北京市十一所學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

北京市十一所學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題P：，，則命題P的否定為（）A.， B.，C.， D.，2．過點A(3，3)且垂直于直線的直線方程為A. B.C. D.3．學(xué)校開設(shè)甲類選修課3門，乙類選修課4門，從中任選3門，甲乙兩類課程都有選擇的不同選法種數(shù)為（）A.24 B.30C.60 D.1204．已知點P是圓上一點，則點P到直線的距離的最大值為（）A.2 B.C. D.5．已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．下列橢圓中，焦點坐標(biāo)是的是（）A. B.C. D.7．已知命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件；命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.8．已知直線與圓相交于，兩點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知向量，，且，則實數(shù)等于（）A1 B.2C. D.10．如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．如圖所示，用3種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C中，要求相鄰的矩形不能使用同一種顏色，則不同的涂法有（）ABCA.3種 B.6種C.12種 D.27種12．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，則下列選項中的兩個事件為互斥事件的是（）A.至多有1個白球；都是紅球 B.至少有1個白球；至少有1個紅球C.恰好有1個白球；都是紅球 D.至多有1個白球；至多有1個紅球二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是_________.14．若方程表示的曲線是圓，則實數(shù)的k取值范圍是___________.15．棱長為的正方體的頂點到截面的距離等于__________.16．經(jīng)過點作直線，直線與連接兩點線段總有公共點，則直線的斜率的取值范圍是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若在上存在極值點，證明：.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O為圓心的圓與直線相切.（1）求圓O的方程；（2）設(shè)圓O交x軸于A，B兩點，點P在圓O內(nèi)，且是、的等比中項，求的取值范圍.19．（12分）在一個盒子中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4，先從盒子中隨機取出一個球，該球的編號記為，將球放回盒子中，然后再從盒子中隨機取出一個球，該球的編號記為.（1）寫出試驗的樣本空間；（2）求“”的概率.20．（12分）已知直線和的交點為（1）若直線經(jīng)過點且與直線平行，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過點且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程21．（12分）已知正項數(shù)列的首項為，且滿足，（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前n項和22．（10分）已知橢圓：，的左右焦點，是雙曲線的左右頂點，的離心率為，的離心率為，點在上，過點E和，分別作直線交橢圓于，和，點，如圖.（1）求，的方程；（2）求證：直線和的斜率之積為定值；（3）求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)特稱命題的否定變換形式即可得出結(jié)果【詳解】命題：，，則命題的否定為，故選：B2、D【解析】過點A(3，3)且垂直于直線的直線斜率為，代入過的點得到.故答案為D.3、B【解析】利用組合數(shù)計算出正確答案.【詳解】甲乙兩類課程都有選擇的不同選法種數(shù)為.故選：B4、C【解析】求出圓心到直線的距離，由這個距離加上半徑即得【詳解】由圓，可得圓心坐標(biāo)，半徑，則圓心C到直線的距離為，所以點P到直線l的距離的最大值為.故選：C5、C【解析】求得，由此求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】離心率，則，所以漸近線方程.故選：C6、B【解析】根據(jù)給定條件逐一分析各選項中的橢圓焦點即可判斷作答.【詳解】對于A，橢圓的焦點在x軸上，A不是；對于B，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，B是；對于C，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，C不是；對于D，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，D不是.故選：B7、C【解析】先判斷命題p,q的真假，從而判斷的真假，再根據(jù)“或”“且”命題的真假判斷方法，可得答案.【詳解】當(dāng)時，表示圓，故命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件是假命題，命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件為真命題，則是真命題，是假命題，故是假命題，是假命題，是真命題，是假命題，故選：C8、C【解析】求得直線恒過的定點，找出弦長取得最值的狀態(tài)，利用弦長公式求解即可.【詳解】因直線方程為：，整理得，故該直線恒過定點，又，故點在圓內(nèi)，又圓的圓心為則，此時直線過圓心；當(dāng)直線與直線垂直時，取得最小值，此時.故的取值范圍為.故選：.9、C【解析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實數(shù)等于.故選：C10、A【解析】利用平行線，將異面直線的夾角問題轉(zhuǎn)化為共面直線的夾角問題，再解三角形.【詳解】取BC中點H，BH中點I，連接AI、FI、，因為E為中點，在長方體中，，所以四邊形是平行四邊形，所以所以，又因為F為的中點，所以，所以，則即為異面直線與所成角(或其補角).設(shè)AB=BC=4，則，則,，根據(jù)勾股定理：，，，所以是等腰三角形，所以.故B，C，D錯誤.故選：A.11、C【解析】根據(jù)給定信息，按用色多少分成兩類，再分類計算作答.【詳解】計算不同的涂色方法數(shù)有兩類辦法：用3種顏色，每個矩形涂一種顏色，有種方法，用2色，矩形A，C涂同色，有種方法，由分類加法計數(shù)原理得(種)，所以不同的涂法有12種.故選：C12、C【解析】根據(jù)試驗過程進行分析，利用互斥事件的定義對四個選項一一判斷即可.【詳解】對于A：“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個白球”與“都是紅球”不是互斥事件.故A錯誤；對于B：“至少有1個白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個白球”與“至少有1個紅球”不是互斥事件.故B錯誤；對于C：“恰好有1個白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個白球”與“都是紅球”是互斥事件.故C錯誤；對于D：“至多有1個紅球”包含都是白球和一紅一白，“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至多有1個白球”與“至多有1個紅球”不是互斥事件.故D錯誤.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)并且通過導(dǎo)數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到原函數(shù)的極值，因為函數(shù)僅有一個零點，所以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的極大值小于或極小值大于，即可得到答案.【詳解】解：由題意可得：函數(shù)，所以，令，則或，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，減區(qū)間為所以當(dāng)時函數(shù)有極大值，當(dāng)時函數(shù)有極小值，，因為函數(shù)僅有一個零點，，所以或，解得或.所以實數(shù)的取值范圍是故答案為：14、【解析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件求解【詳解】由題意，故答案為：15、【解析】根據(jù)勾股定理可以計算出，這樣得到是直角三角形，利用等體積法求出點到的距離.【詳解】解：如圖所示，在三棱錐中，是三棱錐的高，，在中，,,,所以是直角三角形，，設(shè)點到的距離為，.故A到平面的距離為故答案為：【點睛】本題考查了點到線的距離，利用等體積法求出點到面的距離.是解題的關(guān)鍵.16、【解析】求出的斜率，結(jié)合圖形可得結(jié)論【詳解】，，而，因此，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由題得，在，上為單調(diào)遞增的函數(shù)，在，上恒成立，分類討論，再次利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可；（2）由（1）可知，在存在極值點，則且，求得，再兩次求導(dǎo)即可得結(jié)論.【小問1詳解】由題得，在，上為單調(diào)遞增的函數(shù)，在，上恒成立，設(shè)，當(dāng)時，由，得，在，上為增函數(shù)，則，在,上恒成立，滿足命題，當(dāng)時，由，得，在上為減函數(shù)，，時，，即，不滿足恒成立，不成立，綜上：的取值范圍為.小問2詳解】證明：由（1）可知，在存在極值點，則且即：要證只需證即證又由（1）可知在上為增函數(shù)，且,成立.要證只需證即證：設(shè)則即在上增函數(shù)在為增函數(shù)成立.綜上，成立.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)出圓方程，結(jié)合該圓與直線相切，求得半徑，則問題得解；（2）設(shè)出點的坐標(biāo)為，根據(jù)題意，求得的等量關(guān)系，再構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求得函數(shù)值域即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，設(shè)的方程為，又該圓與直線相切，故可得，則圓的方程為.【小問2詳解】對圓：，令，則，不妨設(shè)，則，設(shè)點，因為點在圓內(nèi)，故；因為是、的等比中項，故可得：，則，整理得；由可得，解得，則.故答案為：.19、（1）見解析（2）【解析】（1）利用列舉法列出試驗的樣本空間，（2）由（1）可知共有16種情況，其中和為5的有4種，然后利用古典概型的概率公式求解即可【小問1詳解】由題意可知試驗的樣本空間為：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）【小問2詳解】由（1）可知共有16種等可能情況，其中滿足的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），4種，所以“”的概率為20、（1）（2）或【解析】（1）由已知可得交點坐標(biāo)，再根據(jù)直線間的位置關(guān)系可得直線方程；（2）設(shè)直線方程，根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，列出方程組，解方程.【小問1詳解】解：聯(lián)立的方程，解得，即設(shè)直線的方程為：，將帶入可得所以的方程為：；【小問2詳解】解：法①：易知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為，設(shè)直線方程為：，則直線與兩坐標(biāo)軸交點為，由題意得，解得：或所以直線的方程為：或，即：或.法②：設(shè)直線的斜率為，則的方程為，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，解得：或所以m的方程為或即：或.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由遞推關(guān)系式化簡及等比數(shù)列的的定義證明即可；（2）根據(jù)裂項相消法求解即可得解.【小問1詳解】證明：由得，而且，則，即數(shù)列為首項，公比為的等比數(shù)列【小問2詳解】由上可知，所以，22、（1）：；：（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）利用待定系