專題訓練：等腰三角形中作輔助線的八種常用方法（原卷版）

等腰三角形作輔助線的常用方法題型01等腰三角形中有底邊中點時，常作底邊上的中線【典例分析】【例1-1】（23-24八年級上·浙江寧波·期末）如圖，在中，，點D為中點．，繞點D旋轉，分別與交于E，F兩點．下列結論中錯誤的是（

）A．B．C．D．始終為等腰直角三角形【例1-2】（20-21八年級·遼寧沈陽·階段練習）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，為線段的中點，．(1)求證：；(2)若，則的度數為___________．【例1-3】（23-24八年級上·全國·課堂例題）如圖所示，在中，，，D為的中點，E，F分別是，上的點，且，試判斷的形狀，并說明理由．【變式演練】【變式1-1】（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，在等腰三角形中，，D為的中點，點E在上，，若點P是等腰三角形的邊上的一點，則當為等腰三角形時，的度數是（

）A． B． C．減 D．或【變式1-2】（23-24八年級上·北京·期末）如圖，在中，，D是的中點，過A作，且．求證：(1)；(2)．【變式1-3】（2024八年級·天津·專題練習）如圖，在中，的垂直平分線交于點E，交于點F，D為線段的中點，．(1)求證：．(2)若，求的度數．題型02等腰三角形中沒有底邊中點時，常作底邊上的高【典例分析】【例2-1】（23-24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，點是邊的中點，點在邊上（不與點，重合），連接．（

）

A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【例2-2】（23-24八年級上·浙江溫州·階段練習）如圖，在等邊三角形中，D是上的一點，E是延長線上一點，連接、，已知．(1)求證：是等腰三角形．(2)當，時，求的面積．【例2-3】（23-24八年級上·山東臨沂·期末）已知在中，，點D是邊上一點，．(1)如圖1，試說明的理由；(2)如圖2，過點B作，垂足為點E，與相交于點F．①試說明的理由；②如果，求的度數．【變式演練】【變式2-1】（23-24八年級上·四川瀘州·階段練習）如圖，是的角平分線，，垂足為E，交的延長線于點F，若D恰好是的中點，．給出下列四個結論：①平分；②；③；④，其中正確的結論有（

）個．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式2-2】（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，已知，，與相交于點G．求的度數．【變式2-3】（23-24八年級上·山東聊城·期末）如圖，是的角平分線，，垂足為交的延長線于點，若恰好平分．(1)求證：；(2)若的面積是18，，求長．題型03等腰三角形中證與腰有關聯(lián)的線段時，常作腰的平行線【典例分析】【例3-1】（22-23八年級上·湖北荊門·期中）如圖，中，，點從點出發(fā)沿線段移動（點不與，重合），同時，點從點出發(fā)沿線段的延長線移動，已知點、移動的速度相同，與直線相交于點．(1)求證：；(2)過點作直線的垂線，垂足為，、在移動過程中，線段中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由．【例3-2】（22-23八年級上·河南鶴壁·期末）問題初探如圖①，中，，，點是上一點，連接，以為一邊作，使，，連接，猜想和有怎樣的數量關系，并說明理由．類比再探如圖②，中，，，點是上一點，點是上一點，連接，以一邊作，使，，連接，則________．（直接寫出答案，不寫過程）方法遷移如圖③，是等邊三角形，點是上一點，連接，以為一邊作等邊三角形，連接，則、、之間有怎樣的數量關系？答案：________（直接寫出答案，不寫過程）．拓展創(chuàng)新如圖④，是等邊三角形，點是上一點，點是上一點，連接，以為一邊作等邊三角形，連接，猜想的度數，并說明理由．【變式演練】【變式3-1】（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖，在中，，點P從點B出發(fā)沿線段移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段的延長線移動，已知點P、Q移動的速度相同，與直線相交于點D，求證：．【變式3-2】（2024·八年級上·湖北吉林長春·）如圖，在等腰中，頂角，點D是邊的中點，連接，作于點E，再作交于點F．

(1)求證：；(2)若，則的面積為______．題型04等腰三角形中證與底有關聯(lián)的線段時，常作底的平行線【典例分析】【變式4】（22-23八年級上·上?！て谥校┤鐖D，在中，D是的中點，過D的直線交于E，交的延長線于F，且．求證：．【變式演練】【變式4-1】（23-24八年級上·北京·期末）如圖，等邊中，在邊延長線上一點，延長至，使，于，求證：．【變式4-2】（22-23八年級上·湖北黃岡·階段練習）已知：在等邊中，點是邊所在直線上的一個動點（與、兩點均不重合），點在的延長線上，且．(1)如圖①，當是邊的中點時，求證：；(2)如圖②，當是線段邊上任意一點時，（1）中的結論是否一定成立？請說明理由；(3)若點是線段的延長線上任一點，，，，求的長．題型05補形法構造等腰三角形【典例分析】【例5-1】（23-24八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在中，，為延長線上一點，為上一點，．(1)求證：；(2)若是的中線，交于點，求證：．【例5-2】（22-23八年級上·河南漯河·階段練習）已知，分別是，的中線，且，求證．【例5-3】（23-24八年級上·江西上饒·期末）如圖，中，，于D，且，求．【變式演練】【變式5-1】（23-24八年級上·吉林松原·期中）數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是的中點，求邊上的中線的取值范圍．【探究】小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使，請補充完整證明“”的推理過程．(1)求證：證明：延長AD到點E，使在和中（已作），（______），（中點定義），∴（______），(2)探究得出的取值范圍是______；（直接寫出結果即可）【感悟】解題時，條件中若出現“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．(3)如圖2，中，，，是的中線，，，且，求的長．【變式5-2】（23-24八年級上·江西南昌·期末）如圖，在中，，是的角平分線.(1)當時，求的度數；(2)當時，求證：.【變式5-3】（23-24八年級上·吉林白山·階段練習）如圖，為等邊內一點，連接、，延長到點，使；延長到點，使，連接、．(1)求證：；(2)求的度數；(3)若，則度．題型06延長（或截?。┓嬙烊切巍镜淅治觥俊纠?-1】（23-24八年級上·重慶開州·階段練習）已知，如圖，中，為外一點，且于點，連接交于點，連接．(1)若，求的度數；(2)求證：．【例6-2】（22-23八年級上·湖北武漢·階段練習）已知：在中，是邊上的中線，分別以邊、邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖，求證：．【例6-3】（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，，直線經過點，如圖1，直線與線段相交，于，于D，F是的中點，連接、．

(1)求證：；(2)求證：且；(3)當直線與線段不相交，如圖2，（2）中的結論還成立嗎？請說明理由．【變式演練】【變式6-1】（22-23八年級上·河南鄭州·階段練習）如圖，在正方形中，E、F分別是的中點，交于點G，連接．下列結論：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③【變式6-2】（22-23八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在中，D是的中點，E是上一點，，的延長線交于點F，若，，則求的度數為．

【變式6-3】（23-24八年級上·福建廈門·期中）如圖，，與相交于點，．(1)求證：垂直平分；(2)過點作交的延長線于，如果；①求證：是等邊三角形；②如果、分別是線段、線段上的動點，當為最小值時，請確定點的位置，并思考此時與有怎樣的數量關系．題型07倍長中線法構造等腰三角形【典例分析】【例7-1】（22-23八年級上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）如圖，為中線，點在上，交于點．求證：．【例7-2】（23-24八年級上·湖南懷化·期中）問題探究：小圣遇到這樣一個問題：如圖1，中，是中線，求的取值范圍．他的做法是：延長到，使，連接，證明，經過推理和計算使問題得到解決．請回答：(1)小圣證明的判定定理是______；(2)的取值范圍是______；方法運用：(3)如圖2，是的中線，在上取一點，連接并延長交于點，使，求證：．【例7-3】（23-24八年級上·江蘇鹽城·階段練習）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點，使，請根據小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到的理由是．A．

B．

C．

D．（2）求得的取值范圍是．A．

B．

C．

D．【感悟】解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．【問題解決】如圖2，和是兩個等腰直角三角形，，，與交于．取的中點，連，探討與的數量和位置關系．

【變式演練】【變式7-1】（23-24八年級上·湖北武漢·期中）如圖，是的中線，是上一點，交于，若，，，則的長度為（

）

A． B． C． D．【變式7-2】（22-23八年級上·上海楊浦·期末）已知，如圖：中，，是的中線：求證：．

【變式7-3】（23-24八年級上·江蘇蘇州·期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點，使，請根據小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到的理由是（

）A．

B．

C．

D．

（2）求得的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．【感悟】解題時，條件中若出現“中點”和“中線’字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖2，是的中線，交于，交于，且．求證：．題型08截長補短法構造等腰三角形【典例分析】【例8-1】（23-24八年級下·江西上饒·開學考試）（1）如圖1，在中，，點是邊上一點，連接，，兩點都在線段上，連接，，過作交延長線于點，若，．求證：；（2）如圖2，在中，，點為下方一點，連接，，過作交于點，若，，，求的長．【例8-2】（22-23八年級上·遼寧大連·階段練習）數學課上，小白遇到這樣一個問題：如圖1，在等腰中，，，，求證；在此問題的基礎上，老師補充：過點作于點，交于點，過作交于點，交于點，試探究線段之間的數量關系，并說明理由．小白通過研究發(fā)現，與有某種數量關系：小明通過研究發(fā)現，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即截長補短，再通過進一步推理，可以得出結論．閱讀上面材料，請回答下面問題：

(1)求證；(2)猜想與的數量關系，并證明；(3)探究線段之間的數量關系，并證明．【例8-3】（23-24八年級上·遼寧大連·期末）【問題情境】在數學活動課上，李老師給出如下的問題：如圖1，已知，，過點B作射線l，點E在的內部，點A和點E關于l對稱，交l于點D，連接．證明：．【探究合作】同學們根據問題進行小組合作，下面是第一小組的同學分享的解題過程：小紅：除已知所給相等的邊和角之外，我們小組還推理得到；小鵬：從結論出發(fā)可以“截”較長的線段，本題轉化為證明兩條線段相等的問題．如圖2，在上截取，再證明；小亮：要證明，觀察圖形選取“證明這兩條線段所在的三角形全等”的方法，如圖3，連接，以為目標構造與之全等的三角形；小明：與小鵬的想法類似，但采用將結論中任一較短的線段“補”的方法．如圖4，延長到點G，使，連接，再確定一個三角形作為目標構造與之全等的三角形證明．【推理證明】（1）請你推理出小紅的結論；（2）根據第一小組同學們的解題思路，任選一種方法證明．【反思提升】李老師：小鵬和小明利用“截長補短”的方法，將“求證一條線段等于兩條線段和的問題”轉化為“求兩條線段相等的問題”，這就將新問題轉化為我們熟悉的問題去解決，轉化思想在數學學習中無處不在．請同學們反思后解決下面的問題：（3）如圖，，，點D是的角平分線上一動點，的垂直平分線交射線于E，求的最小值．【變式演練】【變式8-1】（23-24八年級上·山東日照·期末）已知，如圖1，在等邊中，與的角平分線交于點，點、分別在邊上，且，猜想、、三者之間的數量關系．(1)方法探索：小敏的思路是：如圖3，在上取一點，使，連接．先證明______，從而______；繼而證明______，從而______；因此可判斷、、三者之間的數量關系是______；(2)拓展運用：如圖2，點在邊上，點在的延長線上，其它條件不變，猜想、、三者之間的數量關系，并說明理由．【變式8-2】（22