安徽省滁州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

2024年滁州市高一教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡和試卷上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，務(wù)必擦凈后再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.3.若，則（）A.最大值為 B.最小值為 C.最大值為6 D.最小值為64.下列說法正確的是（）A.如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行B.如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面C.如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行D.如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線垂直，那么該直線與此平面垂直5.若函數(shù)，則（）A.2 B.4 C.8 D.166.若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A B. C. D.7.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲2次，表示事件“沒有出現(xiàn)1點(diǎn)”，表示事件“出現(xiàn)一次1點(diǎn)”，表示事件“兩次拋出的點(diǎn)數(shù)之和是8”，表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相等”，則下列結(jié)論中正確的是（）A.事件與事件是對(duì)立事件B.事件與事件是相互獨(dú)立事件C.事件與事件是互斥事件D.事件包含于事件8.設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).在該坐標(biāo)系下向量，，若有，則的值是（）A.或 B.或2 C.或 D.或2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.截至2021年，中國鐵路營運(yùn)總里程突破15萬公里，其中中國高鐵運(yùn)營里程突破4萬公里，位于世界榜首，為中國經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展提供有力的交通保障.下圖為2012年至2021年中國高鐵每年新增里程折線圖，根據(jù)圖示下列說法正確的有（）A.2012年至2021年中國高鐵里程平均每年新增約34.5百公里B.2012年至2021年中國高鐵每年新增里程的中位數(shù)為33百公里C.2012年至2021年中國高鐵每年新增里程上四分位數(shù)為21百公里D.2012年至2016年中國高鐵每年新增里程的方差大于2017年至2021年中國高鐵每年新增里程的方差10.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值范圍為D.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為11.如圖，在正四棱柱中，，是中點(diǎn)，則（）A.異面直線與所成的角為60°B.二面角的平面角正切值為C.點(diǎn)到平面的距離為D.若平面滿足且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______.13.已知向量，滿足，則與的夾角為__________.14.如圖，正四面體，為該正四面體高的中點(diǎn)，過直線的平面與棱平行，且平面截正四面體上半部分得到的棱錐內(nèi)切球半徑為，正四面體的內(nèi)切球半徑為，則__________.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，是邊上一點(diǎn)，，，.（1）求角；（2）求的長度.16.如圖，在矩形中，，，是上靠近的三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn).（1）用向量，表示，；（2）求余弦值.17.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，平面，是中點(diǎn)，是中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）證明：.18.生物醫(yī)藥的開發(fā)和應(yīng)用對(duì)解決全球性疾病具有重要意義，生物醫(yī)藥的開發(fā)可以幫助解決全球范圍內(nèi)存在的疑難雜癥，如癌癥、艾滋病、糖尿病等，同時(shí)也可以為未來的新病毒和新疾病提供有效的治療手段.而試驗(yàn)是生物制藥中不可缺少的重要環(huán)節(jié).某生物制藥公司對(duì)甲、乙兩種新藥物的某項(xiàng)指標(biāo)值（）進(jìn)行實(shí)驗(yàn).對(duì)注射甲種藥物的20只小白鼠，測(cè)量得出該項(xiàng)指標(biāo)值的數(shù)據(jù)并繪制表格如圖1；對(duì)注射乙種藥物的30只小白鼠，測(cè)量得出該項(xiàng)指標(biāo)值的數(shù)據(jù)并繪制頻率分布直方圖如圖2.臨床觀察表明當(dāng)值越大，藥物對(duì)病毒的抑制效果越好.當(dāng)值大于40時(shí)，認(rèn)為藥物有效；當(dāng)值大于80時(shí)，認(rèn)為藥效顯著.（假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中間值代替）.值頻數(shù)237431（1）求圖2中的值以及注射乙種藥物指標(biāo)值的中位數(shù)；（2）若按分層抽樣從注射甲、乙兩種藥物且藥效顯著樣本中抽取5件，再從這5件中抽取2件樣本作進(jìn)一步臨床實(shí)驗(yàn).記事件表示“2件樣本均是來自注射同一種藥物的實(shí)驗(yàn)組”，事件表示“2件樣本中至少有1件樣本來自注射乙藥物的實(shí)驗(yàn)組”，求；（3）從注射甲藥物有效組中隨機(jī)抽取10個(gè)樣本.其指標(biāo)值平均數(shù)為，方差；從注射乙藥物的有效組中隨機(jī)抽取20個(gè)樣本.其指標(biāo)值平均數(shù)為，方差.計(jì)算上述30個(gè)樣本數(shù)據(jù)均值，方差.19.1715年英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.已知.（1）證明：；（2）設(shè)，證明：；（3）若，恒成立，求的取值范圍.2024年滁州市高一教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡和試卷上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，務(wù)必擦凈后再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由集合的運(yùn)算，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】由題意可得，，則.故選：D2.復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則的虛部為；故選：A3.若，則（）A.最大值為 B.最小值為 C.最大值為6 D.最小值為6【答案】A【解析】【分析】先用定義法證明函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，從而即可求出函數(shù)最大值.【詳解】任取，則，因?yàn)椋?，，故，所以即，所以在單調(diào)遞增；同理可證在單調(diào)遞減，所以.故選：A.4.下列說法正確的是（）A.如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行B.如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面C.如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行D.如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線垂直，那么該直線與此平面垂直【答案】B【解析】【分析】利用空間線、面之間的位置關(guān)系，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，如果這條直線在平面內(nèi)，則該直線與平面不平行；故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面，故B正確；對(duì)于C，如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直，故D錯(cuò)誤；故選：B5.若函數(shù)，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】將變量依次代入變量相應(yīng)范圍所定義的解析式即可求解.【詳解】由題.故選：D.6.若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，引入中間值，比較，根據(jù)指數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，引入中間值，比較即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)在單調(diào)遞增，知道，根據(jù)函數(shù)在單調(diào)遞減，知道，根據(jù)函數(shù)在單調(diào)遞減，知道，綜上所得，.故選：C.7.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲2次，表示事件“沒有出現(xiàn)1點(diǎn)”，表示事件“出現(xiàn)一次1點(diǎn)”，表示事件“兩次拋出的點(diǎn)數(shù)之和是8”，表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相等”，則下列結(jié)論中正確的是（）A.事件與事件是對(duì)立事件B.事件與事件是相互獨(dú)立事件C.事件與事件是互斥事件D.事件包含于事件【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A,C,D選項(xiàng)直接列舉出事件，根據(jù)對(duì)立事件，互斥事件，事件包含的概念可以判斷真假；對(duì)于B選項(xiàng)，用相互獨(dú)立事件的概率定義公式驗(yàn)證即可判斷.【詳解】將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲2次，總共有36種．表示事件“沒有出現(xiàn)1點(diǎn)”，包含,共25種.表示事件“出現(xiàn)一次1點(diǎn)”，包含共10種，則A錯(cuò)誤．表示事件“兩次拋出的點(diǎn)數(shù)之和是8”，包含，共5種,表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相等”，包含，共6種．事件與事件不互斥．故C錯(cuò)誤．由上面分析知道包含,5種情況.且，，，由于，則事件與事件不是相互獨(dú)立事件.故B錯(cuò)誤．顯然事件包含于事件，故D正確．綜上所得，正確的只有D．故選：D.8.設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).在該坐標(biāo)系下向量，，若有，則的值是（）A或 B.或2 C.或 D.或2【答案】C【解析】【分析】由向量坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為基底表示，根據(jù)向量垂直的數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】由題可得，且，，，所以，，由于，則，即，即，解得：或；故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.截至2021年，中國鐵路營運(yùn)總里程突破15萬公里，其中中國高鐵運(yùn)營里程突破4萬公里，位于世界榜首，為中國經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展提供有力的交通保障.下圖為2012年至2021年中國高鐵每年新增里程折線圖，根據(jù)圖示下列說法正確的有（）A.2012年至2021年中國高鐵里程平均每年新增約34.5百公里B.2012年至2021年中國高鐵每年新增里程的中位數(shù)為33百公里C.2012年至2021年中國高鐵每年新增里程的上四分位數(shù)為21百公里D.2012年至2016年中國高鐵每年新增里程的方差大于2017年至2021年中國高鐵每年新增里程的方差【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，由平均數(shù)，中位數(shù)以及百分位數(shù)的計(jì)算公式即可判斷ABC，由方差的計(jì)算公式，即可判斷D【詳解】將2012年至2021年中國高鐵每年新增里程從小到大排序?yàn)椋瑒t平均數(shù)為，故A錯(cuò)誤；中位數(shù)為，故B正確；，則上四分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；2012年至2016年中國高鐵每年新增里程的平均數(shù)為，則方差為，2017年至2021年中國高鐵每年新增里程的平均數(shù)為，則方差為，故D正確；故選：BD10.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值范圍為D.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為【答案】ACD【解析】【分析】先求出解析式，對(duì)于A，求出函數(shù)的對(duì)稱中心即可判斷；對(duì)于B，由解析式及最小正周期公式求解即可；對(duì)于C，根據(jù)變量范圍得出角的范圍即可得出函數(shù)的函數(shù)值范圍；對(duì)于D，求出正切型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間以及零點(diǎn)即可根據(jù)正切（型）函數(shù)圖象性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】由題，又，故，所以，對(duì)于A，令，則，所以的對(duì)稱中心為，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故A正確；對(duì)于B，由上的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，，故，故C正確；對(duì)于D，令，所以，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，令即，所以即，所以函數(shù)的零點(diǎn)為，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在正四棱柱中，，是中點(diǎn)，則（）A.異面直線與所成的角為60°B.二面角的平面角正切值為C.點(diǎn)到平面的距離為D.若平面滿足且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，連接，則可得為異面直線與所成的角，然后利用余弦定理求解判斷，對(duì)于B，設(shè)，連接，可得為二面角的平面角，在直角中求解判斷，對(duì)于C，利用求解判斷，對(duì)于D，連接，可證得平面，則平面截正四棱柱所得截面多邊形為，從而可求出的周長判斷.【詳解】對(duì)于A，連接，則∥，所以為異面直線與所成的角，因?yàn)樵谡睦庵?，，所以，，所以，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，連接，則,因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因平面，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)?，所以，所以二面角的平面角正切值為，所以B正確，對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，得，所以C正確；對(duì)于D，連接，因?yàn)樵谡睦庵?，，是中點(diǎn)，所以，，所以，所以，同理可證，因?yàn)椋矫?，所以平面，所以平面截正四棱柱所得截面多邊形為，因?yàn)?，所以的周長為，所以平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為，所以D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查異面直線所成的角，考查二面角，考查點(diǎn)到面的距離，考查線面垂直的判斷，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件結(jié)合圖形作出異面直線所成的角和二面角的平面角，然后在三角形中計(jì)算，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于較難題.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】解：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.13.已知向量，滿足，則與的夾角為__________.【答案】【解析】【分析】兩邊平方，得到．再根據(jù)夾角的余弦值公式求解即可.【詳解】，，則與的夾角為.故答案為：．14.如圖，正四面體，為該正四面體高的中點(diǎn)，過直線的平面與棱平行，且平面截正四面體上半部分得到的棱錐內(nèi)切球半徑為，正四面體的內(nèi)切球半徑為，則__________.【答案】【解析】【分析】先求出的外接球半徑，再根據(jù)截面棱錐的體積求出內(nèi)切球的半徑最后求比即可.【詳解】正四面體的各條棱相等，各個(gè)面都是全等的正三角形.設(shè)正四面體的棱長為，其體積可以通過將正四面體分割成四個(gè)等體積的三棱錐來計(jì)算，每個(gè)三棱錐的高為內(nèi)切球半徑，則正四面體的體積為.取中點(diǎn)N，連接,直線交于T,過作的平行線,交于E,交于F,連接，因?yàn)?，不在平面?nèi)，平面，所以平面，平面，所以截面是平面.在中，，設(shè)，所以，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，可以得出，設(shè)截面棱錐的內(nèi)切球半徑為，，因?yàn)?，所?，在中，，，，所以，所以，，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：先根據(jù)要求得出截面，再應(yīng)用多面體體積與表面積及內(nèi)切球關(guān)系求解即可.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，是邊上一點(diǎn)，，，.（1）求角；（2）求的長度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)結(jié)合余弦定理可求出角；（2）在中利用余弦定理直接求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所以；【小?詳解】在中，,，所以由正弦定理得，所以，得.16.如圖，在矩形中，，，是上靠近的三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn).（1）用向量，表示，；（2）求的余弦值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)幾何圖形的邊長關(guān)系以及向量運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.（2）先由（1）計(jì)算、、，再根據(jù)向量夾角余弦公式計(jì)算即可得解.【小問1詳解】由題意可得，，所以，.【小問2詳解】由圖可知，由（1）得，且，，所以17.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，平面，是中點(diǎn)，是中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，可得四邊形為平行四邊形，即，從而證明平面；（2）連接與交于，可得與相似，求出，，由勾股定理的逆定理可得，由已知條件可得從而可得平面，即可證明.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，是中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)榈酌媸蔷匦危侵悬c(diǎn)，所以，，所以，，則四邊形平行四邊形；所以，又平面，平面，所以平面【小問2詳解】連接與交于，設(shè)，底面是矩形，則，，因?yàn)?，所以，，則與相似，所以，所以，，則，所以即，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，由于，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?8.生物醫(yī)藥的開發(fā)和應(yīng)用對(duì)解決全球性疾病具有重要意義，生物醫(yī)藥的開發(fā)可以幫助解決全球范圍內(nèi)存在的疑難雜癥，如癌癥、艾滋病、糖尿病等，同時(shí)也可以為未來的新病毒和新疾病提供有效的治療手段.而試驗(yàn)是生物制藥中不可缺少的重要環(huán)節(jié).某生物制藥公司對(duì)甲、乙兩種新藥物的某項(xiàng)指標(biāo)值（）進(jìn)行實(shí)驗(yàn).對(duì)注射甲種藥物的20只小白鼠，測(cè)量得出該項(xiàng)指標(biāo)值的數(shù)據(jù)并繪制表格如圖1；對(duì)注射乙種藥物的30只小白鼠，測(cè)量得出該項(xiàng)指標(biāo)值的數(shù)據(jù)并繪制頻率分布直方圖如圖2.臨床觀察表明當(dāng)值越大，藥物對(duì)病毒的抑制效果越好.當(dāng)值大于40時(shí)，認(rèn)為藥物有效；當(dāng)值大于80時(shí)，認(rèn)為藥效顯著.（假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中間值代替）.值頻數(shù)237431（1）求圖2中的值以及注射乙種藥物指標(biāo)值的中位數(shù)；（2）若按分層抽樣從注射甲、乙兩種藥物且藥效顯著的樣本中抽取5件，再從這5件中抽取2件樣本作進(jìn)一步臨床實(shí)驗(yàn).記事件表示“2件樣本均是來自注射同一種藥物的實(shí)驗(yàn)組”，事件表示“2件樣本中至少有1件樣本來自注射乙藥物的實(shí)驗(yàn)組”，求；（3）從注射甲藥物有效組中隨機(jī)抽取10個(gè)樣本.其指標(biāo)值平均數(shù)為，方差；從注射乙藥物的有效組中隨機(jī)抽取20個(gè)樣本.其指標(biāo)值平均數(shù)為，方差.計(jì)算上述30個(gè)樣本數(shù)據(jù)均值，方差.【答案】（1）；注射乙種藥物指標(biāo)值的中位數(shù)為（2）（3）；【解析】【分析】（1）根據(jù)