2025屆廣東省汕頭市潮南實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2025屆廣東省汕頭市潮南實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知兩條不同直線和平面，下列判斷正確的是（）A.若則 B.若則C.若則 D.若則2．與直線平行，且經(jīng)過點(diǎn)（2，3）的直線的方程為（）A. B.C. D.3．德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（）A.96 B.97C.98 D.994．已知，是圓上的兩點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，若存在點(diǎn)，，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則離心率（）A. B.C. D.6．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則（）A0 B.2C.4 D.67．黃金矩形是寬（）與長（）的比值為黃金分割比的矩形，如圖所示，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率是A. B.C. D.8．已知M、N為橢圓上關(guān)于短軸對稱的兩點(diǎn),A、B分別為橢圓的上下頂點(diǎn),設(shè)、分別為直線的斜率,則的最小值為()A. B.C. D.9．函數(shù)f（x）=xex的單調(diào)增區(qū)間為（）A.（-∞，-1） B.（-∞，e）C.（e，+∞） D.（-1，+∞）10．若拋物線的準(zhǔn)線方程是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.11．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為A. B.C. D.12．雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，，直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，在軸上的投影恰好是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓和圓的公切線的條數(shù)為______14．如圖將自然數(shù)，…按到箭頭所指方向排列，并依次在，…等處的位置拐彎．如圖作為第一次拐彎，則第33次拐彎的數(shù)是___________，超過2021的第一個拐彎數(shù)是____________15．下圖是4個幾何體的展開圖，圖①是由4個邊長為3的正三角形組成；圖②是由四個邊長為3的正三角形和一個邊長為3的正方形組成；圖③是由8個邊長為3的正三角形組成；圖④是由6個邊長為3的正方形組成若直徑為4的球形容器（不計容器厚度）內(nèi)有一幾何體，則該幾何體的展開圖可以是______（填所有正確結(jié)論的番號）16．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，焦距為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知對于，函數(shù)有意義，關(guān)于k的不等式成立.（1）若為假命題，求k的取值范圍；（2）若p是q的必要不充分條件，求m的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求證：在上恒成立19．（12分）經(jīng)觀測，某種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如下圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量表.275731.121.71502368.3630表中，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個適宜作為y與x之間的回歸方程模型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù).試求y關(guān)于x回歸方程.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.20．（12分）已知函數(shù)R)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間21．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求C；（2）若，求的最大值22．（10分）如圖1，已知矩形ABCD，，，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，將ABCD卷成一個圓柱，使得BC與AD重合（如圖2），MNGH為圓柱的軸截面，且平面平面MNGH，NG與曲線DE交于點(diǎn)P（1）證明：平面平面MNGH；（2）判斷平面PAE與平面PDH夾角與的大小，并說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)線線、線面、面面的平行與垂直的位置關(guān)系即可判斷.【詳解】解：對于選項(xiàng)A：若，則與可能平行，可能相交，可能異面，故選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B：若，則，故選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C：當(dāng)時不滿足，故選項(xiàng)C錯誤；綜上，可知選項(xiàng)D正確.故選：D.2、C【解析】由直線平行及直線所過的點(diǎn)，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程即可.【詳解】與直線平行，且經(jīng)過點(diǎn)（2，3）的直線的方程為，整理得故選：C3、C【解析】令，利用倒序相加原理計算即可得出結(jié)果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C4、B【解析】確定在以為直徑的圓上，，根據(jù)均值不等式得到圓上的點(diǎn)到的最大距離為，得到，解得答案.【詳解】，故在以為直徑的圓上，設(shè)中點(diǎn)為，則，圓上的點(diǎn)到的最大距離為，，當(dāng)時等號成立.直線到原點(diǎn)的距離為，故.故選：B.5、D【解析】根據(jù)長軸長是短軸長的2倍，得到，利用離心率公式即可求得答案.【詳解】∵，∴，故，故選：D6、D【解析】由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，再計算導(dǎo)數(shù)值【詳解】由題意，，所以故選：D7、C【解析】設(shè)矩形的長，寬分別為,所以，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形,所以，設(shè)矩形的面積為,正方形的面積為,設(shè)在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率是,則，故本題選C.【詳解】本題考查了幾何概型，考查了運(yùn)算能力.8、A【解析】利用為定值即可獲解.【詳解】設(shè)則又,所以所以當(dāng)且僅當(dāng),即,取等故選:A9、D【解析】求出，令可得答案.【詳解】由已知得，令，得，故函數(shù)f（x）=xex的單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞）.故選：D.10、D【解析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程，可直接得出拋物線的焦點(diǎn)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】準(zhǔn)線方程為，則說明拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸則其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：則準(zhǔn)線方程為：解得：則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：故選：D11、A【解析】每個同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A12、D【解析】根據(jù)題意的到，，代入到雙曲線方程，解得，即，則，即，即，求解方程即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)原點(diǎn)為，∵直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)在軸上的投影恰好是，∴，且，∴，將代入到雙曲線方程，可得，解得，即，則，即，即，解得（舍負(fù)），故.故選:D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】判斷出兩個圓的位置關(guān)系，由此確定公切線的條數(shù).內(nèi)含關(guān)系0條公切線，內(nèi)切關(guān)系1條公切線，相交關(guān)系2條公切線，外切關(guān)系3條公切線，外離關(guān)系4條公切線?！驹斀狻坑深}知圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，所以，，所以兩圓外切，所以兩圓共有3條公切線.故答案為：314、①.②.【解析】根據(jù)題意得到拐彎處的數(shù)字與其序數(shù)的關(guān)系，歸納得到當(dāng)為奇數(shù)為；當(dāng)為為偶數(shù)為，分別代入，即可求解.【詳解】解：由題意，拐彎處的數(shù)字與其序數(shù)的關(guān)系，如下表：拐彎的序數(shù)012345678拐彎處的數(shù)1235710131721觀察拐彎處的數(shù)字的規(guī)律：第1個數(shù)；第3個數(shù)；第5個數(shù)；第7個數(shù)；，所以當(dāng)為奇數(shù)為；同理可得：當(dāng)為為偶數(shù)為；第33次拐彎的數(shù)是，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，所以超過2021第一個拐彎數(shù)是.故答案為：；.15、①【解析】根據(jù)幾何體展開圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進(jìn)而求其外接球半徑，并與4比較大小，即可確定答案.【詳解】若幾何體外接球球心為，半徑為，①由題設(shè)，幾何體為棱長為3的正四面體，為底面中心，則，，所以，可得，即，滿足要求；②由題設(shè)，幾何體為棱長為3的正四棱錐，為底面中心，則，所以，可得，即，不滿足要求；③由題設(shè)，幾何體為棱長為3的正八面體，其外接球直徑同棱長為3的正四棱錐，故不滿足要求；④由題設(shè)，幾何體為棱長為3的正方體，體對角線的長度即為外接球直徑，所以，不滿足要求；故答案為：①16、【解析】根據(jù)漸近線方程、焦距可得，，再根據(jù)雙曲線參數(shù)關(guān)系、焦點(diǎn)的位置寫出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.詳解】由題設(shè)，可知：，，∴由，可得，，又焦點(diǎn)在軸上，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由與的真假相反，得出為真命題，將定義域問題轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，討論參數(shù)的取值，得出答案；（2）由必要不充分條件的定義得出，討論的取值結(jié)合包含關(guān)系得出的范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)闉榧倜}，所以為真命題，所以對恒成立.當(dāng)時，不符合題意；當(dāng)時，則有，則.綜上，k的取值范圍為.（2）由，得.由（1）知，當(dāng)為真命題時，則令令因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以當(dāng)時，，，解得當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，符合題意；所以的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的恒成立問題以及根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)范圍，屬于中檔題.18、（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】（1）求得，根據(jù)其正負(fù)，即可判斷函數(shù)單調(diào)性從而求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化目標(biāo)不等式為，分別構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可證明.【小問1詳解】因?yàn)椋士傻?，又為單調(diào)增函數(shù)，令，解得，故當(dāng)時，；當(dāng)時，，故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時，，要證，即證，又，則只需證，即證，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最大值；令，，又為單調(diào)增函數(shù)，且時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值.則，且當(dāng)時，同時取得最小值和最大值，故，即，也即時恒成立.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題；處理本題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，屬中檔題.19、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，即可判斷；(2)令，利用最小二乘法即可求出y關(guān)于x的線性回歸方程.【小問1詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以適宜作為y與x之間的回歸方程模型；【小問2詳解】令，則，；，∴；∴y關(guān)于x的回歸方程為.20、（1）（2）答案見解析【解析】(1)根據(jù)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率，切點(diǎn)在曲線上可得切線方程；(2)求導(dǎo)，分類討論可得.【小問1詳解】當(dāng)時，，，，則，所以在處的切線方程為【小問2詳解】，，當(dāng)時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為21、（1）；（2）.【解析】（1）將題設(shè)條件化為，結(jié)合余弦定理即可知C的大小.（2）由（1）及正弦定理邊角關(guān)系可得，再應(yīng)用輔助角公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求最大值.【小問1詳解】由，得，即，由余弦定理得：，又，所以【小問2詳解】由（1）知：，則，設(shè)△ABC外接圓半徑為R，則，當(dāng)時，取得最大值為22、（1）證明見解析（2）平面PAE與平面PDH夾角大于，理由見解析【解析】（1）由面面垂直證明，然后得證平面MNGH后可得面面垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系