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學(xué)校________________班級(jí)____________姓名____________考場(chǎng)____________準(zhǔn)考證號(hào)學(xué)校________________班級(jí)____________姓名____________考場(chǎng)____________準(zhǔn)考證號(hào)…………密…………封…………線…………內(nèi)…………不…………要…………答…………題…………第1頁,共6頁邵東縣2024-2025學(xué)年九上數(shù)學(xué)開學(xué)考試試題題號(hào)一二三四五總分得分批閱人A卷(100分)一、選擇題(本大題共8個(gè)小題,每小題4分,共32分,每小題均有四個(gè)選項(xiàng),其中只有一項(xiàng)符合題目要求)1、(4分)對(duì)于一次函數(shù),下列結(jié)論①隨的增大而減小;②函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限;③函數(shù)的圖象向下平移4個(gè)單位得;④函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是.其中,錯(cuò)誤的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2、(4分)如圖,點(diǎn)在正方形外,連接,過點(diǎn)作的垂線交于,若,則下列結(jié)論不正確的是()A. B.點(diǎn)到直線的距離為C. D.3、(4分)在某市舉辦的垂釣比賽上,5名垂釣愛好者參加了比賽,比賽結(jié)束后,統(tǒng)計(jì)了他們各自的釣魚條數(shù),成績(jī)?nèi)缦拢?,5,1,6,1.則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A.5B.6C.7D.14、(4分)設(shè)a、b是直角三角形的兩條直角邊,若該三角形的周長(zhǎng)為12,斜邊長(zhǎng)為5,則ab的值是()A.6 B.8 C.12 D.245、(4分)一元二次方程x2A.x0 B.x1 C.x0,x1 D.無實(shí)根6、(4分)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,則它的面積為A. B. C. D.17、(4分)甲、乙兩隊(duì)舉行了一年一度的賽龍舟比賽,兩隊(duì)在比賽時(shí)的路程s(米)與時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示,請(qǐng)你根據(jù)圖象判斷,下列說法正確的是()A.甲隊(duì)率先到達(dá)終點(diǎn) B.甲隊(duì)比乙隊(duì)多走了200米路程C.乙隊(duì)比甲隊(duì)少用0.2分鐘 D.比賽中兩隊(duì)從出發(fā)到2.2分鐘時(shí)間段,乙隊(duì)的速度比甲隊(duì)的速度快8、(4分)一根長(zhǎng)為20cm的長(zhǎng)方形紙條,將其按照?qǐng)D示的過程折疊,若折疊完成后紙條兩端超出點(diǎn)P的長(zhǎng)度相等,且PM=PN=5cm,則長(zhǎng)方形紙條的寬為()A.1.5cm B.2cm C.2.5cm D.3cm二、填空題(本大題共5個(gè)小題,每小題4分,共20分)9、(4分)計(jì)算(4+)÷3的結(jié)果是_____.10、(4分)如圖,邊長(zhǎng)為的菱形中,,連接對(duì)角線,以AC為邊作第二個(gè)菱形ACC1D1,使∠D1AC=60°,連接AC1,再以AC1為邊作第三個(gè)菱形AC1C2D2,使∠D2AC1=60°;…按此規(guī)律所作的第2019個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為______.11、(4分)已知直線y=2x﹣5經(jīng)過點(diǎn)A(a,1﹣a),則A點(diǎn)落在第_____象限.12、(4分)如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=1.點(diǎn)E在邊AB上,點(diǎn)F在邊CD上,點(diǎn)G、H在對(duì)角線AC上,若四邊形EGFH是菱形,則AE的長(zhǎng)是_________________。13、(4分)等腰三角形的頂角為,底邊上的高為2,則它的周長(zhǎng)為_____.三、解答題(本大題共5個(gè)小題,共48分)14、(12分)某汽車租憑公司要購買轎車和面包車共輛,其中轎車最少要購買輛,轎車每輛萬元,購頭面包車每輛萬元,公司可投入的購車資金不超過萬元.(1)符合公司要求的購買方案有幾種?請(qǐng)說明理由;(2)如果每輛轎車日租金為元,每輛面包車日租金為元,假設(shè)新購買的這輛汽車每日都可以全部租出,公司希望輛汽車的日租金最高,那么應(yīng)該選擇以上的哪種購買方案?且日租金最高為多少元?15、(8分)如圖,已知ABC為等邊三角形,點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上,且AE=CD,AD與BE相交于點(diǎn)F.(1)求證:BE=AD;(2)求∠BFD的度數(shù).16、(8分)化簡(jiǎn)分式:.17、(10分)下圖是某大橋的斜拉索部分效果圖,為了測(cè)得斜拉索頂端距離海平面的高度,先測(cè)出斜拉索底端到橋塔的距離(的長(zhǎng))約為米,又在點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為,測(cè)得點(diǎn)的俯角為,求斜拉索頂端點(diǎn)到海平面點(diǎn)的距離(的長(zhǎng)).()18、(10分)如圖,△ABC中,點(diǎn)P是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過P作直線EF∥BC,交∠ACB的平分線于點(diǎn)E,交∠ACB的外角∠ACD平分線于點(diǎn)F.(1)請(qǐng)說明:PE=PF;(2)當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?為什么?B卷(50分)一、填空題(本大題共5個(gè)小題,每小題4分,共20分)19、(4分)若關(guān)于y的一元二次方程y2﹣4y+k+3=﹣2y+4有實(shí)根,則k的取值范圍是_____.20、(4分)化簡(jiǎn):=_______________.21、(4分)如圖,折疊矩形紙片,使點(diǎn)與點(diǎn)重合,折痕為,點(diǎn)落在處,若,則的長(zhǎng)度為______.22、(4分)在中,,,將繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)角為,點(diǎn)B,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D,點(diǎn)E,過點(diǎn)D作直線AB的垂線,垂足為F,過點(diǎn)E作直線AC的垂線,垂足為P,當(dāng)時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)C之間的距離是________.23、(4分)如圖,將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)處若,則為______.二、解答題(本大題共3個(gè)小題,共30分)24、(8分)在一張足夠大的紙板上截取一個(gè)面積為的矩形紙板,如圖,再在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形,再把它的邊沿虛線折起,做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒,底面為矩形,如圖,設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為厘米.、(1)若矩形紙板的一個(gè)邊長(zhǎng)為.①當(dāng)紙盒的底面積為時(shí),求的值;②求紙盒的側(cè)面積的最大值;(2)當(dāng),且側(cè)面積與底面積之比為時(shí),求的值.25、(10分)某中學(xué)為了了解學(xué)生對(duì)四大古典名著的閱讀情況,就“四大古典名著你讀完了幾部”的問題對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖中信息解決下列問題:(1)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整,本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_______,中位數(shù)是________;(2)請(qǐng)通過計(jì)算估計(jì)全校學(xué)生平均每人大約閱讀多少部四大古典名著.26、(12分)如圖,已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O,連接AF、CE.(1)求證:△AOE≌△COF;(2)求證:四邊形AFCE為菱形;(3)求菱形AFCE的周長(zhǎng).
參考答案與詳細(xì)解析一、選擇題(本大題共8個(gè)小題,每小題4分,共32分,每小題均有四個(gè)選項(xiàng),其中只有一項(xiàng)符合題目要求)1、A【解析】
根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)①②進(jìn)行判斷;根據(jù)一次函數(shù)的幾何變換對(duì)③進(jìn)行判斷.根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征對(duì)④進(jìn)行判斷;【詳解】①k=?2,函數(shù)值隨自變量的增大而減小,正確;②k=?2,b=4,函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,不經(jīng)過第三象限,正確;③函數(shù)的圖象向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得y=?2x的圖象,正確;④函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,4),故錯(cuò)誤;故選:A.本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì):當(dāng)k>0,y隨x的增大而增大,函數(shù)從左到右上升;當(dāng)k<0,y隨x的增大而減小,函數(shù)從左到右下降.也考查了一次函數(shù)圖象的幾何變換.2、B【解析】
A、首先利用已知條件根據(jù)邊角邊可以證明△APD≌△AEB;B、利用全等三角形的性質(zhì)和對(duì)頂角相等即可解答;C、由(1)可得∠BEF=90°,故BE不垂直于AE過點(diǎn)B作BP⊥AE延長(zhǎng)線于P,由①得∠AEB=135°所以∠PEB=45°,所以△EPB是等腰Rt△,于是得到結(jié)論;D、根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式解答即可.【詳解】解:在正方形ABCD中,AB=AD,∵AF⊥AE,∴∠BAE+∠BAF=90°,又∵∠DAF+∠BAF=∠BAD=90°,∴∠BAE=∠DAF,在△AFD和△AEB中,∴△AFD≌△AEB(SAS),故A正確;∵AE=AF,AF⊥AE,∴△AEF是等腰直角三角形,∴∠AEF=∠AFE=45°,∴∠AEB=∠AFD=180°?45°=135°,∴∠BEF=135°?45°=90°,∴EB⊥ED,故C正確;∵AE=AF=,∴FE=AE=2,在Rt△FBE中,BE=,∴S△APD+S△APB=S△APE+S△BPE,=,故D正確;過點(diǎn)B作BP⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于P,∵∠BEP=180°?135°=45°,∴△BEP是等腰直角三角形,∴BP=,即點(diǎn)B到直線AE的距離為,故B錯(cuò)誤,故選:B.本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,綜合性較強(qiáng),難度較大,熟記性質(zhì)并仔細(xì)分析圖形,理清圖中三角形與角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.3、B【解析】把這數(shù)從小到大排列為:4,5,6,1,1,最中間的數(shù)是6,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6,故選B.4、C【解析】
由該三角形的周長(zhǎng)為12,斜邊長(zhǎng)為5可知a+b+5=12,再根據(jù)勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值.【詳解】解:∵三角形的周長(zhǎng)為12,斜邊長(zhǎng)為5,∴a+b+5=12,∴a+b=7,①∵a、b是直角三角形的兩條直角邊,∴a2+b2=52,②由②得a2+b2=(a+b)2﹣2ab=52∴72﹣2ab=52ab=12,故選:C.本題考查勾股定理和三角形的周長(zhǎng)以及完全平方公式的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及完全平方公式.5、C【解析】
先移項(xiàng)得到x2-x=0,再把方程左邊分解因式得到xx-1=0,原方程轉(zhuǎn)化為x=0【詳解】∵x∴xx-1∴x=0或x-1=0,∴x=0,x=1.故選:C.本題考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程右邊變形為0,再把方程左邊分解為兩個(gè)一次式的乘積,這樣原方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程,然后解一次方程即可得到一元二次方程的解.6、A【解析】
過等邊三角形一條邊做高,所以底邊被分成了相等的兩半,用勾股定理求出高等于,再用三角形面積公式可得:2×=.【詳解】過等邊三角形一條邊做高,所以底邊被分成了相等的兩半,根據(jù)勾股定理可得:高等于,由三角形面積公式可得:2×=.故選A.本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理.7、C【解析】
A、由函數(shù)圖象可知,甲走完全程需要4分鐘,乙走完全程需要3.8分鐘,乙隊(duì)率先到達(dá)終點(diǎn),錯(cuò)誤;B、由函數(shù)圖象可知,甲、乙兩隊(duì)都走了1000米,路程相同,錯(cuò)誤;C、因?yàn)?﹣3.8=02分鐘,所以,乙隊(duì)比甲隊(duì)少用0.2分鐘,正確;D、根據(jù)0~2.2分鐘的時(shí)間段圖象可知,甲隊(duì)的速度比乙隊(duì)的速度快,錯(cuò)誤;故選C.本題考查函數(shù)的圖象,能正確識(shí)圖,根據(jù)函數(shù)圖象所給的信息,逐一判斷是關(guān)鍵.8、B【解析】
設(shè)紙條寬為xcm,觀察圖形,由折疊的性質(zhì)可知:PM=PN=5,除了AP和BM的長(zhǎng)度中間的長(zhǎng)度為5x,將折疊的紙條展開,根據(jù)題意列出方程式求出x的值即可.【詳解】解:如圖:設(shè)紙條寬為xcm,觀察圖形,由折疊的性質(zhì)可知:PM=PN=5,MN=20由題意可得:5×2+5x=20解得:x=2故選:B.本題考查了翻折變換的知識(shí)以及學(xué)生的動(dòng)手操作能力,解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形,得到各線段之間存在的關(guān)系.二、填空題(本大題共5個(gè)小題,每小題4分,共20分)9、2【解析】
先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式,然后把括號(hào)內(nèi)合并后進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算.【詳解】原式.故答案為:.本題考查了二次根式的混合運(yùn)算:先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式,然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算,再合并即可.在二次根式的混合運(yùn)算中,如能結(jié)合題目特點(diǎn),靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì),選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑,往往能事半功倍.10、【解析】
根據(jù)已知和菱形的性質(zhì)可分別求得AC,AC1,AC2的長(zhǎng),從而可發(fā)現(xiàn)規(guī)律根據(jù)規(guī)律不難求得第2019個(gè)菱形的邊長(zhǎng).【詳解】連接DB交AC于M點(diǎn),
∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=AB.AC⊥DB,∵∠DAB=60°,∴△ADB是等邊三角形,∴DB=AD=1,∴BM=,∴AM=,∴AC=2AM=,同理可得AC1=AC=()2,AC2=AC1=3=()3,按此規(guī)律所作的第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為()n-1,當(dāng)n=2019時(shí),第2019個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為()2018,故答案為.本題考查了菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的運(yùn)用;根據(jù)第一個(gè)和第二個(gè)菱形的邊長(zhǎng)得出規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.11、四.【解析】
把點(diǎn)A(a,1-a)代入直線y=2x-5求出a的值,進(jìn)而可求出A點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)判斷出A點(diǎn)所在的象限即可.【詳解】把點(diǎn)A(a,1?a)代入直線y=2x?5得,2a?5=1?a,解得a=2,故A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,?1),由A點(diǎn)的坐標(biāo)可知,A點(diǎn)落在第四象限.故答案為:四.本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,牢牢掌握一次函數(shù)圖像上的坐標(biāo)特征是解答本題的關(guān)鍵.12、【解析】
首先連接EF交AC于O,由矩形ABCD中,四邊形EGFH是菱形,易證得△CFO≌△AOE(AAS),即可得OA=OC,然后由勾股定理求得AC的長(zhǎng),繼而求得OA的長(zhǎng),又由△AOE∽△ABC,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,即可求得答案.【詳解】連接EF交AC于O,∵四邊形EGFH是菱形,∴EF⊥AC,OE=OF,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=90°,AB∥CD,∴∠ACD=∠CAB,在△CFO與△AOE中,,∴△CFO≌△AOE(AAS),∴AO=CO,∵AC=,∴AO=AC=5,∵∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90°,∴△AOE∽△ABC,∴,∴,∴AE=.故答案為:.此題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì).注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.13、【解析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可分別求得腰長(zhǎng)和底邊的長(zhǎng),從而不難求得三角形的周長(zhǎng).【詳解】解:∵等腰三角形的頂角為120°,底邊上的高為2,∴腰長(zhǎng)=4,底邊的一半=2,∴周長(zhǎng)=4+4+2×2=8+4.故答案為:8+4.本題考查勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.三、解答題(本大題共5個(gè)小題,共48分)14、(1)三種,理由見解析;(2)購買5輛轎車,5輛面包車時(shí),日租金最高為1550元.【解析】
(1)本題首先根據(jù)題中的不等關(guān)系轎車最少要購買3輛及公司可投入的購車資金不超過55萬元,列出不等式組,進(jìn)而求出x的取值范圍,即可確定符合公司要求的購買方案;(2)本題先由題意求出日租金總額和轎車數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系,再根據(jù)一次函數(shù)的增減性求出使日租金最大的方案,進(jìn)而得出具體的日租金.【詳解】解:(1)設(shè)購轎車x輛,由已知得x≥3且7x+4(10-x)≤55,∴解得3≤x≤5,又因?yàn)閤為正整數(shù),∴x=3、4、5,∴符合題意的購買方案有三種;(2)可設(shè)日租金總額為W,則W=200x+110(10-x)=90x+1.∵90>0,∴W隨x的增大而增大,∴x取5時(shí),W最大=1550元,∴可知購買5輛轎車,5輛面包車時(shí),日租金最高為1550元.本題主要考查一元一次不等式組應(yīng)用及已一次函數(shù)的應(yīng)用,解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意,找到關(guān)鍵描述語,進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系或不等關(guān)系.15、(1)見解析;(2)60°【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC,∠BAC=∠C=60°,然后根據(jù)SAS可證△ABE≌△CAD,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即得結(jié)論;(2)由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABE=∠CAD,然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和角的和差即可得出結(jié)果.【詳解】解:(1)∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°,又∵AE=CD,∴△ABE≌△CAD(SAS),∴BE=AD;(2)∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD,∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì),屬于??碱}型,熟練掌握上述基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵.16、.【解析】
根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算,最后化成最簡(jiǎn)分式即可.【詳解】,=,==.此題主要考查了分式的加減運(yùn)算,分工的化簡(jiǎn)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,能熟練地進(jìn)行有關(guān)分式的運(yùn)算是解此題的關(guān)鍵.17、151米【解析】
先解直角三角形ADC得出AD的長(zhǎng),然后在直角三角形BDC中求得BD的長(zhǎng),兩者相加即可求得AB的長(zhǎng).【詳解】在中,,.在中,米.本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、坡度坡角問題,難度適中,通過直角三角形,利用三角函數(shù)求解是解題的關(guān)鍵.18、(1)詳見解析;(2)當(dāng)點(diǎn)P在AC中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形,理由詳見解析.【解析】
(1)首先證明∠E=∠2根據(jù)等角對(duì)等邊可得EP=PC,同理可得PF=PC,進(jìn)而得到EP=PF;(2)當(dāng)點(diǎn)P在AC中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形,首先根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形AECF是平行四邊形,再證明∠ECF=90°即可.【詳解】(1)∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2,∵EF∥BC,∴∠E=∠1,∴∠E=∠2,∴EP=PC,同理PF=PC,∴EP=PF;(2)結(jié)論:當(dāng)點(diǎn)P在AC中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形,理由:∵PA=PC,PE=PF,∴四邊形AECF是平行四邊形,∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴∠2+∠3=90°,即∠ECF=90°,∴平行四邊形AECF是矩形.本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定,矩形的判定,熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.一、填空題(本大題共5個(gè)小題,每小題4分,共20分)19、【解析】
首先把方程化為一般形式,再根據(jù)方程有實(shí)根可得△=,再代入a、b、c的值再解不等式即可.【詳解】解:y2﹣4y+k+3=﹣2y+4,化為一般式得:,再根據(jù)方程有實(shí)根可得:△=,則,解得:;∴則k的取值范圍是:.故答案為:.本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件.20、【解析】分析:首先將分式的分子和分母進(jìn)行因式分解,然后進(jìn)行約分化簡(jiǎn)得出答案.詳解:原式=.點(diǎn)睛:本題主要考查的是分式的化簡(jiǎn)問題,屬于基礎(chǔ)題型.學(xué)會(huì)因式分解是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵.21、【解析】
由折疊的性質(zhì)可得AF=FC,AG=DC=4,∠GAF=∠FCD=90°,由勾股定理可求AF的值,GF的值.【詳解】解:∵折疊矩形紙片ABCD,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,
∴AF=FC,AG=DC=4,∠GAF=∠FCD=90°
在Rt△ABF中,AF2=BF2+AB2,
∴AF2=(8-AF)2+16
∴AF=5
∴FG==故答案為:本題考查翻折變換,矩形的性質(zhì),勾股定理,求AF的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵.22、3或1.【解析】
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ACB≌△AED,推出∠CAB=∠EAD=∠CBA,則當(dāng)∠DAF=∠CBA時(shí),分兩種情況,一種是A,F(xiàn),E三點(diǎn)在同一直線上,另一種是D,A,C在同一條直線上,可分別求出CP的長(zhǎng)度.【詳解】解:∵AC=BC=10,
∴∠CAB=∠CBA,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知,△ACB≌△AED,
∴AE=AC=10,∠CAB=∠EAD=∠CBA,
①∵∠DAF=∠CBA,
∴∠DAF=∠EAD,
∴A,F(xiàn),E三點(diǎn)在同一直線上,如圖1所示,
過點(diǎn)C作CH⊥AB于H,
則AH=BH=AB=7,
∵EP⊥AC,
∴∠EPA=∠CHA=90°,
又∵∠CAH=∠EAP,CA=EA,
∴△CAH≌△EAP(AAS),
∴AP=AH=7,
∴PC=AC-AP=10-7=3;
②當(dāng)D,A,C在同一條直線上時(shí),如圖2,
∠DAF=∠CAB=∠CBA,
此時(shí)AP=AD=AB=7,
∴PC=AC+AP=10+7=1.
故答案為:3或1.本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判定等,解題的關(guān)鍵是能夠分類討論,求出兩種情況的結(jié)果.23、105°【解析】
由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì),得出∠ADB=∠BDG=∠DBG,由三角形的外角性質(zhì)求出∠BDG=∠DBG=∠1=25°,再由三角形內(nèi)角和定理求出∠A,即可得到結(jié)果.【詳解】∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBG,由折疊可得∠ADB=∠BDG,∴∠DBG=∠BDG,又∵∠1=∠BDG+∠DBG=50°,∴∠ADB=∠BDG=25°,又∵∠2=50°,∴△ABD中,∠A=105°,∴∠A′=∠A=105°,故答案為:105°.本題主要考查了翻折變換(折疊問題),平行四邊形的性質(zhì),熟練掌握折疊性質(zhì)和平行四邊形額性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.二、解答題(本大題共3個(gè)小題,共30分)24、(1)①12;②當(dāng)時(shí),;(2)1【解析】
(1)①根據(jù)題意列方程求解即可;②一邊長(zhǎng)為90cm,則另一邊長(zhǎng)為40cm,列出側(cè)面積的函數(shù)解析式,配方可得最值;(2)由EH:EF=7:2,設(shè)EF=2m、EH=7m,根據(jù)側(cè)面積與底面積之比為9:7建立方程,可得m=x,由矩形紙板面積得出x的值.【詳解】(1)①矩形紙板的一邊長(zhǎng)為,矩形紙板的另一邊長(zhǎng)為,(舍去)②,當(dāng)時(shí),.(2)設(shè)EF=2m,則EH=7m,則側(cè)面積為2(7mx+2mx)=18mx,底面積為7m?2m=14m2,由題意,得18mx:14m2=9:7,∴m=
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