2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分專題三第2講專題訓(xùn)練12空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系文理含解析新人教版

PAGE其次部分專題三第2講專題訓(xùn)練十二空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系(文理)一、選擇題1．若平面α⊥平面β，m是β內(nèi)的隨意一條直線，則下列結(jié)論正確的是__B__A．隨意直線l?α，都有l(wèi)⊥βB．存在直線l?α，使得l∥βC．隨意直線l?α，都有l(wèi)⊥mD．存在直線l?α，使得l∥m【解析】如圖所示，因?yàn)槠矫鍭1B1C1D⊥平面DD1設(shè)α＝平面A1B1C1D1，β＝平面DD1如B1D?平面A1B1C1D，B1D1不重直于平面DD1C1C，故A錯(cuò)；如A1B1?平面A1B1C1D1，A1B1∥平面DD1C1C，故B正確；如A1B2?平面A1B1C1D1，DC?平面DD1C1C，A1B1∥DC，故C錯(cuò)；如m＝C1C?平面DD1C1C，m⊥平面A12．(2024·張家口、滄州模擬)已知直線a，b和平面α，a?α，則b?α是b與a異面的(B)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】由題意，若直線b不在平面α內(nèi)，則b與α相交或b∥α，不肯定有b與a異面，反之，若b與a異面，肯定有直線b不在平面α內(nèi)，即“b?α”是“b與a異面”的必要不充分條件．故選B．3．(2024·石家莊模擬)已知α，β是空間兩個(gè)不同的平面，m，n是空間兩條不同的直線，則給出的下列說法中正確的是(D)①m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β；②m∥α，n∥β，且m⊥n，則α⊥β；③m⊥α，n⊥β，且m∥n，則α∥β；④m⊥α，n⊥β、且m⊥n，則α⊥β.A．①②③ B．①③④C．②④ D．③④【解析】對于①，當(dāng)m∥α，n∥β，且m∥n時(shí)，有α∥β或α、β相交，所以①錯(cuò)誤；對于②，當(dāng)m∥α，n∥β，且m⊥n時(shí)，有α⊥β或α∥β或α、β相交且不垂直，所以②錯(cuò)誤；對于③，當(dāng)m⊥α，n⊥β，且m∥n時(shí)，得出m⊥β，所以α∥β，③正確；對于④，當(dāng)m⊥α，n⊥β、且m⊥n時(shí)，α⊥β成立，所以④正確．綜上知，正確的命題序號是③④.故選D．4．(2024·珠海三模)已知兩條不同直線l，m，兩個(gè)不同平面α，β，則下列命題正確的是(B)A．若α∥β，l?α，m?β，則l∥mB．若α∥β，m∥α，l⊥β，則l⊥mC．若α⊥β，l⊥α，m⊥β，則l∥mD．若α⊥β，l∥α，m∥β，則l⊥m【解析】對于A，由α∥β，l?α，m?β，得l∥m或l與m異面，故A錯(cuò)誤；對于B，若α∥β，l⊥β，則l⊥α，又m∥α，則l⊥m，故B正確；對于C，若α⊥β，l⊥α，m⊥β，則l⊥m，故C錯(cuò)誤；對于D，若α⊥β，l∥α，m∥β，則l與m的位置關(guān)系是平行、相交或異面，相交與平行時(shí)，可能垂直，也可能不垂直，故D錯(cuò)誤．故選B．5．(2024·廣元模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為梯形，AD∥BC，AD＝3，BC＝6，E，F(xiàn)分別為棱PB，PC的中點(diǎn)，則(D)A．AE≠DF，且直線AE，F(xiàn)D是共面直線B．AE≠DF，且直線AE，F(xiàn)D是異面直線C．AE＝DF，且直線AE，F(xiàn)D是異面直線D．AE＝DF，且直線AE，F(xiàn)D是共面直線【解析】如圖，連接EF，∵E，F(xiàn)分別為棱PB，PC的中點(diǎn)，AD∥BC，AD＝3，BC＝6，∴EF∥BC，EF＝eq\f(1,2)BC，∴EF∥AD，且EF＝AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴AE＝DF，且AE∥DF，∴AE，F(xiàn)D是共面直線．故選D．6．(2024·安陽二模)已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，H分別為DD1，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在線段BC，CC1上，且CF＝CG＝eq\f(1,4)BC，則在F，G，H這三點(diǎn)中任取兩點(diǎn)確定的直線中，與平面ACE平行的條數(shù)為(B)A．0 B．1C．2 D．3【解析】作出圖形如下所示，取CE的中點(diǎn)I，可知AI∥GH，又GH?平面ACE，AI?平面ACE，故GH∥平面ACE，又HF，GF均不與平面ACE平行，故在F，G，H這三點(diǎn)中任取兩點(diǎn)確定的直線中，與平面ACE平行的條數(shù)為1．故選B．7．(2024·四川模擬)正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝eq\r(2)AB，D是BC的中點(diǎn)，則異面直線AD與A1C所成的角為(C)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)【解析】如圖，取B1C1中點(diǎn)E，連接A1E，CE，則A1E∥AD，∠A1EC∴∠CA1E即為異面直線AD與A1C設(shè)AB＝2，則AA1＝2eq\r(2)，A1E＝eq\r(3)，CE＝3，tan∠CA1E＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)，∴∠CA1E＝eq\f(π,3).故選C．8．(2024·吉安一模)如圖，長為4，寬為2的矩形紙片ABCD中，E為邊AB的中點(diǎn)，將∠A沿直線DE翻轉(zhuǎn)至A1(A1?平面ABCD)，若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADEA．MB∥平面A1DEB．異面直線BM與A1E所成角是定值C．三棱錐A1－ADE體積的最大值是eq\f(2\r(2),3)D．肯定存在某個(gè)位置，使DE⊥A1【解析】由題意，對于A，延長CB，DE交于H，連接A1H，由E為AB的中點(diǎn)，可得B為CH的中點(diǎn)，又M為A1C的中點(diǎn)，可得BM∥A1H，BM?平面A1DEA1H?平面A1DE，則BM∥平面A1DE，∴A正確；對于B，AB＝2AD＝4，過E作EG∥BM，G∈平面A1DC，則∠A1EG是異面直線BM與A1E所成的角或所成角的補(bǔ)角，且∠A1EG＝∠EA1H，在△EA1H中，EA1＝2，EH＝DE＝2eq\r(2)，則A1H＝eq\r(22＋2×22－2×2×2\r(2)×cos135°)＝2eq\r(5)，則∠EA1H為定值，即∠A1EG為定值，∴B正確；對于C，設(shè)O為DE的中點(diǎn)，連接OA1，由直角三角形斜邊的中線長為斜邊的一半，可得平面A1DE⊥平面ADE時(shí)，三棱錐A1－ADE的體積最大，最大體積為V＝eq\f(1,3)S△ADE·A1O＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×22×eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3)，∴C正確；對于D，連接A1O，可得DE⊥A1O，若DE⊥A1C，即有DE⊥平面A1CO則DE⊥OC，因?yàn)镺為DE的中點(diǎn)，所以CD＝CE，而由已知得：CD＝4≠CE＝2eq\r(2)沖突，可得AC與DE垂直，但AC與DE不垂直，則不存在某個(gè)位置，使DE⊥MO，∴D錯(cuò)誤．故選D．二、填空題9．(2024·東城區(qū)二模)設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列三個(gè)結(jié)論：①若m⊥α，n⊥α，則m∥n；②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.其中，正確結(jié)論的序號為__①②__.【解析】α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，對于①，若m⊥α，n⊥α，由垂直于同一平面的兩直線平行，可得m∥n，故①正確；對于②，若m⊥α，m⊥β，由垂直于同始終線的兩平面平行，可得α∥β，故②正確；對于③，若α⊥γ，β⊥γ，考慮墻角處的三個(gè)平面兩兩垂直，可推斷α、β相交，則α∥β不正確．10．(2024·福州模擬)已知三棱錐P－ABC的各棱長均為2，M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，則異面直線MN與PC所成角的大小為__45°__.【解析】取AB中點(diǎn)O，PB中點(diǎn)D，連接PO，CO，MD，ND，∵三棱錐P－ABC的各棱長均為2，M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，∴ND∥AB，且ND＝eq\f(1,2)AB＝1，MD∥PC，且MD＝eq\f(1,2)PC＝1，∴∠NMD是異面直線MN與PC所成角(或所成角的補(bǔ)角)，PO⊥AB，CO⊥AB，∵PO∩CO＝O，∴AB⊥平面POC，∵PC?平面POC，∴AB⊥PC，∴DN⊥DM，∵DN＝DM，∴∠NMD＝45°，∴異面直線MN與PC所成角的大小為45°.11．(2024·海東市四模)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，M，N分別為棱A1D1，A1B1的中點(diǎn)，過點(diǎn)B的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為__eq\f(9,2)__.【解析】P，Q分別為D1C1，B1C1的中點(diǎn)，連接PQ，DP，DB，則PQ∥B1D1，B1D1∥BD，所以PQ∥BD，故P，Q，B，D在同一平面內(nèi)，連接MQ，因?yàn)镸，Q分別為A1D1，B1C1中點(diǎn)，所以MQ∥AB，MQ＝AB所以四邊形ABQM是平行四邊形，所以AM∥BQ，又因?yàn)锽Q?面BDPQ，AM不在面BDPQ內(nèi)，所以AM∥面BDPQ，同理AN∥面BDPQ，因?yàn)锳M∩AN＝A，所以平面AMN∥平面BDPQ，所以截面為等腰梯形BDPQ，其中PQ∥BD∥MN，BQ∥AM，PD∥AN，PQ＝eq\r(2)，BD＝2eq\r(2)，BQ＝PD＝eq\r(5)，故等腰梯形BDPQ的高為eq\r(\r(5)2－\f(\r(2),2)2)＝eq\f(3\r(2),2)，故截面的截面積為eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(9,2).12．(2024·內(nèi)江三模)如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，在BC邊上任取一點(diǎn)D，并將△ABD沿直線AD折起，使平面ABD⊥平面ACD，則折疊后B、C兩點(diǎn)間距離的最小值為__eq\r(13)__.【解析】如圖所示，設(shè)∠BAD＝θ，則∠CAD＝eq\f(π,2)－θ，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過B作BF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F，所以BF＝4sinθ，CE＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝3cosθ，AF＝4cosθ，AE＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝3sinθ，所以EF＝4cosθ－3sinθ，所以|BC|＝eq\r(CE2＋EF2＋BF2)＝eq\r(3cosθ2＋4cosθ－3sinθ2＋4sinθ2)＝eq\r(9cos2θ＋16cos2θ＋9sin2θ－24sinθcosθ＋16sin2θ)＝eq\r(25－24sinθcosθ)＝eq\r(25－12sin2θ)，當(dāng)sin2θ＝1時(shí)，|BC|min＝eq\r(13).三、解答題13．(2024·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)調(diào)研)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°，且AB＝2AD＝2DC＝2PD，E為PA的中點(diǎn)．(1)證明：DE∥平面PBC；(2)證明：DE⊥平面PAB.【證明】(1)設(shè)PB的中點(diǎn)為F，連接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，且EF＝eq\f(1,2)AB＝DC.故四邊形CDEF為平行四邊形，可得ED∥CF，又ED?平面PBC，CF?平面PBC，故DE∥平面PBC.注：(證面面平行也同樣給分)(2)因?yàn)镻D⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PD又因?yàn)锳B⊥AD，PD∩AD＝D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，所以AB⊥平面PADED?平面PAD，故ED⊥AB.又PD＝AD，E為PA的中點(diǎn)，故ED⊥PA；PA∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以ED⊥平面PAB14．(2024·南通模擬)如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC，A1C∥平面(1)D是BC的中點(diǎn)；(2)平面ADB1⊥平面BCC1B1．【證明】(1)連接A1B，交AB1于點(diǎn)O，連接DO，如圖所示；因?yàn)锳1C∥平面ADB1，平面A1BC∩ADB1＝OD所以A1C∥OD又O為A1B的中點(diǎn)，所以O(shè)D是△A1BC的中位線，所以D是BC的中點(diǎn)．(2)由(1)知D是BC的中點(diǎn)，且AB＝AC，所以AD⊥BC；又A1C⊥BC，A1C∥所以O(shè)D⊥BC；又AD∩OD＝D，所以BC⊥平面ADB1；又BC?平面BCC1B1，所以平面ADB1⊥平面BCC1B115．(2024·吳忠模擬)已知四棱錐P－ABCD中，面PAB⊥面ABCD，底面ABCD為矩形，且PA＝PB＝4，AB＝2，BC＝3，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，且AE＝eq\f(1,3)AD.(1)證明：EC⊥PE；(2)在PB上是否存在一點(diǎn)F，使OF∥面PEC，若存在，試確定點(diǎn)F的位置．【解析】(1)證明：如圖1所示，連接OE，由平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB，O為AB的中點(diǎn)，所以PO⊥AB，所以PO⊥平面ABCD，PO⊥CE.又四邊形ABCD為矩形，BC＝AD＝3，CD＝AB＝eq\f(2,3)AD＝2，所以AE＝eq\f(1,3)AD＝1，DE＝2，EC＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，OE＝eq\r(12＋12)＝e