2020-2021學年高中數學（人教A版2019）期中模擬試題（二）（學生版+解析版）

2020-2021學年高一數學下學期期中

模擬試題(二)

選擇題

1.已知向量次=(2,3),礪=(4,—1),P是線段AB的中點，則P點的坐標是

A.(2,-4)B.(3,1)c.(-2,4)D.(6,2)

2.若復數z滿足(z—l)(l+i)=2_2i,則|z|=

A.72B.￡C.5D.后

3.已知復數z滿足z(l+2i)=|4—3i|(其中i為虛數單位)，則復數z的虛部為

A.-2B.-2iC.1D.i

1-2/

4.復數z=—不的共枕復數的虛部為

1+Z

A1?

A?—iB.-iC.--D.-

2222

5.已知向量1,日滿足|5|=2|洲=2,\2a-b\=2,則向量。，5的夾角為

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.已知向量值=(一1,2),b=(2m-l,T),且7_Lb,則|7一21|=

A.5B.4C.3D.2

7.已知〃7,〃為兩條不同的直線，a,夕為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是

A.mua,nua,mlI/3,〃//月=>a//月B.a//夕，mua,nu/3nmiIn

C.mLa,=D.mlIn,〃_La=m_La

8.四面體A—BCO中，OCJ.面ABC,AB=BC=3,ZABC=120°,0c=8,則四面體A—BCD外

接球的表面積為

A.100萬B.50iC.25萬D.9U

-.多選題

9.A43c是邊長為2的等邊三角形，已知向量滿足通=23,/=25+5,則下列結論正確的是

A.6是單位向量B.BCHbC.港=1D.BCl(4a+b)

10.在AA3C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若6=。。。$4,角A的角平分線交BC于點

D,AO=1,cosA=~,以下結論正確的是

8

3

A.AC=-B.AB=S

4

「CD1D.旃的面積為平

BD8

11.在正方體ABC?！ㄖ校琋為底面ABCD的中心，P為線段4A上的動點（不包括兩個端點）,

M為線段AP的中點，則

A.CM與PN是異面直線

B.存在P點使得PN//平面CC,D、D

C.平面PAN_L平面

D.過P,A,C三點的正方體的截面一定是等腰梯形

12.在棱長為2的正方體A8CD-4SG。中，E,尸分別為43,的中點，則（）

A.BD1B,C

B.EF//平面力用B

C.A￡1?平面4"C

D.過直線EF且與直線BR平行的平面截該正方體所得截面面積為近

三.填空題

13.已知i虛數單位，若復數z=±33eR）的虛部為-3,則|z|=—.

1+i

14.已知向量〃=（；,-乎），若向量6與。反向，且|。|=2,則向量5的坐標是.

15.已知向量a=Q%,3）,b=（1,-2）,且（］+萬）J_5,則m=.

16.直三棱柱ABC-ABC的各頂點都在球。的球面上，且48=AC=1,8C=6,若球。的表面積為20萬,

則這個三棱柱的體積為.

四.解答題

17.已知復z=a+砥a,OeR)滿足z+3,?為實數，--為純虛數，其中i是虛數單位.

2-i

(1)求實數a,8的值；

(2)若復數4=彳+2m+(川-5?在復平面內對應的點在第四象限，求實數〃1的取值范圍.

18.已知復數％=1-27,z2=3+4i,j為虛數單位.

(1)若復數4+磁2在復平面上對應的點在第四象限，求實數”的取值范圍；

(2)若2=五，求Z的共規(guī)復數二

Z2

19.(1)設,e?是正交單位向量，如果。4=2q+儀2,OB=net-e2,OC=5e,-e2,若A、B、C三

點在一條直線上，且機=2〃.求加、〃的值.

(2)已知次=(2,3),礪=(6,-3),點尸在線段84的延長線上，且|而|=』|而求點P坐標.

4

20.如圖，在四棱柱中，四邊形48CD是邊長等于2的菱形，ZADC=\20°,，平面

ABCD,O,E分別是A。，4?的中點，AC交。E于點“，點尸為”C的中點

(1)求證：OF//平面A。；

(2)若OF與平面ABCO所成的角為60。，求三棱錐A-AOE的表面積.

(1)若a=屈,b=\[2,求cosB；

(2)求sin(A+B)+sinBcos8+cos(B-A)的最大值.

22.如圖，在四棱錐P-48co中，底面A8C。為正方形，為等邊三角形，平面R4D_L平面PC。.

(I)證明：直線CDJ■平面R4￡)；

(H)若A3=2,。為線段尸8的中點，求三棱錐。-PCZ)的體積.

2020-2021學年高一數學下學期期中

模擬試題(二)

選擇題

1.已知向量礪=(2,3),麗=(4,一1),P是線段AB的中點，則P點的坐標是

A.(2,-4)B.(3,1)C.(-2,4)D.(6,2)

【答案】B

【解析】由線段的中點公式可得加=L詼+詼)=(3,1),故尸點的坐標是(3,1)，

2

故選B.

2.若復數z滿足(z-l)(l+z.)=2-2i,則|z|=

A.&B.6D.V5

【答案】D

【解析】由(z-l)(l+i)=2-2i,

殂,2-2/(2-2/)(1-0

1+1(l+D(l-z)

:.z=\-2i,

則|z|=J『+(-2)2=石.

故選D.

3.已知復數z滿足z(l+2j)=|4—3j|(其中i為虛數單位)，則復數z的虛部為

A.—2B.-2iC.1D.i

【答案】A

【解析】由z(l+2i)=|4-3i|=J?7^7=5,

55(l-2z)

得2==l-2z

1+2/(l+20(l-2z)

???復數z的虛部為-2.

故選A.

4.復數z1=-2T/的共輾復數的虛部為

1+「

D.

22

【答案】D

?解析】Z=f=

...復數z=土目的共輒復數的虛部為1,

1+z32

故選D.

5.已知向量萬，5滿足|萬|=2|洲=2,|25-^|=2,則向量1,5的夾角為

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】根據題意，設向量5的夾角為。，

若出|=2|利=2,則出|=2,\a\=l,

若|2。-昨2,則(2f)2=4容-4無5+戶=8-8儂。=4,

解可得cos6=J,

2

又由。啜B180°,故6=60°,

故選C.

6.已知向量@=(一1,2),5=(2加一1,1),且1_15,則一力|=

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【解析】向量4=(一1,2),fe=(2m-l,l),且Gib,

可得—(—2m—1)+2=0,解得m=—t

2

所以5=(2,1),1-25=(-5,0),

所以|1-25|=5.

故選A.

7.已知根，〃為兩條不同的直線，。，尸為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是

A.rnua,nua，ml/p,〃//￡=a///?B.a///，tnua，nu0=m〃n

C.mA.a,mn/laD.mIIn,nYa=>tnYa

【答案】D

【解析】m,〃為兩條不同的直線，a,夕為兩個不同的平面，

對于A,mua,〃ua,mlIp,〃//6=。//夕，也可能相交，所以A不正確；

對于8,a!Ip,mua,〃u/nm//〃也可能異面，所以B不正確；

對于C,mLam_L〃=〃//a有可能〃ua,所以。不正確；

對于O,機//〃，〃_Lanm_La,滿足直線與平面垂直的性質，所以。正確.

故選D.

8.四面體A—3CO中，OCL面ABC,AB=BC=3fZABC=120°,￡>C=8,則四面體A—BCD外

接球的表面積為

A.100兀B.50萬C.254D.9E

【答案】A

【解析】設AA3C外接圓的圓心為?,四面體A-3CO外接球的球心為。，半徑為R,

連接OC，OQ,OC,

BCOO=^DC=4

由正弦定理可得二20。即o,c=----------}

sinZ.BAC2sin30°

R=OC=yjoQ+OO；=%+32=5,

D

即四面體A-BCD外接球的表面積為S=4萬x5?=100%,

故選A.

二.多選題

9.AA3C是邊長為2的等邊三角形，己知向量5滿足荏=2凡/=2萬+5,則下列結論正確的是

A."是單位向量B.BC//bC.a[b=\D.BCA.(4a+b)

【答案】ABD

【解析】A.「I而|=2,.?.由麗=22得，|初=^^=1,4是單位向量，該選項正確；

B.BC=AC-AB=2a+b-2a=b,BC//b,該選項正確；

___2h2

C.\AC\=2,\a\=\.由而=2〃+5得，AC^=4a2+4a[i+b2即4=4+4萬區(qū)+戶，a[b=——工1,

t4

該選項錯誤；

D.BC=b,由上面得，配1(而+5)=5艮依+5)=4沆8+川=0,BC±(4a+b),該選項正確.

故選ABD.

10.在A48c中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c.若8=ccosA,角A的角平分線交BC于點

D,AD=l,cosA=-,以下結論正確的是

8

3

A.AC=-B.48=8

4

C.-=-D.的面積為地

BD84

【答案】ACD

【解析】因為b=ccosA,

由正弦定理可得，sinB=sinCcosA=sin(A+C),

所以sinAcosC=0,

因為sinAH0,

所以cosC=0即C=L乃，

2

AC

AB

由角平分線定理可得，-=

ABBD8

設AC=x,AB=8x,則8c=3岳，CD=—x,

3

RtAACD中，由勾股定理可得，x2+(—x)2=l,

解可得x=3,即AC=3,AB=6,

44

..0BC—通旭

ABC24832

8?_3A/7

所以SMMgSABC~--

故選ACD.

11.在正方體ABC?！狝4G。中，N為底面ABCD的中心，P為線段上的動點(不包括兩個端點)，

M為線段AP的中點，則

B.存在P點使得PN//平面

C.平面PAN_L平面4

D.過P,A,C三點的正方體的截面一定是等腰梯形

【答案】BCD

【解析】對于A，因為C,N,A共線，又CN,PW交于點A,即P,M,N,C共面，因此CM與

PN共面，故選項A不正確；

對于3，當P為4.的中點時，PN”平面CCQQ,故選項3正確；

對于C,AN1BD.AN工BB、,BD^\BB,=B,BD,u平面5￡）￡）百，

AN1平面BDDtB”ANu平面PAN,

平面PAN，平面BDDtB,,故選項C正確；

對于。，過P,A,C三點的正方體的截面與GR相交于點。，則AC//PQ,HPQvAC,因此一定

是等腰梯形，故選項。正確.

12.在棱長為2的正方體A88-A8CR中，E,尸分別為Afi,AA的中點，貝”（）

A.BDVB.C

B.EF//平面

C.AGJ.平面

D.過直線E尸且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為應

【答案】BC

【解析】對于A,?.?BC//A。，是8。與耳。所成角（或所成角）的補角，

???AD=BD=AB，.?.ZAI￡>B=60。，與BC不垂直，故4錯誤；

對于8，取AD中點G,連接FG,EG,則EG//BD,FG//BB,,

?.?EGp|FG=G，，平面EFG//平面力用8,

?.?￡/匚平面￡尸6,，后產//平面。耳3,故B正確；

對于C,:AQ!■BQi,AA}±BlDl,\.

AG、平面MG，

BRJ.平面AAG,???AC,u平面AAG，AC,XB.D,,

同理4GJ_8|C,

?.?B1￡>,p|BlC=Bl.gCu平面8QC，

.?.AG_L平面SRC,故C正確；

對于。，取Ag中點打，連接FE、EH,

則切//BQ,GFIIBBX,

■：FH[y3F=F，平面E”FG//平面88a￡),

?.?BRu平面BBP\D,EFu平面EHFG,

過直線EP且與直線B"平行的平面截該正方體所得截面為矩形EHFG,

?/GF=2,GE=-BD=-y/4+4=-j2,

22

/.過直線EF且與直線BR平行的平面截該正方體所得截面面積為5=2^2,故D錯誤.

故選：BC.

三.填空題

13.已知，虛數單位，若復數z=j(aeR)的虛部為-3,則|z|=—.

1+i

【答案】V13

■［匚,1—ai(1—t7/)(1—z)1——z+cii~(1—a)—(1—ci)i\—ci1+”.

【解析】z=----=-----------=-----------=-------------=----------1

1+Z(1+i)(l-z)1-Z2222

?.?復數z=^—(tze/?)的虛部為一3,

1+i

工二一3,解得。=5

2

z=-2-3i,

.?」z|=J(—2了+(—3)2=屈.

故答案為：A/T3.

14.已知向量〃=(；,-￥),若向量b與。反向，且|〃|=2,則向量5的坐標是

【答案】(—1,6)

【解析】因為：向量”=(1-/),

31=1,

?.?向量b與a反向，且|5|=2

b=-2a=(_],&).

故答案為：(-1,6).

15.己知向量2=(.,3),5=(1,-2),且m+5)J_5,則,〃=.

【答案】1

【解析】根據題意，向量「=(〃?,3),5=(1,-2),則々+5=0+1/).

因為m+5)j_5,所以m+5)z="?+i-2=o,解得機=i,

故答案為：I.

16.直三棱柱ABC-A8c的各頂點都在球。的球面上，且A8=AC=1,8c=行，若球。的表面積為20萬,

則這個三棱柱的體積為一.

【答案】6

【解析】設AABC和444G的外心分別為a、O2,連接002,

可得外接球的球心。為的中點，連接。4、OB、0C、QA、O\B、0tC,

…「山222

AABC中，cos,A=A-B---+--A-C------B-C--

2ABAC2

2%

vAe(O,^-),A=—,

3

根據正弦定理，得"BC外接圓半徑QA=一—=1

2sinA

?.?球。的表面積為20萬，4萬店=204，R=#>,

々△OQA中，00=406-0討=2,可得002=200=4,

???直三棱柱ABC-A用G的底面積SMBC=gA8?ACsiny=^,

直三棱柱ABC-ABCI的體積為SMBCx4Q=6■

故答案為：6.

17.已知復z=“+瓦（a,6eR）滿足z+3i為實數，工為純虛數，其中i是虛數單位.

2-z

（1）求實數〃，匕的值;

（2）若復數4=5+2機+（,/-5?在復平面內對應的點在第四象限，求實數機的取值范圍.

3

【答案】（D"=一5;(2)(-,V2).

b=-34

【解析】(1)由z=4+砥。,b€R),得z+3i=a+(h+3)z,

z_tz+W_(a4-bi)(2+z)2a-ba+2b.

-------------F----------1

2-i~2-i-(2-z)(2+z)55

4+3=0__3

再由題意可得：＜2a-b=0,解得”一5；

a+2bw0b=-3

3

(2)由(1)得，z=一一+3i,

2

則Z]=彳+2m+(m2-5)z=-^+3z+2m+(7?72-5)z

=(2m--1)+(AH2—2)z,

-3八

2m——>0

則2,B|J—<m<A/2.

4

病一2<0

實數機的取值范圍是（3,x/2）.

18.已知復數Z1=l-2i,Z2=3+4i,i為虛數單位.

（1）若復數4+82在復平面上對應的點在第四象限，求實數。的取值范圍;

（2）若z=2,求z的共知復數二

Z2

【答案】（1）（-；,g）;（2）z=-

55

【解析】（1）復數4=1-2"4=3+4八

所以4+az?=(1-2i)+a(3+4z)=(1+3a)+(4a-2)i；

山該復數在復平面上對應的點在第四象限,

1+3。>0

所以

4"2<0'

11

解得<4V-，

32

所以實數。的取值范圍是g）;

z.1-2/(l-2Z)(3-4z)-5-lOz12.

（2）化簡z——=----=------------=-------=—

z23+4z32-(4「2555

1

Z的共軌復數）+馬

55

19.（1）設［，1是正交單位向量，如果礪=21+/旗，痂=欣見,OC=5e}-e^,若A、B、C三

點在一條直線上，且m=2〃.求加、〃的值.

（2）已知）=（2,3）,而=（6,-3）,點尸在線段84的延長線上，且|而|=°|麗|,求點P坐標.

4

772=10

【答案】（1）1或；(2)P(-10,21).

n=n=5

~2

【解析】（1）以。為原點,G，e2的方向分別為x,y軸的正方向，建立平面直角坐標系xQy，

則麗=(2,附，OB=(n,-l),OC=(5,-1),

AC=(3,-1-AW),沅=(5—〃,0),

又?.?A,B,C三點在一條直線上,

AC//BC,

/.3x0-(-1--n)=0,與m=2〃聯(lián)立,

m=-l

…?(/H=1A1()

解得"{1或I=；

n———In=5

I2

(2)?/OA=(2,3),OB=(6,-3),

.■.4(2,3),8(6,-3),設P(x,y),

?.?點P在線段84的延長線上，且|麗|=3|而I，

4

—3—

/.AP=一一PB,

4

3

即(X—2,y_3)=—(6—x,—3—y)?

4

3

x-2=—(x-6)

「.<4,解得工=一10,y=21.

3

y-3=-(y+3)

I4

P(-10,21).

20.如圖，在四棱柱ABCC-ABCQ中，四邊形是邊長等于2的菱形，ZADC=120°,抽_L平面

ABCD,O,E分別是AC,AB的中點，AC交OE于點“，點F為”C的中點

(1)求證：。尸〃平面AEQ;

(2)若。尸與平面A8CD所成的角為60。，求三棱錐片-AOE的表面積.

【答案】（1）答案見解析；（2）6+用小

2

【解析】（1）連接A"，由于點廠為“c的中點，。為AC的中點，所以o尸〃A〃，

由于。/（t平面A。，4”<=平面4口）,

所以。尸//平面A。.

（2）連接30,由于四邊形ABC。為邊長為2的菱形，ZADC=120°.

所以4曲為等邊三角形.

所以AH=￥^,DE=6且Z）E_L/W,

由于。尸與平面A8C￡>所成的角為60。，且OF〃A”，

由于A4,，平面A8C。，

則：N41H4=60。，

所以A4,=2,4后=石，

由于441J■平面A8CO,DEu平面48CZ）,

所以44,IDE.

又DE，AB，A4,p）AB=A,

A4,ABu平面AABBI，

所以DEL平面AAB4，

則：A,E1DE,

所以三棱錐A—ADE的表面積為：—x2x2+—xlx2+—x\/3x亞+—x1x2x—,

222222

序2

21.已知&43C的內角A,B,。所對的邊分別是a,b,c,其面積S=~——:--------

4

(1)若a=娓,b=\[2,求cosB；

(2)求sin(A+B)+sinBcosB+cos(B-A)的最大值.

【答案】(I)叵；(2)3.

62

【解析】(1)?.?S="2+」一",可得J■反sinA=2"8sA

424

sinA=cosA,可得tanA=1,

A