專題03 軸對稱【11個考點(diǎn)知識梳理、題型解題方法、專題過關(guān)】（解析版）

專題03軸對稱【11個考點(diǎn)知識梳理+題型解題方法+專題訓(xùn)練】考點(diǎn)一：軸對稱圖形軸對稱圖形的定義：一個圖形沿著某條支線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合。這樣的圖形叫做軸對稱圖形?！究荚囶}型1】判斷軸對稱圖形?！窘忸}方法】根據(jù)軸對稱圖形的定義進(jìn)行判斷即可。例題講解：1．（2023春?青秀區(qū)期中）自新冠肺炎疫情發(fā)生以來，全國人民共同抗疫，各地積極普及科學(xué)防控知識，下面是科學(xué)防控知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中圖案是軸對稱圖形的是（）A．打噴嚏捂口鼻 B．噴嚏后，慎揉眼 C．勤洗手勤通風(fēng) D．戴口罩講衛(wèi)生【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，不合題意；B、不是軸對稱圖形，不合題意；C、不是軸對稱圖形，不合題意；D、是軸對稱圖形，符合題意．故選：D．考點(diǎn)二：軸對稱的性質(zhì)軸對稱的性質(zhì)：①軸對稱圖形對稱軸兩旁的部分全等，成軸對稱的兩個圖形全等。②對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。對應(yīng)邊若不與對稱軸平行，則延長線的交點(diǎn)一定交于對稱軸上。③對稱軸經(jīng)過任何一組對應(yīng)點(diǎn)連線的中點(diǎn)且與線段垂直。是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。④對應(yīng)點(diǎn)的連線之間相互平行?！究荚囶}型1】利用性質(zhì)計(jì)算【解題方法】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對應(yīng)邊與對應(yīng)角都相等進(jìn)行計(jì)算即可。例題講解：2．（2023春?禪城區(qū)校級期中）如圖，△ABC和△ADE關(guān)于直線l對稱，已知AB＝15，DE＝10，∠D＝70°．求∠B的度數(shù)及BC、AD的長度．【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等即可得出答案．【解答】解：∵△ABC和△ADE關(guān)于直線l對稱，∴AB＝AD，BC＝DE，∠B＝∠D，又∵AB＝15，DE＝10，∠D＝70°．∴∠B＝70°，BC＝10，AD＝15，答：∠B＝70°，BC＝10、AD＝15．3．（2023春?倉山區(qū)校級期中）如圖，直線l，m相交于點(diǎn)O，P為這兩條直線外一點(diǎn)，且OP＝2.8．若點(diǎn)P關(guān)于直線l，m對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1、P2，則P1，P2之間的距離可能是（）A．0 B．5 C．6 D．7【分析】由對稱得OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，即可得出結(jié)果．【解答】解：連接OP1，OP2，P1P2，∵點(diǎn)P關(guān)于直線l，m的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1，P2，∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，OP1+OP2＞P1P2，0＜P1P2＜5.6，故選：B．【考試題型2】折疊問題【解題方法】折疊前后重合的兩部分可以看成軸對稱圖形，利用這兩部分全等解題。例題講解：4．（2023春?高郵市期中）如圖，在△ABC中，將∠B、∠C按如圖所示的方式折疊，點(diǎn)B、C均落于邊BC上的點(diǎn)Q處，MN、EF為折痕，若∠A＝82°，則∠MQE＝82°．【分析】由折疊的性質(zhì)可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，可求出∠B+∠C的度數(shù)，進(jìn)而得到∠MGB+∠EGC的度數(shù)，問題得解．【解答】解：∵線段MN、EF為折痕，∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，∵∠A＝82°，∴∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°，∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝98°，∴∠MGE＝180°﹣98°＝82°，故答案為：82°．考點(diǎn)三：垂直平分線垂直平分線的性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分線段。②垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。垂直平分線的作圖：如圖①：分別以線段AB兩端點(diǎn)為圓心，大于線段長度的一半為半徑畫圓弧。兩弧分別交于兩點(diǎn)M，N。如圖②，連接MN，MN所在直線即為線段AB的垂直平分線。垂直平分線的判斷：到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)一定在角平分線上?！究荚囶}型1】利用垂直平分線的性質(zhì)計(jì)算長度【解題方法】根據(jù)垂直平分線的定義可知交點(diǎn)是中點(diǎn)，線段被平分，兩邊的部分相等。垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等解題。例題講解：5．（2023春?驛城區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分線交BC于D，AC的垂直平分線交BC與E，則△ADE的周長等于（）A．6 B．7 C．8 D．12【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝DA，EA＝EC，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算．【解答】解：∵線段AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，∴DB＝DA，∵線段AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，∴EA＝EC，∴△ADE的周長＝AD+DE+EA＝DB+DE+EC＝BC＝8，故選：C．【考試題型2】利用垂直平分線的性質(zhì)計(jì)算角度【解題方法】根據(jù)垂直平分線的垂直可得直角，垂直平分線上的點(diǎn)連接兩端點(diǎn)得到等腰三角形兩底角相等。等腰三角形被垂直平分線分成兩個全等的直角三角形解題。例題講解：6．（2023春?張店區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，連接AO、BO，若∠AOB＝α，則∠AIB的大小為（）A．α B．α+90° C．α+90° D．180°+α【分析】連接CO并延長至D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA＝OC，OB＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到（∠OCA+∠OCB）＝α．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠IAB+∠IBA＝180°﹣∠AIB，根據(jù)角平分線的定義得到∠IAB+∠IBA＝90°﹣，求出∠AIB，【解答】解：連接CO并延長至D，∵點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一個外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝2∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝α，∴∠OCA+∠OCB＝，∴∠ACB＝，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣，∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝90°+，故選：B．【考試題型3】垂直平分線的作圖【解題方法】根據(jù)垂直平分線的作圖步驟作圖即可。在利用垂直平分線的性質(zhì)求值。例題講解：7．（2023春?古田縣期中）如圖，已知△ABC，點(diǎn)P為BC上一點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：作直線EF，使得點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于直線EF對稱，直線EF交直線AC于E，交直線AB于F；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接PE，AP，AP交EF于點(diǎn)O，若OF＝OE請?jiān)冢?）的基礎(chǔ)上說明∠FAO＝∠EPO．【分析】（1）連接AP，作線段AP的垂直平分線，交AC于E，交AB于F，連接EF即可；（2）由（1）中作圖可知EF⊥AP，AO＝OP，再證明△AOF≌△POE，得到∠FAO＝∠EPO．【解答】解：（1）如圖，直線EF即為所作圖形；（2）由（1）可知：EF垂直平分AP，∴EF⊥AP，AO＝OP，在△AOF和△POE中，，∴△AOF≌△POE（SAS），∴∠FAO＝∠EPO．【考試題型4】垂直平分線的應(yīng)用【解題方法】利用垂直平分線的性質(zhì)，到點(diǎn)的距離相等在垂直平分線上，選址型題目則畫垂直平分線，找垂直平分線交點(diǎn)。例題講解：8．（2023春?振興區(qū)校級期中）到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A．三條邊垂直平分線交點(diǎn) B．三個內(nèi)角平分線交點(diǎn) C．三條中線交點(diǎn) D．三條高交點(diǎn)【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定定理判斷即可．【解答】解：∵到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：A．9．（2023春?秦都區(qū)校級期中）近年來，高速鐵路的規(guī)劃與建設(shè)成為各地政府爭取的重要項(xiàng)目，如圖，A，B，C三地都想將高鐵站的修建項(xiàng)目落戶在當(dāng)?shù)兀?，國資委為了使A，B，C三地的民眾都能享受高鐵帶來的便利，決定將高鐵站修建在到A，B，C三地距離都相等的地方，則高鐵站應(yīng)建在（）A．AB，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處 B．AB，BC兩邊高線的交點(diǎn)處 C．AB，BC兩邊中線的交點(diǎn)處 D．∠B，∠C兩內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)處【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可解答．【解答】解：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可得：將高鐵站修建在到A，B，C三地距離都相等的地方，則高鐵站應(yīng)建在AB，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處，故選：A．考點(diǎn)四：關(guān)于對稱軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)：點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，－y）。點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－x，y）。關(guān)于誰對稱，誰不變，另一坐標(biāo)互為相反數(shù)?！究荚囶}型1】求關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)【解題方法】根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求解即可。例題講解：10．（2023春?景縣期中）點(diǎn)M（1，2）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，1）【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案．【解答】解：點(diǎn)M（1，2）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣2），故選：A．11．（2023春?豐臺區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（3，﹣4）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣3，﹣4） B．（3，﹣4） C．（3，4） D．（﹣3，4）【分析】根據(jù)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，進(jìn)而得出答案．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（3，﹣4）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣3，﹣4），故選：A．【考試題型2】利用關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求值【解題方法】根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出未知字母的值進(jìn)而求式子的值。例題講解：12．（2023春?遵化市期中）已知點(diǎn)P1（a﹣1，5）和點(diǎn)P2（2，b﹣1）關(guān)于x軸對稱，則（a+b）2011的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣3）2011【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：∵點(diǎn)P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）關(guān)于x軸對稱，∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，解得a＝3，b＝﹣4，∴（a+b）2011＝（3﹣4）2011＝﹣1．故選：B．13．（2023春?青龍縣期中）若點(diǎn)A（m，3）與點(diǎn)B（4，n）關(guān)于y軸對稱，則（m+n）2023＝﹣1．【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出m、n的值，再代入計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)A（m，3）與點(diǎn)B（4，n）關(guān)于y軸對稱，∴m＝﹣4，n＝3，∴（m+n）2023＝（﹣4+3）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故答案為：﹣1．【考試題型3】坐標(biāo)的對稱變換【解題方法】根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出坐標(biāo)對稱變換的規(guī)律，進(jìn)而求出相應(yīng)的值，若變換規(guī)律為循環(huán)，則用總數(shù)除以循環(huán)整體內(nèi)的數(shù)量，找余數(shù)，若余數(shù)是1，則為第一個值，余數(shù)是2則是第二個值，以此類推。例題講解：14．（2022秋?青秀區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對△ABC進(jìn)行循環(huán)往復(fù)地軸對稱變換，若原來點(diǎn)A坐標(biāo)是（1，2），則經(jīng)過第2022次變換后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）【分析】觀察圖形可知每四次對稱為一個循環(huán)組，依次循環(huán)，用2022除以4，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出變換后的點(diǎn)A所在的象限，解答即可．【解答】解：點(diǎn)A第一次關(guān)于y軸對稱后在第二象限，點(diǎn)A第二次關(guān)于x軸對稱后在第三象限，點(diǎn)A第三次關(guān)于y軸對稱后在第四象限，點(diǎn)A第四次關(guān)于x軸對稱后在第一象限，即點(diǎn)A回到原始位置，所以，每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∵2022÷4＝505余2，∴經(jīng)過第2022次變換后所得的A點(diǎn)與第二次變換的位置相同，在第三象限，坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．故選：B．考點(diǎn)五：軸對稱變換的作圖軸對稱變換的作圖：具體步驟：找圖形的關(guān)鍵點(diǎn)。過關(guān)鍵點(diǎn)作對稱軸的垂線并延長，使延長部分的長度等于關(guān)鍵點(diǎn)到垂足點(diǎn)的長度，從而得到關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)。（3）按照原圖形連接各對應(yīng)點(diǎn)。【考試題型1】平面直角坐標(biāo)系中的作圖與計(jì)算【解題方法】按照作圖步驟進(jìn)行作圖即可。求三角形的面積時，把三角形補(bǔ)成一個矩形，在減掉多余的直角三角形的面積即可。例題講解：15．（2023春?岳陽樓區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）求出△ABC的面積；（2）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1；（3）寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)．【分析】（1）利用三角形的面積求法即可得出答案；（2）首先找出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，再順次連接即可；（3）根據(jù)坐標(biāo)系寫出各點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）如圖所示：△ABC的面積：×3×5＝7.5；（2）如圖所示：（3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）．考點(diǎn)六：等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等。②等腰三角形的兩個底角相等。③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。簡稱底邊上三線合一?！究荚囶}型1】求等腰三角形的周長【解題方法】根據(jù)等腰三角形的兩腰相等分類討論，再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系解題。例題講解：16．（2023春?沙坪壩區(qū)校級期中）等腰三角形的兩條邊長分別為15和7，則它的周長等于（）A．22 B．29 C．37 D．29或37【分析】分兩種情況討論：當(dāng)7是腰時或當(dāng)15是腰時．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知7，7，15不能組成三角形，應(yīng)舍去．【解答】解：當(dāng)7是腰時，則7+7＜15，不能組成三角形，應(yīng)舍去；當(dāng)15是腰時，則三角形的周長是7+15×2＝37．故選：C．【考試題型2】利用等腰三角形的性質(zhì)求值【解題方法】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)兩邊相等，兩角相等以及底邊上的三線合一性質(zhì)解題。注意底邊上的三線把三角形分成兩個全等的直角三角形，且兩腰上的高線是相等的。例題講解：17．（2023春?沈河區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE＝5cm，則BF＝（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得△ADB≌△ADC，從而得到，根據(jù)面積公式S△ADB＝AB?DE，S△ACB＝AC?BF，變形計(jì)算即可．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得△ADB≌△ADC，∴，∵S△ADB＝AB?DE，S△ACB＝AC?BF，∴AB?DE×2＝AC?BF，∴BF＝2DE，∵DE＝5cm，∴BF＝10cm．故選：B．18．（2023春?蕉城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D，連接BD，則∠ADB＝（）A．100° B．105° C．110° D．115°【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝∠C＝75°，然后再根據(jù)題意可得BD＝BC，從而可得∠C＝∠BDC＝75°，最后利用平角定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝75°，由題意得：BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝75°，∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝105°，故選：B．考點(diǎn)七：等腰三角形的判定等腰三角形的判定：①一個三角形中如有兩個角相等，則這兩個角所對的兩條邊也相等。（等角對等邊）則這個三角形是等邊三角形。②若三角形有一邊上的中線、高線以及它對角的角平分線重合，則這個三角形是等腰三角形。【考試題型1】等腰三角形存在的情況【解題方法】存在已知一邊找等腰三角形存在的情況，根據(jù)等腰三角形的兩腰相等，作已知邊的垂直平分線找交點(diǎn)；以已知邊的兩個端點(diǎn)為圓心，線段長度為半徑畫圓找交點(diǎn)。例題講解：19．（2023春?大田縣期中）如圖，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（3，0）和（0，5），在坐標(biāo)軸上確定一點(diǎn)C，使△ABC是等腰三角形，則符合條件的C點(diǎn)共有（）個．A．4 B．6 C．8 D．10【分析】分三種情形，AB＝AC，BA＝BC，CA＝CB，分別畫圖即可．【解答】解：如圖，當(dāng)AB＝AC時，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)（B點(diǎn)除外），當(dāng)BA＝BC時，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)（A點(diǎn)除外），當(dāng)CA＝CB時，畫AB的垂直平分線與坐標(biāo)軸有2個交點(diǎn)，綜上所述：符合條件的點(diǎn)C的個數(shù)有8個，故選：C．【考試題型2】等腰三角形的判定證明【解題方法】結(jié)合已知條件，選擇其中一種判定方法進(jìn)行判定證明即可。例題講解：20．（2023春?武功縣期中）如圖，在△ABC中，P是BC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的垂線，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長線于點(diǎn)R．若AQ＝AR，求證：△ABC是等腰三角形．【分析】先由AQ＝AR，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)可得∠R＝∠AQR，再根據(jù)對頂角相等可得∠BQP＝∠AQP；進(jìn)而得出∠R＝∠BQP，在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B+∠BQP＝90°，∠C+∠R＝90°，進(jìn)而得出∠B＝∠C，進(jìn)而求解即可．【解答】證明：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR．又∵∠BQP＝∠AQP，∴∠R＝∠BQP．在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B+∠BQP＝90°，∠C+∠R＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．考點(diǎn)八：等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形的三條邊都相等，三個角也相等，且三個角都等于60°。②等邊三角形三條邊都存在三線合一。③等邊三角形是一個軸對稱圖形，它有3條對稱軸，對稱軸的交點(diǎn)叫做中心?！究荚囶}型1】等邊三角形的性質(zhì)求值【解題方法】根據(jù)等邊三角形的三邊相等，三個角也相等求都等于60°求值。求角度時，結(jié)合平行線，三角形的內(nèi)角和，外角定理等知識點(diǎn)。例題講解：21．（2023春?萊蕪區(qū)期中）如圖，等邊三角形ABC與互相平行的直線a，b相交，若∠1＝15°，則∠2的大小為（）A．25° B．55° C．45° D．35°【分析】先過點(diǎn)C作CD∥b，由直線a∥b，可得CD∥a∥b，由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得答案∠4的度數(shù)，又由△ABC是等邊三角形，即可求得∠3的度數(shù)，繼而求得∠2的度數(shù)．【解答】解：過點(diǎn)C作CD∥b，∵直線a∥b，∴CD∥a∥b，∴∠ACD＝∠1＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣15°＝45°，∴∠2＝∠BCD＝45°．故選：C．22．（2023春?鯉城區(qū)校級期中）如圖，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若PD+PE+PF＝6，且△ABC是等邊三角形，則△ABC的周長為（）A．12 B．18 C．24 D．30【分析】延長FP交BC于N，延長EP交AB于M，由條件推出四邊形PMBD，四邊形PNCE是平行四邊形，△PFM，△PDN是等邊三角形，得到BC＝PF+PD+PE＝6，即可求出△ABC的周長．【解答】解：延長FP交BC于N，延長EP交AB于M，∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，∴四邊形PMBD，四邊形PNCE是平行四邊形，∴CN＝PE，BD＝PM，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠PDN＝∠B＝60°，∠PND＝∠C＝60°，∴∠DPN＝180°﹣∠PDN﹣∠PND＝60°，∴△PDN是等邊三角形，同理：△PFM是等邊三角形，∴PD＝DN，PF＝MP，∴PF＝BD，∴BC＝BD+DN+CN＝PF+PD+PE＝6，∴△ABC的周長為6×3＝18．故選：B．考點(diǎn)九：等邊三角形的判定等邊三角形的判定：①定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形。②判定定理1：三個角相等的三角形是等邊三角形?；蛴袃蓚€角是60°的三角形是等邊三角形。③判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。【考試題型1】等邊三角形的判定證明【解題方法】結(jié)合題目已知條件選擇判定方法進(jìn)行判定證明。例題講解：23．（2023春?南山區(qū)校級期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分線．（1）如圖1，若AD＝BD，求∠A的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，作DE⊥AB于E，連接EC．求證：△EBC是等邊三角形．【分析】（1）根據(jù)角平分線和等腰三角形的性質(zhì)求得∠A＝∠DBA＝∠DBC，由∠A+∠DBA+∠DBC＝90°，即可求得∠A＝30°；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出CE＝BE，由∠EBC＝60°，即可證得△EBC是等邊三角形．【解答】（1）解：∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵∠DBA＝∠DBC，∴∠A＝∠DBA＝∠DBC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠DBA+∠DBC＝90°，∴∠A＝30°；（2）證明：∵AD＝BD，DE⊥AB，∴AE＝BE，∴CE＝BE，∵∠A＝30°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等邊三角形．考點(diǎn)十：含30°角的直角三角形的性質(zhì)含30°角的直角三角形的性質(zhì)：30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。【考試題型1】含30°角的直角三角形的性質(zhì)求值【解題方法】結(jié)合30度角所對的邊等于斜邊的一半解題，若30°角沒有在直角三角形中，一定作輔助線讓其在直角三角形中進(jìn)行解題。例題講解：24．（2023春?南城縣期中）如圖，CD是等邊△ABC邊AB上的中線，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，若DF＝1，則CD的長為3．【分析】根據(jù)三線合一得出∠ADF＝90°，∠ACD＝30°，連接AF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AF＝FC，根據(jù)等邊對等角得出∠FAE＝∠FCA＝30°，即可得出∠DAF＝30°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得出AF＝2＝FC，進(jìn)而即可求解．【解答】解：∵CD是等邊△ABC邊AB上的中線，∴CD是AB上的高，是∠ACB的平分線，∴∠ADF＝90°，∠ACD＝30°，如圖，連接AF，∵EF是AC的垂直平分線，∴AF＝FC，∴∠FAE＝∠FCA＝30°∴∠DAF＝30°在Rt△ADF中，DF＝1，∴AF＝2＝FC，∴CD＝DF+FC＝1+2＝3，故答案為：3．考點(diǎn)十一：最短路徑最短路徑的基本原理：①兩點(diǎn)之間，線段最短。如圖，②號線最短②點(diǎn)到直線的距離最短。如圖，PC最短。③垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。如圖，MN是垂直平分線，CA=CB。最短路徑的基本類型與圖示：①如圖，存在直線l以及直線外的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，直線l上存在一點(diǎn)M，使得MP＋MQ的值最?。悍椒c(diǎn)撥：作其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)，線段與直線的交點(diǎn)即為要找的點(diǎn)M。②如圖，已知∠MON以及角內(nèi)一點(diǎn)P，角的兩邊OM與ON上存在點(diǎn)A與點(diǎn)B，使得△PAB的周長最小：方法點(diǎn)撥：分別作點(diǎn)P關(guān)于OM與ON的對稱點(diǎn)P’與P’’，連接P’P’’。P’P’’與OM、ON的交點(diǎn)A與B即為要找到的點(diǎn)。③如圖：已知∠AOB以及角內(nèi)兩點(diǎn)點(diǎn)P與點(diǎn)Q，角的兩邊上分別存在M、N使得四邊形PQMN的周長最?。悍椒c(diǎn)撥：分別作點(diǎn)關(guān)于較近直線的對稱點(diǎn)，連接兩個對稱點(diǎn)的線段與邊OA與OB相交與點(diǎn)M與點(diǎn)N，此時點(diǎn)M與點(diǎn)N即為要找的點(diǎn)。④如圖：平行河岸兩側(cè)各有一村莊P、Q，現(xiàn)在河上修建一座垂直于河岸的橋，使得村莊P到村莊Q的路程最短：方法點(diǎn)撥：在其中一個村莊作垂直于河岸的直線，使其長度等于橋的長度，連接端點(diǎn)與另一村莊，直線與另一村莊岸邊的交點(diǎn)即為選址地點(diǎn)?！究荚囶}型1】利用最短路徑求值【解題方法】結(jié)合已知條件判斷最短路徑的類型，根據(jù)相應(yīng)的類型解題。在題目的問題中確定動點(diǎn)與定點(diǎn)，在作其中一個定點(diǎn)關(guān)于動點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)，在大多數(shù)題目中對稱點(diǎn)存在，只需要找出來連接另一個定點(diǎn)即可，然后根據(jù)相應(yīng)的其他知識點(diǎn)求值。例題講解：25．（2023春?東港市期中）如圖，等腰△ABC的面積為9，底邊BC的長為3，腰AC的垂直平分線EF分別交AC、AB邊于點(diǎn)E、F，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為直線EF上一動點(diǎn)，則DM+CM的最小值為（）A．12 B．9 C．6 D．3【分析】連接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：連接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×3×AD＝9，解得AD＝6，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴CM＝AM，∴CD+CM+DM＝CD+AM+DM，∵AM+DM≥AD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴DM+CM的最小值為6．故選：C．【專題過關(guān)】一．軸對稱圖形（共3小題）1．（2023春?興寧區(qū)校級期中）下列四個圖標(biāo)中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：A，B，D選項(xiàng)中的圖標(biāo)都不能找一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；C選項(xiàng)中的圖標(biāo)能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：C．2．（2023春?龍崗區(qū)校級期中）貼窗花是我國春節(jié)喜慶活動的一個重要內(nèi)容，它起源于西漢時期，歷史悠久，風(fēng)格獨(dú)特，深受國內(nèi)外人土的喜愛．下列窗花作品為軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：選項(xiàng)B、C、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項(xiàng)A能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故選：A．3．（2023春?潮陽區(qū)校級期中）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A．矩形 B．菱形 C．平行四邊形 D．正方形【分析】結(jié)合選項(xiàng)根據(jù)軸對稱圖形的概念求解即可．【解答】解：A、矩形是軸對稱圖形，本選項(xiàng)錯誤；B、菱形是軸對稱圖形，本選項(xiàng)錯誤；C、平行四邊形不是軸對稱圖形，本選項(xiàng)正確；D、正方形是軸對稱圖形，本選項(xiàng)錯誤．故選：C．二．軸對稱的性質(zhì)（共5小題）4．（2023春?秀峰區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD為一矩形紙帶，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，將紙帶沿EF折疊，點(diǎn)A、D的對應(yīng)點(diǎn)分別為A'、D'，若∠2＝α，則∠1的度數(shù)為（）A．2α B．90°﹣α C． D．【分析】先由折疊可得：∠AEF＝∠A'EF，則，再根據(jù)矩形得AB∥CD，即可由平行線的性質(zhì)求解．【解答】解：由折疊可得：∠AEF＝∠A'EF，∴，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∴，故選：D．5．（2023春?長安區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠BCD＝50°，點(diǎn)B關(guān)于CD對稱的點(diǎn)是點(diǎn)E，則∠ACE+∠BAC的度數(shù)大小為60°．【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知∠BCD＝∠ECD，根據(jù)CD⊥AB，∠BCD＝50°，得∠DCA的度數(shù)，再根據(jù)∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA，∠BAC＝50°從而求得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD＝50°，∵B關(guān)于CD對稱點(diǎn)是E，∴∠BCD＝∠ECD＝50°，∴∠DCA＝90°﹣∠BCD＝90°﹣50°＝40°，∠B＝90°﹣∠BCD＝40°∴∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA＝50°﹣40°＝10°，∠BAC＝90°﹣∠B＝50°，∴∠ACE+∠BAC＝10°+50°＝60°．故答案為：60°．6．（2022秋?盱眙縣期中）如圖，AD所在直線是△ABC的對稱軸，點(diǎn)E，F(xiàn)是AD上的兩點(diǎn)，若BD＝3，AD＝6，則圖中陰影部分的面積是9．【分析】根據(jù)△CEF和△BEF關(guān)于直線AD對稱，得出S△BEF＝S△CEF，根據(jù)圖中陰影部分的面積是求出即可．【解答】解：∵△ABC關(guān)于直線AD對稱，∴B、C關(guān)于直線AD對稱，∴△CEF和△BEF關(guān)于直線AD對稱，BC＝2BD＝2×3＝6，AD⊥BC，∴S△BEF＝S△CEF，∵△ABC的面積是：＝，∴圖中陰影部分的面積是．故答案為：9．7．（2022秋?東平縣期中）如圖所示，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，則△PMN的周長為15．【分析】P點(diǎn)關(guān)于OA的對稱是點(diǎn)P1，P點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P2，故有PM＝P1M，PN＝P2N．【解答】解：∵P點(diǎn)關(guān)于OA的對稱是點(diǎn)P1，P點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N．∴△PMN的周長為PM+PN+MN＝MN+P1M+P2N＝P1P2＝15．故答案為：158．（2023春?鹽都區(qū)期中）如圖，將長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)C、B分別落在點(diǎn)C'、B'的位置，G為C'B'和AB的交點(diǎn)，再沿AB邊將∠B'折疊到∠H處，最后將∠D折疊到∠D'處，恰好點(diǎn)D'在直線CF上（折痕是FM），已知∠AMD'＝32°，則∠HEF＝42°．【分析】沿MF折疊，由∠AMD'＝32°，可得∠DMF＝∠D'MF＝74°，同時可得∠DFM＝∠D'FM＝16°，則∠CFE＝∠C'FE＝74°，∠FEB＝106°，∠FEG＝74°再沿EF折疊，則∠FEB'＝106°，則∠B'EG＝∠FEB'﹣∠FEG＝106°﹣74°＝32°，沿AB折疊可得∠B'EG＝∠HEG＝32°，所以∠HEF＝∠FEG﹣∠HEG＝74°﹣32°＝42°．【解答】解：由題可得：沿MF折疊，∠AMD'＝32°，∴∠DMF＝∠D'MF＝74°，∴∠DFM＝∠D'FM＝16°，∴∠CFE＝∠C'FE＝74°，∠FEB＝106°，∠FEG＝74°，∵沿EF折疊，∴∠FEB'＝106°，∴∠B'EG＝∠FEB'﹣∠FEG＝106°﹣74°＝32°，∵沿AB折疊，∴∠B'EG＝∠HEG＝32°，∴∠HEF＝∠FEG﹣∠HEG＝74°﹣32°＝42°．故答案為：42°．三．線段垂直平分線的性質(zhì)（共6小題）9．（2023春?順德區(qū)校級期中）如圖，P為線段AB的垂直平分線上一點(diǎn)，若PB＝3cm，則PA的長為（）?A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵P為線段AB的垂直平分線上一點(diǎn)，PB＝3cm，∴PA＝PB＝3cm，故選：D．10．（2023春?秦都區(qū)期中）如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若PA＝PC，則（）A．點(diǎn)P在∠ABC的平分線上 B．點(diǎn)P在∠ACB的平分線上 C．點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上 D．點(diǎn)P在邊AB的垂直平分線上【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵PA＝PC，∴點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上，故選：C．11．（2023春?白銀期中）如圖，在△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長為21，則AC的長為（）?A．6 B．9 C．10 D．12【分析】由AB的垂直平分線交AB邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)E，可得AE＝BE，又由△BCE的周長等于21，即可求得AC+BC＝21，然后由BC＝9，求得AC的長．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∵△BCE的周長等于21，∴BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝21．∵△ABC中，BC＝9，∴AC＝21﹣9＝12．故選：D．12．（2023春?文山市期中）如圖，△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，AE＝3cm，△ADC的周長為8cm，則△ABC的周長是（）?A．14cm B．17cm C．19cm D．20cm【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，AB＝2AE＝6，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵DE是邊AB的垂直平分線，∴DA＝DB，AB＝2AE＝6，∵△ADC的周長為8，∴AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝8，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝6+8＝14，故選：A．13．（2023春?驛城區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分線交BC于D，AC的垂直平分線交BC與E，則△ADE的周長等于（）A．6 B．7 C．8 D．12【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝DA，EA＝EC，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算．【解答】解：∵線段AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，∴DB＝DA，∵線段AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，∴EA＝EC，∴△ADE的周長＝AD+DE+EA＝DB+DE+EC＝BC＝8，故選：C．14．（2023春?揭東區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，連接AO、BO，若∠AOB＝140°，則∠AIB的大小為（）A．90° B．105° C．125° D．145°【分析】連接CO并延長至D，利用垂直平分線的性質(zhì)得到OA＝OC，OB＝OC，則∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，由三角形外角的性質(zhì)得到∠AOD＝2∠OCA，∠BOD＝2∠OCB，由三角形內(nèi)角和定理得到，則∠CAB+∠CBA＝110°，∠IAB+∠IBA＝55°，即可得到答案．【解答】解：連接CO并延長至D，如圖，∵點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一個外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝2∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝2∠ACB，∴，∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴，，∴，∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝125°，故選：C．四．關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（共5小題）15．（2023春?綏寧縣期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣3，4）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣3，4）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為（3，4），點(diǎn)（3，4）在第一象限．故選：A．16．（2023春?淅川縣期中）已知點(diǎn)P（a+1，2a﹣3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在第一象限，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜﹣1 B．﹣1＜a＜ C．﹣＜a＜1 D．a(chǎn)＞【分析】首先根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系得到點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（a+1，3﹣2a）；根據(jù)點(diǎn)（a+1，3﹣2a）在第一象限可得不等式組；然后解不等式組即可解決問題．【解答】解：∵點(diǎn)P（a+1，2a﹣3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（a+1，3﹣2a）在第一象限，∴解得﹣1＜a＜．故選：B．17．（2023春?沙河口區(qū)期中）已知點(diǎn)P1（﹣4，3），P2（﹣4，﹣3），則P1和P2滿足（）A．P1P2∥x軸 B．關(guān)于y軸對稱 C．關(guān)于x軸對稱 D．P1P2＝8【分析】直接利用關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)P1（﹣4，3），P2（﹣4，﹣3），∴P1和P2滿足關(guān)于x軸對稱．故選：C．18．（2023春?內(nèi)鄉(xiāng)縣期中）已知點(diǎn)A（3，a）與B（b，4）關(guān)于x軸成軸對稱，則a+b的值為（）A．﹣1 B．1 C．7 D．﹣7【分析】直接利用關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)A（3，a）與B（b，4）關(guān)于x軸成軸對稱，∴a＝﹣4，b＝3，∴a+b＝3+（﹣4）＝﹣1．故選：A．19．（2023春?洛寧縣期中）若點(diǎn)（﹣m，3）與點(diǎn)（﹣5，n）關(guān)于y軸對稱，則（）A．m＝﹣5，n＝3 B．m＝5，n＝3 C．m＝﹣5，n＝﹣3 D．m＝﹣3，n＝5【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變．即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（﹣x，y），進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)（﹣m，3）與點(diǎn)（﹣5，n）關(guān)于y軸對稱，∴m＝﹣5，n＝3，故選：A．五．坐標(biāo)與圖形變化-對稱（共3小題）20．（2022秋?龍崗區(qū)校級期中）剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，如果圖中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2m，﹣n），其關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)F的坐標(biāo)（3﹣n，﹣m+1），則（m﹣n）2022的值為（）A．32022 B．﹣1 C．1 D．0【分析】利用軸對稱的性質(zhì)構(gòu)建方程組，求出m，n，可得結(jié)論．【解答】解：∵E（2m，﹣n），F(xiàn)（3﹣n，﹣m+1）關(guān)于y軸對稱，∴，解得，，∴（m﹣n）2022＝（﹣4+5）2022＝1，故選：C．21．（2022秋?南山區(qū)校級期中）如圖是戰(zhàn)機(jī)在空中展示的軸對稱隊(duì)形．以飛機(jī)B，C所在直線為x軸、隊(duì)形的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．若飛機(jī)E的坐標(biāo)為（40，a），則飛機(jī)D的坐標(biāo)為（）A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵飛機(jī)E（40，a）與飛機(jī)D關(guān)于y軸對稱，∴飛機(jī)D的坐標(biāo)為（﹣40，a），故選：B．22．（2022秋?蕭縣期中）明明和亮亮一起下五子棋，明明持黑棋，亮亮持白棋．如圖，若棋盤正中間的白棋的位置用（1，0）表示，最右上角的黑棋的位置用（2，1）表示，明明把第七枚圓形棋子放在適當(dāng)位置，使所有棋子組成軸對稱圖形．則第七枚圓形棋子放的位置不可能是（）A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（3，﹣2） D．（1，﹣1）【分析】先確定平面直角坐標(biāo)系，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：平面直角坐標(biāo)系如圖所示：當(dāng)?shù)谄呙秷A形棋子放的位置在（1，﹣1）處時，所有棋子不能組成軸對稱圖形，故選：D．六．作圖-軸對稱變換（共3小題）23．（2023春?肇源縣期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，2）．（1）在網(wǎng)格內(nèi)作△A'B'C'，使它與△ABC關(guān)于y軸對稱，并寫出△A'B'C'三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）求出四邊形ABB′A′的面積．【分析】（1）分別作出三個頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，再首尾順次連接即可得出答案；（2）根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）如圖所示，△A'B'C'即為所求，A′（2，4），B′（3，1），C′（1，2）；（2）四邊形ABB′A′的面積為×（4+6）×3＝15．24．（2023春?青秀區(qū)期中）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，每個小方格都是邊長為1的正方形，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，0）．（1）將△ABC向下平移6個單位得到△A1B1C1，請?jiān)诰W(wǎng)格內(nèi)畫出△A1B1C1．（2）請?jiān)诰W(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△A1B1C1關(guān)于y軸對稱．【分析】（1）根據(jù)平移變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點(diǎn)即可求解；（2）根據(jù)軸對稱變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點(diǎn)即可求解．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求；25．（2023春?越秀區(qū)校級期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出△ABC．（2）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出△A1B1C1各頂點(diǎn)坐標(biāo)．（3）已知P為x軸上一點(diǎn)，若△ABP的面積為4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)描點(diǎn)，連線，畫出△ABC即可；（2）找到A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）關(guān)于y軸對稱的對應(yīng)點(diǎn)，連線得到△A1B1C1，寫出△A1B1C1各頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)△ABP的面積等于，進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）如圖所示：△ABC即為所求；（2）解：如圖所示：△A1B1C1即為所求：由圖可知：A1（0，1），B1（﹣2，0），C1（﹣4，3）；（3）∵P為x軸上一點(diǎn)，A（0，1）、B（2，0）∴OA＝1，，∴BP＝8，∵B（2，0），∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：2+8＝10或2﹣8＝﹣6；∴P（10，0）或P（﹣6，0）．七．等腰三角形的性質(zhì)（共5小題）26．（2023春?城關(guān)區(qū)校級期中）已知等腰三角形一邊長等于4，一邊長等于9，它的周長是（）A．17或22 B．22 C．17 D．13【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為4和9，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)腰為4時，4+4＜9，所以不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰為9時，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能構(gòu)成三角形，周長是：9+9+4＝22．故選：B．27．（2023春?尤溪縣期中）一個等腰三角形的兩邊長分別為2cm，4cm，則它的周長是（）A．8cm B．8cm或10cm C．10cm D．6cm或8cm【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，本題要分情況討論．當(dāng)腰長為2cm或是腰長為4cm兩種情況．【解答】解：等腰三角形的兩邊長分別為2cm和4cm，當(dāng)腰長是2cm時，則三角形的三邊是2cm，2cm，4cm，2+2＝4（cm），不滿足三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)腰長是4cm時，三角形的三邊是4cm，4cm，2cm，三角形的周長是10cm．故選：C．28．（2023春?天河區(qū)校級期中）已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，再分4是腰長與底邊兩種情況討論求解．【解答】解：根據(jù)題意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰長時，三角形的三邊分別為4、4、8，∵4+4＝8，∴不能組成三角形；②4是底邊時，三角形的三邊分別為4、8、8，能組成三角形，周長＝4+8+8＝20．所以，三角形的周長為20．故選：B．29．（2023春?淮安區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，則∠DEC＝（）A．90° B．100° C．105° D．110°【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，可求得∠ABC的度數(shù)，又由BD平分∠ABC，即可求得∠DBE的度數(shù)，又由等邊對等角的性質(zhì)，可求得∠BED的度數(shù)，根據(jù)平角的定義就可求出∠DEC的度數(shù)．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABC＝20°，∴∠BDE＝∠BED＝80°，∴∠DEC＝100°．故選：B．30．（2023春?福田區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)M且AE＝CE，以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑作弧，交DE于點(diǎn)F，連接CF交AB于點(diǎn)G．若CG＝FG，則∠B的度數(shù)為（）A．75° B．70° C．65° D．60°【分析】連接AF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AF＝CF結(jié)合題意易證△AFC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形“三線合一”可得∠CAB＝30°，最后在△ABC中利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可求解．【解答】解：連接AF，∵DE⊥AC，AE＝CE，∴AF＝CF，由題意可知CF＝CA，∴AF＝CF＝CA，∴△AFC是等邊三角形，∵CG＝FG，∴∠CAB＝∠CAF＝30°，∵AB＝AC，∴，故選：A．八．等腰三角形的判定（共6小題）31．（2023春?碑林區(qū)校級期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知點(diǎn)M、點(diǎn)N是兩個格點(diǎn)，如果點(diǎn)P也是圖中的格點(diǎn)，且使得△MNP為等腰三角形，則點(diǎn)P的個數(shù)是（）A．6個 B．7個 C．8個 D．9個【分析】分兩種情況：當(dāng)MN是等腰△MNP的底邊時，符合條件的點(diǎn)有4個；當(dāng)MN是等腰△MNP的腰時，符合條件的點(diǎn)有4個，于是即可得到答案．【解答】解：當(dāng)MN是等腰△MNP的底邊時，符合條件的點(diǎn)有P1、P2、P3、P4，共4個；當(dāng)MN是等腰△MNP的腰時，符合條件的點(diǎn)有P5、P6、P7、P8，共4個，∴點(diǎn)P的個數(shù)是8個．故選：C．32．（2023春?余江區(qū)期中）如圖，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射線OA上的點(diǎn)E滿足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度數(shù)為120°或75°或30°．【分析】求出∠AOC，根據(jù)等腰得出三種情況，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①當(dāng)E在E1時，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②當(dāng)E在E2點(diǎn)時，OC＝OE，則∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；③當(dāng)E在E3時，OC＝CE，則∠OEC＝∠AOC＝30°；故答案為：120°或75°或30°．33．（2023春?平遙縣期中）如圖，△ABC的點(diǎn)A、C在直線l上，∠B＝120°，∠ACB＝40°，若點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動，當(dāng)△ABP成為等腰三角形時，則∠ABP度數(shù)是10°或80°或20°或140°．【分析】分三種情形：AB＝AP，PA＝PB，BA＝BP分別求解即可解決問題．【解答】解：如圖，在△ABC中，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣40°＝20°，①當(dāng)AB＝AP時，∠ABP1＝∠AP1B＝10°，∠ABP3＝∠AP3B＝（180°﹣20°）＝80°，②當(dāng)PA＝PB時，∠ABP2＝∠AP2B＝20°③當(dāng)BA＝BP時，∠ABP4＝180°﹣20°﹣20°＝140°綜上所述，滿足條件的∠ABP的值為10°或80°或20°或140°．34．（2023春?英德市期中）請將下列證明過程補(bǔ)充完整．求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC．求證：AD＝AC．證明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵AD平分∠CAE，∴∠1＝∠2（角平分線的定義），∴∠B＝∠C（等量代換），∴AB＝AC（等角對等邊）．【分析】由平行線的性質(zhì)推出∠1＝∠B，∠2＝∠C，由角平分線的定義得到∠1＝∠2，因此∠B＝∠C即可推出AB＝AC．【解答】證明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵AD平分∠CAE，∴∠1＝∠2（角平分線的定義），∴∠B＝∠C（等量代換），∴AB＝AC（等角對等邊）．故答案為：兩直線平行，同位角相等，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，等量代換，等角對等邊．35．（2023春?武功縣期中）如圖，在△ABC中，P是BC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的垂線，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長線于點(diǎn)R．若AQ＝AR，求證：△ABC是等腰三角形．【分析】先由AQ＝AR，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)可得∠R＝∠AQR，再根據(jù)對頂角相等可得∠BQP＝∠AQP；進(jìn)而得出∠R＝∠BQP，在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B+∠BQP＝90°，∠C+∠R＝90°，進(jìn)而得出∠B＝∠C，進(jìn)而求解即可．【解答】證明：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR．又∵∠BQP＝∠AQP，∴∠R＝∠BQP．在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B+∠BQP＝90°，∠C+∠R＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．36．（2023春?甘州區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動時，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動時，出發(fā)幾秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？【分析】（1）用t可分別表示出BP和BQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP＝BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；（2）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分CQ＝BC和BQ＝CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）由題意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，當(dāng)△PQB為等腰三角形時，則有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出發(fā)秒后△PQB能形成等腰三角形；（2）①當(dāng)△BCQ是以BC為底邊的等腰三角形時：CQ＝BQ，如圖1所示，則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11（秒）．②當(dāng)，△BCQ是以BQ為底邊的等腰三角形時：CQ＝BC，如圖2所示，則BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12（秒）．綜上所述：當(dāng)t為11秒或12秒時，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形．九．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）37．（2023春?招遠(yuǎn)市期中）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E．（1）求證：AE＝DE；（2）若∠C＝100°，∠B＝40°，求∠AED的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得∠BAD＝∠CAD，由DE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BAD＝∠ADE，得到∠CAD＝∠ADE，即可得到結(jié)論．（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和可求出∠BAC＝40°，由DE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∴∠CAD＝∠ADE，∴AE＝DE．（2）解：∵∠C＝100°，∠B＝40°，∴∠BAC＝40°，∵DE∥AB，∴∠AED+∠BAC＝180°，∴∠AED＝140°．38．（2023春?興平市期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為CA的延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)F作FG⊥BC于G點(diǎn)，并交AB于E點(diǎn)，試說明下列結(jié)論成立的理由：（1）AD∥FG；（2）△AEF是等腰三角形．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出AD⊥BC，根據(jù)平行線的判定推出即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAD，關(guān)鍵平行線的性質(zhì)得出∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，推出∠F＝∠AEF，根據(jù)等腰三角形的判定即可得到答案．【解答】解：（1）∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵FG⊥BC，∴AD∥FG．（2）∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD∥FG，∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE，即△AEF是等腰三角形．39．（2023春?昌江區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，E是BC邊上一點(diǎn)，AD垂直平分BE，CD＝AB+BD．（1）求證：△ACE為等腰三角形．（2）若CE＝2DE，則線段AD，BC，AB滿足什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【分析】（1）由垂直平分線的性質(zhì)可得AB＝AE，BD＝DE，根據(jù)CD＝AB+BD可得到AE＝CE，從而得證；（2）AB2+4AD2＝BC2．由垂直平分線的性質(zhì)可得∠ADE＝90°，AB＝AE，根據(jù)AE＝CE，CE＝2DE可得∠DAE＝30°，說明△ABE為等邊三角形，∠C＝∠CAE＝30°，∠BAC＝90°，再由勾股定理即可得證．【解答】（1）證明：∵AD垂直平分BE，∴AB＝AE，BD＝DE，∵CD＝AB+BD＝CE+DE，∴AB＝CE，∴AE＝CE，∴△ACE為等腰三角形；（2）AB2+4AD2＝BC2．理由：∵AD垂直平分BE，∴∠ADE＝90°，AB＝AE，∵AE＝CE，CE＝2DE，∴AE＝2DE，∴∠DAE＝30°，∴∠AEB＝90°﹣∠DAE＝60°，∴△ABE為等邊三角形，∵AE＝CE，∴∠C＝∠CAE，∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝60°，∴∠C＝∠CAE＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝60°+30°＝90°，AC＝2AD，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB2+4AD2＝BC2．一十．等邊三角形的性質(zhì)（共5小題）40．（2023春?余江區(qū)期中）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為8，點(diǎn)E，F(xiàn)是BC邊的三等分點(diǎn)．分別過點(diǎn)E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA的方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是（）?A．3 B． C．6 D．8【分析】首先求出，然后證△DEF為等邊三角形即可求出△DEF的周長．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，且邊長為8．∴∠B＝∠C＝60°，BC＝8，∵點(diǎn)E，F(xiàn)是BC邊的三等分點(diǎn)，∴，∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF為等邊三角形，∴，∴△DEF的周長是：DE+DF+EF＝3EF＝3×＝8．故選：D．41．（2023春?白銀期中）下列對△ABC的判斷，不正確的是（）A．若AB＝AC，∠C＝60°，則△ABC是等邊三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC是直角三角形 C．若∠A＝50°，∠B＝80°，則△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，則∠B＝40°【分析】根據(jù)等邊三角形的判定和等腰三角形的判定判斷即可．【解答】解：A、若AB＝AC，∠C＝60°，則△ABC是等邊三角形，說法正確，不符合題意；B、若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC是直角三角形，說法正確，不符合題意；C、若∠A＝50°，∠B＝80°，可得∠C＝50°，則△ABC是等腰三角形，說法正確，不符合題意；D、若AB＝BC，∠C＝40°，則∠A＝40°，說法錯誤，符合題意；故選：D．42．（2023春??？谄谥校┤鐖D，直線a∥b，等邊△ABC的頂點(diǎn)C在直線b上，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠A＝∠ACB＝60°，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠2的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∵∠1＝40°，∴∠AED＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵直線a∥直線b，∴∠AED＝∠2+∠ACB，∴∠2＝80°﹣60°＝20°，故選：A．43．（2023春?碭山縣校級期中）如圖，△ABC為等邊三角形，AP∥CQ．若∠BAP＝α，則∠1＝（）A．60°+α B．60°﹣α C．30°+2α D．120°﹣2α【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝60°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BM∥AP，∵AP∥CQ，∴AP∥CQ∥BM，∴∠BAP＝∠ABM＝α，∠1＝∠CBM，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠ABC＝∠ABM+∠CBM，∴∠CBM＝60°﹣α，∴∠1＝60°﹣α，故選：B．44．（2023春?太和區(qū)期中）如圖，已知O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是線段BO延長線上一點(diǎn)，且OD＝OA，∠AOB＝120°，那么∠BDC＝60度．【分析】由△ABC為等邊三角形可得出AB＝AC、∠BAC＝60°，由∠AOB的度數(shù)利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得出∠AOD＝60°，結(jié)合OD＝OA可得出△AOD為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出AO＝AD、∠OAD＝60°，根據(jù)∠BAO+∠OAC＝∠OAC+∠CAD＝60°可得出∠BAO＝∠CAD，利用全等三角形的判定定理SAS可證出△BAO≌△CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠ADC的度數(shù)，再根據(jù)∠BDC＝∠ADC﹣∠ADO即可求出∠BDC的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°．∵∠AOB＝120°，∠AOD+∠AOB＝180°，∴∠AOD＝60°．又∵OD＝OA，∴△AOD為等邊三角形，∴AO＝AD，∠OAD＝60°，∠ADO＝60°．∵∠BAO+∠OAC＝∠OAC+∠CAD＝60°，∴∠BAO＝∠CAD．在△BAO和△CAD中，，∴△BAO≌△CAD（SAS），∴∠ADC＝∠AOB＝120°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADO＝60°．故答案為：60．一十一．等邊三角形的判定（共4小題）45．（2023春?漳州期中）若一個三角形有兩條邊相等，且有一內(nèi)角為60°，那么這個三角形一定為（）A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形【分析】根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形求解．【解答】解：根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得到該三角形一定為正三角形．故選：D．46．（2023春?遼陽期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE＝DF．求證：△ABC是等邊三角形．【分析】證明Rt△ADE≌Rt△BDF得到∠A＝∠B，則CA＝CB，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法得到結(jié)論．【解答】證明：∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD．∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠AED＝∠BFD＝90°．在Rt△ADE和Rt△BDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），∴∠A＝∠B，∴CA＝CB，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC∴△ABC是等邊三角形．47．（2023春?新民市期中）如圖所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF為BC的中線，D為AF上的一點(diǎn)，且BD的垂直平分線過點(diǎn)C并交BD于E．求證：△BCD是等邊三角形．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AF⊥BC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出BD＝DC，BC＝CD，推出BD＝DC＝BC，根據(jù)等邊三角形的判定得出即可．【解答】證明：∵AB＝AC，AF為BC的中線，∴AF⊥BC，∴BD＝DC，∵CE是BD的垂直平分線，∴BC＝CD，∴BD＝DC＝BC，∴△BCD是等邊三角形．48．（2023春?市北區(qū)期中）如圖，△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，DE⊥AB于E，ED的延長線交BC的延長線于F，且CD＝CF．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）當(dāng)∠F＝30度時，△ABC是等邊三角形？請證明你的結(jié)論．【分析】（1）由CD＝CF，得到∠F＝∠CDF，由垂直的定義得到∠F+∠B＝90°，∠ADE+∠A＝90°，由余角的性質(zhì)得到∠B＝∠A，即可證明問題；（2）由垂直的定義得到∠B＝90°﹣30°＝60°，由（1）知△ABC是等腰三角形，于是證明△ABC是等邊三角形．【解答】（1）證明：∵CD＝CF，∴∠F＝∠CDF，∵∠ADE＝∠CDF，∴∠F＝∠ADE，∵DE⊥AB，∴∠F+∠B＝90°，∠ADE+∠A＝90°，∴∠B＝∠A，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：當(dāng)∠F＝30度時，△ABC是等邊三角形，理由如下：∵DE⊥AB，∴∠B+∠F＝90°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，由（1）知△ABC是等腰三角形，∴△ABC是等邊三角形．故答案為：30．一十二．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）49．（2023春?七星關(guān)區(qū)期中）如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周長．【分析】（1）證明∠ABC＝∠ACB＝60°；證明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解決問題．（2）證明BD＝OD；同理可證CE＝OE；即可解決問題．【解答】解：（1）△ODE是等邊三角形；理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°；∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE為等邊三角形．（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DBO，∴BD＝OD；同理可證CE＝OE；∴△ODE的周長＝BC＝10．50．（2023春?惠來縣期中）如圖，在等邊△ABC中，AC＝12cm，點(diǎn)M以2cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動（不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)N以3cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動（不與點(diǎn)B重合），設(shè)點(diǎn)M，N同時運(yùn)動，運(yùn)動時間為ts．（1）在點(diǎn)M，N運(yùn)動過程中，經(jīng)過幾秒時△BMN為等邊三角形？（2）在點(diǎn)M，N運(yùn)動過程中，△BMN的形狀能否為直角三角形，若能，請計(jì)算運(yùn)動時間t；若不能，請說明理由．【分析】（1）由等邊三角形的判定，當(dāng)BM＝BN時，△BMN是等邊三角形，由此即可解決問題；（2）分兩種情況，由直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）由題意得：BM＝2t，BN＝12﹣3t．則當(dāng)BM＝BN時，△BMN是等邊三角形．∴2t＝12﹣3t．解得：t＝．∴經(jīng)過s時△BMN為等邊三角形；（2）分兩種情況：①如圖1，當(dāng)∠BMN＝90°時，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝30°．∴．∴．∴．②如圖2，當(dāng)∠BNM＝90°時，∠BMN＝30°．∴．∴．∴t＝3．∴在點(diǎn)M，N運(yùn)動過程中，當(dāng)運(yùn)動時間或t＝3s時，△BMN為直角三角形．51．（2022秋?興寧區(qū)校級期中）已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)．（1）求證：AD＝BE；（2）求∠DOE的度數(shù)；（3）求證：△MNC是等邊三角形．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，證△ACD≌△BCE即可；（2）根據(jù)全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可；（3）求出AM＝BN，根據(jù)SAS證△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．【解答】解：（1）∵△ABC、△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵等邊三角形DCE，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，＝∠ADC+60°+∠BED，＝∠CED+60°，＝60°+60°，＝120°，∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，答：∠DOE的度數(shù)是60°．（3）證明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC又∵點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)，∴AM＝AD，BN＝BE，∴AM＝BN，在△ACM和△BCN中，∴△ACM≌△BCN，∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，又∠ACB＝60°，∴∠ACM+∠MCB＝60°，∴∠BCN+∠MC