福建省福州市六校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023—2024學(xué)年第一學(xué)期高二年段期末六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（滿(mǎn)分：150分，完卷時(shí)間：120分鐘）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1.在等比數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：，所以，故選：B.2.已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿(mǎn)足，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義即可得到，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出結(jié)果.【詳解】由，得到，由導(dǎo)數(shù)的定義知，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為，即，故選：D.3.已知在四面體中，分別是的中點(diǎn)，設(shè)，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合圖像，利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】連接，如圖，因?yàn)椋?，分別是的中點(diǎn)，所以.故選：D.4.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的最小值是（）A.2 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】求出圓心、半徑，得出，即點(diǎn)在圓內(nèi).當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，根據(jù)勾股定理即可求出答案.【詳解】由已知可得圓心，半徑.因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi).所以，當(dāng)時(shí)，弦心距最大，弦長(zhǎng)最小.所以弦長(zhǎng)的最小值是.故選：B.5.已知、，若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與線(xiàn)段有交點(diǎn)，則的斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，數(shù)形結(jié)合可得出直線(xiàn)的斜率的取值范圍.【詳解】過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，如圖所示：設(shè)直線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，且，，當(dāng)點(diǎn)在從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（不包括點(diǎn)）時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角逐漸增大，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角逐漸增大，此時(shí).綜上所述，直線(xiàn)的斜率的取值范圍是.故選：D.6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A為C上位于第一象限的一點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B．若，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合對(duì)稱(chēng)性及橢圓的定義，得到，然后根據(jù)B為的中點(diǎn)，推導(dǎo)出，求得，，找到的關(guān)系，從而求得離心率.【詳解】解析：如圖，由，得為等邊三角形，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性及橢圓的定義，得，則B為的中點(diǎn)，從而OB為的中位線(xiàn)，，所以，所以，即，則，故選:A．7.如圖，ABCD－EFGH是棱長(zhǎng)為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿(mǎn)足，則P到AB的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出和的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求解.【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)椋?，，，，，所以點(diǎn)P到AB的距離．故選：C.8.如圖，過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)（點(diǎn)位于之間）且于點(diǎn)且，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可得，然后結(jié)合條件可得，即求.【詳解】設(shè)于點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)交軸于點(diǎn)G，則，又，∴，又于點(diǎn)且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故選：B.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分.）9.已知正方體，棱長(zhǎng)為1，分別為棱的中點(diǎn)，則（）A.直線(xiàn)與直線(xiàn)共面 B.C.直線(xiàn)與直線(xiàn)的所成角為 D.三棱錐的體積為【答案】BD【解析】【分析】如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)分別為建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，利用面面平行性質(zhì)結(jié)合平行公理分析判斷，對(duì)于B，通過(guò)計(jì)算進(jìn)行判斷，對(duì)于C，利用向量的夾角公式求解，對(duì)于D，利用求解.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)分別為建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，對(duì)于A，假設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)共面，因?yàn)槠矫妗纹矫?，平面平面，平面平面，所以∥，因?yàn)椤?，所以∥，矛盾，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)不共面，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以B正確，對(duì)于C，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的所成角為，因?yàn)?，所以，所以，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)槠矫妫?，所以D正確，故選：BD.10.已知遞減的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S6＝S8，則（）A.a7＞0 B.S13＜0 C.S15＜0 D.S7最大【答案】ACD【解析】【分析】由可得，由等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，所以，所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】由可得，由等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，所以，故A正確；又，故B錯(cuò)誤；，故C正確；由等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，所且，所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以S7最大，故D正確故選：ACD11.已知兩點(diǎn)，若直線(xiàn)上存在點(diǎn)，使得，則稱(chēng)該直線(xiàn)為“點(diǎn)定差直線(xiàn)”，下列直線(xiàn)中，是“點(diǎn)定差直線(xiàn)”有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】先求出P點(diǎn)的軌跡方程為的右支，結(jié)合雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)斜率與選項(xiàng)中直線(xiàn)斜率進(jìn)行比較，得到有無(wú)交點(diǎn)，進(jìn)而求出答案.【詳解】因?yàn)?，故P點(diǎn)的軌跡方程為雙曲線(xiàn)的右支，其中，，則，所以雙曲線(xiàn)為（），漸近線(xiàn)方程為，的斜率為，故與（）有交點(diǎn)，A正確；的斜率，且與y軸交點(diǎn)為，故與（）無(wú)交點(diǎn)，B錯(cuò)誤；的斜率，且與y軸交點(diǎn)為，故與（）無(wú)交點(diǎn)，C錯(cuò)誤；的斜率，故與（）有交點(diǎn)，D正確.故選：AD12.設(shè)雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的右支上，且不與的頂點(diǎn)重合，則下列命題中正確的是（）A.若，則的兩條漸近線(xiàn)的方程是B.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的離心率大于3C.若，則的面積等于D.若為等軸雙曲線(xiàn)，且，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程即可求解A，根據(jù)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，結(jié)合離心率的計(jì)算即可求解B，根據(jù)焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)結(jié)合雙曲線(xiàn)定義即可求解C，根據(jù)余弦定理即可求解D.【詳解】當(dāng)時(shí)，雙曲線(xiàn)的漸近錢(qián)的斜率A錯(cuò)誤，因?yàn)辄c(diǎn)在上，則，得，所以，B正確：因?yàn)椋?，則，即，即，得，所以，C正確.若為等軸雙曲線(xiàn)，則，從而.若，結(jié)合，則.在中，由余弦定理，得，D錯(cuò)誤，故選：BC.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知圓．若圓C與圓外切，則m的值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】利用兩圓相外切列方程即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑.因?yàn)閳A與圓外切，所以，所以，解得：.故答案為：14.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知，數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.【答案】【解析】【分析】利用與的關(guān)系運(yùn)算得解.【詳解】因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即，而，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.故答案為：.15.已知為單位向量.，若，則在上投影向量為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)模與向量的關(guān)系求出的值，再根據(jù)在上的投影向量公式求出答案即可.【詳解】，由題可得：，可得，則在上的投影向量為.故答案為：.16.數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，稱(chēng)為斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence），該數(shù)列是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”．在數(shù)學(xué)上斐波那契數(shù)列可表述為．設(shè)該數(shù)列的前n項(xiàng)和為，記，則________．（用m表示）【答案】##【解析】【分析】由斐波那契的定義有，中每一項(xiàng)都表示為兩項(xiàng)的差，然后正負(fù)抵消后可得結(jié)論．【詳解】由，得，即．所以．故答案為：．四?解答題（本題共6小題，第17題10分，第18-22題各12分，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知數(shù)列滿(mǎn)足，設(shè).（1）求；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；（3）求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，理由見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件得到，，，再由，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件得到，又，即可得出結(jié)果；（3）利用（2）中結(jié)果，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由條件可得，將代入得，，又，得到，將代入得，，所以.又，所以.【小問(wèn)2詳解】是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，理由如下，由條件可得，又，所以，又，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.【小問(wèn)3詳解】由（2）可得，所以.18.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）已知二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由菱形及線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定，性質(zhì)即可證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合已知確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求面，面的法向量，結(jié)合已知二面角的余弦值求出參數(shù)，再根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)表示求與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】由平面，又平面，則，又是菱形，則，又，面所以平面，又平面，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又平面，所以平面，分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，因?yàn)?，則，所以，由（1）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)面的一個(gè)法向量為，由，得到，令，可得，即，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，則，解得，則，設(shè)與平面所成的角為，又，所以.19.已知為銳角三角形，且．（1）若，求；（2）已知點(diǎn)在邊上，且，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換可得，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得；（2）利用正弦定理結(jié)合條件可得，然后根據(jù)條件及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得其范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，即，又，，所以，所以，即，又，，所以，即；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，又，可得，在中，，所以，在中，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，得，所以，所以，即的取值范圍為.20.如圖，已知是拋物線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，且直線(xiàn)分別與拋物線(xiàn)相切，為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，用表示線(xiàn)段的長(zhǎng)；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，利用拋物線(xiàn)定義將的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離即可；（2）設(shè)與直線(xiàn)，根據(jù)直線(xiàn)分別與拋物線(xiàn)相切，可將直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得到判別式為0，進(jìn)而得出是兩根，結(jié)合韋達(dá)定理與可得，即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，且在拋物線(xiàn)上，故滿(mǎn)足為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，線(xiàn)段的長(zhǎng)等于點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，即.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，顯然直線(xiàn)的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，，即①同理可得②由①②知，為方程的兩根，且有，，所以，解得，將代入，得，故的坐標(biāo)為.21.已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式：（2）在數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)與間插入個(gè)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，求及.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)進(jìn)行求解即可；（2）求出共插入3的個(gè)數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以有，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】由題意可知：在3和5之間插入2個(gè)3，在5和7之間插入個(gè)，在19和21之間插入個(gè)3，此時(shí)共插入3的個(gè)數(shù)為：，在21和23之間插入個(gè)3，此時(shí)共插入3的個(gè)數(shù)為：，因此，.22.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，過(guò)、作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為、，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)．求證：四邊形為梯形．【答案】（1）（