《理論力學(xué)》教學(xué)教案

知識(shí)目標(biāo)：力的概念，力系的概念，二力平衡條件，力的平行四邊形法則，加減平衡力原理，作用和反

作用定律，約束的基本概念，工程中常見的約束類型及約束力方向

教學(xué)

能力目標(biāo)：能夠?qū)ξ矬w的受力進(jìn)行受力分析

目標(biāo)

素質(zhì)目標(biāo)：溝通、協(xié)作能力；觀察、信息收集能力；分析總結(jié)能力。良好的職業(yè)道德和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)

教學(xué)

靜立學(xué)公理

重點(diǎn)

教學(xué)

物體受力分析

難點(diǎn)

理實(shí)一體

教學(xué)

實(shí)物講解

手段

小組討論、協(xié)作

教學(xué)

7

學(xué)時(shí)

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計(jì)注釋

第1章靜力學(xué)基礎(chǔ)

K理論學(xué)習(xí)》

1.1力和力系的基本概念

1.1.1力的概念

力對(duì)物體的作用效果取決于力的三要素：力的大小、力的方向和力的作用點(diǎn)。其中任何

一個(gè)要素發(fā)生變化，力的作用效果也隨之發(fā)生變化。

力是矢量，具有大小和方向，作用在物體上的力用矢量來表示。

在國際單位制中，力的單位是牛(N)或千牛(kN)。

學(xué)生討論什么是

1.1.2力系的概念

力，教師總結(jié)。

當(dāng)力的作用線分布在同一平面時(shí)，該力系稱為平面力系；力的作用線為空間分布時(shí)，該

力系稱為空間力系；力的作用線匯交于同一點(diǎn)時(shí)，該力系稱為平面匯交力系或空間匯交力系；

力的作用線相互平行時(shí)，該力系稱為平面平行力系或空間平行力系；力的作用線既不平行又

不相交，該力系稱為平面任意力系或空間任意力系。若作用于物體上的力系不改變物體的運(yùn)

動(dòng)狀態(tài)，該力系稱為平衡力系。

1?2靜力學(xué)公理

公理一二力平衡條件

剛體受兩個(gè)力作用而處于平衡狀態(tài)的充分必要條件是：這兩個(gè)力大小相等，方向相反，

且作用在同一條直線上。

公理二力的平行四邊形法則

作用在物體同一點(diǎn)上的兩個(gè)力，可以合成為一個(gè)合力。合力的作用點(diǎn)也在該點(diǎn)，合力的

大小和方向，由以這兩個(gè)力為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線確定，這就是力的平行四邊形法則。

舉例說明公理一、

簡便起見，亦可作力三角形，力三角形的兩個(gè)邊分別為Fl和F2,第三邊FR即為合力矢

公理二，加深學(xué)生

量，這種求合力的方法稱為力的三角形法則。

理解。

公理三加減平衡力系原理

注意：此公理僅適用于剛體而不適用于變形體。

推論1力的可傳性

作用于剛體上某點(diǎn)的力，可沿著它的作用線滑移到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)上，并不改變該力對(duì)

剛體的作用。

推論2三力平衡匯交定理

剛體在三個(gè)力作用下處于平衡，若其中兩個(gè)力的作用線匯交于一點(diǎn)，則此三力必在同一

平面內(nèi)，且第三個(gè)力的作用線通過匯交點(diǎn)或共面平行。

公理四作用和反作用定律演示作用和反作

作用力和反作用力總是同時(shí)存在的，此二力大小相等，方向相反，沿著同一直線，分別用定律。

作用在兩個(gè)相互作用的物體上。若用F表示作用力，用口表示反作用力，則F=-F'。

公理五剛化原理

變形體在某一力系作用下處于平衡，如將此變形體剛化為剛體，其平衡狀態(tài)保持不變。

剛化原理提供了把變形體抽象為剛體模型的條件。繩索在兩個(gè)等值、反向、共線的拉力作用

下處于平衡，如將繩索剛化為剛體，則平衡狀態(tài)保持不變；而繩索在兩個(gè)等值、反向、共線

的壓力作用下不能平衡，這時(shí)繩索就不能剛化為剛體。由此可見，剛體的平衡條件是變形體

平衡的必要非充分條件。在剛體靜力學(xué)的基礎(chǔ)上考慮變形體的特征，可進(jìn)一步研究變形體的

平衡問題。

1?3常見約束及約束力

1.3.1約束的基本概念舉例說明自由體

對(duì)非自由體的某些位移起限制作用的周圍物體稱為約束。和非自由體。

約束對(duì)物體的作用實(shí)際上就是力，這種力稱為約束力。

約束力方向（作用線位置）確定準(zhǔn)則：約束力的方向必與該約束所能阻礙的位移方向相

1.3.2工程中常見的約束類型及約束力方向

1.柔索約束

柔索約束由軟繩、鏈條或膠帶等構(gòu)成。

柔索的約束反力通過接觸點(diǎn)，沿著柔索而背離物體。

2.光滑接觸面約束

當(dāng)物體與約束間的接觸面視為理想的、摩擦可忽略不計(jì)時(shí)，此時(shí)的約束可簡化為光滑接

觸面約束。此時(shí)，不論接觸面是平面或是曲面，都不能限制物體沿約束表面切線方向的位移,

只能限制物體沿著接觸面法線方向約束內(nèi)部的位移。

3.光滑較鏈約束

1）向心軸承（徑向軸承）

圖1-8

2）圓柱較鏈和固定較鏈支座

圓柱較鏈簡稱較鏈，它是用一圓柱形銷釘將兩個(gè)或多個(gè)構(gòu)件較接在一起的。即在構(gòu)件的

連接處各加工一直徑相同的圓孔，用銷釘穿起來。

工程中常將支座用螺栓與基礎(chǔ)固連，如將物體用光滑圓柱銷釘與該支座連接，就構(gòu)成了

固定較鏈支座，簡稱固定較支。

4.二力構(gòu)件

不考慮自重，僅在兩個(gè)較點(diǎn)處受力而處于平衡狀態(tài)的構(gòu)件稱為二力構(gòu)件。

5.其他約束

1）滾動(dòng)較支座

滾動(dòng)較支座是在固定較鏈支座與光滑支承面之間裝幾個(gè)根軸而構(gòu)成的，稱為滾動(dòng)（可動(dòng)）

較支座或輯軸支座。

2)止推軸承

止推軸承與向心軸承的差異在于，它除能限制軸的徑向位移外，還能限制軸沿軸向一側(cè)

的位移。

3)球較鏈

通過圓球和球殼將兩個(gè)構(gòu)件連接在一起的約束稱為球較鏈。它使構(gòu)件的球心不能有任何

移動(dòng)，但構(gòu)件可繞球心轉(zhuǎn)動(dòng)。

1.4物體的受力分析和受力圖

在工程實(shí)際中，為求解未知約束力，需根據(jù)已知力，應(yīng)用平衡條件求解。因此，首先要

分析問題的性質(zhì)及待求量，充分利用已知條件確定研究對(duì)象。研究對(duì)象可以是單個(gè)物體、系

統(tǒng)中的單個(gè)構(gòu)件、部分系統(tǒng)或整體；然后對(duì)其進(jìn)行受力分析，確定構(gòu)件受幾個(gè)力，每個(gè)力的

作用位置和方向。這種分析過程稱為物體的受力分析。以例1-1,1-2,1-3,

物體受力分析的步驟1-4為例，講解物

(1)畫隔離體(研究對(duì)象)：將研究對(duì)象單獨(dú)分離出來，畫出其簡圖。體的受力分析及

(2)畫主動(dòng)力：主動(dòng)力作用的形式和位置不能改變。受力圖的畫法。

(3)畫約束力：主要依照約束性質(zhì)確定約束力，合理利用二力構(gòu)件、三力平衡匯交定理

及作用和反作用定律。

知識(shí)目標(biāo)：平面匯交力系合成的幾何法，平面匯交力系平衡的幾何條件，力在平面正交直角坐標(biāo)軸上的

投影，合力投影定理，平面匯交力系合成的解析法，合力矩定理，平面內(nèi)力偶的等效定理，平面力偶系

教學(xué)

的合成與平衡條件

目標(biāo)

能力目標(biāo)：

素質(zhì)目標(biāo)：溝通、協(xié)作能力；觀察、信息收集能力；分析總結(jié)能力。良好的職業(yè)道德和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)

教學(xué)

平面匯交力系合成與平衡的解析法

重點(diǎn)

逐

平面力偶系的合成與平衡條件

難點(diǎn)

理實(shí)一體

教學(xué)

實(shí)物講解

手段

小組討論、協(xié)作

教學(xué)

4

學(xué)時(shí)

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計(jì)注釋

第2章平面匯交力系和平面力偶系

【理論學(xué)習(xí)》

2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法

平面匯交力系是指各力的作用線在同一平面內(nèi)，且匯交于一點(diǎn)的力系。

2.1.1平面匯交力系合成的幾何法

設(shè)剛體受到平面匯交力系F1、F2、F3、F4作用，各力作用線匯交于點(diǎn)A,如圖2T(a)

所示。根據(jù)剛體力的可傳性，先將各力的作用點(diǎn)沿其作用線移至匯交點(diǎn)A,然后任取一點(diǎn)a,

應(yīng)用力的多邊形法則求得該力系的合力矢量，如圖27(b)所示。比較圖27(b)和圖2-1(c)

可知，若改變各力的合成次序，力多邊形的形狀將發(fā)生改變，但封閉邊合力矢FR則完全相同,

即矢序規(guī)則。

(a)(b)(c)

圖27

2.1.2平面匯交力系平衡的幾何條件

根據(jù)力的多邊形法則，合力為零意味著力多邊形封閉邊長度為零，故得：平面匯交力系

平衡的幾何必要和充分條件為力的多邊形自行封閉。

按照幾何法求解

求解平面匯交力系的合成與平衡問題時(shí)可用圖解法，即按比例先畫出力多邊形，然后量

平衡問題的主要

得所要求的未知量；或根據(jù)圖形的幾何關(guān)系，用三角公式計(jì)算所要求的未知量，這種解題方

步驟解例27。

法稱為幾何法。

幾何法求解平衡問題的主要步驟如下：

(1)選取研究對(duì)象。根據(jù)題意，選取適當(dāng)?shù)钠胶馕矬w作為研究對(duì)象。

(2)對(duì)隔離體進(jìn)行受力分析。解除研究對(duì)象的所有約束，單獨(dú)畫出隔離體，并在隔離體上

依次畫出所有主動(dòng)力和約束力。

(3)選擇適當(dāng)?shù)谋壤撸瑢⒀芯繉?duì)象上的各個(gè)力依次首尾相連，作出封閉的力多邊形。作

圖時(shí)應(yīng)從已知力開始，根據(jù)矢序規(guī)則和封閉特點(diǎn)可確定未知力的方位與指向。

(4)確定未知量。按選定的比例尺量取未知量，或利用三角公式求出未知量。

2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

2.2.1力在平面正交直角坐標(biāo)軸上的投影

力在某軸上的投影等于力的大小乘以力與該軸正向間夾角的余弦。

當(dāng)力與軸向間的夾角為銳角時(shí)，其值為正；當(dāng)夾角為鈍角時(shí)，其值為負(fù)。在實(shí)際運(yùn)算中，

通?？扇×εc坐標(biāo)軸間的銳角來計(jì)算投影的大小，并通過觀察來直接判定投影的正負(fù)號(hào)。

在直角坐標(biāo)系中，兩者之間的關(guān)系可表示為

F=F×+Fy=Fxi+Fyj(2-6)

其中，i、j分別為沿X軸和y軸正向的單位矢量。式(2-6)稱為力的解析表達(dá)式。

2.2.2合力投影定理

由圖2-4可得合力投影定理：合力在某一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代

數(shù)和，即

FRx=F1x+F2x+?,?+Fnx=ΣFiX

FRy=F1y+F2y+???+Fny=ΣFiy(2-7)

合力投影定理建立了合力投影與分力投影之間的關(guān)系。

教師講解平面匯

交力系合成與平

衡的解析法。

圖2-4

2.2.3平面匯交力系合成的解析法

2.2.4平面匯交力系平衡的解析條件——平衡方程

平面匯交力系有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可求解兩個(gè)未知量。解題時(shí)，未知力的指向可隨

意假設(shè)，若計(jì)算結(jié)果為正值，則表示假設(shè)力的指向與實(shí)際相同；若為負(fù)值，則表示假設(shè)力的

指向與實(shí)際相反。但投影坐標(biāo)軸的正向可任意選擇，以方便投影為宜。

解析法求解平衡問題的主要步驟如下：

(1)選取研究對(duì)象。

(2)分析研究對(duì)象的受力情況，畫其受力圖。

(3)選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，列出平衡方程式并求解。

2.3平面力矩

2.3.1力對(duì)點(diǎn)之矩

如圖2-8所示，用扳手轉(zhuǎn)動(dòng)螺母，在扳手上作用一力F,扳手和螺母將繞螺母中心0轉(zhuǎn)

動(dòng)。力F使扳手與螺母繞0轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)既與力F的大小有關(guān)，也與O點(diǎn)到力F的作用線的垂

直距離h有關(guān)。通常順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，螺母被擰緊；逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，螺母被松開。又如用手推

門，使得門板繞門軸轉(zhuǎn)動(dòng)也是這樣。

人們通過歸納總結(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)或有轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢的實(shí)例，形成一個(gè)抽象化的概念，即力對(duì)點(diǎn)之矩，

用來表示力使物體繞一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)。

如圖2-9所示，設(shè)平面上作用一力F,在該平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,點(diǎn)O稱為矩心，點(diǎn)O到力

F作用線或其延長線的垂直距離h稱為力臂。

實(shí)物演示，說明力

對(duì)點(diǎn)之矩。

2.3.2合力矩定理

合力矩定理：平面匯交力系的合力對(duì)力系所在平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于各分力對(duì)該點(diǎn)之矩

的代數(shù)和。

合力矩定理建立了合力對(duì)某點(diǎn)的矩與各個(gè)分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的關(guān)系。無論何種力系，只

要力系有合力，合力矩定理就適用。

2.4平面力偶系

2.4.1力偶

將這種由兩個(gè)大小相等、方向相反，且不共線的平行力系組成的力系，稱為力偶，用符

號(hào)(F,*)表示。力偶所在的平面稱為力偶作用面，力偶中二力作用線間的垂直距離d稱為力

偶臂。

2.4.2力偶矩

定義力偶(F,F')的矩來度量力偶對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，簡稱力偶矩。

力偶矩的大小等于力偶中力的大小和力偶臂的乘積；正負(fù)號(hào)表示力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向，

通常規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。

2.4.3力偶的性質(zhì)

1.力偶不能與一個(gè)力等效或者平衡教師講解力偶的

注意：構(gòu)成力偶的兩個(gè)力大小相等、方向相反，它們在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和均為性質(zhì)。

零，因其不共線，故力偶本身并不能使剛體平衡。

2.力偶與矩心位置無關(guān)

構(gòu)成力偶的兩個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩代數(shù)和恒等于力偶矩，故力偶與矩心位置無

2.4.4平面內(nèi)力偶的等效定理

定理：在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，只要力偶矩相等，則兩力偶彼此等效。

此定理給出了同一平面內(nèi)兩個(gè)力偶等效的條件。由此可得下列推論：

(1)力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。

(2)只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，可同時(shí)任意改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，

而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。

2.4.5平面力偶系的合成與平衡條件

1.平面力偶系的合成

設(shè)平面力偶系由兩個(gè)力偶(F1,*1)、(F2,*2)所組成，其力偶矩分別為MI=Fld1,

M2=-F2d2,如圖277(a)所示，試求它們的合成結(jié)果。

根據(jù)同平面內(nèi)力偶等效定理，在保持力偶矩不變的情況下，同時(shí)改變這兩個(gè)力偶中力的

大小和力偶臂的長短，使它們具有相同的臂長d,并將它們在其作用面內(nèi)移轉(zhuǎn)，使得力的作教師講解平面力

用線重合，如圖277(b)所示。偶系的合成與平

衡條件。

知識(shí)目標(biāo)：力的平移定理，平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化?主矢和主矩，平面任意力系的平衡條件?平

教學(xué)衡方程，物體系統(tǒng)的平衡，靜定與超靜定問題

目標(biāo)能力目標(biāo)：掌握靜立學(xué)的核心內(nèi)容

素質(zhì)目標(biāo)：溝通、協(xié)作能力；觀察、信息收集能力；分析總結(jié)能力。良好的職業(yè)道德和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)

教學(xué)

平面任意力系簡化結(jié)果的分析

重點(diǎn)

教學(xué)

平面任意力系的簡化與平衡

難點(diǎn)

理實(shí)一體

教學(xué)

實(shí)物講解

手段

小組討論、協(xié)作

教學(xué)

8

學(xué)時(shí)

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計(jì)注釋

第3章平面任意力系

K理論學(xué)習(xí)】

3.1平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化

3.1.1力的平移定理

定理：作用在剛體上點(diǎn)A的力F可以平行移到剛體上任一點(diǎn)B,但必須同時(shí)附加一個(gè)力

偶，這個(gè)附加力偶的矩等于原來的力F對(duì)新作用點(diǎn)B的矩。

逆定理：作用在剛體上同平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶，可與一個(gè)力等效，此力為原來力

系的合力。

教師證明力的平

移定理。

(b)(C)

圖3-1

3.1.2平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化?主矢和主矩

設(shè)剛體受平面任意力系作用，此力系由F1,F2,…,Fn共n個(gè)力組成，如圖3T(a)所示。

在力系作用平面內(nèi)任選一點(diǎn)0,將力系向0點(diǎn)簡化,并稱點(diǎn)O為簡化中心。按力的平移定理,

將力系中各力矢量向0點(diǎn)平移,如圖3-3(b)所示。

平面任意力系等效為兩個(gè)簡單力系：平面匯交力系和平面力偶系。

力*R稱為原平面任意力系的主矢，即力矢*R等于原力系各力的矢量和。舉例說明什么是

主矩MO等于原力系中各力對(duì)簡化中心0之矩代數(shù)和。固定約束。

平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化，得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，如圖3-3(C)所示。這個(gè)

力稱為該力系的主矢，作用線過簡化中心，主矢與簡化中心的位置無關(guān)；這個(gè)力偶的矩稱為

該力系對(duì)簡化中心的主矩，主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。

車刀和工件分別夾持在刀架與卡盤上固定不動(dòng)，這種約束為固定端或插入端約束。

(a)(b)(c)

圖3-4

3.1.3平面任意力系簡化結(jié)果的分析

1.平面任意力系簡化為一個(gè)合力偶

當(dāng)*R=0,M。*0時(shí)，說明原平面任意力系與一個(gè)平面力偶系等效，其簡化結(jié)果為一個(gè)合

力偶，該合力偶的矩等于主矩，M=M0=ZM0(Fi)o

2.平面任意力系簡化為一個(gè)合力教師論證二矩式

平面任意力系向一點(diǎn)簡化，不論主矩是否等于零，只要主矢不等于零，此力系最終可以平衡方程也能滿

簡化為一個(gè)合力。足力系平衡的必

3.平面任意力系平衡要和充分條件。

,

FR-0,Mo-O1則原力系平衡。

3.2平面任意力系的平衡

3.2.1平面任意力系的平衡條件?平衡方程

平面任意力系平衡的充分必要條件：力系的主矢和對(duì)任意點(diǎn)的主矩均等于零。即

■R=0,Mo=O(3-4)顯然，主矢等于零，表明作用于簡化中心0的匯交力系為平衡力系；主

矩等于零，表明附加力偶矩也是平衡力系，所以原力系必為平衡力系。因此，式(3-4)為平面

任意力系平衡的充分條件。

3.2.2平面任意力系平衡方程的其他形式

1.二矩式平衡方程

ΣF×=0,ZMA(F)=0,ZMB(F)=O(3-6)學(xué)生自行證明三

適用條件：X軸不能與A、B兩點(diǎn)連線垂直。矩式平衡方。

2.三矩式平衡方程

ZMA(F)=O,EMB(F)=O,ZMC(F)=O(3-7)

適用條件：A、B、C三點(diǎn)不能共線。

3.2.3平面平行力系的平衡方程

平面平行力系是力系中各力的作用線在同一平面內(nèi)，且相互平行的力系。

3.3物體系統(tǒng)的平衡、靜定與超靜定問題

3.3.1物體系統(tǒng)的平衡

物體系統(tǒng)是指若干個(gè)物體通過適當(dāng)?shù)募s束相互連接而組成的系統(tǒng)。

當(dāng)整個(gè)物體系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，組成該系統(tǒng)的每一個(gè)物體必然處于平衡。此時(shí)可選取

整個(gè)物體系統(tǒng)作為研究對(duì)象，也可將整個(gè)物體系統(tǒng)拆開，取系統(tǒng)的局部作為研究對(duì)象。

無論如何選取研究對(duì)象，在平面任意力系作用下，n個(gè)物體所組成的系統(tǒng)僅能列出3n個(gè)

獨(dú)立平衡方程，求解3n個(gè)未知量。若系統(tǒng)受平面匯交力系或平面平行力系作用，獨(dú)立的平衡

方程數(shù)目會(huì)相應(yīng)減少。按上述方法求解物體系統(tǒng)的平衡問題理論上并無困難，但在實(shí)際問題

中，并不需要求解全部未知量。

3.3.2靜定與超靜定問題

若未知量的數(shù)目小于或等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，則應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論就可以求出

全部的未知量，這種問題稱為靜定問題。若未知量的數(shù)目超過獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，單獨(dú)應(yīng)

用剛體靜力學(xué)的理論不能求出全部的未知量，這樣的問題稱為超靜定問題。未知量數(shù)目與獨(dú)

立平衡方程數(shù)目差值稱為超靜定次數(shù)。

判斷系統(tǒng)靜定與否的方法：將系統(tǒng)全部拆成單個(gè)物體，計(jì)算未知量的總數(shù)目與獨(dú)立平衡

方程的總數(shù)目，并加以比較。

知識(shí)目標(biāo)：直接投影法，間接投影法，空間力對(duì)點(diǎn)之矩矢，空間力對(duì)軸之矩，空間力對(duì)軸之矩的合力矩

教學(xué)定理，空間匯交力系的平衡方程，空間任意力系的平衡方程，空間平行力系的平衡方程。

目標(biāo)能力目標(biāo)：理解物體在空間力系作用下的平衡問題

素質(zhì)目標(biāo)：溝通、協(xié)作能力；觀察、信息收集能力；分析總結(jié)能力。良好的職業(yè)道德和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)

教學(xué)

空間力系的平衡方程

重點(diǎn)

教學(xué)

空間力對(duì)軸之矩的合力矩定理

難點(diǎn)

理實(shí)一體

教學(xué)

實(shí)物講解

手段

小組討論、協(xié)作

教學(xué)

3

學(xué)時(shí)

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計(jì)注釋

第4章空間力系

K理論學(xué)習(xí)》

4.1力在空間正交直角坐標(biāo)軸上的投影

4.1.1直接投影法

若力F與x、yZ軸正向夾角為a、0、Y,如圖47所示。則由力的投影定義，力F

在三個(gè)軸上的投影等于力F的大小與各軸正向夾角余弦的乘積，即

Fx=Fcos(F,i)=Fcosa

Fy=Fcos(F,j)=FcosB

Fz=Fcos(F,k)=FcosY(4-1)

教師講解直接投

4.1.2間接投影法

影法和間接投影

若力F與坐標(biāo)軸x、y間的夾角不易確定，可將力F先投影到坐標(biāo)平面OXy上，得到力F

法。

在坐標(biāo)平面OXy上的投影Fxy,然后再將FXy投影到x、y軸上，這種方法稱為二次投影法。

如圖4-2所示，已知力F與Z軸正向的夾角為y,投影FXy與X軸正向的夾角為中，則由二

次投影法，力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為

Fx=FsinγcosΦ

Fy=FsinγsinΦ

Fz=FcosY(4-2)

4.2空間力對(duì)點(diǎn)之矩矢和空間力對(duì)軸之矩

4.2.1空間力對(duì)點(diǎn)之矩矢

力對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效果取決于力與矩心構(gòu)成平面的方位、力矩在該平面內(nèi)的轉(zhuǎn)向及力矩大

小三個(gè)要素。如圖4-5所示，三要素可用這樣一個(gè)矢量表示：矢量的模表示力對(duì)點(diǎn)之矩的大

??；矢量的方位與該力和矩心構(gòu)成平面的法線方位相同；矢量的指向按右手螺旋法則確定，

該矢量稱為力對(duì)點(diǎn)之矩矢，簡,i稱力矩矢，記作Mo(F)。

圖4-5

MO(F)=rXF(4-4)

即力對(duì)點(diǎn)之矩矢等于矩心到力作用點(diǎn)的矢徑與該力的矢量積，式(4-4)稱為力矩矢的矢積表達(dá)

式。

4.2.2空間力對(duì)軸之矩

力對(duì)軸之矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，是一個(gè)代數(shù)量，其大小等于該力在垂直

于該軸平面上的投影對(duì)該軸與此平面交點(diǎn)的矩；其正負(fù)號(hào)由右手螺旋法則確定，即將右手四

指順著力矩的轉(zhuǎn)向去握轉(zhuǎn)軸，大拇指指向與Z軸正向一致為正，反之為負(fù)。

力對(duì)軸之矩也可用解析表達(dá)式表示。如圖4-7所示，力F在三個(gè)軸上的投影為Fx、Fy、

Fz1力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y,z)o

依據(jù)合力矩定理，得用右手定則判斷

Mz(F)=M0(Fxy)=M0(Fx)+Mo(Fy)=xFy-yFx力對(duì)軸之矩的正

同理可得其余二式，將此三式合寫為負(fù)。

Mx(F)=yFz-zFy

My(F)=zF×-×Fz

MZ(F)=×Fy-yFx(4-8)

圖4-7

4.2.3空間力對(duì)軸之矩的合力矩定理

空間力系的合力對(duì)某一軸之矩等于力系中各力對(duì)同一軸之矩的代數(shù)和，即

Mz(FR)=ZMz(Fi)(4-9)

合力矩定理計(jì)算力對(duì)軸之矩比較方便，具體方法是：先將力正交分解，然后計(jì)算各個(gè)分解例4-3,4-3,掌

力對(duì)該軸的矩，最后求這些力矩的代數(shù)和，即得力對(duì)該軸之矩。握力對(duì)軸之矩。

4.2.4空間力對(duì)點(diǎn)之矩矢與空間力對(duì)通過該點(diǎn)的軸之矩關(guān)系

空間力對(duì)點(diǎn)之矩矢在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于空間力對(duì)該軸之矩。

4.3空間力系的平衡方程

4.3.1空間匯交力系的平衡方程

ΣFi×=0

ZFiy=O

EFiZ=O(4-13)

空間匯交力系平衡的必要且充分解析條件為：力系中所有力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)

和同時(shí)等于零。式(4-13)稱為空間匯交力系的平衡方程。

4.3.2空間任意力系的平衡方程

當(dāng)一個(gè)空間任意力系平衡時(shí)，必須滿足下面的六個(gè)平衡方程，即

ZFiX=O

ΣFiy=0

ZFiZ=O

ΣMx(F)=0

ΣMy(F)=0

ΣMz(F)=0(4-14)

上式表明，空間任意力系平衡的必要且充分解析條件為：力系中各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投

影的代數(shù)和以及各力對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和均同時(shí)等于零。

4.3.3空間平行力系的平衡方程

空間平行力系的平衡方程為

ZFiZ=O

ΣMxF=O

ZMyF=O(4-15)

上式表明，空間平行力系平衡的必要且充分解析條件為：力系中各力在與力作用線平行的坐

標(biāo)軸上投影的代數(shù)和以及各力對(duì)與力線垂直的兩個(gè)軸之矩的代數(shù)和同時(shí)等于零。

知識(shí)目標(biāo)：靜滑動(dòng)摩擦力，最大靜滑動(dòng)摩擦力，動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，摩擦角，自鎖現(xiàn)象，摩擦?xí)r物體的平衡

教學(xué)問題

目標(biāo)能力目標(biāo)：理解靜滑動(dòng)摩擦力和動(dòng)滑動(dòng)摩擦力

素質(zhì)目標(biāo)：溝通、協(xié)作能力；觀察、信息收集能力；分析總結(jié)能力。良好的職業(yè)道德和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)

教學(xué)

考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題的注意點(diǎn)

重點(diǎn)

教學(xué)

考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題的注意點(diǎn)

難點(diǎn)

理實(shí)一體

教學(xué)

實(shí)物講解

手段

小組討論、協(xié)作

教學(xué)

2

學(xué)時(shí)

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計(jì)注釋

第5章摩擦

【理論學(xué)習(xí)》

5.1滑動(dòng)摩擦

5.1.1靜滑動(dòng)摩擦力

重為P的物體放在有摩擦的粗糙面上時(shí)，在接觸面的切線方向施加水平拉力F,當(dāng)拉力F

由零逐漸增加但不很大時(shí)，物體僅有相對(duì)滑動(dòng)趨勢但仍保持靜止?？梢?，粗糙接觸面對(duì)物體

沿切線方向的位移也有限制作用，故沿切線方向也產(chǎn)生約束反力，記為Fs,如圖5-1(b)所示。

切線約束力是由于兩個(gè)物體在接觸面上發(fā)生摩擦而產(chǎn)生的，其作用是限制物體沿接觸面相對(duì)

滑動(dòng)，故稱為靜滑動(dòng)摩擦力。

圖5-1

靜滑動(dòng)摩擦力的方向與物體相對(duì)滑動(dòng)趨勢相反。所謂"相對(duì)滑動(dòng)趨勢"，是指假設(shè)不存在

區(qū)分靜滑動(dòng)摩擦

摩擦?xí)r，物體在主動(dòng)力作用下相對(duì)于接觸物體滑動(dòng)的方向。

力與動(dòng)滑動(dòng)摩擦

5.1.2最大靜滑動(dòng)摩擦力

力。

對(duì)于圖57(b)所示的物體，不改變法線方向主動(dòng)力P的大小，逐步增大水平切線方向主

動(dòng)力F的值。在物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，摩擦力FS=F也隨之增大。當(dāng)力F增大到某一值時(shí)，如

果再繼續(xù)增大，物體的平衡狀態(tài)就將被破壞而產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)。這種物體即將滑動(dòng)而尚未滑動(dòng)

的平衡狀態(tài)稱為臨界平衡狀態(tài)。這時(shí)，摩擦力達(dá)到最大值，即為最大靜滑動(dòng)摩擦力，簡稱最

大靜摩擦力，以FmaX表示。此后，如果主動(dòng)力F再繼續(xù)增大，而靜滑動(dòng)摩擦力不能再隨之增

大，物體將失去平衡而滑動(dòng)，這就是靜滑動(dòng)摩擦力的特點(diǎn)。

法國科學(xué)家?guī)靷悓?duì)干燥接觸面做了大量的實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，最大靜滑動(dòng)摩擦力的大小與

相接觸兩物體間的正壓力成正比，即

Fmax=fsFN(5-2)

比例系數(shù)fs稱為靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)，此規(guī)律稱為靜滑動(dòng)摩擦定律或庫侖摩擦定律。

5.1.3動(dòng)滑動(dòng)摩擦力

當(dāng)滑動(dòng)摩擦力達(dá)到最大值時(shí)，若主動(dòng)力F再繼續(xù)增大，接觸面之間將出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)。此

時(shí)，接觸物體之間仍作用有阻礙滑動(dòng)的阻力，這種阻力稱動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡稱動(dòng)摩擦力，用

Fd表示。實(shí)驗(yàn)表明，動(dòng)摩擦力的大小與接觸體間的正壓力(即法向反力)成正比，即

Fd=fR(5-3)

式中，f為動(dòng)摩擦因數(shù)，它與接觸物體的材料和表面情況有關(guān)，可通過工程手冊查出。

一般情況下，動(dòng)摩擦因數(shù)略小于靜摩擦因數(shù)。

在機(jī)械中，往往用降低接觸面的粗糙度或加入潤滑劑等方法來減小動(dòng)摩擦因數(shù)f,從而

減小摩擦和損耗。

5.2摩擦角和自鎖現(xiàn)象

5.2.1摩擦角

當(dāng)物體處于平衡的臨界狀態(tài)時(shí)，如圖5-2所示。靜摩擦力達(dá)到最大靜滑動(dòng)摩擦力時(shí)，偏教師講解摩擦角

角Φ達(dá)到最大值Φf,全約束力與接觸面型膽竺角最大值Φf稱為摩擦角。的概念。

J尸max

，〃/)〃〃〃網(wǎng)/)//〃人—

圖5-2

摩擦角的正切等于靜摩擦因數(shù)?？梢?，摩擦角與摩擦因數(shù)一樣，都與相互接觸的物體材

料的表面性質(zhì)有關(guān)。

當(dāng)物塊的滑動(dòng)趨勢方向改變時(shí)，全約束力作用線的方位也隨之改變；在臨界狀態(tài)下，全

約束力FRA的作用線將畫出一個(gè)以接觸點(diǎn)A為頂點(diǎn)的錐面，稱為摩擦錐。當(dāng)物塊與支承面間

沿任何方向的摩擦因數(shù)都相同時(shí)，摩擦錐將是一個(gè)頂角為20f的圓錐。

5.2.2自鎖現(xiàn)象

由于靜滑動(dòng)摩擦力不可能超過最大值，因此全約束力FRA的作用線也不可能超出摩擦角以說一說你遇到的

外，即全約束力必在摩擦角之內(nèi)。由此可知：自鎖現(xiàn)象。

(1)當(dāng)作用于物體的全部主動(dòng)力的合力FR的作用線位于摩擦角0f以內(nèi)時(shí)，無論主動(dòng)力的

合力多大，約束力都可與之平衡，物塊必保持靜止，此現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。

(2)當(dāng)全部主動(dòng)力的合力Fif作用線落在摩擦角0f以外時(shí)，無論主動(dòng)力合力多小，物塊一

定不能保持平衡而滑動(dòng)。

5.3考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題

考慮摩擦的平衡問題，求解時(shí)需要注意以下幾個(gè)方面：

(1)受力分析時(shí)，不光滑接觸面上除考慮法向反力外，還增加了切線反力即摩擦力Fs。

因此，不僅需要寫出平衡方程，還要對(duì)未知摩擦力寫出補(bǔ)充方程：FSWfSF"。此時(shí)，不計(jì)摩

擦?xí)r的靜定問題，在考慮摩擦?xí)r也同樣是靜定的。

為避免求解不等式方程，對(duì)考慮摩擦的平衡問題，只研究臨界平衡狀態(tài)。這時(shí)，受力圖

上的摩擦力為最大靜滑動(dòng)摩擦力FmaX,補(bǔ)充方程為

FmaX=fsFt∣

(2)平衡時(shí)靜滑動(dòng)摩擦力在O~Fmax范圍內(nèi)取值，這就意味著考慮摩擦的平衡問題，其解

是有范圍的，而不是確定的值。工程實(shí)際問題中，往往在求出臨界平衡狀態(tài)下的解之后，再

分析平衡狀態(tài)下解的取值范圍。結(jié)合例5-2,5-3

*5.4滾動(dòng)摩阻講解。

設(shè)車輪重P,半徑為r,在輪心作用一個(gè)水平力F。當(dāng)力F的值很小時(shí)，車輪靜止不動(dòng)。

由平衡方程可求得法向反力和靜滑動(dòng)摩擦力的大小分別為FN=P與Fs=Fo顯然，法向反力FN

與重力P構(gòu)成一對(duì)平衡力系，而靜滑動(dòng)摩擦力Fs與主動(dòng)力F組成一個(gè)力偶。在此力偶的作用

下，車輪本應(yīng)發(fā)生滾動(dòng)，而車輪實(shí)際并不滾動(dòng)而保持靜止。主要原因是車輪與地面實(shí)際上并

非剛體，它們在力的作用下都會(huì)產(chǎn)生變形，車輪在與地面接觸處受到分布力的作用，向接觸

點(diǎn)簡化，可得一個(gè)力FS和一個(gè)力偶，該力偶的矩為Mf。該力FR可分解為法向約束力FN和

切向摩擦力Fs,該力偶則為限制車輪滾動(dòng)的約束反力偶，如圖5-7(b)所示。該約束反力偶稱

為滾動(dòng)摩阻力偶，其力偶矩可由平衡方程Mf=Fr求出。

(a)(b)

圖5-7

隨著主動(dòng)力F的逐漸增大,滾動(dòng)摩阻力偶矩Mf的值也隨之增大。當(dāng)力F增大到某一值時(shí),

車輪處于將滾而未滾動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)，滾動(dòng)摩阻力偶矩Mf達(dá)到最大值，稱為最大滾動(dòng)摩阻

力偶矩，以MmaX表示。此時(shí)，若繼續(xù)增大主動(dòng)力F,車輪就會(huì)發(fā)生滾動(dòng)。滾動(dòng)摩阻力偶矩Mf

的范圍為OWMfWMmax。

實(shí)驗(yàn)表明，最大滾動(dòng)摩阻力偶矩的值與法向約束力成正比，即

MmaX=δFN(5-6)

式中，5是長度量綱的常數(shù)，mm,稱為滾動(dòng)摩阻系數(shù)。式(5-6)稱為滾動(dòng)摩阻定律。

知識(shí)目標(biāo)：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，點(diǎn)的速度及加速度，點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影，點(diǎn)的加速度在直角坐

教學(xué)標(biāo)軸上的投影，自然軸系，點(diǎn)的速度在自然軸上的投影，點(diǎn)的加速度在自然軸上的投影。

目標(biāo)能力目標(biāo)：能夠用三種不同的方法描述點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)規(guī)律

素質(zhì)目標(biāo)：溝通、協(xié)作能力；觀察、信息收集能力；分析總結(jié)能力。良好的職業(yè)道德和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)

教學(xué)

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

重點(diǎn)

教學(xué)

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度

難點(diǎn)

理實(shí)一體

教學(xué)

實(shí)物講解

手段

小組討論、協(xié)作

教學(xué)

3

學(xué)時(shí)

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計(jì)注釋

第6章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

K理論學(xué)習(xí)】

6.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度

6.1.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)所經(jīng)過的路線稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。如果點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，則點(diǎn)為直

線運(yùn)動(dòng)；如果點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線，則點(diǎn)為曲線運(yùn)動(dòng)。

若點(diǎn)M做直線運(yùn)動(dòng)，如圖67所示?？扇〈酥本€為參考軸，直線上任一點(diǎn)。作為坐標(biāo)原

點(diǎn)，規(guī)定沿直線的某一方向?yàn)閄軸的正向。利用點(diǎn)的坐標(biāo)X來確定點(diǎn)在空間的位置。當(dāng)點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的位置，即坐標(biāo)X隨時(shí)間t發(fā)生變化，故可將坐標(biāo)X表示為時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù),

即x=f(t)(6-1)

若函數(shù)x=f(t)已知，則動(dòng)點(diǎn)在每一瞬時(shí)的位置便可唯一確定。式(67)稱為點(diǎn)M的直線

教師講解描述點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)方程。

曲線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的

當(dāng)點(diǎn)M做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，雖相對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)更為復(fù)雜，但同樣可用函數(shù)描述其幾何位置隨

常用方法。

時(shí)間運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。描述點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可有多種表達(dá)方式，下面介紹幾種常用的方法。

1?矢量法

動(dòng)點(diǎn)M在任一瞬時(shí)的位置均可由矢徑r唯一確定，這種用矢量確定點(diǎn)位置的方法稱為矢

量法。當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑r的大小和方向隨時(shí)間t發(fā)生變化，r是時(shí)間的單值連續(xù)矢量函

數(shù)，即

r=r(t)(6-2)

式(6-2)稱為以矢量表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

矢量法描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，只需要選擇一個(gè)參考點(diǎn)，無須建立參考系就可表示點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡未知的情況下，該方法形式簡單，主要用于概念的定義及公式理論推導(dǎo)和證

明。

2.直角坐標(biāo)法

學(xué)生分析幾種方

法的異同點(diǎn)。

圖6~3

x=f1(t),y=f2(t),Z=f3(t)(6-3)

方程(6-3)描述了點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，稱為以直角坐標(biāo)法表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方

程。點(diǎn)在空間的運(yùn)動(dòng)軌跡未知的情況下，采用直角坐標(biāo)法描述其運(yùn)動(dòng)狀況，該方法簡便易操

作，主要用于實(shí)際計(jì)算。

3.自然法

弧長S為代數(shù)量，稱為點(diǎn)M在軌跡上的弧坐標(biāo)。

當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，其弧坐標(biāo)S隨時(shí)間不斷變化，是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即

s=f(t)(6-5)

式(6-5)表示點(diǎn)沿已知軌跡的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，稱為以弧坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。若已知s=f(t),

則點(diǎn)在軌跡上的位置便可唯一確定。這種利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡建立弧坐標(biāo)，并利用弧坐標(biāo)來描

述和分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的方法稱為自然法。在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為已知的情況下，采用自然法描述點(diǎn)

的運(yùn)動(dòng)較為便利，該方法也主要用于實(shí)際計(jì)算。

6.1.2點(diǎn)的速度

「----------------V

O

圖6-5

點(diǎn)的速度矢等于點(diǎn)的矢徑對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，其方向?yàn)锳r或MM'取極限時(shí)的方向，理解點(diǎn)的速度及

亦即軌跡曲線的切線方向，并與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向一致，如圖6-5所示。點(diǎn)的加速度的含

6.1.3點(diǎn)的加速度義。

點(diǎn)的加速度矢等于該點(diǎn)的速度矢對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，亦是點(diǎn)的矢徑對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。

在空間任取一定點(diǎn)0,把動(dòng)點(diǎn)M在t1,t2,-,tn各瞬時(shí)的速度矢量v1,v2,-,vn都平行地移

動(dòng)到點(diǎn)0,如圖6-7所示。一

圖6-7

連接各速度矢量端點(diǎn)得到的曲線稱為動(dòng)點(diǎn)M的速度矢端曲線。由加速度的概念可知，加

速度矢的方向沿著點(diǎn)的速度矢端曲線的切線方向。

加速度矢量a的模a即為加速度的大小。在國際單位制中，加速度的單位是m/s2。

6.2點(diǎn)的速度和加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影

6.2.1點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影

動(dòng)點(diǎn)的速度矢在直角坐標(biāo)軸上的投影等于其各相應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

6.2.2點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影

動(dòng)點(diǎn)的加速度矢在直角坐標(biāo)軸上的投影等于其各相應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。

應(yīng)用直角坐標(biāo)法求解實(shí)際問題，通常有以下兩種類型：

(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)的部分條件，求動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度；或已知機(jī)械系

統(tǒng)中主動(dòng)構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求從動(dòng)部件上某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)的加速度及其運(yùn)動(dòng)的初始條件(當(dāng)t=0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的位置坐標(biāo)和速度)，求動(dòng)

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程。數(shù)學(xué)上是求已知函數(shù)的積分問題。

6.3點(diǎn)的速度和加速度在自然軸系上的投影

6.3.1自然軸系結(jié)合例題說明點(diǎn)

當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡已知時(shí)，采用自然法描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)較為方便。因此，為表示點(diǎn)的速度和運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)

加速度前需建立自然軸系。系。

設(shè)任意空間曲線AB,如圖672所示，在該曲線上任取兩點(diǎn)M與W,并分別作曲線在此

兩點(diǎn)的切線MT、M，「。若過M點(diǎn)作直線MQ平行于M，「，則直線MT與MQ確定一個(gè)平面。

當(dāng)Μ點(diǎn)逐步趨近于M點(diǎn)時(shí)，該平面將繞MT旋轉(zhuǎn)而不斷改變它在空間的方位。當(dāng)M，無限趨

近于M點(diǎn)時(shí)，此平面趨近于某一極限位置，這個(gè)極限平面P稱為曲線AB在M點(diǎn)處的密切面。

顯然，空間曲線上各點(diǎn)的密切面隨點(diǎn)的位置不同而變化。過M點(diǎn)垂直于切線MT的平面I

稱為曲線在M點(diǎn)的法平面，如圖6-13所示。法平面與密切面的交線MN稱為曲線在M點(diǎn)的主

法線。令主法線的單位矢量為n,n指向曲線內(nèi)凹的一側(cè)，即指向曲率中心。

過M點(diǎn)且垂直于密切面的法線MB稱為曲線在M點(diǎn)的副法線，其單位矢量為b。設(shè)曲線上

M點(diǎn)切線的單位矢量為T,其指向與弧坐標(biāo)正向一致。則矢量b的指向與T、n構(gòu)成右手系，

即b=TXn。MB既垂直于MN,又垂直于MT,即為密切面的法線。以點(diǎn)M為原點(diǎn)，以切線、主

法線和副法線為坐標(biāo)軸組成一個(gè)正交坐標(biāo)系，稱為曲線在點(diǎn)M的自然軸系，如圖613所

示，其三個(gè)坐標(biāo)軸稱為自然軸。必須特別指出的是，單位矢量τ,n,b的方位和指向隨點(diǎn)位置

的變動(dòng)而變化。因此，自然軸系是一個(gè)游動(dòng)坐標(biāo)系。

圖6-12圖6-13

6.3.2點(diǎn)的速度在自然軸上的投影

6.3.3點(diǎn)的加速度在自然軸上的投影

1.反映速度大小變化的加速度at

結(jié)論：切向加速度反映點(diǎn)的速度大小對(duì)時(shí)間的變化率，它的代數(shù)值等于速度的代數(shù)值對(duì)

時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，或弧坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，方向沿軌跡切線。教