湖南省長(zhǎng)沙市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試卷

長(zhǎng)沙市20232024學(xué)年高二下學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合，由集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?故選：C.2.“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)分析可知若函數(shù)在上單調(diào)遞減，等價(jià)于，根據(jù)包含關(guān)系結(jié)合充分、必要條件分析求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，等價(jià)于，顯然是的真子集，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的充分不必要條件.故選：A3.學(xué)生可從本年級(jí)開(kāi)設(shè)的7門(mén)選修課中往意選擇3門(mén)，并從5種課外活動(dòng)小組中選擇2種，不同的選法種數(shù)是（）A.350 B.700 C.2100 D.4200【答案】A【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)以及分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】7門(mén)選修課中往意選擇3門(mén)，共有種選擇，從5種課外活動(dòng)小組中選擇2種，共有種選法，故總的選法有種，故選：A4.福州新港江陰港區(qū)地處福建最大海灣興化灣西北岸，全年全日船泊進(jìn)出港不受航道及潮水的限制，是迄今為止“我國(guó)少有、福建最佳”的天然良港.如圖，是港區(qū)某個(gè)泊位一天中6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（）A.5 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】從圖象中的最小值入手，求出，進(jìn)而求出函數(shù)的最大值，即為答案.【詳解】從圖象可以看出，函數(shù)最小值為2，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，解得：，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為8m.故選：C5.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.0.7 B.0.3 C.0.2 D.0.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可求解.【詳解】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性可得,故選：C6.某企業(yè)生產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)，且.現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取個(gè)產(chǎn)品，記表示的產(chǎn)品個(gè)數(shù)，則（）A.7 B.9 C.11 D.13【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，即可得到，再根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，則，所以.故選：B7.若函數(shù)在區(qū)間上存在最值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可得其在何處取得最值，即可得解.【詳解】，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得最值，則有，解得.故選：C.8.設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用和事件的概率公式和條件概率公式可得.【詳解】因?yàn)椋?，則，又，即，所以，故B錯(cuò)誤；，，∴，∴，故A錯(cuò)誤；，，∴，故C正確.因?yàn)?，，∴，∴，∴，故D錯(cuò)誤.故選：C.二、多選題9.已知a，b，c為實(shí)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，則，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則，故C正確；對(duì)于D，若，則，故D正確.故選：ACD.10.已知，則下列選項(xiàng)正確的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】原式可化為，則其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，然后利用賦值法求解即可【詳解】解：由，得，則其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，對(duì)于A，令，則，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，令，則，所以B正確；對(duì)于C，在中令，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以D正確，故選：BD11.已知正實(shí)數(shù)滿足（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），則（）A. B.C.的最大值為 D.方程無(wú)實(shí)數(shù)解【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A：由已知可得，代入原方程可判斷A；于B：由已知可得，代入原方程可判斷B；令，求導(dǎo)，可判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求其最大值與值域，可判斷CD.【詳解】對(duì)于A：由，可得，將代入原方程，可得，故A正確；對(duì)于B：若，可得，將代入原方程，得，則，而右邊恒大于0，則等式不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：令，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，即，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，即，所以當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上的值域?yàn)?，故C正確；對(duì)于D：由上可知在區(qū)間上的值域?yàn)椋詿o(wú)實(shí)數(shù)解，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.曲線與直線平行的切線方程為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，建立方程求出切點(diǎn)，由此即可得解.【詳解】，，由題意令，解得，而，所以所求直線方程為，即.故答案為：.13.現(xiàn)安排高二年級(jí)甲，乙、丙、丁、戊五名同學(xué)去A、B兩個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少需要兩名同學(xué)，若甲和乙不能去同一個(gè)工廠，則不同的安排方法種數(shù)為_(kāi)_____．（用數(shù)字作答）【答案】12【解析】【分析】分甲和除乙外的1個(gè)人分為一組和甲和除乙外的2個(gè)人分為一組，再進(jìn)行全排列，相加得到結(jié)果.【詳解】甲和除乙外的1個(gè)人分為一組，再和工廠進(jìn)行全排列，故有種方法，甲和除乙外的2個(gè)人分為一組，再和工廠進(jìn)行全排列，故有種方法，綜上，共有種方法.故答案為：1214.某學(xué)校有，兩家餐廳，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，某班學(xué)生第1天午餐時(shí)選擇餐廳和選擇餐的概率均為.如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為，則某同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率為_(kāi)_______；假設(shè)班內(nèi)各位同學(xué)的選擇相互獨(dú)立，隨機(jī)變量為該班3名同學(xué)中第2天選擇餐廳的人數(shù)，則隨機(jī)變量的均值__________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】首先根據(jù)題意設(shè)出對(duì)應(yīng)的事件，以及概率，再代入全概率公式，即可求解；隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，代入二項(xiàng)分布的期望公式，即可求解.詳解】設(shè)事件第一天去餐廳，事件第二天去餐廳，事件第一天去餐廳，事件第二天去餐廳，由題意可知，，，，則，，所以第2天去餐廳的概率為；由題意可知，每個(gè)人去餐廳的概率為，，所以.故答案為：；四、解答題15.已知集合，.（1）求，；（2）記關(guān)于x的不等式的解集為M，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）將集合化簡(jiǎn)，結(jié)合集合的運(yùn)算，帶入計(jì)算，即可求解；（2）由題意可得，再由，列出不等式，代入計(jì)算，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，解得，所以，又因?yàn)椋獾没?，所以，所以；又因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，若，則，解得，所以m的取值范圍是.16.在的展開(kāi)式中，（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若第項(xiàng)是有理項(xiàng)，求的取值集合；（3）系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng).【答案】（1）（2）；（3）第6項(xiàng)和第7項(xiàng)【解析】【分析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式代入計(jì)算，即可求解；（3）根據(jù)題意，由項(xiàng)的系數(shù)列出不等式，代入計(jì)算，即可求解.【小問(wèn)1詳解】，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即第5項(xiàng)，所以.【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)為整數(shù)時(shí)為有理項(xiàng)，即，則的取值集合為；小問(wèn)3詳解】設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，所以，解得，故系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)和第7項(xiàng).17.為了適應(yīng)市場(chǎng)需求，同時(shí)兼顧企業(yè)盈利的預(yù)期，某科技公司決定增加一定數(shù)量的研發(fā)人員，經(jīng)過(guò)調(diào)研，得到年收益增量（單位：億元）與研發(fā)人員增量（人）的10組數(shù)據(jù)．現(xiàn)用模型①，②分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到下表數(shù)據(jù)，其中.

7.52.2582.504.5012142.88（1）根據(jù)殘差圖，判斷應(yīng)選擇哪個(gè)模型；（無(wú)需說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）中所選模型，求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；并用該模型預(yù)測(cè)，要使年收益增量超過(guò)8億元，研發(fā)人員增量至少多少人？（精確到1）【答案】（1）選擇模型②（2）；10人【解析】【分析】（1）根據(jù)殘差圖即可求解；（2）根據(jù)最小二乘法求解線性回歸方程，即可換元得非線性回歸方程，代入即可求解預(yù)測(cè)值.【小問(wèn)1詳解】選擇模型②，理由如下：由于模型②殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型②帶狀寬度窄，所以模型②的擬合精度更高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度相應(yīng)就會(huì)越高，所以選模型②比較合適；【小問(wèn)2詳解】根據(jù)模型②，令與可用線性回歸來(lái)擬合，有，則，所以，則關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，由題意，，解得，又為整數(shù)，所以，所以，要使年收益增量超過(guò)8億元，研發(fā)人員增量至少為10人．18.無(wú)人機(jī)已廣泛用于森林消防、搶險(xiǎn)救災(zāi)、環(huán)境監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域.（1）消防員甲操縱某一品牌的無(wú)人機(jī)在不同的氣候中進(jìn)行了投彈試驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)下表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析消防員甲操縱該無(wú)人機(jī)的投彈命中率跟氣候是否有關(guān)：晴天雨天命中4530不命中520附：其中0.150.100.050.0100.0012.0722.7063.8416.63510.828（2）某森林消防支隊(duì)在一次消防演練中利用無(wú)人機(jī)進(jìn)行投彈滅火試驗(yàn)，消防員乙操控?zé)o人機(jī)對(duì)同一目標(biāo)起火點(diǎn)進(jìn)行了三次投彈試驗(yàn)，已知無(wú)人機(jī)每次投彈時(shí)擊中目標(biāo)的概率都為，每次投彈是否擊中目標(biāo)相互獨(dú)立.無(wú)人機(jī)擊中目標(biāo)一次起火點(diǎn)被撲滅的概率為，擊中目標(biāo)兩次起火點(diǎn)被撲滅的概率為，擊中目標(biāo)三次起火點(diǎn)必定被撲滅.（i）求起火點(diǎn)被無(wú)人機(jī)擊中次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（ii）求起火點(diǎn)被無(wú)人機(jī)擊中且被撲滅的概率.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（i）分布列見(jiàn)解析，（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表，求出，即可判斷；（2）（i）由二項(xiàng)分布概率公式求概率即可得分布列，再由二項(xiàng)分布期望公式可得；（ii）根據(jù)互斥事件的概率公式求解可得【小問(wèn)1詳解】零假設(shè)消防員甲操縱該無(wú)人機(jī)的投彈命中率跟氣候無(wú)關(guān)

晴天雨天合計(jì)命中453075不命中52025合計(jì)5050100因?yàn)?，根?jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，零假設(shè)不成立，消防員甲操縱該無(wú)人機(jī)的投彈命中率跟氣候有關(guān).【小問(wèn)2詳解】（i）起火點(diǎn)被無(wú)人機(jī)擊中次數(shù)X的所有可能取值為，.X的分布列如下：X0123P.（ii）擊中一次被撲滅概率為擊中兩次被火撲滅的概率為擊中三次被火撲滅的概率為所求概率.19.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的值；（3）記函數(shù)，設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出切線方程；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可；（3）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，依題意方程有兩不相等的正實(shí)根、，利用韋達(dá)定理，結(jié)合的取值方程，即可求出的取值范圍，則，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而得解．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，則切線斜率為，又，切點(diǎn)為，所以切線方程為；【小問(wèn)2詳解】，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞