)上任意兩點(diǎn)A和B與固定電源連接起來，AIAIBIO圖3-2-9分析：磁感強(qiáng)度B可以看成圓環(huán)上各部分(將圓環(huán)視為多個(gè)很小長(zhǎng)度部分的累加)的貢獻(xiàn)之和，因?yàn)閷?duì)稱性，圓環(huán)上各部分電流在圓心處磁場(chǎng)是相同或相反，可簡(jiǎn)化為代數(shù)加減。解：設(shè)A、B兩點(diǎn)之間電壓為U，導(dǎo)線單位長(zhǎng)度電阻，如圖3-2-10所示，則二段圓環(huán)電流圖3-2-10RB圖3-2-10RBAI1I2磁感強(qiáng)度B可以是圓環(huán)每小段部分磁場(chǎng)的疊加，在圓心處，可表達(dá)為，所以：因故，即兩部分在圓心處產(chǎn)生磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度大小相等，但磁場(chǎng)的方向正好相反，因此環(huán)心處的磁感強(qiáng)度等于零。

§3。3磁場(chǎng)對(duì)載流導(dǎo)體的作用3．3．1、安培力ＰＩＱB圖3-3-1一段通電直導(dǎo)線置于勻磁場(chǎng)中，通電導(dǎo)線長(zhǎng)L，電流強(qiáng)度為I，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，電流I和磁感強(qiáng)度B間的夾角為，那么該導(dǎo)線受到的安培力為電流方向與磁場(chǎng)方向平行時(shí)，，或，F(xiàn)=0，電流方向與磁場(chǎng)方向垂直時(shí)，，安培力最大，F(xiàn)=BIL。ＰＩＱB圖3-3-1安培力方向由左手定則判斷，它一定垂直于B、L所決定的平面。當(dāng)一段導(dǎo)電導(dǎo)線是任意彎曲的曲線時(shí)，如圖3-3-1所示可以用連接導(dǎo)線兩端的直線段的長(zhǎng)度作為彎曲導(dǎo)線的等效長(zhǎng)度，那么彎曲導(dǎo)線縮手的安培力為3．3．2、安培的定義如圖3-3-2所示，兩相距為a的平行長(zhǎng)直導(dǎo)線分別載有電流和。載流導(dǎo)線1在導(dǎo)線2處所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度I1I212I1I212B12B21圖3-3-2導(dǎo)線2上長(zhǎng)為的線段所受的安培力為：=其方向在導(dǎo)線1、2所決定的平面內(nèi)且垂直指向?qū)Ь€1，導(dǎo)線2單位長(zhǎng)度上所受的力同理可證，導(dǎo)線上單位長(zhǎng)度導(dǎo)線所受力也為。方向垂直指向2，兩條導(dǎo)線間是吸引力。也可證明，若兩導(dǎo)線內(nèi)電流方向相反，則為排斥力。國(guó)際單位制中，電流強(qiáng)度的單位安培規(guī)定為基本單位。安培的定義規(guī)定為：放在真空中的兩條無限長(zhǎng)直平行導(dǎo)線，通有相等的穩(wěn)恒電流，當(dāng)兩導(dǎo)線相距1米，每一導(dǎo)線每米長(zhǎng)度上受力為2牛頓時(shí)，各導(dǎo)線上的電流的電流強(qiáng)度為1安培。圖3-3-33．3．3圖3-3-3如圖3-3-3所示，設(shè)在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，有一剛性長(zhǎng)方形平面載流線圖，邊長(zhǎng)分別為L(zhǎng)和L，電流強(qiáng)度為I，線框平面的法線與之間的夾角為，則各邊受力情況如下：方向指向讀者方向背向讀者方向向下圖3-3-4圖3-3-4和大小相等，方向相反且在一條直線上，互相抵消。和大小相等，指向相反，但力作用線不在同一直線上，形成一力偶，力臂從圖3－3－3中可看出為故作用在線圈上的力矩為：而為線圈面積S，故我們稱面積很小的載流線圈為磁偶極子，用磁偶極矩來描繪它。其磁偶極矩的大小為平面線圈的面積與所載電流的電流強(qiáng)度之乘積，即，其方向滿足右手螺旋法則，即伸出右手，四指繞電流流動(dòng)方向旋轉(zhuǎn)，大拇指所指方向即為磁偶極矩的方向，如圖3-3-4中的方向，則角即為磁偶極矩與磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向的夾角。這樣，線圈所受力矩可表為我們從矩形線圈推出的公式對(duì)置于均勻磁場(chǎng)中的任意形狀的平面線圈都適合。典型例題例1．距地面h高處1水平放置距離為L(zhǎng)的兩條光滑金屬導(dǎo)軌，跟導(dǎo)軌正交的水平方向的線路上依次有電動(dòng)勢(shì)為的電池，電容為C的電容器及質(zhì)量為m的金屬桿，如圖3-3-5，單刀雙擲開關(guān)S先接觸頭1，再扳過接觸頭2，由于空間有豎直向下的強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使得金屬桿水平向右飛出做平拋運(yùn)動(dòng)。測(cè)得其水平射程為s，問電容器最終的帶電量是多少？分析：開關(guān)S接1，電源向電容器充電，電量。S扳向2，電容器通過金屬桿放電，電流通過金屬桿，金屬桿受磁場(chǎng)力向右，金屬桿右邊的導(dǎo)軌極短，通電時(shí)間極短，電流圖3-3-5并非恒定，力也就不是恒力。因此不可能精確計(jì)算每個(gè)時(shí)刻力產(chǎn)生的效果，只能關(guān)心和計(jì)算該段短時(shí)間變力沖量的效果，令金屬桿離開導(dǎo)軌瞬間具有了水平向右的動(dòng)量。根據(jù)沖量公式，跟安培力的沖量相聯(lián)系的是時(shí)間內(nèi)流經(jīng)導(dǎo)體的電量。由平拋的高度與射程可依據(jù)動(dòng)量定理求出，電容器最終帶電量可求。圖3-3-5解：先由電池向電容器充電，充得電量。之后電容器通過金屬桿放電，放電電流是變化電流，安培力也是變力。根據(jù)動(dòng)量定理：圖3-3-7圖3-3-7B12LF1F2B22L其中=s/t，h=gt綜合得電容器最終帶電量I02LI02LI2L圖3-3-6點(diǎn)評(píng)：根據(jù)動(dòng)量定理來研究磁場(chǎng)力沖量產(chǎn)生的效果，實(shí)際上就是電量和導(dǎo)體動(dòng)量變化的關(guān)系，這是磁場(chǎng)中一種重要的問題類型。例2圖3-3-6中，無限長(zhǎng)豎直向上的導(dǎo)線中通有恒定電流，已知由產(chǎn)生磁場(chǎng)的公式是，k為恒量，r是場(chǎng)點(diǎn)到導(dǎo)線的距離。邊長(zhǎng)為2L的正方形線圈軸線與導(dǎo)線平行。某時(shí)刻線圈的ab邊與導(dǎo)線相距2L。已知線圈中通有電流。求此時(shí)刻線圈所受的磁場(chǎng)力矩。分析：畫俯視圖如圖3-3-7所示，先根據(jù)右手螺旋法則確定和的方向，再根據(jù)左手定則判斷ab邊受力和cd邊受力的方向，然后求力矩。解：根據(jù)右手螺旋法則和左手定則確定和、和的方向，如圖3-3-7所示。，對(duì)軸產(chǎn)生的力矩對(duì)軸產(chǎn)生的力矩兩個(gè)力矩俯視都是逆時(shí)針同方向的，所以磁場(chǎng)對(duì)線圈產(chǎn)生的力矩點(diǎn)評(píng)：安培力最重要的應(yīng)用就是磁場(chǎng)力矩。這是電動(dòng)機(jī)的原理，也是磁電式電流表的構(gòu)造原理。一方面要強(qiáng)調(diào)三維模型簡(jiǎn)化為二維平面模型，另一方面則要強(qiáng)調(diào)受力邊的受力方向的正確判斷，力臂的確定，力矩的計(jì)算。本題綜合運(yùn)用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決問題的能力層次是較高的，我們應(yīng)努力摸索和積累這方面的經(jīng)驗(yàn)。

§3。4磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用0圖3－4－13．4．1、洛倫0圖3－4－1載流導(dǎo)線所受的安培力，我們可看為是磁場(chǎng)作用給運(yùn)動(dòng)電荷即自由電子的力，經(jīng)自由電子與導(dǎo)體晶格的碰撞而傳遞給導(dǎo)線的。根據(jù)安培定律，而電流強(qiáng)度與運(yùn)動(dòng)電荷有關(guān)系，角既是電流元與B的夾角，也可視為帶電粒子的速度與之間的夾角，長(zhǎng)導(dǎo)線中有粒子數(shù)，則每個(gè)電子受到的力即洛倫茲力為洛倫茲力總是與粒子速度垂直，因此洛倫茲力不作功，不能改變運(yùn)動(dòng)電荷速度的大小，只能改變速度的方向，使路徑發(fā)生彎曲。洛倫茲力的方向從圖3-4-1可以看出，它一定與磁場(chǎng)(B)的方向垂直，也與粒子運(yùn)動(dòng)()方向垂直，即與、B所在的平面垂直，具體方向可用左手定則判定。但應(yīng)注意，這里所說的粒子運(yùn)動(dòng)方向是指正電荷運(yùn)動(dòng)的方向，它恰與負(fù)電荷沿相反方向運(yùn)動(dòng)等效。3．4．2、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與粒子的初始狀態(tài)有關(guān)具體如下：如果帶電粒子原來靜止，它即使在磁場(chǎng)中也不會(huì)受洛倫磁力的作用，因而保持靜止。如果帶電粒子運(yùn)動(dòng)的方向恰與磁場(chǎng)方向在一條直線上，該粒子仍不受洛倫磁力的作用，粒子就以這個(gè)速度在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)。帶電粒子速度方向與磁場(chǎng)方向垂直，帶電粒子在垂直于磁場(chǎng)方向的平面內(nèi)以入射速度作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的四個(gè)基本公式。(1)向心力公式：AABAAABA0圖3-4-2(3)周期、頻率和角頻率公式，即：，，(4)動(dòng)能公式：如圖3-4-2所示，在洛倫茲力作用下，一個(gè)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的粒子，不論沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)還是沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，均具有下述特點(diǎn)：(1)軌道圓心(O)總是位于A、B兩點(diǎn)洛倫茲力(f)的交點(diǎn)上或AB弦的中垂線與任一個(gè)f的交點(diǎn)上。v⊥v∥vfBr圖3-4-3(2)粒子的速度偏向角等于回旋角，并等于ABv⊥v∥vfBr圖3-4-3磁場(chǎng)中帶電粒子運(yùn)動(dòng)的方向一般是任意的，但任何一個(gè)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的速度()都可以在垂直于磁場(chǎng)方向和平行于磁場(chǎng)方向進(jìn)行分解，得到和兩個(gè)分速度。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性可知，這樣的帶電粒子一方面以在磁場(chǎng)方向上作勻速運(yùn)動(dòng)，一方面又在垂直于磁場(chǎng)的方向上作速率為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上粒子作螺旋線運(yùn)動(dòng)(如圖3-4-3)，這種螺旋線運(yùn)動(dòng)的周期和螺距大小讀者自己分析并不難解決。其螺旋運(yùn)動(dòng)的周期，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律：螺旋運(yùn)動(dòng)回旋半徑：螺旋運(yùn)動(dòng)螺距：3．4．3、霍爾效應(yīng)將一載流導(dǎo)體放在磁場(chǎng)中，由于洛倫茲力的作用，會(huì)使帶電粒子(或別的載流子)發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)，在磁場(chǎng)和電流二者垂直的方向上出現(xiàn)橫向電勢(shì)差，這一現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)。圖3-4-4如圖3-4-4所示，電流I在導(dǎo)體中流動(dòng)，設(shè)導(dǎo)體橫截面高h(yuǎn)、寬為d勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直與導(dǎo)線前、后兩表面向外，磁感強(qiáng)度為B，導(dǎo)體內(nèi)自由電子密度為n，定向移動(dòng)速度圖3-4-4由于洛倫茲力作用，自由電子向上表面聚集，下表面留下正離子，結(jié)果上下表面間形成電場(chǎng)，存在電勢(shì)差U，這個(gè)電場(chǎng)對(duì)電子的作用力方向向下，大小為當(dāng)F與洛倫磁力f相平衡時(shí)，上、下表面電荷達(dá)到穩(wěn)定，則有圖3-4-5圖3-4-5如果導(dǎo)電的載流子是正電荷，則上表面聚集正電荷，下表面為負(fù)電勢(shì)，電勢(shì)差正、負(fù)也正好相反。下面來分析霍爾電勢(shì)差，求出霍爾系數(shù)。在圖3-4-5中，設(shè)大塊導(dǎo)體的長(zhǎng)和寬分別為L(zhǎng)和d，單位體積自由電荷密度為n，電荷定向移動(dòng)速率為，則電流。假定形成電流的電荷是正電荷，其定向移動(dòng)方向就是電流方向。根據(jù)左手定則，正電荷向上積聚，下表面附近缺少正電荷則呈現(xiàn)負(fù)電荷積聚，上正下負(fù)電壓為，正電荷受到跟磁場(chǎng)力反向的電場(chǎng)力的作用。電場(chǎng)對(duì)正電荷向上的偏移積聚起阻礙作用，當(dāng)最后達(dá)到平衡時(shí)，可得?？梢姡碚撏茖?dǎo)的結(jié)果跟實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全一致，系數(shù)。既然k跟n有關(guān)，n表征電荷濃度，那么通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定k值可以確定導(dǎo)體或半導(dǎo)體的電荷濃度n，半導(dǎo)體的n值比金屬導(dǎo)體小得多，所以k值也大得多。此外根據(jù)左手定則還可知，即使電流I就是圖3-4-6中的流向，如果參與流動(dòng)的是正電荷，那么電壓就是上正下負(fù)；如果參與定向移動(dòng)的是自由電子，那么電壓就是上負(fù)下正了?；魻栯妱?shì)的高低跟半導(dǎo)體是p型的還是n型的有如此的關(guān)系：上正下負(fù)的是p型半導(dǎo)體，定向載流子是帶正電的空穴：上負(fù)下正的是n型半導(dǎo)體，如果k值小得多就是金屬導(dǎo)體，定向載流子是自由電子。3．4．4、磁聚焦運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中的螺旋運(yùn)動(dòng)被應(yīng)用于“磁聚焦技術(shù)”。如圖3-4-7，電子束經(jīng)過a、b板上恒定電場(chǎng)加速后，進(jìn)入c、d極板之間電場(chǎng)，c、d板上圖3-4-7加交變電壓，所以飛出c、d板后粒子速度方向不同，從A孔穿入螺線管磁場(chǎng)中，由于大小差不多，且與B夾角很小，則圖3-4-7由于速度分量不同，在磁場(chǎng)中它們將沿不同半徑的螺旋線運(yùn)動(dòng)。但由于它們速度分量近似相等，經(jīng)過xyPQ圖3-4-8后又相聚于xyPQ圖3-4-83．4．5、復(fù)合場(chǎng)中離子的運(yùn)動(dòng)1．電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域獨(dú)立磁場(chǎng)與電場(chǎng)不同，磁場(chǎng)中，洛倫磁力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功，只改變帶電粒子速度方向，所以在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)主要表現(xiàn)為：勻速圓周運(yùn)動(dòng)、螺旋運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)。而電場(chǎng)中，電荷受到電場(chǎng)力作用，電場(chǎng)力可能對(duì)電荷做功，因而改變速度大小和方向，但電場(chǎng)是保守場(chǎng)，電場(chǎng)力做功與運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān)。處理獨(dú)立的電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)電荷問題，是分開獨(dú)立處理。例：如圖3-3-8所示，在平面內(nèi)，y＞O區(qū)域有勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向沿-y方向，大小為E，y＜O區(qū)域有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里，大小為B，一帶電+q、質(zhì)量為m的粒子從y軸上一點(diǎn)P由靜止釋放，要求粒子能經(jīng)過x軸上Q點(diǎn)，Q坐標(biāo)為(L，O)，試求粒子最初釋放點(diǎn)P圖3-4-9圖3-4-9分析：解決上述問題關(guān)鍵是明確帶電粒子的受力和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。從y軸上釋放后，只受電場(chǎng)力加速做直線運(yùn)動(dòng)，從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，然后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半圈后可能恰好擊中Q點(diǎn)，也可能返回電場(chǎng)中，再減速、加速做直線運(yùn)動(dòng)，然后又返回磁場(chǎng)中，再經(jīng)半圓有可能擊中Q點(diǎn)，……。那么擊中Q點(diǎn)應(yīng)滿足的條件。2．空間區(qū)域同時(shí)存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)（1）

電場(chǎng)和磁場(chǎng)正交如圖3-4-9所示，空間存在著正交的電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域，電場(chǎng)平行于紙面平面向下，大小為E，磁場(chǎng)垂直于紙面向內(nèi)，磁感強(qiáng)度為B，一帶電粒子以初速進(jìn)入磁場(chǎng)，，，設(shè)粒子電量+q，則受力：洛=方向向上，F(xiàn)電=qE方向向下。若滿足：=qE=E/B則帶電粒子將受平衡力作用做勻速直線運(yùn)動(dòng)，這是一個(gè)速度選擇器模型。若粒子進(jìn)入正交電磁場(chǎng)速度，則可將分解為，粒子的運(yùn)動(dòng)可看成是與兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，因而粒子受到的洛倫茲力可看成是與的合力，而與電場(chǎng)力qE平衡，粒子在電場(chǎng)中所受合力為，結(jié)果粒子的運(yùn)動(dòng)是以的勻速直線運(yùn)動(dòng)和以速度所做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。例：如圖3-4-10正交電磁場(chǎng)中，質(zhì)量m、帶電量+q粒子由一點(diǎn)P靜止釋放，分析它的運(yùn)動(dòng)。圖3-4-10分析：粒子初速為零釋放，它的運(yùn)動(dòng)軌跡是如圖3-4-10所示的周期性的曲線。初速為零，亦可看成是向右的與向左-兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，其中大小為：=E/B圖3-4-10所以+q粒子可看成是向右勻速直線運(yùn)動(dòng)和逆時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。電場(chǎng)方向上向下最大位移圖3-4-11圖3-4-11一個(gè)周期向右移動(dòng)距離L即PP之距為代入，得：最低點(diǎn)Q點(diǎn)速度（2）

電場(chǎng)和磁場(chǎng)平行如圖3-4-11所示的空間區(qū)域有相互平行的電場(chǎng)和磁場(chǎng)E、B一帶電+q粒子以初速射入場(chǎng)區(qū)(或B)。則帶電粒子在磁場(chǎng)力作用下將做圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力作用下向上做加速運(yùn)動(dòng)，由于向上運(yùn)動(dòng)速度分量始終與B平行，故粒子受洛倫磁力大小恒為，結(jié)果粒子運(yùn)動(dòng)是垂直于E(或B)平面的半徑R=m/qB的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和沿E方向勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，即一個(gè)螺距逐漸增大的螺旋運(yùn)動(dòng)。（3）

電場(chǎng)力、洛倫磁力都與方向垂直，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。例如電子繞原子核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電子質(zhì)量m，電量為e，現(xiàn)在垂直軌道平面方向加一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度大小為B，而電子軌道半徑不變，已知電場(chǎng)力3倍與洛倫磁力，試確定電圖圖3-4-12在這里電子繞核旋轉(zhuǎn)，電場(chǎng)力、洛倫磁力提供運(yùn)動(dòng)所需向心力，即電+洛=而f洛可能指向圓心，也可能沿半徑向外的，因而可能是或典型例題例1．在如圖3-4-12所示的直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)O固定電量為Q的正點(diǎn)電荷，另有指向y軸正方向(豎直向上方向)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小圖3-4-13為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，因而另一個(gè)質(zhì)量為m、電量力為q的正點(diǎn)電荷微粒恰好能以y軸上的點(diǎn)為圓心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道平面(水平面)與平面平行，角速度為，試求圓心的坐標(biāo)值。圖3-4-13分析：帶電微粒作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可以確定在只有洛倫磁力和庫(kù)侖力的情況下除非與O不重合，必須要考慮第三個(gè)力即重力。只有這樣，才能使三者的合力保證它繞在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。解：設(shè)帶電微粒作勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R，圓心的縱坐標(biāo)為y，圓周上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線和y軸夾角為，那么有帶電粒子受力如圖3-4-13所示，列出動(dòng)力學(xué)方程為mg=F電cosθ(1)f洛-F電(2)f洛=(3)將(2)式變換得f洛-F電(4)將(3)代入(4)，且(1)÷(4)得圖3-4-14消去R得圖3-4-14例2．如圖3-4-14所示，被1000V的電勢(shì)差加速的電子從電子槍發(fā)射出來，沿直線方向運(yùn)動(dòng)，要求電子擊中在方向、距離槍口5cm的靶M，對(duì)以下兩種情形求出所用的均勻磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B．（1）磁場(chǎng)垂直于由直線與點(diǎn)M所確定的平面。（2）磁場(chǎng)平行于TM。解：（1）從幾何考慮得出電子的圓軌道的半徑為(如圖3-4-15)按能量守恒定律，電荷Q通過電勢(shì)差U后的速度v為圖3-4-15圖3-4-15即作用在電荷Q上的洛倫磁力為這個(gè)力等于向心力故所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度為用上面的半徑和速度值，得到圖3-4-16由于，，所以B=0.0037T圖3-4-16（2）在磁場(chǎng)施加的力與速度垂直，所以均勻恒定磁場(chǎng)只改變電子速度的方向，不改變速度的大小。我們把電子槍發(fā)射的電子速度分解成兩個(gè)直線分量：沿磁場(chǎng)B方向的和垂直磁場(chǎng)的，因?yàn)樵诖艌?chǎng)的方向上，磁場(chǎng)對(duì)它沒有作用力(圖3-4-16)。電子經(jīng)過d/時(shí)間后到達(dá)目標(biāo)M。由于磁場(chǎng)B和垂直的速度分量，電子在圓軌道上運(yùn)動(dòng)，由得到圓半徑為電子在目標(biāo)M的方向上也具有速度，結(jié)果是電子繞B方向作螺旋線運(yùn)動(dòng)。電在在d/時(shí)間內(nèi)，在繞了k圈后擊中目標(biāo)。K是一個(gè)整數(shù)。圓的周長(zhǎng)為由于繞圓周運(yùn)動(dòng)的速度是，故繞一周的時(shí)間是這個(gè)值乘上整數(shù)k，應(yīng)等于d/因此，所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度為k=1時(shí)，電子轉(zhuǎn)一圈后擊中目標(biāo)：k=2時(shí)，電子轉(zhuǎn)兩圈后擊中目標(biāo)，等等。只要角度相同，磁場(chǎng)方向相反與否，無關(guān)緊要。用給出的數(shù)據(jù)代入，得B=k×0.0067T例3．一根邊長(zhǎng)為a、b、c(a＞＞b＞＞c)的矩形截面長(zhǎng)棒，如圖3-4-17所示，由半導(dǎo)體銻圖3-4-17化銦制成，棒中有平行于a邊的電流I通過，該棒放在垂直于c邊向外的磁場(chǎng)B中，電流I所產(chǎn)生的磁場(chǎng)忽略不計(jì)。該電流的載流子為電子，在只有電場(chǎng)存在時(shí)，電子在半導(dǎo)體中的平均速度，其中為遷移率。圖3-4-17（1）

確定棒中所產(chǎn)生上述電流的總電場(chǎng)的大小和方向。（2）

計(jì)算夾c邊的兩表面上相對(duì)兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差。（3）

如果電流和磁場(chǎng)都是交變的，且分別為，)，求(2)中電勢(shì)差的直流分量的表達(dá)式。已知數(shù)據(jù)：電子遷移率，電子密度，I=1.0A，B=0.1T，b=1.0cm，c=1.0mm，e=1.6×10-19C分析：這是一個(gè)有關(guān)霍爾效應(yīng)的問題，沿電流方向，導(dǎo)體內(nèi)存在電場(chǎng)，又因?yàn)榛魻栃?yīng)，使得電子偏轉(zhuǎn)，在垂直電流方向產(chǎn)生電場(chǎng)，兩側(cè)面間有電勢(shì)差的存在解：(1)因?yàn)樗噪妶?chǎng)沿方向分量沿c方向的分量總電場(chǎng)大?。弘妶?chǎng)方向與邊夾角，=(2)上、下兩表面電勢(shì)差(3)加上交變電流和交變磁場(chǎng)后，有前面討論的上、下表面電勢(shì)差表達(dá)式，可得：圖3-4-18圖3-4-18=因此的直流分量為直=例4．如圖3-4-18所示，空間有互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，E沿+y方向，B沿+z方向，一個(gè)帶正電+q、質(zhì)量為m的粒子(設(shè)重力可以忽略)，從坐標(biāo)圓點(diǎn)O開始無初速出發(fā)，求粒子坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，以及粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。圖3-4-19分析：正離子以O(shè)點(diǎn)起無初速出發(fā)，受恒定電場(chǎng)力作用沿+y方向運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樗俣葀的大小、方向都改變，洛倫茲力僅在xOy平面上起作用，粒子軌跡一定不會(huì)離開xOy平面且一定以O(shè)圖3-4-19我們都知道，符合一定大小要求的彼此正交的勻強(qiáng)復(fù)合電磁場(chǎng)能起速度選擇器作用。受其原理啟發(fā)，設(shè)想正離子從O點(diǎn)起(此處)就有一個(gè)沿x軸正方向、大小為的始終不變的速度，當(dāng)然在O點(diǎn)同時(shí)應(yīng)有一個(gè)沿-x方向的大小也是的速度，保證在O點(diǎn)，則，沿-y方向，qE沿+y方向，彼此抵消，可寫成。因任一時(shí)刻，所以，或改寫成：。始終的三個(gè)速度和都在xOy平面上，其物理意義是：正離子在復(fù)合場(chǎng)中受的兩個(gè)真實(shí)的力()和F(E)的矢量和，可以用一個(gè)洛倫磁力分力來代替，這樣做的一個(gè)先決條件是把正離子運(yùn)動(dòng)看成以下兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成：①沿+x方向的=E/B的勻速直線運(yùn)動(dòng)；②在xOy平面上的一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其理由是：是平面力，軌跡又是平面的不是三維空間的，所以必與垂直，在O點(diǎn)就是-，之后不對(duì)離子作功，大小不變，充當(dāng)向心力。這個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)特征量是：，，。解：t=0時(shí)刻，正離子位于O點(diǎn)，此時(shí)起離子具有兩個(gè)速度：一是速度方向始終不變、大小為=E/B的速度。由這個(gè)速度引起的洛倫磁力跟電場(chǎng)力抵消。另一個(gè)速度是在O點(diǎn)時(shí)沿-x方向的大小為E/B的速度，該速度引起的洛倫磁力指向(0，+)點(diǎn)，這點(diǎn)就是t=0時(shí)的圓心。之后該圓心以速率沿平行于x軸正向的方向無滑動(dòng)開始平動(dòng)，正離子是該圓周上的一個(gè)點(diǎn)，且t=0是恰好就是該圓與x軸的切點(diǎn)即坐標(biāo)原點(diǎn)，此后，正離子相對(duì)圓心以角速度順時(shí)針繞行。在xOy平面上，粒子的軌跡被稱為旋輪線，其坐標(biāo)值隨時(shí)間的變化為參數(shù)方程：z=0(1)(2)(3)有一定數(shù)學(xué)能力的人不妨嘗試把參數(shù)t消去得出y與x的關(guān)系式，用來表示其軌跡的方法。點(diǎn)評(píng)：設(shè)想一個(gè)輪子沿地面做無滑動(dòng)的滾動(dòng)，輪子邊緣用紅顏料涂上色，觀察這個(gè)邊緣所得的運(yùn)動(dòng)軌跡就是旋輪線。圖3-5-1§3.5應(yīng)用圖3-5-13．5．1、質(zhì)譜儀密粒根油滴實(shí)驗(yàn)可測(cè)定帶電粒子的電量，而質(zhì)譜儀能測(cè)定帶電粒子荷質(zhì)比q/m，兩者結(jié)合可測(cè)定帶電粒子質(zhì)量。如圖3-5-1為質(zhì)譜儀的原理圖。圖中粒子源產(chǎn)生質(zhì)量m、電量q的粒子，由于初始速度很小，可以看做是靜止的。粒子經(jīng)加速電壓U后，速度為，由動(dòng)能定理：帶電粒子進(jìn)入磁感強(qiáng)度為B勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)半圈后打在P點(diǎn)的照相底片上，測(cè)得，則半徑，根據(jù)向心力公式得 圖3-5-23．5．2圖3-5-2磁流體發(fā)電機(jī)是一種不依靠機(jī)械傳動(dòng)，而直接把熱能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿难b置。如圖3-5-2所示為磁流體發(fā)電機(jī)原理圖。在距離為d的兩平行金屬板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度為B。從左側(cè)有高速運(yùn)動(dòng)的等離子體(含有相等數(shù)量正、負(fù)離子)射入其間，離子在洛倫磁力作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)，正離子向上偏、負(fù)離子向下偏，結(jié)果M板帶正電，N板帶負(fù)電，使M、N板成為能提供正、負(fù)電荷的電源兩極，隨著電荷的聚集，兩板間產(chǎn)生電場(chǎng)阻礙電荷偏轉(zhuǎn)，最終穩(wěn)定時(shí)，射入兩板間離子所受洛倫磁力與電場(chǎng)力平衡兩板間場(chǎng)強(qiáng)，兩板間電勢(shì)差為電鍵K斷開時(shí)，此電勢(shì)差即為磁流體發(fā)電機(jī)電動(dòng)勢(shì)，即：當(dāng)電鍵K閉合時(shí)，M、N板放電，對(duì)外做功，此時(shí)兩板間電勢(shì)差小于電動(dòng)勢(shì)。3．5．3、回旋加速器回旋加速器是利用帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期與速度無關(guān)的原理，實(shí)現(xiàn)對(duì)粒子反復(fù)加速的裝置。如圖3-5-3所示，回旋加速器核心部分是兩個(gè)D型金屬扁盒，兩D型盒之間留有狹縫，在兩D型盒之間加高頻交變電壓，于是狹縫間形成交變電場(chǎng)，由于電屏蔽，D型金屬盒內(nèi)電場(chǎng)幾乎為零。D型盒置于真空容器中，整個(gè)裝置又放在巨大電磁鐵兩極之間。磁場(chǎng)垂直于D型盒。狹縫中心處有粒子源，當(dāng)發(fā)出帶電粒子首先通過狹縫被加速，圖3-5-3調(diào)節(jié)高頻交變電壓變化周期與粒子在D型盒中運(yùn)動(dòng)周期相等，使粒子每次通過狹縫時(shí)都被電場(chǎng)加速，經(jīng)過反復(fù)加速，粒子速度越來越大，回旋半徑也越來越大，趨近盒邊緣時(shí)粒子加速達(dá)到最大速度引出，如圖3-5-4．圖3-5-3粒子在磁場(chǎng)中回旋時(shí)有：圖3-5-4粒子速度最大時(shí)r=R，R為D型盒半徑，所以粒子達(dá)最大速度為圖3-5-4最大動(dòng)能關(guān)于回旋加速器：回旋加速器的任務(wù)，是使某些微觀帶電粒子的速率被增加到很大，因而具有足夠動(dòng)能，成為可用于轟擊各種靶元素的原子核甚至核內(nèi)基本粒子的高能炮彈。早期歐洲核子研究中心的質(zhì)子同步加速器，造價(jià)2800萬美元，軌道半徑560英尺(1英尺=0.305m)=170.8m，最大磁場(chǎng)為1.4T，質(zhì)子在其中繞行總路程為5×104英里(1英里=1.6093km)=80465km=2倍赤道周長(zhǎng)后引出，最大能量達(dá)到2.8×1010eV，每次放出質(zhì)子1011個(gè)。20世紀(jì)80年代末該加速器的效果已達(dá)到4×1011eV。世界上最大的加速器在美國(guó)加利福尼亞，直徑幾乎達(dá)3km，20世紀(jì)80年代末，其加速效果達(dá)到了1012eV。我國(guó)80年代后半期最大的加速器為5×1010eV，在四川省。課本上說影響回旋加速器的加速能力的主要因素是相對(duì)論效應(yīng)。其涵義是：在極高速運(yùn)動(dòng)中，微粒質(zhì)量隨速度增加而顯著變大。相對(duì)論質(zhì)量公式是：是微粒靜止質(zhì)量，是運(yùn)動(dòng)質(zhì)量，c是光速。當(dāng)＜＜時(shí)，，但是當(dāng)速度接近光速時(shí)，，就變得非常大。事實(shí)上，在湯姆遜發(fā)現(xiàn)電子后不久，科學(xué)家就發(fā)現(xiàn)了許多種元素都能自發(fā)地放出射線(高速電子流)，但不同元素發(fā)射的粒子速率不一樣，導(dǎo)致同是電子流，荷質(zhì)比有差異，速率越大其荷質(zhì)比越小。用實(shí)驗(yàn)測(cè)定的荷質(zhì)比其實(shí)不是。而是。其中的一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表3-1，再把實(shí)驗(yàn)測(cè)出的值由換算，所得的的數(shù)值確實(shí)很接近一個(gè)恒量。恰恰是回旋加速器的這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果，最早證實(shí)了愛因斯坦相對(duì)論的正確。實(shí)驗(yàn)測(cè)量的換算后所得的0.31731.6611.7520.37871.6301.7610.42811.5901.7600.51541.5111.7630.68701.2831.767加速器令粒子質(zhì)量變大，根據(jù)，粒子回旋軌道半徑會(huì)變大，同時(shí)因?yàn)橹芷冢蛘哳l率，使周期變大或頻率變小，粒子在兩個(gè)切開的半D形盒內(nèi)的回旋運(yùn)動(dòng)就變的跟加速電壓的震蕩不同步，不合拍，不再保證粒子每經(jīng)過一次狹縫就被加速一次。其次，質(zhì)量越輕的粒子在能量未太高時(shí)速度就明顯大，質(zhì)量變大尤其顯著，相對(duì)論效應(yīng)對(duì)其繼續(xù)加速的限制就越厲害。還有一個(gè)限制就是，根據(jù)粒子末能量表達(dá)式，，為D形盒的尺寸。比如要在1.5T的磁場(chǎng)中令質(zhì)子獲得300eV能量(對(duì)應(yīng)速度0.99998c)，需磁場(chǎng)的直徑為130m。上述兩個(gè)原理上的限制，正在技術(shù)上得到逐步克服。措施也大致上有兩方面：第一，因?yàn)椋允且粋€(gè)恒量。采用適當(dāng)?shù)募夹g(shù)能控制加速電壓振蕩頻率隨粒子質(zhì)量變大而成反比地減少，就能做到粒子回旋運(yùn)動(dòng)和加速電場(chǎng)同步合拍，這種加速器通常被稱為同步加速器。第二，由于，當(dāng)變大時(shí)適當(dāng)加大磁場(chǎng)B值，可致半徑的增圖3-5-5大減慢，現(xiàn)代加速器的磁場(chǎng)磁極一般做成環(huán)形，就是為了達(dá)到這個(gè)目的。圖3-5-5典型例題磁流體發(fā)電機(jī)的示意圖如圖3-5-5所示，橫截面為矩形的管道長(zhǎng)為，寬為，高為b，上、下兩個(gè)側(cè)面是絕緣體，相距為的前后兩個(gè)側(cè)面是電阻可以忽略不計(jì)的導(dǎo)體，此兩導(dǎo)體側(cè)面與一負(fù)載電阻R相連。整個(gè)管道放在一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于上、下側(cè)面向上?，F(xiàn)有電離氣體(正、負(fù)帶電粒子)持續(xù)穩(wěn)定地流經(jīng)管道，為了使問題簡(jiǎn)化，設(shè)橫截面上各點(diǎn)流速相同。已知流速與電離氣體所受摩擦阻力呈正比；且無論有無磁場(chǎng)時(shí)都維持管兩端電離氣體的壓強(qiáng)差為ρ。設(shè)無磁場(chǎng)存在時(shí)電離氣體的流速為，求有磁場(chǎng)存在時(shí)此磁流體發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)大小。已知電離氣體的平均電阻率為ρ。分析：由于氣體流經(jīng)管道過程中受摩擦和安培力作用，維持氣體勻速運(yùn)動(dòng)，故必須使管兩端存在壓力差，以克服上述的阻力，因而本題即可以從力的平衡角度解決問題，也可以從能量守恒的角度來考慮。解法一：從力平衡角度看，設(shè)有磁場(chǎng)存在時(shí)，電離氣體的流速為。其產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為閉合電路中電流，為電源內(nèi)阻，大小為代入得管內(nèi)氣體所受安培力摩擦阻力穩(wěn)定平衡時(shí)無磁場(chǎng)時(shí)，摩擦阻力，穩(wěn)定平衡時(shí)所以有：兩式比：解得，綜合以上各式得解法二：從能量觀點(diǎn)看，無磁場(chǎng)時(shí)，外界壓力的功率等于克服摩擦力的功率，即有磁場(chǎng)時(shí)，外界壓力的功率等于克服摩擦力的功率加上回路電功率當(dāng)氣體穩(wěn)定時(shí)，又有，代入上式得同樣可求得

第四講電磁感應(yīng)§4．1電磁感應(yīng)現(xiàn)象4．1．1、電磁感應(yīng)現(xiàn)象1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流產(chǎn)生磁場(chǎng)后，那磁場(chǎng)是否會(huì)產(chǎn)生電流這個(gè)逆問題引起人們極大的興趣，人們做了許多實(shí)驗(yàn)，但直到1831年，英國(guó)物理學(xué)家法拉第才第一次發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，并總結(jié)出電磁感應(yīng)定律。當(dāng)穿過閉合線圈的磁通量改變時(shí)，線圈中出現(xiàn)電流，這個(gè)現(xiàn)象稱做電磁感應(yīng)，電磁感應(yīng)中出現(xiàn)的電流稱之感應(yīng)電流。線圈中磁通的變化，從激發(fā)磁場(chǎng)的來源來看，可以是由永磁體引起的，也可是由電流激發(fā)的磁場(chǎng)引起。從磁通量變化的原因來看，可以是磁場(chǎng)不變，閉合線圈改變形狀或在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)引起的，也可以是線圈不動(dòng)，而磁場(chǎng)變化引起的?？傊罅繉?shí)驗(yàn)證明：當(dāng)一個(gè)閉合電路的磁通(不論由什么原因)發(fā)生變化時(shí)，都會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流?！?．2法拉第電磁感應(yīng)定律楞次定律4．2．1、法拉第電磁感應(yīng)定律當(dāng)通過閉合線圈的磁通量變化時(shí)，線圈中有感應(yīng)電流產(chǎn)生，而電流的產(chǎn)生必與某種電動(dòng)勢(shì)的存在相聯(lián)系，這種由于磁通量變化而引起的電動(dòng)勢(shì)，稱做感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)比感應(yīng)電流更能反映電磁感應(yīng)現(xiàn)象的本質(zhì)。因?yàn)楦袘?yīng)電流的大小隨線圈的電阻而變，而感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)僅與磁通量的變化有關(guān)，與線圈電阻無關(guān)，特別是當(dāng)線圈不閉合時(shí)，只要有磁通變化，線圈內(nèi)就有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)而此時(shí)線圈內(nèi)卻沒有感應(yīng)電流，這時(shí)我們還是認(rèn)為發(fā)生了電磁感應(yīng)現(xiàn)象。精確的實(shí)驗(yàn)表明：閉合回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε與穿過回路的磁通量的變化率Δ/△t成正比。這個(gè)結(jié)論叫做法拉第電磁感應(yīng)定律。即：式中K是比例常數(shù)，取決于ε、、t的單位。在國(guó)際單位制中，的單位為韋伯，t的單位為秒，ε的單位是伏特，則K=1。這個(gè)定律告訴我們，決定感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小的不是磁通量本身，而是隨時(shí)間的變化率。在磁鐵插在線圈內(nèi)部不動(dòng)時(shí)，通過線圈的磁通雖然很大，但并不隨時(shí)間而變化，那仍然沒有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。這個(gè)定律是實(shí)驗(yàn)定律，它與庫(kù)侖定律，畢奧——薩伐爾定律這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)定律一起，撐起了電磁理論的整座大廈。4．2．2、楞次定律1834年楞次提出了判斷感應(yīng)電流方向的方法，而根據(jù)感應(yīng)電流的方向可以說明感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向。圖4-2-1圖4-2-1用楞次定律來判斷感應(yīng)電流的方向，首先判斷穿過閉合回路的磁力線沿什么方向，它的磁通量發(fā)生什么變化(增加還是減少)，然后根據(jù)楞次定律來確定感應(yīng)電流所激發(fā)的磁場(chǎng)沿何方向(與原磁場(chǎng)反向還是同向)；最后根據(jù)右手定則從感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向來確定感應(yīng)電流的方向。法拉第定律確定了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，而楞次定律確定了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向，若要把二者統(tǒng)一于一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式中，必須把磁通和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)看成代數(shù)量，并對(duì)它的正負(fù)賦予確切的含義。南北圖4-2-2adbC電動(dòng)勢(shì)和磁通量都是標(biāo)量，它們的正負(fù)都是相對(duì)于某一標(biāo)定方向而言的。動(dòng)于電動(dòng)勢(shì)的正負(fù)，先標(biāo)定回路的繞行方向，與此繞行方向相同的電動(dòng)勢(shì)為正，否則為負(fù)。磁通量是通過以回路為邊界的面的磁力線的根數(shù)，其正負(fù)有賴于這個(gè)面的法線矢量方向的選取，若與的夾角為銳角，則為正：夾角為鈍角，為負(fù)。但需要注意，回路繞行方向與方向的選定，并不是各自獨(dú)立的任意確定，二者必須滿足右手螺旋法則。如圖4-2-1，伸出右手，大姆指與四指垂直，讓四指彎曲代表選定的回路的繞行方向，則伸直的姆指就指向法線的方向。南北圖4-2-2adbC對(duì)電動(dòng)勢(shì)和磁通量的方向做以上規(guī)定后，法拉第定律和楞次定律就統(tǒng)一于下式：若在時(shí)間間隔△t內(nèi)的增量為，那么當(dāng)正隨時(shí)間增大，或負(fù)的的絕對(duì)值隨時(shí)間減小時(shí)，，則ε為負(fù)，ε的方向與標(biāo)定的回路方向相反；反之，當(dāng)正的隨時(shí)間減小，或負(fù)的的絕對(duì)值隨時(shí)間增加。4．2．3、典型例題例1.如圖4-2-2所示，在水平桌面放著長(zhǎng)方形線圈abcd，已知ab邊長(zhǎng)為，bc邊長(zhǎng)為，線圈總電阻為R，ab邊正好指向正北方。現(xiàn)將線圈以南北連線為軸翻轉(zhuǎn)180。，使ab邊與cd邊互換位置，在翻轉(zhuǎn)的全過程中，測(cè)得通過導(dǎo)線的總電量為。然后維持ad邊(東西方向)不動(dòng)，將該線圈繞ad邊轉(zhuǎn)90。，使之豎直，測(cè)得正豎直過程中流過導(dǎo)線的總電量為。試求該處地磁場(chǎng)磁感強(qiáng)度B。分析:由于地磁場(chǎng)存在，無論翻轉(zhuǎn)或豎直，都會(huì)使通過回路的磁通量發(fā)生變化，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，引起感應(yīng)電流，導(dǎo)致電量傳輸。值得注意的是，地磁場(chǎng)既有豎直分量，又有南北方向的分量，而且在南半球和北半球又有所不同，題目中未指明是在南半球或北班球，所以解題過程中應(yīng)分別討論。BB2B1圖4-2-3解:(1)設(shè)在北半球，地磁場(chǎng)B可分解為豎見向下的BB2B1圖4-2-3當(dāng)線圈