專題05冪函數(shù)與二次函數(shù)4題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測（原卷版+解析版）

專題05冪函數(shù)與二次函數(shù)4題型分類1、冪函數(shù)的定義一般地，（為有理數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).2、冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1；

②的底數(shù)是自變量；

③指數(shù)為常數(shù).（3）冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)3、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點4、二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：；（2）頂點式：；其中，為拋物線頂點坐標(biāo)，為對稱軸方程.（3）零點式：，其中，是拋物線與軸交點的橫坐標(biāo).5、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為，頂點坐標(biāo)為.（1）單調(diào)性與最值①當(dāng)時，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，；②當(dāng)時，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時，（2）與軸相交的弦長當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點和，.6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點或頂點處.對二次函數(shù)，當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則.（一）冪函數(shù)的定義及其圖像1、冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當(dāng)時，其圖象可類似畫出；②當(dāng)時，其圖象可類似畫出；③當(dāng)時，其圖象可類似畫出．題型1：冪函數(shù)的定義及其圖像1-1．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)的圖象過點，則（

）A．0 B．2 C．4 D．51-2．（2024高三·河北·學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．91-3．（2024高一下·湖北宜昌·期中）已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過定點，若冪函數(shù)的圖象也經(jīng)過該點，則．1-4．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且1-5．（2024高一上·陜西西安·期中）冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為（

）A． B． C． D．（二）冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點題型2：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用2-1．（2024高一上·上海楊浦·期末）已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則.2-2．（2024高三上·寧夏固原·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞減，則實數(shù)（

）A． B．或 C． D．2-3．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知為冪函數(shù)，則（

）．A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減2-4．（2024·江蘇）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，，則f(-8)的值是.2-5．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足的實數(shù)a的取值范圍．（三）二次方程的實根分布及條件一般情況下需要從以下4個方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點的關(guān)系；（4）區(qū)間端點函數(shù)值的正負(fù).題型3：二次方程的實根分布及條件3-1．（2024高三·全國·階段練習(xí)）方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．3-3．（2024高一·江蘇·課后作業(yè)）設(shè)a為實數(shù)，若方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（

）.A． B．C． D．（四）二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點的位置關(guān)系），從而對參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點函數(shù)值正負(fù).題型4：二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題4-1．（2024高一上·海南·期中）已知在區(qū)間上的值域為.(1)求實數(shù)的值；(2)若不等式

當(dāng)上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.4-2．（2024·浙江）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值的表達(dá)式；（2）已知函數(shù)在上存在零點，，求的取值范圍.4-3．（2024高一上·海南·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值2和最小值1.(1)求的值；(2)不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若且方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.4-4．（2024·浙江）已知函數(shù)，記是在區(qū)間上的最大值.（1）證明：當(dāng)時，；（2）當(dāng)，滿足，求的最大值.4-5．（2024高一上·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，解方程；(2)當(dāng)時，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．一、單選題1．（2024高一·全國·假期作業(yè)）關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，，且，那么m的值為（

）A． B． C．或1 D．或42．（2024·山東）關(guān)于函數(shù)，以下表達(dá)錯誤的選項是（

）A．函數(shù)的最大值是1 B．函數(shù)圖象的對稱軸是直線C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 D．函數(shù)圖象過點3．（2024·浙江）若函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則的值A(chǔ)．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)4．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．5．（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．7．（2024高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B． C． D．8．（2024高三·河北·專題練習(xí)）設(shè)，二次函數(shù)的圖象為下列之一，則的值為（）A． B． C． D．9．（2024高三下·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）已知函數(shù)若的最小值為6，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知x，，滿足，，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．211．（2024·貴州畢節(jié)·二模）已知，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．12．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f（4）>f（1），則（

）A．a(chǎn)>0，4a＋b＝0 B．a(chǎn)<0，4a＋b＝0C．a(chǎn)>0，2a＋b＝0 D．a(chǎn)<0，2a＋b＝013．（2024·浙江）已知函數(shù)f(x)=x2+bx，則“b＜0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件14．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（

）A．16 B．18 C．25 D．15．（2024·陜西）對二次函數(shù)（為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是A．是的零點 B．1是的極值點C．3是的極值 D．點在曲線上16．（2024·四川樂山·一模）已知冪函數(shù)和，其中，則有下列說法：①和圖象都過點；②和圖象都過點；③在區(qū)間上，增長速度更快的是；④在區(qū)間上，增長速度更快的是.則其中正確命題的序號是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④17．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則（

）A．8 B．4 C．2 D．118．（2024·北京東城·一模）下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（

）A． B． C． D．二、多選題19．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．20．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)圖像經(jīng)過點，則下列命題正確的有（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．若，則 D．若，則21．（2024高一上·重慶·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列結(jié)論正確的是（

）A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實數(shù)根的充要條件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根的充要條件是m∈{m|m<0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩正實數(shù)根的充要條件是m∈{m|0<m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0無實數(shù)根的必要條件是m∈{m|m>1}22．（2024高一上·湖南長沙·期中）設(shè)二次函數(shù)的值域為，下列各值（或式子）中一定大于的有（

）A． B．C． D．三、填空題23．（2024高一上·全國·期末）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則滿足成立的實數(shù)a的取值范圍為.24．（2024高一上·四川眉山·期中）下面命題：①冪函數(shù)圖象不過第四象限；②圖象是一條直線；③若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；④若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；⑤若函數(shù)的值域是，則它的定義域一定是．其中不正確命題的序號是．25．（2024高三上·河北衡水·周測）已知，，若對，，，則實數(shù)的取值范圍是.26．（2024高三上·福建三明·期中）已知，則實數(shù)的取值范圍是27．（2024高三下·上海嘉定·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為．28．（2024高三·全國·專題練習(xí)）不等式的解集為：．29．（2024高一上·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是.30．（2024·上海閔行·一模）已知二次函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為．31．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的非常值函數(shù).①在上恒成立；②是偶函數(shù)；③.32．（2024·新疆阿勒泰·一模）已知二次函數(shù)（a，b為常數(shù)）滿足，且方程有兩等根，在上的最大值為，則的最大值為.33．（2024·湖北）為實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為.當(dāng)時，的值最小.四、解答題34．（2024高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知.(1)若，，解關(guān)于的不等式；(2)若，在上的最大值為，最小值為，求證：.35．（2024高一下·貴州黔東南·開學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時，，.(1)求在區(qū)間上的解析式；(2)若對，則，使得成立，求的取值范圍.36．（2024高一上·河南平頂山·期末）已知函數(shù)．(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．37．（2024高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式；(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實數(shù)a和t的值．38．（2024高一上·遼寧大連·期中）已知值域為的二次函數(shù)滿足，且方程的兩個實根滿足．(1)求的表達(dá)式；(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求實數(shù)的取值范圍．39．（2024高三上·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.40．（2024高一上·湖南衡陽·期末）二次函數(shù)為偶函數(shù)，，且恒成立．(1)求的解析式；(2)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．41．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，設(shè)的最大值為，求的最小值．42．（2024高一上·廣東·期中）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時，①求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；②求函數(shù)在區(qū)間的值域；(2)當(dāng)時，記函數(shù)的最大值為，求的最小值．43．（2024高一上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根.(1)是否存在實數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(2)求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值.44．（2024高一上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且函數(shù)的值域為.（1）求實數(shù)a的值；（2）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若關(guān)于x的方程有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍.45．（2024高三上·江西鷹潭·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的定義域為R.(1)求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)在上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍.

專題05冪函數(shù)與二次函數(shù)4題型分類1、冪函數(shù)的定義一般地，（為有理數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).2、冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1；

②的底數(shù)是自變量；

③指數(shù)為常數(shù).（3）冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)3、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點4、二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：；（2）頂點式：；其中，為拋物線頂點坐標(biāo)，為對稱軸方程.（3）零點式：，其中，是拋物線與軸交點的橫坐標(biāo).5、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為，頂點坐標(biāo)為.（1）單調(diào)性與最值①當(dāng)時，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，；②當(dāng)時，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時，（2）與軸相交的弦長當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點和，.6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點或頂點處.對二次函數(shù)，當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則.（一）冪函數(shù)的定義及其圖像1、冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當(dāng)時，其圖象可類似畫出；②當(dāng)時，其圖象可類似畫出；③當(dāng)時，其圖象可類似畫出．題型1：冪函數(shù)的定義及其圖像1-1．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)的圖象過點，則（

）A．0 B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的形式及過定點即可求解.【詳解】解：因為為冪函數(shù)所以又的圖象過點即解得所以故選：C.1-2．（2024高三·河北·學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】B【分析】設(shè)冪函數(shù)為，代入點計算得到，計算得到答案.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，圖象過點，故，故，，.故選：B1-3．（2024高一下·湖北宜昌·期中）已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過定點，若冪函數(shù)的圖象也經(jīng)過該點，則．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合冪函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，所以，設(shè)冪函數(shù)，因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過，所以，因此，故答案為：1-4．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出；根據(jù)函數(shù)的奇偶性及，互質(zhì)可判斷出為偶數(shù)，為奇數(shù).【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞減，所以0，因為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，所以選項D正確，故選：D.1-5．（2024高一上·陜西西安·期中）冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出各冪函數(shù)的定義域和值域，得到答案.【詳解】當(dāng)時，定義域和值域均為，符合題意；時，定義域為，值域為，故不合題意；時，定義域為，值域為，符合題意；時，定義域與值域均為R，符合題意；時，定義域為R，值域為，不符合題意；時，定義域與值域均為R，符合題意.故選：C（二）冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點題型2：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用2-1．（2024高一上·上海楊浦·期末）已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則.【答案】-1【分析】根據(jù)冪函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，可得，再由冪函數(shù)奇函數(shù)即可得答案.【詳解】解：因為冪函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，所以，所以，又因為冪函數(shù)奇函數(shù)，且，所以，故答案為：-12-2．（2024高三上·寧夏固原·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞減，則實數(shù)（

）A． B．或 C． D．【答案】A【分析】由冪函數(shù)定義以及性質(zhì)即可求出.【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，又因為在上單調(diào)遞減，則.故選：A2-3．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知為冪函數(shù)，則（

）．A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】B【分析】首先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出參數(shù)的值，即可得到函數(shù)解析式，再分析其性質(zhì).【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，所以或，對于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；對于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減；故只有B選項“在上單調(diào)遞減”符合這兩個函數(shù)的性質(zhì)．故選：B2-4．（2024·江蘇）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，，則f(-8)的值是.【答案】【分析】先求，再根據(jù)奇函數(shù)求【詳解】，因為為奇函數(shù)，所以故答案為：【點睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2-5．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足的實數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)，可確定參數(shù)m的取值，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求解不等式，可得答案.【詳解】因為函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，解得．由m為正整數(shù)，則或,又函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，得是偶函數(shù)，而當(dāng)時，，為奇函數(shù)，不符題意，當(dāng)時，，為偶函數(shù)，于是．因為為奇函數(shù)，在與上均為嚴(yán)格減函數(shù)，所以等價于或或，解得或，即.（三）二次方程的實根分布及條件一般情況下需要從以下4個方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點的關(guān)系；（4）區(qū)間端點函數(shù)值的正負(fù).題型3：二次方程的實根分布及條件3-1．（2024高三·全國·階段練習(xí)）方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)有，，，求得的取值范圍.【詳解】令，由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)，若一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間（3，4）內(nèi)，只需，即，解不等式組可得，即的取值范圍為，故選：C.【點睛】本題考查了二次函數(shù)根的分布性質(zhì)，屬于中檔題.3-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】說明時，不合題意，從而將化為，令，結(jié)合其與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側(cè)，可列不等式即可求得答案.【詳解】當(dāng)時，即為，不符合題意；故，即為，令，由于關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，則與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側(cè)，故時，，即，解得，故，故選：D3-3．（2024高一·江蘇·課后作業(yè)）設(shè)a為實數(shù)，若方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)方程根的分布結(jié)合二次函數(shù)的圖象列出不等式組求解即可.【詳解】令，由方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解可得，即或，解得，故選：C（四）二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點的位置關(guān)系），從而對參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點函數(shù)值正負(fù).題型4：二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題4-1．（2024高一上·海南·期中）已知在區(qū)間上的值域為.(1)求實數(shù)的值；(2)若不等式

當(dāng)上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)區(qū)間討論的對稱軸的位置，滿足值域是，求出a；（2）運用換元法構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性求解.【詳解】（1）函數(shù)是開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，根據(jù)的圖像有：當(dāng)時，在上的最小值，不符合，舍；當(dāng)時，在上的最小值或（舍），，，滿足題意；當(dāng)時，在上的最小值（舍），；（2）由(1)，，不等式為，即，令，則，

在時恒成立，令，是對稱軸為開口向上的拋物線，在時單調(diào)遞減，，，即k的取值范圍是；綜上，.4-2．（2024·浙江）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值的表達(dá)式；（2）已知函數(shù)在上存在零點，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）將函數(shù)進(jìn)行配方，利用對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，通過分類討論確定函數(shù)在給定區(qū)間上的最小值，并用分段函數(shù)的形式進(jìn)行表示；（2）設(shè)定函數(shù)的零點，根據(jù)條件表示兩個零點之間的不等關(guān)系，通過分類討論，分別確定參數(shù)的取值情況，利用并集原理得到參數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）當(dāng)時，，故其對稱軸為.當(dāng)時，.當(dāng)時，.當(dāng)時，.綜上，（2）設(shè)為方程的解，且，則.由于，因此.當(dāng)時，，由于和，所以.當(dāng)時，，由于和，所以.綜上可知，的取值范圍是.考點：1.函數(shù)的單調(diào)性與最值；2.分段函數(shù)；3.不等式性質(zhì)；4.分類討論思想.4-3．（2024高一上·海南·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值2和最小值1.(1)求的值；(2)不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若且方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知列出方程組，即可得出；（2）由已知可轉(zhuǎn)化為在上恒成立.根據(jù)基本不等式即可求出實數(shù)的取值范圍；（3）由已知可推得有三個不同的實數(shù)解.令，作出的函數(shù)圖象，可得.結(jié)合函數(shù)圖象，該方程一個根大于0小于1，一個根大于等于1.令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，即可得出不等關(guān)系，進(jìn)而求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由已知可得.當(dāng)時，在上為增函數(shù)，所以，解得；當(dāng)時，在上為減函數(shù)，所以，解得.由于，所以.（2）由（1）知，所以在上恒成立，即，因為，所以在上恒成立，即在上恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以，即.所以求實數(shù)的范圍為.（3）方程化為，化為，且.令，則方程化為.作出的函數(shù)圖象因為方程有三個不同的實數(shù)解，所以有兩個根，且一個根大于0小于1，一個根大于等于1.設(shè)，記，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，或，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的函數(shù)特性，即可得出零點的分布情況.4-4．（2024·浙江）已知函數(shù)，記是在區(qū)間上的最大值.（1）證明：當(dāng)時，；（2）當(dāng)，滿足，求的最大值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【詳解】（1）分析題意可知在上單調(diào)，從而可知，分類討論的取值范圍即可求解.；（2）分析題意可知，再由可得，，即可得證.試題解析：（1）由，得對稱軸為直線，由，得，故在上單調(diào)，∴，當(dāng)時，由，得，即，當(dāng)時，由，得，即，綜上，當(dāng)時，；（2）由得，，故，，由，得，當(dāng)，時，，且在上的最大值為，即，∴的最大值為..考點：1.二次函數(shù)的性質(zhì)；2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.4-5．（2024高一上·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，解方程；(2)當(dāng)時，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．【答案】(1)和1(2)【分析】（1）分與兩種情況，結(jié)合二次方程求解即可；（2）根據(jù)分段函數(shù)中的二次函數(shù)性質(zhì)，分析可得最大值在中取得，再根據(jù)區(qū)間端點與對稱軸的關(guān)系分情況討論，數(shù)形結(jié)合分析函數(shù)的最大值，進(jìn)而求得的解析式，從而得到最小值即可.【詳解】（1）當(dāng)時，令．當(dāng)時，，解得：當(dāng)時，，解得：故方程的解為：和1；（2），其中，因為對稱軸為，開口向下；對稱軸為，開口向上，于是最大值在中取得．當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減．；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，一、單選題1．（2024高一·全國·假期作業(yè)）關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，，且，那么m的值為（

）A． B． C．或1 D．或4【答案】A【分析】，利用韋達(dá)定理可得答案.【詳解】關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，，解得：，關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，，，，，即，解得：或舍去故選：A.2．（2024·山東）關(guān)于函數(shù)，以下表達(dá)錯誤的選項是（

）A．函數(shù)的最大值是1 B．函數(shù)圖象的對稱軸是直線C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 D．函數(shù)圖象過點【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，直接進(jìn)行求解即可.【詳解】，最大值是1，A正確；對稱軸是直線，B正確；單調(diào)遞減區(qū)間是，故C錯誤；令的，故在函數(shù)圖象上，故D正確，故選：C3．（2024·浙江）若函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則的值A(chǔ)．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)【答案】B【詳解】因為最值在中取，所以最值之差一定與無關(guān)，選B．【名師點睛】對于二次函數(shù)的最值或值域問題，通常先判斷函數(shù)圖象對稱軸與所給自變量閉區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合圖象，當(dāng)函數(shù)圖象開口向上時，若對稱軸在區(qū)間的左邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若對稱軸在區(qū)間的右邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；若對稱軸在區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)圖象頂點的縱坐標(biāo)為最小值，區(qū)間端點距離對稱軸較遠(yuǎn)的一端取得函數(shù)的最大值．4．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由可知圖像與的圖像關(guān)于軸對稱，由的圖像即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以圖像與的圖像關(guān)于軸對稱，由解析式，作出的圖像如圖從而可得圖像為B選項.故選：B.5．（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為且在區(qū)間上恒成立可求解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以且在區(qū)間上恒成立，所以，解得或.故選：B6．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)圖象可確定大小關(guān)系，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】由圖象可知：，.故選：C.7．（2024高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合二次函數(shù)和分段函數(shù)性質(zhì)，研究給定函數(shù)的單調(diào)性，再借助單調(diào)性求解不等式作答.【詳解】因為開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是。故選：D8．（2024高三·河北·專題練習(xí)）設(shè)，二次函數(shù)的圖象為下列之一，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)得該函數(shù)的對稱軸不能為軸，當(dāng)開口向上時，對稱軸，進(jìn)而得該函數(shù)圖象，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象過坐標(biāo)原點且開口向下即可得答案.【詳解】由題知，，所以二次函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，故排除第一、二個函數(shù)圖象，當(dāng)時，該二次函數(shù)的對稱軸為，故第四個圖象也不滿足題意，當(dāng)時，該二次函數(shù)的對稱軸為，開口向下，故第三個函數(shù)圖象滿足題意.此時函數(shù)圖象過坐標(biāo)原點，故，解得，由于，故.故選：B9．（2024高三下·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）已知函數(shù)若的最小值為6，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由基本不等式求得在時的最小值是6，因此時函數(shù)的最小值不小于6，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)分類討論求解．【詳解】因為當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，的最小值大于或等于6.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則.由得；當(dāng)時，.由得.綜合可得.故選：C．10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知x，，滿足，，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】令，，易得為奇函數(shù)且為增函數(shù)，再由和，變形得到，求解．【詳解】解：令，，則，∴為奇函數(shù)．∵，∴．又∵，∴，∴，．又∵在R上單調(diào)遞增，∴，即．故選：B．11．（2024·貴州畢節(jié)·二模）已知，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出的范圍.【詳解】，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減得，，根據(jù)冪函數(shù)在上單調(diào)遞增知，則，，根據(jù)對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減得，綜上.故選：D.12．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f（4）>f（1），則（

）A．a(chǎn)>0，4a＋b＝0 B．a(chǎn)<0，4a＋b＝0C．a(chǎn)>0，2a＋b＝0 D．a(chǎn)<0，2a＋b＝0【答案】A【分析】由已知得f(x)的圖象的對稱軸為x＝2且f(x)先減后增，可得選項.【詳解】由f(0)＝f（4），得f(x)＝ax2＋bx＋c圖象的對稱軸為x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f（1），f（4）>f（1），∴f(x)先減后增，于是a>0，故選：A.【點睛】本題考查二次函數(shù)的對稱軸，單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.13．（2024·浙江）已知函數(shù)f(x)=x2+bx，則“b＜0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】試題分析：由題意知，最小值為．令，則，當(dāng)時，的最小值為，所以“”能推出“的最小值與的最小值相等”；當(dāng)時，的最小值為0，的最小值也為0，所以“的最小值與的最小值相等”不能推出“”．故選A．考點：充分必要條件．14．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（

）A．16 B．18 C．25 D．【答案】B【分析】分，，，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式即可求解.【詳解】當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，所以，沒有最大值，舍去；當(dāng)時，拋物線的對稱軸為.當(dāng)時，據(jù)題意，可得，即..當(dāng)且僅當(dāng)且，得，等號成立；當(dāng)時，拋物線開口向下，據(jù)題意得，，即..當(dāng)且僅當(dāng)且，得，故應(yīng)舍去.要使得取得最大值，應(yīng)有.因為在上單調(diào)遞減.所以.綜上所述，的最大值為18.故選：B.15．（2024·陜西）對二次函數(shù)（為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是A．是的零點 B．1是的極值點C．3是的極值 D．點在曲線上【答案】A【詳解】若選項A錯誤時，選項B、C、D正確，，因為是的極值點，是的極值，所以，即，解得：，因為點在曲線上，所以，即，解得：，所以，，所以，因為，所以不是的零點，所以選項A錯誤，選項B、C、D正確，故選A．【考點定位】1、函數(shù)的零點；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．16．（2024·四川樂山·一模）已知冪函數(shù)和，其中，則有下列說法：①和圖象都過點；②和圖象都過點；③在區(qū)間上，增長速度更快的是；④在區(qū)間上，增長速度更快的是.則其中正確命題的序號是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】A【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷即可【詳解】冪函數(shù)的圖象過定點，①正確，在區(qū)間上，越大增長速度更快，③正確，故選：A.17．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】A【分析】由奇函數(shù)定義域的對稱性得，然后可得函數(shù)解析式，計算函數(shù)值．【詳解】因為冪函數(shù)在上是奇函數(shù)，所以，所以，所以，故選：A．18．（2024·北京東城·一模）下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷.【詳解】A.函數(shù)的定義域為，值域為R；B.函數(shù)的定義域為R，值域為；C.函數(shù)的定義域為R，值域為R；D.函數(shù)的定義域為，值域為，故選：C二、多選題19．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合特殊值法及構(gòu)造函數(shù)法即可求解.【詳解】由冪函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增.因為,所以，即，，所以．故A正確；令，則，故B錯誤；令，則由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，于是有，故C正確；令，則，所以因為，故D錯誤．故選：AC.20．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)圖像經(jīng)過點，則下列命題正確的有（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】先代點求出冪函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)直接可得單調(diào)性和奇偶性，可判斷A，B，由，可判斷C，假設(shè)，對不等式進(jìn)行證明，即可判斷D.【詳解】將點代入函數(shù)得：，則.所以，顯然在定義域上為減函數(shù)，所以A錯誤；，所以為偶函數(shù)，所以B正確；當(dāng)時，，即，所以C錯誤；當(dāng)若時，假設(shè)，整理得，化簡得，，即證明成立，利用基本不等式，，因為，故等號不成立，成立；即成立，所以D正確.故選：BD.21．（2024高一上·重慶·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列結(jié)論正確的是（

）A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實數(shù)根的充要條件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根的充要條件是m∈{m|m<0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩正實數(shù)根的充要條件是m∈{m|0<m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0無實數(shù)根的必要條件是m∈{m|m>1}【答案】BCD【分析】根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和充要條件和必要條件的定義，依次判斷每個選項的正誤得到答案.【詳解】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實數(shù)根的充要條件是，解得，A錯誤；方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根的充要條件是，解得，B正確；方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩正實數(shù)根的充要條件是，解得，C正確；方程x2＋(m－3)x＋m＝0無實數(shù)根的充要條件是，解得，，故必要條件是m∈{m|m>1}，故D正確.故選：BCD.22．（2024高一上·湖南長沙·期中）設(shè)二次函數(shù)的值域為，下列各值（或式子）中一定大于的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式求解即可【詳解】因為二次函數(shù)的值域為，所以，所以，解得，所以，由于，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：令，則，故C錯誤；對于D：，，故D正確；故選：BD三、填空題23．（2024高一上·全國·期末）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則滿足成立的實數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)求出m值，再解一元二次不等式即可得解.【詳解】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時，是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，與已知的圖象關(guān)于原點對稱矛盾，當(dāng)時，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，于是得，不等式化為：，即，解得：，所以實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：24．（2024高一上·四川眉山·期中）下面命題：①冪函數(shù)圖象不過第四象限；②圖象是一條直線；③若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；④若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；⑤若函數(shù)的值域是，則它的定義域一定是．其中不正確命題的序號是．【答案】②③④⑤【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)定義域值域等性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：冪函數(shù)圖象不過第四象限，①正確；圖象是直線上去掉點，②錯誤；函數(shù)的定義域是，則它的值域是，③錯誤；函數(shù)的定義域是，則它的值域是，④錯誤；若函數(shù)的值域是，則它的定義域也可能是，⑤錯誤，故答案為：②③④⑤．【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，利用函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)定義域，值域，單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．25．（2024高三上·河北衡水·周測）已知，，若對，，，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)，，，由求解.【詳解】因為對，，，所以只需即可，因為，，所以，，由，解得故答案為：.【點睛】本題主要考查不等式恒能成立問題以及函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題.26．（2024高三上·福建三明·期中）已知，則實數(shù)的取值范圍是【答案】【分析】由題意利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，求出實數(shù)的取值范圍．【詳解】已知，或①；，②；，③．綜合①②③，求得實數(shù)的取值范圍為．故答案為：﹒27．（2024高三下·上海嘉定·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】判斷單調(diào)遞增，討論或，根據(jù)分段函數(shù)的值域可得且，解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)單調(diào)遞增，①當(dāng)時，若，有，而，此時函數(shù)的值域不是；②當(dāng)時，若，有，而，若函數(shù)的值域為，必有，可得．則實數(shù)的取值范圍為．故答案為：28．（2024高三·全國·專題練習(xí)）不等式的解集為：．【答案】【分析】不等式變形為，即，構(gòu)造函數(shù)，判斷出函數(shù)得單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】不等式變形為，所以，令，則有，因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，則，解得，故不等式的解集為．故答案為：.29．（2024高一上·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意得到冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性，得到不等式的等價不等式組，即可求解.【詳解】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且是遞減函數(shù)，因為，可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：30．（2024·上海閔行·一模）已知二次函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為．【答案】【分析】由二次函數(shù)的值域為，分析求出參數(shù)，然后代入中求出值域即可【詳解】由二次函數(shù)的值域為得：解得：或（舍去）所以因為所以函數(shù)的值域為：故答案為：.31．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的非常值函數(shù).①在上恒成立；②是偶函數(shù)；③.【答案】（答案不唯一，形如均可）【分析】結(jié)合①②可聯(lián)想到函數(shù)是奇函數(shù)，再由③結(jié)合聯(lián)想冪函數(shù)寫出解析式作答.【詳解】由②知，函數(shù)可以是奇函數(shù)，由①知，函數(shù)在上可以是減函數(shù)，由③結(jié)合①②，令，顯然，滿足①；是偶函數(shù)，滿足②；，滿足③，所以.故答案為：32．（2024·新疆阿勒泰·一模）已知二次函數(shù)（a，b為常數(shù)）滿足，且方程有兩等根，在上的最大值為，則的最大值為.【答案】1【分析】由有兩等根，可得得，由可得為對稱軸，可得，則可得到的解析式，對分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性可得的最大值.【詳解】解：已知方程有兩等根，即有兩等根，，解得；，得，是函數(shù)圖象的對稱軸.而此函數(shù)圖象的對稱軸是直線，，故，若在上的最大值為，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，，綜上，的最大值為1.故答案為：1.33．（2024·湖北）為實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為.當(dāng)時，的值最小.【答案】．【詳解】因為函數(shù)，所以分以下幾種情況對其進(jìn)行討論：①當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)時，此時，，而，所以；③當(dāng)時，在區(qū)間上遞增，在上遞減．當(dāng)時，取得最大值；④當(dāng)時，在區(qū)間上遞增，當(dāng)時，取得最大值，則在上遞減，上遞增，即當(dāng)時，的值最小．故答案為：．考點：本題考查分段函數(shù)的最值問題和函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，屬高檔題．四、解答題34．（2024高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知.(1)若，，解關(guān)于的不等式；(2)若，在上的最大值為，最小值為，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意求出，將用表示，然后再把分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法即可得出答案；（2）利用反證法證明，若等于0，得到也等于0，所以等于，得到（2）與互為相反數(shù)，不合題意；若不為0，由，解得，代入中，求出二次函數(shù)的對稱軸，假設(shè)對稱軸小于或大于2，即可得到對稱軸在區(qū)間的左外側(cè)或右外側(cè)，得到為單調(diào)函數(shù)，函數(shù)的最值在，取到，把2和代入得到最值互為相反數(shù)，不合題意，所以假設(shè)錯誤，綜上，得證；【詳解】（1）解：因為，所以，又因，所以，所以，則不等式即為，即，若，則不等式的解集為；若，則不等式的解集為；若，當(dāng)時，則不等式的解集為；當(dāng)時，則不等式的解集為；當(dāng)時，則不等式的解集為；（2）解：若，則，，當(dāng)時，則無解，所以；若時，由，得，對稱軸為，假設(shè)，，，區(qū)間，在對稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，所以在，上是單調(diào)函數(shù)，則的最值必在，處取到，，，，所以假設(shè)錯誤，則，綜上，得到.35．（2024高一下·貴州黔東南·開學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時，，.(1)求在區(qū)間上的解析式；(2)若對，則，使得成立，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)，由奇函數(shù)的定義可得出，即可得出函數(shù)在區(qū)間上的解析式；（2）求得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：設(shè)，則，，即當(dāng)時，.（2）解：當(dāng)時，；當(dāng)時，；又因為，所以，函數(shù)在上的值域為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，因為，則，使得成立，則，解得.36．（2024高一上·河南平頂山·期末）已知函數(shù)．(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用單調(diào)性的定義，取值、作差、整理、定號、得結(jié)論，即可得證.（2）令，根據(jù)x的范圍，可得t的范圍，原式等價為，，只需即可，分別討論、和三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，計算求值，分析即可得答案.【詳解】（1）由已知可得的定義域為，任取，且，則，因為，，，所以，即，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)．（2），令，則當(dāng)時，，所以．令，，則只需．當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以，解得，與矛盾，舍去；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得；當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，所以，解得，與矛盾，舍去．綜上，實數(shù)的取值范圍是．37．（2024高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式；(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實數(shù)a和t的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）代入解不等式組可得答案；（2）由題意，結(jié)合最大值為0最小值是分、數(shù)形結(jié)合可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時，不等式，即為，即，所以，所以或，所以原不等式的解集為．（2），由題意或，這時解得，若，則，所以；若，即，所以，則，綜上，或．38．（2024高一上·遼寧大連·期中）已知值域為的二次函數(shù)滿足，且方程的兩個實根滿足．(1)求的表達(dá)式；(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)可以判斷函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)函數(shù)的值域可以確定二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，則可設(shè)，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知進(jìn)行求解，求出的值，即可得出的表達(dá)式；（2）根據(jù)題意，可以判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由，求得，進(jìn)而可知的對稱軸方程為，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及單調(diào)性，得出，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）解：由，可得的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)的值域為，所以二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，所以設(shè)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得，，因為方程的兩個實根滿足則，解得：，所以.（2）解：由于函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，即，所以的對稱軸方程為，則，即，故的取值范圍為.39．（2024高三上·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）根據(jù)題意得出，代入函數(shù)解析式，從而求出的值；（2）根據(jù)（1）得出，利用換元得出二次函數(shù)，討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系即可求出的值.【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域為，因為為偶函數(shù)，所以對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即對任意的恒成立，所以，解得.（2）由（1）知所以，令，則，其對稱軸為，①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，所以，由，解得，此時不滿足，此時不存在符合題意的值；②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，由，解得或，又，所以；③當(dāng)，即