2021年中考數(shù)學(xué)分類專題突破專題26 四邊形中的線段長度問題(解析版)

專題26四邊形中的線段長度問題

1、如圖，平行四邊形A3CD的對角線AC與3。相交于點O,N8AC=90。，AC=6,BD=8,則CQ的長

為（）

A.A/7B.5C.D.10

解：??,□ABC。的對角線AC與8。相交于點O,

：.BO=DO,AO=CO,AB=CDf

〈NR4c=90。，AC=6,80=8,

???8O=4,OA=3f

AB=VOB2-OA2=V16-9=V7>

CD=V7.

故選：A.

2、如圖，E、尸分別是正方形ABC。邊A￡>、3c上的兩定點，M是線段EF上的一點，過M的直線與正方

形ABC。的邊交于點P和點H,且PH=EF,則滿足條件的直線PH最多有（）條.

A.1B.2C.3D.4

證明：如圖1,過8作8G〃EF,過C作CQ〃PH,

?.?四邊形A8CD是正方形，

C.AD//BC,AH//CD,NA=NC8Q=90°,

GE

\D

。卜八一I

BFC

圖1

??.四邊形BFEG和四邊形CQPH是平行四邊形,

：.EF=BGfPH=CQ,

,:PH=EF,

:.BG=CQ,

■:AB=BC,

.'.RtABCQ(HL),

J/ABG=/BCQ,

???/ABG+NCBG=NC8G+N8CQ=90。，

???CQ_LBG,

:.PHLEF,

所以圖1中過M與所垂直滿足條件有一條，

圖2

如圖2,還有兩條：PM,P2H2,

故選：C.

3、如圖，在矩形A5CQ中對角線AC與3。相交于點0,CELBD,垂足為點E,CE=5,且E0=2DE,則

AD的長為.

B

解：???四邊形A8C。是矩形，

AZADC=90°,BD=AC,OD=—BD,OC=—AC,

22

:.OC=OD,

"：E0=2DE,

設(shè)DE=X90E=2xt

：.OD=OC=3X9AC=6X,

■:CELBD,

.\ZDEC=ZOEC=90°,

在RSOCE中，

,:OE^+CEr=OC2,

?工(2x)2+52=(3x)2,

Vx>0,

:,DE=yl"^,AC=6yf^y

=22=2+2=

；?CDVDE-K；EV(V5)5V30'

,，M￡>=VAC2-CD2=V(6V5)2-(V30)2=5V6-

故答案為：5遍.

4、如圖，菱形ABC。的對角線AC、8。相交于點。，過點。作。E〃AC,且。氏AC=1：2,連接CE、

OE,連接AE交OD于點E

(1)求證：OE=CD；

(2)若菱形A8CO的邊長為2,NABC=60。，求AE的長.

(1)證明：在菱形A8CO中，OC=*AC.

,:DE：AC=\：2,

：.DE=OC,

\'DE//AC,

四邊形OCED是平行四邊形.

,：AC1BD,

平行四邊形OCEC是矩形.

OE=CD.

(2)解：在菱形4BCD中,NABC=60。,

，AC=AB=2.

在矩形OCEO中，

22=22

CE=^=VAD-A0V2-1^V3-

在RtZ\4CE中，

/'￡=VAC2+CE2=V22+(V3)2=V7-

5、四邊形ABC。是平行四邊形，ZA=ZB.

(1)求證：。ABC。是矩形；

(2)若BC=?B,求NACB的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，點E,尸分別在A3,4。上，且CE=CF,Z￡CF=30°,AC=4,2AE-FD

的值.

圖1

；四邊形ABCD是平行四邊形,

J.AD//BC,

NA+N8=I8O°,

??NA=NB,

?,.ZA=ZB=90°,

???四邊形ABC。是矩形;

(2)解：如圖2中,

???ZACB=30°；

(3)解：如圖3中，作FHLAC于從

：.ZBCE=ZFCHf

,:CE=CF,NB=NFHC=9U。,

:./XBCE@AHCF,

:.BE=FH,

在RSAFT/中，VZM//=30°,

；.FH==AF,

2

：.AE+—AF=AE+FH=AE+BE=AB,

2

在RSAC3中，VZACB=30°f

?\AB=—AC=2,

2

：.AE+—AF=2

2f

：.2AE+AF=4,

：.AF=4-2AE,

J.DF^AD-AF=2^-(4-2A￡),

：.2AE-FD=4-2。

6、如圖所示，四邊形4BC￡)為平行四邊形，AD=13,AB=25,NDAB=a,且cosa=，點E為直線C￡>

上一動點，將線段EA繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段EF,連接CF.

(1)求平行四邊形ABC。的面積；

(2)當(dāng)點C、B、F三點共線時，設(shè)EF與AB相交于點G,求線段8G的長；

(3)求線段CF的長度的最小值.

圖1

?.?將線段EA繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段EF,

:./AEF=a,AE=EF,

在RtAD4K中，

；cosZD4K=cosa=&^-=-^-,且A￡)=I3,

AD13

：.AK=5,

D^=VAD2-AK2=V132-52=⑵

??S平行四邊形48co=48x/)K=25x12=300：

(2)如圖2,延長CD至兄作NA”O(jiān)=a,

E

■:ZAHD=ZADH=af

.\AH=AD=13,

過點A作AM，。”于點M,

由(1)知AA/=12,

.?.DM=A/AD2_AH2=5,

：.DH=IO,

"：NFEH=ZD￡A+Za=ZF+a,

NDEA=NF,

在△4石〃和4EFC中,

，ZAEH=ZF

<ZH=ZC，

AE=EF

/.AAEH^AEFC(AAS),

:.EH=CF,CE=AH=\3f

：.DE=CD-CE=\2,BF=CF-BC=22-13=9,

*：BG〃CE,

:ZBGs/\FCE,

.BF_BG

??-?

CFCE

(3)如圖3,延長CO至尸，使NP=NA。尸=a,過點尸作根〃BC,交CO于點M,過點FN，C￡>,

交8于點N,

圖3

由(2)可知/AEP=NEFM,

在4叢尸和^FE歷中.

"ZP=ZFME

<ZAEP=ZEFM?

AE=EF

:.△EAP/XFEM(AAS),

：.EM=AP=\3,FM=EP,

設(shè)OE=x,則FM=EP=10+x,CM=25-(13+x)=12-x,

19R

FN=FM9sina=--(10+x),MN=FM?cosa=--(10+x),

1313

CN=CM+MN^12-x+—(10+x)=4!生&?

1313

在Rt/iCFN中，CF<2^C^1+NF2=(—)2(208A--416x+56836),

13

41(：l

對稱軸x=--L=_-

2a2X208

...當(dāng)x=l時，C尸的值最小，c尸的最小值為空逗.

13

7、如圖，己知。ABC。，E是C4延長線上一點，且NEAB=90。，AB=AE,點/是BC下方一點，且FE=

FD,ZEFD=90°,

(1)求證：NFEA=NFDC；

(2)若AF=3,求4c的長.

BC

(1)證明：設(shè)AC與。尸交于點0,如圖1所示:

'：ZEAB=90°f

AZBAC=90°,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CDfAB//CD,

：.NACO=N3AC=90。，

.\ZFDC+ZCOD=90°,

VZEFD=90°,

：.ZFEA+ZFOE=90°f

又丁ZFOE=ZCOD,

：.ZFEA=ZFDC；

(2)解：連接CR如圖2所示：

9

：AB=AEfAB=CD,

:?AE=CD,

'AE=CD

在ZMEF和Zkc。尸中一/FEA=NFDC，

FE=FD

:.△NEFQX3E(SAS),

:.AF=CF,/AFE=/CFD,

：.ZAFC=ZEFD=90°f

???△ACF是等腰直角三角形，

，AC=尸=3.

E、

AD

O

B\\C

F

圖1

8、已知在四邊形ABCD中，AD//BC,AB1BC,AD=2,AB=4,BC=6.

E

(1)如圖1,P為48邊上一點，以PD,PC為邊作平行四邊形PCQ。，過點。作QHJ_8C,交8c的

延長線于H.求證：&ADP妾△HCQ：

(2)若P為48邊上任意一點，延長PD到E,DE=PD,再以PE,PC為邊作平行四邊形PCQE.請

問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由.

(3)如圖2,若P為。C邊上任意一點，延長PA到E,使AE=〃PA(〃為常數(shù))，以PE,PB為邊作

平行四邊形P8QE.請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值；如果不存在,

請說明理由.

解：(1)'：AD//BC,

：.NADC=NDCH,

：.NADP+NPDC=ZDCQ+ZQCH,

；四邊形PCQD是平行四邊形，

J.PD//CQ,PD=CQ,

：.ZPDC=ZDCQ,

：.ZADP^ZQCH,

在△AOP和AHCQ中，

'NA=NH

<ZADP=ZHCQ-

PD=QC

/△HC。（A45）；

（2）存在最小值，最小值為10,

如圖1,作交BC的延長線于H,設(shè)尸Q與。C相交于點G,

'：PE//CQ,

JtXDPGsXCQG,

,DG=PD=1

"GC一而一T

由（1）可知，ZADP=ZQCH,

；.RSAOPsRsQCH,

.AD_PD_1

CHCQ2

：.CH=2AD=4,

:.BH=BC+CH=6+4=10,

???當(dāng)PQ_LA8時，P。的長最小,即為10；

（3）存在最小值，最小值為返（〃+4）,

2

如圖2,作?！薄?。。，交的延長線于從作CK_LC￡>,交?！ǖ难娱L線于K,

,:PE〃BQ、AE=nPAf

AAGPA1

BGBQn+1'

?:AD//BC,

???NAOP+NOC”=90。,

■:CD//QK,

：.NQ”C+/DCH=180。，

AZQHC=NADQ,

???NPAD+NPAG=NQBH+/QBG=90。,NPAG=NQBG,

:.NPAD=/QBH,

:.XRDPsXBHQ,

,AD=PA=1

一而一的一啟’

/.BH=2〃+2,

???C”=BC+B”=6+2〃+2=2〃+8,

過點。作。M_L8c于M,又ND48=NA8M=90。，

???四邊形A8例。是矩形，

：.BM=AD=2,DM=AB=4,

；?MC=BC-BM=6-2=4=DM,

：.ZDCM=45°f

???N"CK=45。，

.?.CK=CH?cos45o=亭(2”+8)=&(n+4),

.?.當(dāng)PQLCO時，PQ的長最小，最小值為我(n+4).

9、如圖①，正方形ABC。的邊長為2,點P是正方形ABC。內(nèi)一點，連結(jié)PA,PB,PD,△PAB為等邊三

角形.

(1)求點P到邊AO,AB的距離之和；

(2)如圖②，連結(jié)8。交尸4于點E,求△的面積以及§與的值.

BB

①②

解：(1)如圖①，過P作于M,PNLAB于N,

:四邊形A8c。是正方形，

：.ZDAB^90°,

：.ZPMA=NDAB=ZPNB=90°,

二四邊形ANPM是矩形，

：.PM=AN,AM=PN,

???△A3P是等邊三角形，

.?.AN=*A8=1,PN=?,

:.PM=AN=1,

:.PM+PN=yf^l,

即點尸到邊AC,AB的距離之和為F+l；

(2)S^PBD—SnminABPD~S^ABD—~^AD(PM+PN)--^AD*AB--^x2,x(*■^■X2X2—5/3-'：

如圖②，過P作PGJ_8。于G,過A作AH,8。于”，

：.ZPGE^ZAHE=90°,

'：ZPEG=ZAEH,

：./\PGE^^AHE,

?AEAH

,*PEPG'

..SAABD_jBD，AH_AH,23

PG

S^PBDlBD.pG6T

B

②

10、已知：如圖①，在RtAABC中，ZACB=90°,BC=8,48=10,點P,E,尸分別是A8,AC,BC上

的動點，且AP=2CE=2BF,連結(jié)PE,PF,以PE,PF為鄰邊作平行四邊形PFQE.

(1)當(dāng)點P是A8的中點時，試求線段尸尸的長.

(2)在運動過程中，設(shè)CE=〃?，若平行四邊形PF0E的面積恰好被線段8C或射線AC分成1：3的兩

部分，試求成的值.

(3)如圖②，設(shè)直找FQ與直線AC交于點N,在運動過程中，以點Q,N,E為頂點的三角形能否構(gòu)成

直角三角形？若能，請直接寫出符合要求的CE的長；若不能，請說明理由.

解：(1)如圖①，作于點H,

圖①

VZACB=90°,BC=8,AB=IO,

.".AC=6.

"：AP=2CE=2BF,

:點P是A8的中點,

：.PA=PB=5.

5

：.CE=BF=—PH=3,BH=CH=4,

2f

?.?FH=—3.

2

PF=VPH2+FH2=-

(2)如圖②，平行四邊形PFQE的面積恰好被線段8c分成1：3的兩部分時，則EM二處2凡

圖②

■:PHLBC,

：.ZPHF=90°=ZACB,

.,.PH//AC,

：.2CEMsAHPF,△PBH^/XABC,

.2m10-2m

610

?.?m=-1--5-.

8

如圖③，平行四邊形PFQE的面積恰好被線段AC分成1：3的兩部分時，則尸O=QD,QN*PG,

圖③

：.CF=—PG.

2

.PG_AP

??而一M

?16-2m2m

810

.40

??m=----.

9

?*?in的值為個■或粵■.

o9

（3）如圖④，當(dāng)/QVE=90。時，則點N與點C重合，設(shè)CE=x,

<△PBHsAABC,

.PHPB

**AC-AB'

.x_10-2x

610

...x=-3--0-.

11

如圖⑤，當(dāng)NQNE=90。時，則點P與點8重合,

；.x=5.

?PS_FR

一函—研

2x-"-(6-x)?px

?D_D

**-44-

10yx-2x

Tb-(6-X)b

.V_83±V769

34

經(jīng)檢驗，x值符合題意.

綜上，CE的長為I*等麗或5成駕.

3411

11、已知菱形A8C。中，AB=4,NBAZ）=120。，點P是直線AB上任意一點，連接PC,在NPC。內(nèi)部作

射線C。與對角線8。交于點Q（與8、。不重合），且NPCQ=30。.

（1）如圖，當(dāng)點P在邊AB上，且BP=3時，求PC的長；

（2）當(dāng)點P在射線8A上，且3P="（0<n<8）時，求QC的長；（用含〃的式子表示）

（3）連接P。，直線PQ與直線BC相交于點E,如果△QCE與△BCP相似，請直接寫出線段BP的長.

備用圖

解：（1）如圖1中，作8c于H.

D

圖1

??,四邊形ABC。是菱形,

???AB=BC=4,AD//BC,

：.NA+NA8C=180。,

VNA=120。,

：.ZPBH=60°f

?:PB=3,/PHB=90。,

：.BH=PB?cos60°=—,PH=P8?sin60。,

22

QR

：.CH=BC-BH=4--,

22

PCRPH24cH2=?+號］=V13-

(2)如圖1中，作8c于，，連接P0,設(shè)PC交8。于O.

;四邊形A88是菱形，

ZABD=ZCBD=30°,

*：ZPCQ=30°,

:.NPBO=NQCO,

；NPOB=NQOC,

:.叢POBs叢QOC,

.P0B0

"0Q"CD'

.OPQ0

BOCD

ZPOQ=N3OC,

：./\POQ^ABOC,

：.ZOPQ=ZOBC=30°=/PCQ,

:.PQ=QC,

.?.PC=?QC，

在RSPHB中，BP=n,

1M

：.BH=—n,PH=^-ti,

22

'JPC^^Ptf+CH1,

，3QG=（返。2+（4-—;z）2,

22

AQr=V3n2-12n+48（g〃<8）.

3

(3)①如圖2中，若直線QP交直線8c于B點左側(cè)的點艮

此時/CQE=120。，

,：ZPBC=60°,

.?.△PBC中，不存在角與NCQE相等,

此時△QCE與小BCP不可能相似.

②如圖3中，若直線QP交直線BC于點C右側(cè)的點E.

則NCQE=ZB=QBC+ZQCP=60°^ZCBP,

?:NPCB>/E,

/.只可能NBCP=NQCE=75°,

作C尸_LA8于F,則BF=2,CF=2b，ZPCF=45°,

:.PF=CF=2冊,

此時BP=2+273，

③如圖4中，當(dāng)點P在A8的延長線上時，

圖4

VACBE與4C8P相似，

.../CQE=NCBP=120。，

.'.ZQCE=ZCBP=i5°,

作CFLAB于F.

,/NFCB=30。，

/.ZFCB=45°,

：.BF=^BC=2,CF=PF=20

:.BP=2M-2.

綜