廣西玉林高中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

廣西玉林高中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點為，直線過點與拋物線相交于兩點，且，則直線的斜率為（）A. B.C. D.2．設(shè)命題，則為（）A. B.C. D.3．已知空間四個點，，，，則直線AD與平面ABC所成的角為（）A. B.C. D.4．已知正三棱柱的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于A. B.C. D.5．已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．如圖，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一點P滿足，則（）A. B.1C. D.27．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)圖象都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)，則（）A. B.C. D.8．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為的面積，則（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的兩個焦點，，是雙曲線上一點，且，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.10．已知動點滿足，則動點的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓11．已知斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，AB的中點為P，若直線OP的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.12．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為A.B.C.D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在長方體中，若，，則異面直線與所成角的大小為______.14．橢圓的左、右焦點分別為，，為坐標(biāo)原點，則以下說法正確的是（）A.過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為8B.橢圓上存在點，使得C.橢圓的離心率為D.為橢圓上一點，為圓上一點，則點，的最大距離為315．已知數(shù)列滿足：，，，則______16．與圓外切于原點，且被y軸截得的弦長為8的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓與橢圓有共同的焦點，且橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，為坐標(biāo)原點，求的最小值.18．（12分）在等比數(shù)列{}中，（1），，求；（2），，求的值.19．（12分）已知函數(shù)（1）判斷的零點個數(shù)；（2）若對任意恒成立，求的取值范圍20．（12分）已知拋物線C：的焦點為F，為拋物線C上一點，且（1）求拋物線C的方程：（2）若以點為圓心，為半徑的圓與C的準(zhǔn)線交于A，B兩點，過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線交拋物線C于D，E兩點，若，證明直線DE過定點21．（12分）如圖，在長方體中，，若點P為棱上一點，且，Q，R分別為棱上的點，且.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.22．（10分）如圖，四棱柱的底面為正方形，平面，，，點在上，且.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)直線傾斜角為，由，及，可求得，當(dāng)點在軸上方，又，求得，利用對稱性即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，由，所以，由，，所以，當(dāng)點在軸上方，又，所以，所以由對稱性知，直線的斜率.故選：B.2、D【解析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義判斷.【詳解】因為命題是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即，故選：D3、A【解析】根據(jù)向量法求出線面角即可.【詳解】設(shè)平面的法向量為，直線AD與平面ABC所成的角為令，則則故選：A【點睛】本題主要考查了利用向量法求線面角，屬于中檔題.4、C【解析】過作，連接，由于，故平面，所以所求直線與平面所成的角為，設(shè)棱長為，則，故，.點睛：本題主要考查空間立體幾何直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面所成的角，考查線面垂直的證明方法和常見幾何體的結(jié)構(gòu)特征.由于題目所給幾何體為直三棱柱，故側(cè)棱和底面垂直，這是一個重要的隱含條件，通過作交線的垂線，即可得到高，由此作出二面角的平面角.5、A【解析】根據(jù)離心率及a，b，c的關(guān)系，可求得，代入即可得答案.【詳解】因為離心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A6、D【解析】設(shè)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，求出，，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，結(jié)合點P的唯一性有求參數(shù)a，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下圖空間直角坐標(biāo)系，若，則，，且，所以，，又存在唯一的一點P滿足，所以，則，故，可得，此時，所以.故選：D7、B【解析】根據(jù)“拐點”的概念可判斷函數(shù)的對稱中心，進而求解.【詳解】，，，令，解得：，而，故函數(shù)關(guān)于點對稱，，，故選：B.8、A【解析】利用三角形面積公式、二倍角正弦公式有，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)及余弦定理化簡求即可.【詳解】由，∴，在中，，∴，解得.故選：A.9、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D10、C【解析】根據(jù)兩點之間的距離公式的幾何意義即可判定出動點軌跡.【詳解】由題意可知表示動點到點和點的距離之和等于，又因為點和點的距離等于，所以動點的軌跡為線段.故選：11、B【解析】這是中點弦問題，注意斜率與橢圓a,b之間的關(guān)系.【詳解】如圖：依題意，假設(shè)斜率為1的直線方程為：，聯(lián)立方程：，解得：，代入得，故P點坐標(biāo)為，由題意，OP的斜率為，即，化簡得：，，，；故選：B.12、A【解析】由三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，根據(jù)等積法求出幾何體內(nèi)切球的半徑，再計算內(nèi)切球的表面積【詳解】解：由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，放入棱長為2的正方體中，如圖所示：設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，則由等體積法得，解得，所以該三棱錐內(nèi)切球的表面積為故選：A【點睛】本題考查了由三視圖求三棱錐內(nèi)切球表面積的應(yīng)用問題，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】畫出長方體,再將異面直線與利用平行線轉(zhuǎn)移到一個三角形內(nèi)求解角度即可.【詳解】畫出長方體可得異面直線與所成角為與之間的夾角,連接.則因為,則,又,故,又,故為等腰直角三角形,故,即異面直線與所成角的大小為故答案為【點睛】本題主要考查立體幾何中異面直線的角度問題,一般的處理方法是將異面直線經(jīng)過平行線的轉(zhuǎn)換構(gòu)成三角形求角度,屬于基礎(chǔ)題型.14、ABD【解析】結(jié)合橢圓定義判斷A選項的正確性，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算判斷B選項的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項的正確性，結(jié)合兩點間距離公式判斷D選項的正確性.【詳解】對于選項：由橢圓定義可得：，因此的周長為，所以選項正確；對于選項：設(shè)，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項正確；對于選項：因為，，所以，即，所以離心率，所以選項錯誤；對于選項：設(shè)，，則點到圓的圓心的距離為，因為，所以，所以選項正確，故選：ABD15、.【解析】運用累和法，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式進行求解即可.【詳解】因為，，所以當(dāng)時，有，因此有：，即，當(dāng)時，適合上式，所以，故答案為：.16、；【解析】設(shè)所求圓的圓心為，根據(jù)兩圓外切于原點可知兩圓心與原點共線，再根據(jù)弦長列出方程組求出即可.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，因為圓的圓心為，與原點連線的斜率為，又所求圓與已知圓外切于原點，，①所以所求圓的半徑滿足，又被y軸截得的弦長為8，②由①②解得，所以圓的方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為，將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點，則，且，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【小問1詳解】（1）由題可設(shè)橢圓的方程為，由橢圓經(jīng)過點，可得，解得或（舍）.所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：易知，設(shè)點，則，且，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.18、（1）（2）【解析】（1）直接利用等比數(shù)列的求和公式求解即可，（2）由已知條件結(jié)合等比數(shù)的性質(zhì)可得，從而可求得答案，或直接利用等比數(shù)列的求和公式化簡求解【小問1詳解】.【小問2詳解】方法1：.∴.方法2：，整理得：又19、（1）個；（2）.【解析】（1）求，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性以及零點存在性定理即可求解；（2）由題意可得對任意恒成立，令，則，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可求解.【小問1詳解】的定義域為，由可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，此時在上無零點，當(dāng)時，，，，且在上單調(diào)遞增，由零點存在定理可得在區(qū)間上存在個零點，綜上所述有個零點.【小問2詳解】由題意可得：對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，由可得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）解方程和即得解；（2）設(shè)，，將與圓P的方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理，再寫出直線的方程即得解.【小問1詳解】解：因為拋物線C上一點，且，所以到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為2則，，則，所以，故拋物線C的方程為【小問2詳解】證明：由（1）知，則圓P的方程為設(shè)，，將與圓P的方程聯(lián)立，可得，則，當(dāng)時，，不妨令，則，此時；當(dāng)時，直線DE的斜率為，則直線DE的方程為，即，即，令且，得，直線過點；綜上，直線DE過定點21、（1）（2）【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角；（2）用空間向量法求二面角【小問1詳解】以D為坐標(biāo)原點，射線方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.當(dāng)時，，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，即不妨得，，又，所以，則【小問2詳解】在長方體中，因為平面，所以平面平面，因為平面與平面交于，因為四邊形為正方形，所以，所以平面，即為平面的一個法向量，，所以，又平面的法向量為，所以.22、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）以為原點，所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量可得，即平面，再由線面垂直的