2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第5章函數(shù)概念與性質(zhì)5.4函數(shù)的奇偶性學(xué)案蘇教版必修第一冊

5.4函數(shù)的奇偶性學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．了解函數(shù)奇偶性的定義及奇偶函數(shù)的圖象特征．2．會推斷函數(shù)的奇偶性．(重點)3．駕馭函數(shù)奇偶性的運用．(難點)1．借助奇(偶)函數(shù)的特征，培育直觀想象素養(yǎng)．2．借助函數(shù)奇、偶性的推斷方法，培育邏輯推理素養(yǎng).日常生活中常見的對稱現(xiàn)象，如漂亮的蝴蝶、建筑……并讓學(xué)生自己列舉生活中對稱的實例，你能發(fā)覺生活中類似的數(shù)學(xué)對稱美嗎？學(xué)問點1奇函數(shù)與偶函數(shù)的概念(1)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，假如對于隨意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)．(2)奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，假如對于隨意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)．假如函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性．具有奇偶性的函數(shù)，其定義域有何特點？[提示]定義域關(guān)于原點對稱．1.思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)f(x)＝x的圖象關(guān)于(0,0)對稱．()(2)偶函數(shù)的圖象肯定與y軸相交．()(3)若對函數(shù)f(x)有f(－1)＝f(1)，則f(x)為偶函數(shù)．()(4)奇函數(shù)的圖象肯定過(0,0)．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×學(xué)問點2奇、偶函數(shù)的圖象性質(zhì)(1)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)肯定是偶函數(shù)．(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)肯定是奇函數(shù)．2.下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是()ABCDB[B選項的圖象關(guān)于y軸對稱，是偶函數(shù)，其余選項都不具有奇偶性．]類型1函數(shù)奇偶性的推斷【例1】(1)若函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)為________函數(shù)．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)(2)推斷下列函數(shù)的奇偶性．①f(x)＝eq\f(2,|x|)；②f(x)＝eq\r(x＋1)＋ln(1－x)；③f(x)＝eq\r(4－x2)＋eq\r(x2－4)；④f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2).[思路點撥](1)視察圖象的對稱性．(2)利用奇偶性的定義，先確定定義域，再看f(x)與f(－x)的關(guān)系．(1)偶[因為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)是偶函數(shù)．](2)[解]①因為函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱．又f(－x)＝eq\f(2,|－x|)＝eq\f(2,|x|)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．②定義域要求eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,1－x＞0，))所以－1≤x＜1，所以f(x)的定義域不關(guān)于原點對稱，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)．③由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,x2－4≥0，))得x∈{2，－2}，定義域關(guān)于原點對稱，且f(±2)＝0，所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．④由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,|x＋2|－2≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x≠0且x≠－4，))所以函數(shù)的定義域為[－1,0)∪(0,1]．此時f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2)＝eq\f(\r(1－x2),x)，x∈[－1,0)∪(0,1]，所以f(－x)＝eq\f(\r(1－－x2),－x)＝－eq\f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．推斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法(2)圖象法若函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)．此法多用于選擇題中．[跟進訓(xùn)練]1．推斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；(3)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1)；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,0，x＝0，,x＋1，x>0.))[解](1)函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,x2－1≥0))得x2＝1，即x＝±1.因此函數(shù)的定義域為{－1,1}，關(guān)于原點對稱．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(4)函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱．f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1，－x<0，,0，－x＝0，,－x＋1，－x>0，))即f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x>0，,0，x＝0，,－x－1，x<0.))于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)為奇函數(shù)．類型2奇偶函數(shù)的圖象問題【例2】已知奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示．(1)畫出在區(qū)間[－5,0]上的圖象；(2)寫出訪f(x)<0的x的取值集合．[解](1)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以y＝f(x)在[－5,5]上的圖象關(guān)于原點對稱．由y＝f(x)在[0,5]上的圖象，可知它在[－5,0]上的圖象，如圖所示．(2)由圖象知，使函數(shù)值y<0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,5)．(變條件)將本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，再求解上述問題．[解](1)如圖所示．(2)由(1)可知，使函數(shù)值y<0的x的取值集合為(－5，－2)∪(2,5)．巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題(1)依據(jù)：奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)?圖象關(guān)于y軸對稱．(2)求解：依據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決諸如求函數(shù)值或畫稀奇偶函數(shù)圖象的問題．[跟進訓(xùn)練]2．如圖是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x2＋1)在區(qū)間[0，＋∞)上的圖象，請在該坐標(biāo)系中補全函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的圖象，請說明你的作圖依據(jù)．[解]因為f(x)＝eq\f(1,x2＋1)，所以f(x)的定義域為R.又對隨意x∈R，都有f(－x)＝eq\f(1,－x2＋1)＝eq\f(1,x2＋1)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，其圖象如圖所示．類型3利用函數(shù)的奇偶性求解析式【例3】(1)函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；(2)設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式．[解](1)設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴當(dāng)x<0時，f(x)＝－x－1.又x＝0時，f(0)＝0，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1，x<0，,0，x＝0，,－x＋1，x>0.))(2)∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．由f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，∴f(x)－g(x)＝eq\f(1,－x－1)，②(①＋②)÷2，得f(x)＝eq\f(1,x2－1)；(①－②)÷2，得g(x)＝eq\f(x,x2－1).把本例(2)的條件“f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)”改為“f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)”，再求f(x)，g(x)的解析式．[解]∵f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，又f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，即f(x)－g(x)＝eq\f(1,x＋1).②聯(lián)立①②得f(x)＝eq\f(x,x2－1)，g(x)＝eq\f(1,x2－1).利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè)．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進行代入．(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．提示：若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有f(0)＝0，但若為偶函數(shù)，未必有f(0)＝0.[跟進訓(xùn)練]3．(1)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時，f(x)＝－x(1＋x)，求f(x)；(2)若函數(shù)f(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函數(shù)，求m的值．[解](1)∵f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.當(dāng)x∈(0，＋∞)時，－x∈(－∞，0)，∴f(－x)＝x(1－x)．∵f(x)為R上的奇函數(shù)，∴－f(x)＝x(1－x)，∴f(x)＝－x(1－x)．綜上可知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x1＋x，,0，,－x1－x，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,x＝0，,x>0.))(2)∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3，∴2(m－1)x＝0.∵x∈R，∴m－1＝0，得m＝1.類型4奇偶函數(shù)的單調(diào)性【例4】已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其定義域為(－1,1)，且在[0,1)上為增函數(shù)．若f(a－2)＋f(3－2a)<0，試求a1．若f(x)為奇函數(shù)，f(3－2a)與f(2[提示]f(3－2a)＝f[－(2a－3)]＝－f(2．f(a－2)＋f(3－2a[提示]由f(a－2)＋f(3－2a)<0得f(a－2)<－f(3－2a)＝f([解]∵f(a－2)＋f(3－2a∴f(a－2)<－f(3－2a∵f(x)為奇函數(shù)，∴－f(3－2a)＝f(2∴f(a－2)<f(2a∵f(x)在[0,1)上為增函數(shù)，∴f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<a－2<1，,－1<2a－3<1，,a－2<2a－3，))解得1<a<2.1．函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系(1)若f(x)是奇函數(shù)，且f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上也為單調(diào)函數(shù)，且具有相同的單調(diào)性．(2)若f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上也為單調(diào)函數(shù)，且具有相反的單調(diào)性．2．利用單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用單調(diào)性脫掉“f”求解．(2)在對稱區(qū)間上依據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性一樣，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，列出不等式或不等式組，求解即可，同時要留意函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響．[跟進訓(xùn)練]4．已知定義在[－2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù)，若f(1－m)<f(m)，求實數(shù)m的取值范圍．[解]因為f(x)在區(qū)間[－2,2]上為奇函數(shù)，且在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù)，所以f(x)在[－2,2]上為減函數(shù)．又f(1－m)<f(m)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,1－m>m，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m<\f(1,2).))解得－1≤m<eq\f(1,2).故實數(shù)m的取值范圍是－1≤m<eq\f(1,2).1．(多選題)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A．y＝x B．y＝2x2－3C．y＝eq\r(x) D．y＝x3AD[A、D中函數(shù)是奇函數(shù)，B中函數(shù)是偶函數(shù)，C中函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．]2．已知偶函數(shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，則()A．f(1)>f(2) B．f(1)<f(2)C．f(1)＝f(2) D．以上都有可能A[∵f(x)是偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞增，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(1)>f(2)，故選A.]3．定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，若f(a)<f(b)，則肯定可得()A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)>bC．|a|<|b| D．0≤a<b或a>b≥0C[∵f(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，∴由f(a)<f(b)可得|a|<|b|.]4．設(shè)f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f