專題72銳角三角函數(shù)(全章分層練習(xí))(基礎(chǔ)練)-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練(蘇科版)_第1頁
專題72銳角三角函數(shù)(全章分層練習(xí))(基礎(chǔ)練)-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練(蘇科版)_第2頁
專題72銳角三角函數(shù)(全章分層練習(xí))(基礎(chǔ)練)-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練(蘇科版)_第3頁
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文檔簡介

專題7.2銳角三角函數(shù)(全章分層練習(xí))(基礎(chǔ)練)單選題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)1.(2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題)在實(shí)數(shù),x0(x≠0),cos30°,中,有理數(shù)的個數(shù)是(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.(2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題)如圖,在中,,,則(

)A. B. C. D.3.(2022·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖是一間外觀迷人的A型框架木屋,是年輕人戶外度假住宿的理想選擇.正如其名,A型木屋從正面來看呈現(xiàn)字母A的形狀,兩個側(cè)邊斜屋頂變成建筑的外立面,在頂部相交于點(diǎn)A.已知B、C兩點(diǎn)間的距離為6米,,則木屋的側(cè)邊斜屋頂?shù)拈L度為(

)A.米 B.米 C.米 D.米4.(2021·云南·統(tǒng)考中考真題)在中,,則的值是()A. B. C. D.5.(2020·山東聊城·中考真題)如圖,在的正方形網(wǎng)格中,點(diǎn),,都在格點(diǎn)上,則的值是(

)A. B. C. D.26.(2014·四川涼山·統(tǒng)考中考真題)王明同學(xué)遇到了這樣一道題,,則銳角的度數(shù)為(

)A.40° B.30° C.20° D.10°7.(2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題)如圖,在△ABC中,BC=6,AC=8,∠C=90°,以點(diǎn)B為圓心,BC長為半徑畫弧,與AB交于點(diǎn)D,再分別以A、D為圓心,大于AD的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)M、N,作直線MN,分別交AC、AB于點(diǎn)E、F,則AE的長度為()A. B.3 C.2 D.8.(2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在射線OA上,OP=13,cosα=,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(5,13) B.(5,12) C.(13,5) D.(12,5)9.(2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題)如圖,一艘輪船以每小時20海里的速度沿正北方向航行,在A處測得燈塔C在北偏西方向上,輪船航行2小時后到達(dá)B處,在B處測得燈塔C在北偏西方向上,當(dāng)輪船到達(dá)燈塔C的正東方向D處時,則輪船航程的距離是()

A.20海里 B.40海里 C.60海里 D.80海里10.(2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題)勾股定理的證明方法豐富多樣,其中我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“弦圖”的證明簡明、直觀,是世界公認(rèn)最巧妙的方法.“趙爽弦圖”已成為我國古代數(shù)學(xué)成就的一個重要標(biāo)志,千百年來倍受人們的喜愛.小亮在如圖所示的“趙爽弦圖”中,連接,.若正方形與的邊長之比為,則等于(

A. B. C. D.二、填空題(本大題共8小題,每小題4分,共32分)

11.(2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題)計算:+cos60°﹣(﹣2022)0=.12.(2013·浙江杭州·中考真題)計算:=.13.(2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題)如圖,在中,,點(diǎn)D在邊AB上,連接CD.若,,則.

14.(2023·山西·統(tǒng)考中考真題)如圖,在中,.以點(diǎn)為圓心,以的長為半徑作弧交邊于點(diǎn),連接.分別以點(diǎn)為圓心,以大于的長為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn),作射線交于點(diǎn),交邊于點(diǎn),則的值為.

15.(2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題)如圖,在矩形中,為上的點(diǎn),,,則.16.(2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題)如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=6.折疊該菱形,使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)M處,折痕分別與邊AB,AD交于點(diǎn)E,F(xiàn).當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時,EF的長為;當(dāng)點(diǎn)M的位置變化時,DF長的最大值為.17.(2020·湖北省直轄縣級單位·中考真題)如圖,海中有個小島A,一艘輪船由西向東航行,在點(diǎn)B處測得小島A位于它的東北方向,此時輪船與小島相距20海里,繼續(xù)航行至點(diǎn)D處,測得小島A在它的北偏西60°方向,此時輪船與小島的距離為海里.18.(2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題)如圖,在直角中,,,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至的位置,點(diǎn)是的中點(diǎn),且點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上,則的值為.

三、解答題(本大題共6小題,共58分)19.(8分)(2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題)(1)計算:; (2)化簡:.20.(8分)(2022·山東濰坊·中考真題)(1)在計算時,小亮的計算過程如下:解:小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計算有誤,幫助小亮找出了3個錯誤.請你找出其他錯誤,參照①~③的格式寫在橫線上,并依次標(biāo)注序號:①;②;③;____________________________________________________________________________.請寫出正確的計算過程.(2)先化簡,再求值:,其中x是方程的根.21.(10分)(2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題)年6月6日是第個全國“愛眼日”某數(shù)學(xué)興趣小組開展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實(shí)踐探究活動,如圖,當(dāng)張角時,頂部邊緣A處離桌面的高度的長為cm,此時用眼舒適度不太理想,小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究,最后聯(lián)系黃金比知識,發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角時(點(diǎn)是A的對應(yīng)點(diǎn)),用眼舒適度較為理想,求此時頂部邊緣處離桌面的高度的長.(結(jié)果精確到1cm;參考數(shù)據(jù):,,)22.(10分)(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題)如圖,在中,,,點(diǎn)D在邊上,將線段繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到,線段交于點(diǎn)E,作于點(diǎn)F,與線段交于點(diǎn)G,連接.

(1)求證:;(2)求證:;(3)若,,當(dāng)平分四邊形的面積時,求的長.23.(10分)(2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題)如圖,菱形中,相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)B作,且,連結(jié).(1)求證:四邊形是矩形.(2)連接,若,則的值是___________.24.(12分)(2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題)在中,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)在直線上(不與點(diǎn)重合),連接,線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn),得到線段,過點(diǎn)作直線,過點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),直線交直線于點(diǎn).(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時,請直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)在線段上時,求證:;(3)連接,的面積記為,的面積記為,當(dāng)時,請直接寫出的值.參考答案:1.B【分析】根據(jù)零指數(shù)冪,特殊角的三角函數(shù)值,實(shí)數(shù)的意義,即可解答.解:在實(shí)數(shù),x0(x≠0)=1,,中,有理數(shù)是,x0=1,所以,有理數(shù)的個數(shù)是2,故選:B.【點(diǎn)撥】本題考查了零指數(shù)冪,特殊角的三角函數(shù)值,實(shí)數(shù),熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵.2.C【分析】根據(jù)勾股定理,可得與的關(guān)系,根據(jù)正弦函數(shù)的定義,可得答案.解:∵,∴,∴,,故C正確.故選:C.【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義,先利用勾股定理得出與的關(guān)系,再利用正弦函數(shù)的定義.3.D【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)D,可得米,在中,根據(jù)銳角三角函數(shù),即可求解.解:如圖,過點(diǎn)A作于點(diǎn)D,根據(jù)題意得:,米,,∴米,在中,米.故選:D【點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形,等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握銳角三角函數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.4.C【分析】由題意即可得出,設(shè),則,利用勾股定理可求出的長,最后根據(jù),代入數(shù)據(jù)求值即可.解:如圖,根據(jù)題意可知,故可設(shè),則,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)撥】本題考查銳角三角形函數(shù)和勾股定理.掌握正弦和正切的定義是解題關(guān)鍵.5.D【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理,證明是直角三角形,進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解.解:根據(jù)網(wǎng)格可得,,,∴,∴,∴是直角三角形,∴,故選:D.【點(diǎn)撥】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理,求正切,證明是直角三角形是解題的關(guān)鍵.6.C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可.解:∵tan(α+10°)=1,∴tan(α+10°)=,∵α為銳角,∴α+10°=30°,α=20°.故選C.【點(diǎn)撥】熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵.7.A【分析】由題意易得MN垂直平分AD,AB=10,則有AD=4,AF=2,然后可得,進(jìn)而問題可求解.解:由題意得:MN垂直平分AD,,∴,∵BC=6,AC=8,∠C=90°,∴,∴AD=4,AF=2,,∴;故選A.【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理、垂直平分線的性質(zhì)及三角函數(shù),熟練掌握勾股定理、垂直平分線的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.8.B【分析】過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E.根據(jù)a的余弦值和OP,先求出OE,再利用勾股定理求出PE即可.解:如圖,過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則OE=x,PE=y(tǒng).在Rt△OPE中,∵cosα=,OP=13,∴OE=5.∴PE==12.∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,12).故選:B.【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形和勾股定理,掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.9.C【分析】解:根據(jù)三角形外角和定理可求得的值,然后放到中,根據(jù)直角三角形角的性質(zhì)即可解答.解:由題意得,,∴,∴,∵,∴,∴,則輪船航程的距離是60海里.故選:C.【點(diǎn)撥】此題主要考查了方位角和含直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用,將已知條件和所求結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個直角三角形中求解是解決有關(guān)直角三角形的常規(guī)思路.10.A【分析】設(shè)的長直角邊為a,短直角邊為b,大正方形的邊長為,小正方形的邊長為x,由題意得,解得,即可求解.解:過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)N,由題意可得,兩個正方形之間是4個相等的三角形,設(shè)的長直角邊為a,短直角邊為b,大正方形的邊長為,小正方形的邊長為x,即,,,由題意得,,解得,在中,,則,,則,∴,故選:A.

【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)及勾股定理,確定a、b和x之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.11.﹣1【分析】先計算立方根、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪,再進(jìn)行計算即可解答.解:+cos60°﹣(﹣2022)0=﹣+﹣1=0﹣1=﹣1故答案為:﹣1.【點(diǎn)撥】本題考查了立方根、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪等知識點(diǎn),熟練掌握各知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.12.3【分析】針對每個考點(diǎn)分別進(jìn)行計算,然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計算結(jié)果.解:=4+﹣1﹣=3.故答案為:3.【點(diǎn)撥】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡解答關(guān)鍵是按照相關(guān)法則進(jìn)行計算.13./【分析】由題意可設(shè),則,,在中求得,在中求出答案即可.解:,,設(shè),則,,在中,由勾股定理得:,在中,.【點(diǎn)撥】本題考查的是求銳角三角函數(shù),解題關(guān)鍵是根據(jù)比值設(shè)未知數(shù),表示出邊長從而求出銳角三角函數(shù)值.14.【分析】證明,,,再利用正切函數(shù)的定義求解即可.解:∵在中,,∴,,由作圖知平分,,∴是等邊三角形,,∴,,∵,∴,∴,∴,∵,∴,∴,故答案為:.【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),角平分線的定義,尺規(guī)作圖—作角平分線,等邊三角形的判定和性質(zhì),正切函數(shù)的定義,求得是解題的關(guān)鍵.15./解:設(shè),在矩形中,為上的點(diǎn),,,,,,故答案為:.【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì),勾股定理,求正切,掌握正確的定義是解題的關(guān)鍵.16.【分析】當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時,EF垂直平分AB,利用三角函數(shù)即可求得EF的長;根據(jù)折疊的性質(zhì)可知,AF=FM,若DF取最大值,則FM取最小值,即為邊AD與BC的距離DG,即可求解.解:當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時,由折疊的性質(zhì)知EF垂直平分AB,∴AE=EB=AB=3,在Rt△AEF中,∠A=60°,AE=3,tan60°=,∴EF=3;當(dāng)AF長取得最小值時,DF長取得最大值,由折疊的性質(zhì)知EF垂直平分AM,則AF=FM,∴FM⊥BC時,F(xiàn)M長取得最小值,此時DF長取得最大值,過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)C,則四邊形DGMF為矩形,∴FM=DG,在Rt△DGC中,∠C=∠A=60°,DC=AB=6,∴DG=DCsin60°=3,∴DF長的最大值為ADAF=ADFM=ADDG=63,故答案為:3;63.【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),解直角三角形,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.17.20【分析】過點(diǎn)A作AC⊥BD,根據(jù)方位角及三角函數(shù)即可求解.解:如圖,過點(diǎn)A作AC⊥BD,依題意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形,AB=20(海里)∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)在Rt△ACD中,∠ADC=90°60°=30°∴AD=2AC=20(海里)故答案為:20.【點(diǎn)撥】此題主要考查解直角三角形,解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值.18.【分析】依據(jù)題意,在中,,,從而,可得,又結(jié)合題意,,進(jìn)而,故可得點(diǎn)坐標(biāo),代入解析式可以得解.解:如圖,作軸,垂足為.

由題意,在中,,,...又繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至的位置,..又點(diǎn)是的中點(diǎn),.在中,,.,.又在上,.故答案為:.【點(diǎn)撥】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理等知識,解題時需要熟練掌握并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵.19.(1);(2)【分析】(1)先將算術(shù)平方根、特殊角的三角函數(shù)、零指數(shù)冪化簡,然后計算可得答案;(2)先通分算出括號內(nèi)的結(jié)果,再將除數(shù)中的分子進(jìn)行因式分解,同時將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算,最后約分即可得到結(jié)果.解:(1)原式.(2)原式.【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、分式的混合運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn).20.(1)④tan30°=;⑤(2)2=,⑥(2)0=1;28;(2),.【分析】(1)根據(jù)乘方、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的法則計算即可;(2)先把括號內(nèi)通分,接著約分得到原式=,然后利用因式分解法解方程x22x3=0得到x1=3,x2=1,則利用分式有意義的條件把x=1代入計算即可.解:(1)其他錯誤,有:④tan30°=;⑤(2)2=,⑥(2)0=1,正確的計算過程:解:=28;(2)=,∵x22x3=0,∴(x3)(x+1)=0,x3=0或x+1=0,∴x1=3,x2=1,∵x=3分式?jīng)]有意義,∴x的值為1,當(dāng)x=1時,原式==.【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,解一元二次方程因式分解法,分式的化簡求值.也考查了特殊角的三角函數(shù)值、立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪.21.【分析】根據(jù),得到,再根據(jù),得到,在中根據(jù)三角函數(shù)即可求解.解:∵,∴,在中,,∴,由題意得:,∵,∴,在中,∴此時頂部邊緣處離桌面的高度的長約為.【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形角所對直角邊等于斜邊一半及解直角三角形,解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知角度求出角的大?。?2.(1)見分析;(2)見分析;(3)【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,再根據(jù),可得,即可;(2)根據(jù),可得點(diǎn)B,C,G,F(xiàn)四點(diǎn)共圓,從而得到,,從而得到,進(jìn)而得到,可證明,即可;(3)連接,根據(jù),,可得,,,設(shè),則可得,,,,,,再由平分四邊形的面積,可得,從而得到關(guān)于x的方程,即可求解.解:(1)證明:∵線段繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到,∴,∴,∵,即,∴,∵,∴,在和中,∵,,∴;(2)證明:∵,∴點(diǎn)B,C,G,F(xiàn)四點(diǎn)共圓,∴,,∵,∴,∵,∴,∵,∴,∴,即;(3)解:如圖,連接,

∵,∴,,∵,,∴,∴,,∴,設(shè),則,∴,,,∴,∴,,∵平分四邊形的面積,∴,∴,即,解得:(負(fù)值舍去),∴.【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形,勾股定理等知識,熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.23.(1)見分析;(2)【分析】(1)證,再證四邊形是平行四邊形,然后由即可得出結(jié)論;(2)由銳角三角函數(shù)得設(shè),則,再由勾股定理得,然后由銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論.解:(1)證明:∵四邊形是菱形,∴,∵,∴,∵,∴四邊形是平行四邊形,∵,即,∴四邊形是矩形;(2)解:如圖,∵四邊形是菱形

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