2021-2022學(xué)年下學(xué)期杭州初中數(shù)學(xué)八年級(jí)期中典型試卷3

2021-2022學(xué)年下學(xué)期杭州初中數(shù)學(xué)八年級(jí)期中典型試卷3

一.選擇題（共10小題）

1.（2017?襄陽(yáng)）下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）

2.（2021春?海倫市期末）若二次根式心工在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則〃的取值范圍是（）

A.a>2B.aW2C.D.

3.（2017春?孫吳縣期末）下列計(jì)算正確的是（）

A.?+圾=旄B.&?《=遍C.顯_&=娓D.亞=4

4.（2021春?余杭區(qū)期中）一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為3,4,7,x,15,17,若這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù)為9,則工是（）

A.9B.10C.11D.12

5.（2021春?拱墅區(qū)期中）某班有50人，一次體能測(cè)試后，老師對(duì)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，

由于小亮沒(méi)有參加本次集體測(cè)試因此計(jì)算其他49人的平均分為90分，方差S2=53.后

來(lái)小亮進(jìn)行了補(bǔ)測(cè)，成績(jī)?yōu)?0分，關(guān)于該班50人的測(cè)試成績(jī)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.平均分不變，方差變小B.平均分不變，方差變大

C.平均分和方差都不變D.平均分和方差都改變

6.（2021春?滄州期末）如圖，在RtZVlBC中，/ACB=90°,點(diǎn)￡）,E分別是邊AB,AC

的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至尸，使CF=」8C,若AB=12,則EF的長(zhǎng)是（）

2

B

A.7B.6C.5D.4

7.（2021?武陟縣模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程f+法+c=o,其中兒c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)如圖所示，則這個(gè)方程的根的情況是（）

——1----1-------J>

c0bx

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

8.（2021春?饒平縣校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,下

列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）

A.AB//DC,AD//BCB.AB//DC,ZDAB=ZDCB

C.AO=CO,AB=DCD.AB//DC,DO=BO

9.（2021春?蕭山區(qū)期中）已知關(guān)于龍的一元二次方程（x-xi）（x-X2）=0與一元一次方

程2x-4=0有一個(gè)公共解x=x\,若一元二次方程（工-川）（x-x2）+（2x-4）=0有

兩個(gè)相等的實(shí)根，則屹=（）

A.-2B.-4C.2D.4

10.（2015?拱墅區(qū)二模）己知DABCO中，AD=2ABf/是的中點(diǎn)，作A￡J_C￡>,垂足七

在線段CD上，不與點(diǎn)C重合，連接EF、AF,下列結(jié)論：①2NBAF=NBAD；②EF=

AF；?SMBF^SMEF；?ZBFE=3ZCEF.中一定成立的是（）

D

E

8V

A.①②④B.①③C.②③④D.①②③④

二.填空題（共6小題）

II.（2021春?拱墅區(qū)校級(jí)期中）化簡(jiǎn)：

⑴A/12^:

⑵后——?

12.（2021?高要區(qū)一模）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°,這個(gè)多邊形的邊數(shù)是.

13.（2021秋?建安區(qū)期中）已知，〃是關(guān)于x的方程7-3x-4=0的一個(gè)根，貝！］3〃/-9，"-

2=.

14.（2015?南昌）兩組數(shù)據(jù)：3,a,2b,5與a,6,匕的平均數(shù)都是6,若將這兩組數(shù)據(jù)合

并為一組數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.

15.（2021春?拱里區(qū)期中）一個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為10,腰長(zhǎng)是一元二次方程llx+30

=0的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是.

16.（2021春?拱墅區(qū)期中）如圖，正方形ABCD中，在4。的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,凡使。E

=AD,DF=BD,連接8尸分別交CD,CE于H,G.下列結(jié)論：①圖中有8個(gè)等腰三角

形：②EC=2DG；③AGHdDGE；④Ui些=2+圾.其中正確的有（填序

^ADEG

17.（2021春?拱墅區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算:

(2)(1)'2-(n-4)°+—1.

22-K/3

18.(2021春?拱墅區(qū)校級(jí)期中)解方程:

(1)7A:(5X+2)=6(5x+2)；

(2)1.

2

19.（2021春?香洲區(qū)期末）學(xué)校抽查了某班級(jí)某月份其中5天的用電量，數(shù)據(jù)如表（單位:

度):

度數(shù)91112

天數(shù)311

(1)求這5天用電量的平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù).

(2)學(xué)校共有48個(gè)班級(jí)，若該月在校時(shí)間按22天計(jì)，試估計(jì)該校該月的總用電量.

20.(2019春?西湖區(qū)期末)己知機(jī)，〃是實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“*”為：m^n=mn+n.

(1)分別求4*(-2)與4*、而的值；

(2)若關(guān)于x的方程x*Q*x)=有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)〃的值.

4

21.(2019?香坊區(qū)模擬)如圖，ZiABC中，點(diǎn)。，E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作

CF//AB交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接BE.

(1)求證：四邊形BCFO是平行四邊形.

(2)當(dāng)AB=BC時(shí)、若BD=2,BE=3,求AC的長(zhǎng).

22.(2019春?下城區(qū)期末)某商店銷售一款電風(fēng)扇，平均每天可售出24臺(tái)，每臺(tái)利潤(rùn)60

元.為了增加利潤(rùn)，商店準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，若每臺(tái)電風(fēng)扇每降價(jià)5元，平均每天將多售出4

臺(tái).設(shè)每臺(tái)電風(fēng)扇降價(jià)5x元.

(1)分別用含x的代數(shù)式表示降價(jià)后平均每天的銷售量和每臺(tái)的利潤(rùn).

(2)若要使每天銷售利潤(rùn)達(dá)到1540元，求x的值.

(3)請(qǐng)問(wèn)該電風(fēng)扇每天銷售利潤(rùn)能否達(dá)到2000元嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

23.(2021春?余杭區(qū)期中)如圖，在長(zhǎng)方形ABCZ)中，A2=3,BC=6,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出

發(fā)，沿射線A。方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)；同時(shí)。從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC

方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P,。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r(秒).

(1)當(dāng)/=2時(shí)，求線段PQ的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)線段PQ與線段CC相交于點(diǎn)M,且。M=CM時(shí)，求f的值；

(3)連接AQ,是否存在某一時(shí)刻，△APQ為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)△4PQ的

面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用國(guó)

2021-2022學(xué)年下學(xué)期杭州初中數(shù)學(xué)八年級(jí)期中典型試卷3

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2017?襄陽(yáng)）下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）

【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形.

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解.

【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、是中心對(duì)稱圖，不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、既是中心對(duì)稱圖又是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

。、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱

軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分

重合.

2.（2021春?海倫市期末）若二次根式心工在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則。的取值范圍是（）

A.a>2B.aW2C.“#2D.a22

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.

【分析】二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

【解答】解：依題意，得

a-220,

解得，a22.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】考查了二次根式的意義和性質(zhì).概念：式子F（心0）叫二次根式.性質(zhì)：二

次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義.

3.（2017春?孫吳縣期末）下列計(jì)算正確的是（）

A.如+如=疾B.V2-V3=V6C.冊(cè)-近=娓D.?+丑=4

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題.

【分析】原式各項(xiàng)計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷.

【解答】解：A、原式不能合并，錯(cuò)誤；

B、原式=,2X3=近,正確；

C、原式=2&-&=血，錯(cuò)誤；

。、原式2="\/"^=2,錯(cuò)誤，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

4.（2021春?余杭區(qū)期中）一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為3,4,7,x,15,17,若這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù)為9,則》是（）

A.9B.10C.11D.12

【考點(diǎn)】中位數(shù).

【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】根據(jù)中位數(shù)為9和數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，可求出x的值.

【解答】解：由題意得，（7+x）+2=9,

解得：x=ll,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中位數(shù)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，掌握中位數(shù)的定義是關(guān)鍵.

5.（2021春?拱墅區(qū)期中）某班有50人，一次體能測(cè)試后，老師對(duì)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，

由于小亮沒(méi)有參加本次集體測(cè)試因此計(jì)算其他49人的平均分為90分，方差$2=53.后

來(lái)小亮進(jìn)行了補(bǔ)測(cè)，成績(jī)?yōu)?0分，關(guān)于該班50人的測(cè)試成績(jī)，下列說(shuō)法正確的是（〉

A.平均分不變，方差變小B.平均分不變，方差變大

C.平均分和方差都不變D.平均分和方差都改變

【考點(diǎn)】方差；算術(shù)平均數(shù).

【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】根據(jù)平均數(shù)，方差的定義計(jì)算即可.

【解答】解：：小亮的成績(jī)和其他49人的平均數(shù)相同，都是90分，

該班50人的測(cè)試成績(jī)的平均分為90分，方差變小，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查方差，算術(shù)平均數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知

識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

6.（2021春?滄州期末）如圖，在RtZ\ABC中，/AC8=90°,點(diǎn)O,E分別是邊AB,AC

的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至凡使CF=4BC,若AB=12,則E尸的長(zhǎng)是（）

A.7B.6C.5D.4

【考點(diǎn)】三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析［根據(jù)三角形中位線定理得到。E〃BC,DE=1BC,證明四邊形。EFC為平行四

2

邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EF=CD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：：點(diǎn)。，E分別是邊A8,AC的中點(diǎn)，

J.DE//BC,DE=1BC,

2

?：CF=^BC,

2

:.DE=CF,

四邊形OEFC為平行四邊形，

:.EF=CD,

在Rt^ACB中，ZACB=90°，點(diǎn)。是邊AB的中點(diǎn)，

：.CD=1AB^6,

2

:.EF=CD=6,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平

行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?武陟縣模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程，+法+°=0,其中b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)如圖所示，則這個(gè)方程的根的情況是（）

-------11-----------J->

c0bx

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

【考點(diǎn)】根的判別式；實(shí)數(shù)與數(shù)軸.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】計(jì)算判別式的值即可判斷.

【解答】解：,??b>。，c<0,

A=啟-4c>0,

???有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程a^+bx+c^O（aWO）的根與A^b2-4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)△>?時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）時(shí)，方程有兩個(gè)相

等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<（）時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

8.（2021春?饒平縣校級(jí)期末）如圖，在四邊形A8C。中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，下

列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）

A.AB//DC,AD//BCB.AB//DC,/DAB=/DCB

C.AO=CO,AB=DCD.AB//DC,DO=BO

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定.

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】分別利用平行四邊形的判定方法和全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行判斷，即可得

出結(jié)論.

【解答】解：A,'：AB//CD,AD//BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意;

B、'JAB//DC,

：.ZDAB+ZADC^\SO°,

,:NDAB=NDCB,

：.ZDCB+ZADC=\SO°,

J.AD//BC,

四邊形A8C。是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、；AO=C。，AB=DC,ZAOB=ZCOD,不能判定△408也△C。。,

不能得到N0AB=Z0CD,

...不能得至ljA8〃CQ,

...不能判定四邊形ABC。是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、'：AB//DC,

：.ZOAB=ZOCD,

在AAOB和△C0Q中，

fZOAB=ZOCD

<ZAOB=ZCOD>

BO=DO

A/\AOB^/S.COD(A4S),

：.AB=DC,

又,：ABHDC,

四邊形ABC。是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判

定與性質(zhì)等知識(shí)，正確把握平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵.

9.(2021春?蕭山區(qū)期中)已知關(guān)于x的一元二次方程(x-xi)(x-%2)=0與一元一次方

程2%-4=0有一個(gè)公共解x=xi,若一元二次方程(x-xi)(x-X2)+(2x-4)=0有

兩個(gè)相等的實(shí)根，則X2=()

A.-2B.-4C.2D.4

【考點(diǎn)】根的判別式；一元一次方程的解.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】先解方程2x-4=0得xi=2,則一元二次方程(x-xi)(x-r)+(2x-4)=0

變形為(x-2)(X-JV2)+2%-4=0,整理得/-%2X+2X2-4=0,利用判別式的意義得到

△=(-X2)2-4(2x2-4)=0,然后解關(guān)于X2的方程即可.

【解答】解：：解方程2%-4=0得x=2,

.*.xi=2,

.??一元二次方程(x-Xi)(x-X2)+(2x-4)=0變形為(x-2)(x-x2)+2x-4=0,

整理得X2-X2X+2X2-4=0,

:=(-%2)2-4(2x2-4)=0,解得％2=4.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax^+bx+c=0(aW0)的根與A=h2-4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的

實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<()時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

10.(2015?拱墅區(qū)二模)已知OA6CD中，A￡>=2AB,F是BC的中點(diǎn)，作AE_LC￡>,垂足E

在線段8上，不與點(diǎn)C重合，連接EF、AF,下列結(jié)論：①2NBAF=NBA￡>；②EF=

AF-.③SAABFWSAAEF；④NBFE=3NCEF.中一定成立的是()

spC

A.①②④B.①③C.②③④D.①②③④

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等且平行，再由全等三角形的判

定得出AMBF也利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段之間關(guān)系進(jìn)而得出答案.

【解答】解：①：尸是BC的中點(diǎn)，

：.BF=FC,

?..在nABCZ)中，AD=2AB,

：.BC^2AB=2CD,：.BF=FC=AB,

：.NAFB=/BAF,

\'AD//BC,

：.ZAFB^ZDAF,

:.NBAF=NFAB,

：.2ZBAF=ZBAD,故①正確；

②延長(zhǎng)EF,交AB延長(zhǎng)線于M,

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB//CD,

:.NMBF=NC,

為BC中點(diǎn)，

：.BF=CF,

在和△￡■(；/中，

，ZMBF=ZC

<BF=CF，

ZBFM=ZCFE

...AMBF^△ECFCASA),

：.FE=MF,NCEF=NM,

'JCE1.AE,

；.N4EC=90°,

ZAEC=ZBAE=90°,

；FM=EF,

：,EF=AF,故②正確；

③〈EF=FM,

.".S^AEF=SMFM,

與C不重合，

.'.5AABF<SAA￡F,故③錯(cuò)誤；

④設(shè)NFEA=x,則/項(xiàng)E=x,

：.ZBAF=ZAFB=90Q-x,

；./￡■以=180°-2x,

：.NEFB=900-x+180°-2x=270°-3x,

'：ZCEF=90°-x,

:.NBFE=3NCEF,故④正確,

故選：A.

D

w*

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解決

本題的關(guān)鍵是得出△AEF也叢DME.

二.填空題（共6小題）

11.（2021春?拱墅區(qū)校級(jí)期中）化簡(jiǎn)：

⑵信孝,

【考點(diǎn)】算術(shù)平方根.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的化簡(jiǎn)方法計(jì)算即可求解；

（2）根據(jù)算術(shù)平方根的化簡(jiǎn)方法計(jì)算即可求解；

【解答】解：（1）Vl2=V4X3=V4><V3=2A/3-

故答案為：

（2）、口=]1乂/=、E=卑=返.

V2V2X2V4y2

故答案為：返.

2

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了算術(shù)平方根的化簡(jiǎn)，熟記算術(shù)平方根的化簡(jiǎn)方法是解題的基礎(chǔ).

12.（2021?高要區(qū)一模）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°,這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6.

【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.

【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理180。?（〃-2）即可求得.

【解答】解：?.?多邊形的內(nèi)角和公式為（n-2）-180°,

，Cn-2）X180°=720°,

解得〃=6,

???這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理即180°?（〃-2）,難度適中.

13.（2021秋?建安區(qū)期中）已知，"是關(guān)于x的方程f-3x-4=0的一個(gè)根，則3〃，-3"-

2=10.

【考點(diǎn)】一元二次方程的解.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；推理能力.

【分析】利用一元二次方程根的定義得到毋-3/77=4,再把3〃P-9〃?變形為3（〃3-2m）

-2,然后利用整體代入的方法計(jì)算.

【解答】解：是關(guān)于x的方程f-3x-4=0的一個(gè)根，

.'.m2-3m-4=0,

.'.m2-3m=4,

.'.3m1-9m-2=3（川-3M-2=3X4-2=10.

故答案是：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定義.一元二次方程的根就是

一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.即用這個(gè)數(shù)代替未知

數(shù)所得式子仍然成立.

14.（2015?南昌）兩組數(shù)據(jù)：3,a,2b,5與a,6,%的平均數(shù)都是6,若將這兩組數(shù)據(jù)合

并為一組數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6.

【考點(diǎn)】中位數(shù)；算術(shù)平均數(shù).

【分析】首先根據(jù)平均數(shù)的定義列出關(guān)于〃、人的二元一次方程組，再解方程組求得〃、6

的值，然后求中位數(shù)即可.

【解答】解：???兩組數(shù)據(jù)：3,a,2b,5與a,6,6的平均數(shù)都是6,

.[a+2b=24-3-5

Ia+b=18-6

解得卜=8,

lb=4

若將這兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)，按從小到大的順序排列為3,4,5,6,8,8,8,

一共7個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)是6,所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6.

故答案為6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均數(shù)和中位數(shù).平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)

的個(gè)數(shù).一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與這組數(shù)據(jù)的排序及數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)有關(guān)，因此求一組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)時(shí)，先將該組數(shù)據(jù)按從小到大（或按從大到小）的順序排列，然后根據(jù)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)確

定中位數(shù)：當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則中間的?個(gè)數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)

為偶數(shù)時(shí)，則最中間的兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

15.（2021春?拱墅區(qū)期中）一個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為10,腰長(zhǎng)是一元二次方程llx+30

=0的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是22.

【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】先求出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理判斷能否組成三角形，再求出

即可.

【解答】解：解方程1￡+30=0得：x=5或6,

當(dāng)腰為5時(shí)，三角形的三邊為5,5,10,5+5=10,此時(shí)不符合三角形三邊關(guān)系定理，

不合題意；

當(dāng)腰為6時(shí)，三角形的三邊為6,6,10,此時(shí)符合三角形三邊關(guān)系定理，三角形的周長(zhǎng)

為6+6+10=22,

故答案為：22.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系定理等知

識(shí)點(diǎn)，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵.

16.（2021春?拱墅區(qū)期中）如圖，正方形48CC中，在A力的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,F,使OE

=AD,DF=BD,連接BF分別交CO,CE于H,G.下列結(jié)論：①圖中有8個(gè)等腰三角

S_

形；@EC=2DG；③△GHgADGE；@ABDG=2+72-其中正確的有③④（填

2ADEG

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】①根據(jù)正方形的性質(zhì)及等腰三角形的判定，可得出圖中共有9個(gè)等腰三角形；

②根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知推出四邊形。ECB是平行四邊形，得到8Q=CE,BD//CE,

無(wú)法證出G為CE的中點(diǎn)；③由SAS可證明△GHC絲△OGE；④由上述推理可得，/\DBG

s4GDE,再根據(jù)三角形的面積等于相似比的平方可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，在正方形A8CQ中，

AB^BC^CD=AD,NAOB=NOBC=45°,

.-.△ABZ）和△88是等腰三角形；

;DE=DC,DF=BD,

AD￡C和△BQF是等腰三角形；

:.NDCE=NDEC=45°,ZF=ZDBC=22.5°,

:.NCBG=NEGF=NF=22.5°,

；.NBGC=NEGF=22.5°,

4BCG和△EFG是等腰三角形；

：.BC=CG=CD,ZCDG=ZCGD=67.5°,

...△COG是等腰三角形，KZGDF=22.5°,NDHG=NBHC=615°

：.ZGDF=ZF,DG=HG,

和△OGF是等腰三角形，

綜上，圖中共有9個(gè)等腰三角形；故①不正確；

/.△CDG是等腰三角形，

?正方形ABC。，DE=AD,

J.AD//BC,DE=BC,NEDC=90°,

...四邊形。ECB是平行四邊形，

:.BD=CE,BD//CE,

：.DE=BC=AD,

:.NDCE=NDEC=45°,

要使CE=2DG,只要G為CE的中點(diǎn)即可，

DE^DC,DF=BD,

；.EF#BC,

即和ABCG不全等，

.?.點(diǎn)G不是CE中點(diǎn)，②錯(cuò)誤

由①分析可知，

在△GVC和△OGE中，

'CG=ED

<ZGDE=ZHGC=22.5°，

GH=DG

：./\GHC^/\DGE(SAS)；故③正確；

由上分析可知，ZDBG=ZGDE=22.5°,NDGB=NDEG=45°,

:ADBGS^GDE,

.$2kBDG=/BGx2-.BG2

FDEGDE市，

如圖，過(guò)點(diǎn)G作GM,8c交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

設(shè)BC=a,則CG=a,

:.CM=GM=^a,

_2_

BG1—C^a)2+(a+VZa)2—(2+5/2)?2>

22

"：DE=BC=a,

...也理=呢=0冬4=2+我，故④正確；

SADEGDE2a2

綜上，③④正確.

故答案為：③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性

質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解

此題的關(guān)鍵.

三.解答題(共7小題)

17.(2021春?拱墅區(qū)校級(jí)期中)計(jì)算:

(2)(1)匕一(K-4)0+—

22s

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；零指數(shù)幕；負(fù)整數(shù)指數(shù)幕；分母有理化.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【分析】(1)先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可；

(2)根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)幕和分母有理化進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：(1)原式=3，"^-

—2^2：

(2)原式=4-1+2-V3

=5-M.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并

同類二次根式即可.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式

的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

18.(2021春?拱蟹區(qū)校級(jí)期中)解方程：

(1)7尤(5x+2)=6(5x+2)；

(2)0=/-1.

2

【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】利用因式分解法求解即可.

【解答】解：(1)，：7x(5x+2)=6(5x+2),

(5x+2)(7x-6)=0,

貝!15x+2=0或7x-6=0,

解得xi=-2,X2=—;

57

(2)VA(%-1)=(x+1)(x-1),

2

(x-1)(A-x-1)=0,

2

則x-1=0或』-X-1=0,

2

解得Xl=l,X2—-—.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的

方法是解題的關(guān)鍵.

19.(2021春?香洲區(qū)期末)學(xué)校抽查了某班級(jí)某月份其中5天的用電量，數(shù)據(jù)如表(單位:

度):

度數(shù)91112

天數(shù)311

(1)求這5天用電量的平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù).

(2)學(xué)校共有48個(gè)班級(jí)，若該月在校時(shí)間按22天計(jì)，試估計(jì)該校該月的總用電量.

【考點(diǎn)】眾數(shù)；用樣本估計(jì)總體；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù).

【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】(1)根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式、眾數(shù)、中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；

(2)用班級(jí)數(shù)乘以日平均用電量乘以天數(shù)即可求得總用電量.

【解答】解：(1)這5天用電量的平均數(shù)是：(9X3+11X1+12X1)4-5=10(度)；

9度出現(xiàn)了3次，最多，故眾數(shù)為9度；

第3天的用電量是9度，故中位數(shù)為9度：

(2)10X22X48=10560(度)，

答：估計(jì)該校該月用電10560度.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和用樣本估計(jì)總體.中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從

小到大(或從大到小)重新排列后，最中間的那個(gè)數(shù)(最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))，叫做這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會(huì)錯(cuò)誤

地將這組數(shù)據(jù)最中間的那個(gè)數(shù)當(dāng)作中位數(shù).

20.(2019春?西湖區(qū)期末)已知相，”是實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“”為：加*〃=w〃+”.

(1)分別求4*(-2)與4*'而的值；

(2)若關(guān)于x的方程x*Q*x)=-上有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)〃的值.

4

【考點(diǎn)】根的判別式；實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】(1)利用新定義得到4*(-2)=4X(-2)+(-2)；4*J^=4X遙+證，然

后進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算即可；

(2)利用新定義得到x(辦+x)+ax+x=-1,整理得(。+1)/+Q+l)x+工=0,根據(jù)

44

一元二次方程的定義和判別式的意義得到“+1#0且4=Q+1)2-4(a+1)X(-1)

4

=0,然后解關(guān)于“的方程即可.

【解答】解：(1)4*(-2)=4X(-2)+(-2)=-8-2=-10：

4*75=4XA/5+V5=5遙；

(2)a*x=ax+xf

由x*(ax+x)=-工得%Cax+x)+ax+x="-?

44

整理得(a+1)/+(a+1)x+工=0,

4

因?yàn)殛P(guān)于x的方程(a+1)/+(a+1)x+』=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

4

所以4+1#0且4=(a+1)2-4(iz+l)XA=0,

4

所以“=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程a^+bx+c^O(a#0)的根與A=b2-4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)4>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的

實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<()時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.也考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

21.(2019?香坊區(qū)模擬)如圖，△ABC中，點(diǎn)。，E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作

CF//AB交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接BE.

(1)求證：四邊形8CKD是平行四邊形.

(2)當(dāng)4B=BC時(shí)，若BD=2,BE=3,求4c的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形.

【分析】(1)根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：???點(diǎn)￡>,E分別是邊A3,AC的中點(diǎn)，

J.DE//BC.

'：CF//AB,

...四邊形8CFQ是平行四邊形;

（2）解：'：AB=BC,E為AC的中點(diǎn)，

：.BE1AC.

\'AB=^2DB=4,BE=3,

AE=yj^2_22—5/7>

，AC=2AE=2V7

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，解答本

題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

22.（2019春?下城區(qū)期末）某商店銷售一款電風(fēng)扇，平均每天可售出24臺(tái)，每臺(tái)利潤(rùn)60

元.為了增加利潤(rùn)，商店準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，若每臺(tái)電風(fēng)扇每降價(jià)5元，平均每天將多售出4

臺(tái).設(shè)每臺(tái)電風(fēng)扇降價(jià)5x元.

（1）分別用含x的代數(shù)式表示降價(jià)后平均每天的銷售量和每臺(tái)的利潤(rùn).

（2）若要使每天銷售利潤(rùn)達(dá)到1540元，求x的值.

（3）請(qǐng)問(wèn)該電風(fēng)扇每天銷售利潤(rùn)能否達(dá)到2000元嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用：應(yīng)用意識(shí).

【分析】（1）降價(jià)后平均每天的銷售量=24+降價(jià)的錢數(shù)+5X4,每臺(tái)的利潤(rùn)=原利潤(rùn)-

降價(jià)；

（2）根據(jù)每臺(tái)的盈利X銷售的件數(shù)=1540元，即可列方程求解；

（3）根據(jù)每臺(tái)的盈利義銷售的件數(shù)=2000元，即可列方程，再根據(jù)根的判別式求解.

【解答】解：（1）降價(jià)后平均每天的銷售量：24+5x+5X4=24+4x,

降價(jià)后銷售的每臺(tái)利潤(rùn)：60-5x；

（2）依題意，可列方程：

（60-5%）（24+4%）=1540,

解方程得：xi=l,X2=5.

答:x的值為1或5.

（3）依題意，可列方程:

(60-5x)(24+4x)=2000,

化簡(jiǎn)得--6x+28=0,

A=(-6)2-4X1X28=-76<0.

故方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

故該電風(fēng)扇每天銷售利潤(rùn)不能達(dá)到2000元.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題關(guān)鍵是會(huì)表示一臺(tái)冰電風(fēng)扇箱的利

潤(rùn)，銷售量增加的部分.找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系：每臺(tái)的盈利X銷售的件數(shù)=

1540元是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

23.(2021春?余杭區(qū)期中)如圖，在長(zhǎng)方形ABCQ中，A8=3,BC=6,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出

發(fā)，沿射線AO方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)；同時(shí)。從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC

方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P,。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r(秒).

(1)當(dāng)/=2時(shí)，求線段PQ的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)線段PQ與線段0c相交于點(diǎn)M,且。例=CM時(shí)，求f的值；

(3)連接AQ,是否存在某一時(shí)刻，△APQ為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)△APQ的

面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)Q作于E,可證四邊形ABQE是矩形，可得QE=CC=A8=

3,AE=BQ=2,由勾股定理可求解；

(2)由“44S”可證可得CQ=OP,即可求解；

(3)分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解.

【解答】解：(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)Q作QELAQ于E,

AEPD

BQC

圖1

當(dāng)r=2時(shí),AP=6,BQ=2,

???四邊形ABC。是矩形，

AZA=ZB=ZBCD=ZADC=90°,

又;QEA.AD,

???四邊形A3QE是矩形，

AQE=CD=AB=3fAE=BQ=2,

：.EP=AP-AE=6-2=4,

:，PQ={Ep2+Ep2=19+]'=5；

(2)如圖2,

圖2

■:AD//BC,

：.ZCQM=ZDPM,

???點(diǎn)M是CD中點(diǎn)，

：.CM=DM,

又???NQMP=NCMQ,

:,XDMP經(jīng)叢CMQ(AAS),

:?CQ=DP,

.*.6-t=3t-6,

：.t=3；

(3)由題意可得：AP=3t,AQ=、9+12,PQ=、9+(3t1t)2=6+虹

若AP=AQ時(shí)，則立=再不，

.1=2返(負(fù)值舍去)，

4_

則△APQ的面積=JLX3X3X2返=旦返；

248

若AP=P。時(shí)，3/=6+妣2,

.?，=色區(qū)（負(fù)值舍去），

5_

則△APQ的面積=1X3X3Xe/5=ZZY1；

2510

若AQ-PQ時(shí)，｛9+妣2=J9+t2'

：.t=O（不合題意舍去），

綜上所述：當(dāng)f=C返或延時(shí)，△AP。為等腰三角形.面積分別為型匣或空度.

45810

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.算術(shù)平方根

（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于m即/=〃，那么這個(gè)正數(shù)

x叫做。的算術(shù)平方根.記為

（2）非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負(fù)性：①被開(kāi)方數(shù)〃是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根a本

身是非負(fù)數(shù).

（3）求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)數(shù)的平方互為逆運(yùn)算，在求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平

方根時(shí)，可以借助乘方運(yùn)算來(lái)尋找.

2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸

（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；反之，數(shù)軸上的任意一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).數(shù)軸

上的任一點(diǎn)表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無(wú)理數(shù).

（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)在原點(diǎn)的兩旁，并且兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，實(shí)數(shù)a

的絕對(duì)值就是在數(shù)軸上這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.

（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左

邊的大，在原點(diǎn)左側(cè)，絕對(duì)值大的反而小.

3.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、

乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開(kāi)平方.

（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算

乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”

1.運(yùn)算法則：乘方和開(kāi)方運(yùn)算、塞的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根

式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等.

2.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從

左到右依次運(yùn)算，無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算.

3.運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

4.零指數(shù)幕

零指數(shù)累：?0=1（。#0）

由/—""=1,嚴(yán)一"'=?！憧赏瞥觥?1（。#0）

注意：O°W1.

5.負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉

負(fù)整數(shù)指數(shù)累：aP^lap（aWO,p為正整數(shù)）

注意：①。#0；

②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)幕時(shí)，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)基的意義計(jì)算，避免出現(xiàn)（-3）一2=（-3）

X（-2）的錯(cuò)誤.

③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

④在混合運(yùn)算中，始終要注意運(yùn)算的順序.

6.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

（1）二次根式的概念.形如遙（a>0）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開(kāi)方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

（3）二次根式具有非負(fù)性.筋（a2O）是一個(gè)非負(fù)數(shù).

學(xué)習(xí)要求：

能根據(jù)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)來(lái)確定二次根式被開(kāi)方數(shù)中字母的取值范圍，并能利

用二次根式的非負(fù)性解決相關(guān)問(wèn)題.

【規(guī)律方法】二次根式有無(wú)意義的條件

1.如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開(kāi)

方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.

7.分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去.

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式.

例如?①1==遍.②1=遍7b=氏一五

VaVa*VaaVa+x/b（Va+x/b）（Va-Vb）a-b

（2）兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為

有理化因式.

一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè).

例如：加-的有理化因式可以是加+如，也可以是。(揚(yáng)“)，這里的4可以是任意

有理數(shù).

8.二次根式的混合運(yùn)算

(1)二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.學(xué)習(xí)二次

根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多

項(xiàng)式

(2)二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式.

(3)在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)

的解題途徑，往往能事半功倍.

9.一元一次方程的解

定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等.

10.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知

數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.這xi,也是一元二次方程0?+公+。

=0(“W0)的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量.

ax\2+bx\+c—0(a#0),ax22+bx2+c—0(a#0).

11.解一元二次方程-公式法

(1)把*=.b±Jb-4衿(廬-4℃)0)叫做一元二次方程/+版+C=0(a#0)的求根

2a

公式.

(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

(3)用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定mb,。的值(注意符號(hào))；

②求出/-4ac的值(若序-4acV0,方程無(wú)實(shí)數(shù)根);

③在廿-4ac》0的前提下，把〃、仄c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①。六0;②廿-4改》0.

12.解一元二