《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》作業(yè)

成績(jī):

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

形成性考核冊(cè)

專(zhuān)業(yè)：建筑_______________

學(xué)號(hào)：_______________________

姓名：_________生萌______________

河北廣播電視大學(xué)開(kāi)放教育學(xué)院

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高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)1：

第1章函數(shù)

第2章極限與連續(xù)

(-)單項(xiàng)選擇題

1?下列各函數(shù)對(duì)中，(C)中的兩個(gè)函數(shù)相等.

A./(x)=(√x)2,g(χ)=χB./(x)=7P^,g(χ)=χ

/-1

C./(x)=InY,g(x)=3InXD∕3=X+1'g(x)=7≡Γ

2?設(shè)函數(shù)/(χ)的定義域?yàn)?-8,+8),則函數(shù)/(x)+/(-x)的圖形關(guān)于(C)對(duì)稱(chēng).

A.坐標(biāo)原點(diǎn)B.X軸

C.y軸D.y=x

3?下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B).

A.y=ln(l+χ2)B.y=xcosx

CQ+4…、

C.y=-----------D.y=ln(l+x)

4.下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是(C).

A.y=x+lB.y=—X

—1,XVO

C.y=∕2D.y=<

1,x≥0

5?下列極限存計(jì)算不正確的是(D)?

A.Iim-—=1B.Iimln(l+%)=0

18尤z+2.v→0

一「sinxC

C.Iim-------=0D.Iimxsin—=0

XfOoXχ->∞X

6.當(dāng)XfO時(shí)，變量(C)是無(wú)窮小量.

sinx

A..........B.

冗

C.xsin—D.ln(x+2)

7.若函數(shù)/(x)在點(diǎn)X。滿(mǎn)足(A),則/(x)在點(diǎn)Xo連續(xù)。

A.Iim/(x)=∕(x0)B./(X)在點(diǎn)幾的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義

c.Iim/(x)=/(X0)D.IimZ^(x)=Iim/(%)

XTXoX—>x[XTxo

(二)填空題

1?函數(shù)/(X)=--------+ln(l+%)的定義域是X>3.

x-3

2?己知函數(shù)/(x+1)=爐+X,則/(χ)=.

1

1

3.1im(l+-)v=e?

is2x

4.若函數(shù)/(x)=<(1+X尸，x<°,在X=O處連續(xù)，則Z=e

x+Z,x≥0

x+]x>0

5.函數(shù)y=4'的間斷點(diǎn)是X=0.

SinX,%≤0-------

6.若Iim/(x)=A,則當(dāng)X-與時(shí)?，/(x)-A稱(chēng)為無(wú)窮小量。

(三)計(jì)算題

L設(shè)函數(shù)

求：/(—2),/(0),/⑴.

解：/(-2)=-2

/(0)=0

/(I)=e'=e

2.求函數(shù)y=lg'—的定義域.

Jr-I

解：欲使函數(shù)有意義，必使IgH—>0,

1

即：-....>1亦即：2x-1>X

解得函數(shù)的定義域是：x>l

3.在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個(gè)端點(diǎn)在半圓上,

試將梯形的面積表示成其高的函數(shù).

解：設(shè)梯形的高CMF,則DVf=J&—

梯形的上底Z)C=2JFW,下底"4S=2R

則梯形的面積_______

(2JR'-■2+2R)x

S=--------------------------

2

=(JR?-X2+R)X(OeXcK)

sin3x

4j?求Iim---------

XTOsin2Λ

sin3x

Iim--------

3XTC3x三1一)

解：原式=-X=X—=

2sin2x212

Iim--------

XTO2x

X2-I

5?求Iim」_—

XTTSin(X+1)

lim(x-l)

X-I7

解：原式=Iim…_______=_=-2

XT-Isιn(x+1)sin(x+1)1

Iim------------

x+11→~1X+1

…tan3x

6.求Iim---------.

sin3x

cos3Ksin3X1sin3x1

解：Iim3AA=3Iim--------X---------=3Iim---------XIim---------3×lx-=3

XToXx→03xcos3xx→03xx→0cos3x1

+-1

7.求Iim........；........

XfosinX

丁丁Fγ

解：原式=Iim('1+-D("l+=lim?^XHm

.=Oxl=O

2Sinx

3(√l+χ÷l)sinx3Jl+.d+13

X

8.求Iim(

Λ→□0x+3

+3

x-1G-IYX+3-4)'<3-4Λ

解：原式=""2X+

<x+3?X+3,X+3>(x+3√

r_4\—4、(-4\

-HmIH--------?Um1+IiinIH--------

XTHIX+3/X+3/,=KTBIX+3,

r-4

=Um1+------

afR、X+3,

,.x~—6x+8

9.求Iim—......

χf4χ--5x+4

解：原式=Iim上加二D=Hm三二三=2

χ→4(X-4)(x-1)χ->4X_]3

10.設(shè)函數(shù)

(X-2)2,X>1

/(x)=<x,-1≤犬≤1

X+1,x<—1

討論/(x)的連續(xù)性。

解：先看函數(shù)在分段點(diǎn)X=-I處的情況，

?Iim/(χ)=Iim(χ+1)=-i+1=。

XT-I-X->-1-

IimF(X)=IimX=-I

x—>-Fx—>-l*

Iim"χ)≠I(mǎi)imf(?，故Iim“Q不存在C

???「-I為函數(shù)7(.X)的間斷點(diǎn)7

再看函數(shù)在分段點(diǎn)X=1處的情況，

IimF(X)=IimX=1

X—>1*XTI-

Iim/W=IiniQ-2)】=ι

XTl-x->l*

?'?IimF(X)=IimF(X)，故IimF(X)=1。

XTI-XTrXTl

又因?yàn)榱刷?x∣ι=l

所以IimF(X)=/■⑴

故X=I是函數(shù)F(X)的連續(xù)點(diǎn)。

函數(shù)/(x)在連續(xù)區(qū)間是：(-X5-1)U(-L+X)O

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)2：

第3章導(dǎo)數(shù)與微分

（一）單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)/（0）=O且極限Iim△^存在，則癡?1=（B）.

χf°Xχf°X

A./(O)B.∕,(0)

c.f,(χ)D.O

2.設(shè)/（x）在/可導(dǎo)，則Iim"/一2/?）_/（左）=（D）.

,

A.-2∕(x0)B-/'(X。)

C.2∕'(x°)D—)

3.設(shè)/(χ)=e「，則Iim/°+AX)-/⑴=

(A).

A*—。Ar

C八11

A.eB.2eC.—cD.—e

24

4.設(shè)/(x)=MX-I)(X-2)…(X-99),則/'(O)=(D).

A.99B.—99C.99!D.-99!

5.下列結(jié)論中正確的是（C）.

A.若/(x)在點(diǎn)與有極限，則在點(diǎn)與可導(dǎo).B.若/(x)在點(diǎn)人連續(xù)，則在點(diǎn)/可導(dǎo).

C.若/(x)在點(diǎn)與可導(dǎo)，則在點(diǎn)與有極限.D.若/(x)在點(diǎn)XO有極限，則在點(diǎn)與連續(xù).

(二)填空題

L設(shè)函數(shù)/(x)=」s*n7則U(O)=0?

0,X=O

2InX+5

2.設(shè)/(e*)=e2x+5e',則叟迎旦=X

dx

3.曲線(xiàn)/(X)=6+1在(1,2)處的切線(xiàn)斜率是12。

4.曲線(xiàn)/(X)=sinX在(],1)處的切線(xiàn)方程是左1。

2*,X(2InX+2)

5?設(shè)y=,則rπιlV=____2_________1

1

6?設(shè)y=xln],則J二X

(三)計(jì)算題

1?求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)V：

⑴y=(xVx+3)e'

⑵y=cotx+χ2jnχ

總R,cosx2.、，sinXsinX-cosxcosx

解：y,=z(------+xFnx)=(----------；---------+2χl1nχ+—)

sinXsin"xX

1、，

=-°+2xlnx+x

sin’x

x2

(3)y=----

?Inx

2xlnx-xx(2Inx-I)

解：V

In2xIntX

COSX+2*

⑷y=-

,(-sinx+2x1Π2)X3-(cosx+2*)?3x'

解:

x6

-XSinX+ln2?2xx-3cos.r-3?2x

4

X

Inx-x?

(5)y=--------

sinX

(I-2x)sinx-cosx(lnx-.τ^)

解:

sin2X

(1-2x')sinx-xcos(lnx-x2)

(6)y=x4-SinXInX

衣R，?3/sinx、

解：v=4爐-(CoSXX1Inx+)

X

31SinX

=4x-Cosxxlnx--------

X

SinX+J

⑺y=^-

(Cosx+2x)3X-3*ln3(sinx+E)

解：y,=

3八

cosx+2X-In3(sinx+x:)

3、

(8)y=evtanx÷lnx

1

解：i，'=(e'tanx+---—)+-

Cos'XX

ex(sin.τcosx÷1)1

2?求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y：

⑵y=Incosx

,-SinX

解：V=---------=-tanX

∞sX

(3)y=JXJX五

1117

解：因?yàn)閥=X2.χ4X8=XS

7-1

所以y,=-X8

?8

⑷y=sin2%

解：因?yàn)閥=2sin.t?cosx=sin2x

⑸y=sin廠

解：j，'=COSX2?2x=2xcosx

2

⑹y=cosev

解：y'=-sinexex

=-exSineX

(7)y=sin〃XCOS〃x

解：V=(SiIrx)'CoSnx+sin"x?(cos7?X)'

="si∏L'χ?cosx?cos"x+sin"x?(-sin〃工)?〃

=7?Sinklx(CoSXCOS〃x—sinxsinnx)

⑻y—5sinx

解：設(shè)y=5"ZZ=sinX

,fu5mx

y=yu?W^=51∏5?cosx=1∏5?5?cosx

⑼y—=eCOSX

解：設(shè)y=e""=cosx

,u

y=y'u?w^=e?(-sinχ)=-e""sinX

3.在下列方程中，LMb是由方程確定的函數(shù)，求于：

(l)ycosx=e2y

解：將方程兩邊對(duì)X求導(dǎo)：

y,cox-ysirκ=2e2y-y,

移項(xiàng)>,,(cosx-2e”)=ysinX

所以："與上

cosX-2cQ

(2)V=Cosylnx

解：將方程兩邊對(duì)X求導(dǎo)：

yf=(CoSJ)'Inx÷coy(ln)'

,,1coy

y=-sιny?ylnx+—^

X

移項(xiàng)y'(l+sinJxInX)=

X

所以：/=COSJ

.r(l+InXSinv)

2

(3)2xsiny=—

y

衣R.C2xv-xiv2XX

M：2sιmy+2xcosy?v=—-~；~—

y-----------VV

2x.

-----Isimy、

V2xv-2y^Simv

~=^T

C2xvxcosy+Xx

2xcosv+-

y

⑷>=x+Iny

解：因?yàn)椋簓z=1÷--

y

解得「=-

)'一1

(5)lnx+ev=y2

解：將方程兩邊時(shí)X求導(dǎo)：

,,

L+ey.v=2v?v

整理得：)，'=

χ(2D

(6)y2+1=e*siny

解：將方程兩邊對(duì)X求導(dǎo)：

2v?y'=e*sinv+e*cosv?v,

整理得：-=)S1"

2v—ccosv

⑺e?v=e*-y?

解：將方程兩邊對(duì)X求導(dǎo),

ey?v,=e1-3V2?v,

整理得：/=-史r

y2

e+3y

⑻y=5*+2>'

解：將方程兩邊對(duì)X求導(dǎo):

/=51ln5+25ln2?y

整理得：

,51ln5

J=l-2yln2

4.求下列函數(shù)的微分dy：(注：dy=y'dx)

(Dy=cotx+esex

111cos

解：因?yàn)閥,=--(事)'=一

sin+x7sin2Xsin

1+cosX

Sin-X

,1+cosX,

所以小=-...；—出

sin*X

n

小、IX

(2)y=-----

SinX

1?

sinx-COSX1Inx

解：因?yàn)?X

sin:X

sinx-XcosX?lnX

Xsin'X

上N.sinx-X∞sX-Inx,

所以dv=---------------?-----------OX

XsinxX

⑶y=sin2x

解：設(shè)y=爐，N=Sinx

則「=)'：?〃；

=2〃?8sX=2sinX?cosX

=sin2x

所以dy=sin2xdx

⑹y=tane*

解：設(shè)：N=tan〃，〃=/

則y,=yX

=——?ex

8S~〃

_ex

cos2ex

Px

所以dv=、dx

cos*e

5.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：

⑴y=五

⑵y=3*

解：j,=31ln3

>',,=(3xln3y=31ln3×ln3

⑶y=In%

解：y,=-

⑷y=XSinX

解：v,=sinx+xcosx

y"=(sin+xcos)'=CO$+CoS-XSiIX

=2cOS-KSilx

(四)證明題

設(shè)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證是偶函數(shù).

/(X)If(X)

設(shè)〃X)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證/'(X)是偶函數(shù).

證明：因?yàn)榱?X)是奇函數(shù)，所以

又因?yàn)镕(X)可導(dǎo)，函數(shù)f(-x)為復(fù)合函數(shù)。

對(duì)/(-x)=-/(X)兩端對(duì)X求導(dǎo)，得：

尸(Y)?(-xy=-尸(X)

即-廣(Y)=-尸(X)

所以：f'(-?x)=f'(x)

根據(jù)偶函數(shù)的定義，Ir(X)是偶函數(shù)。

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)3：

第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(一)單項(xiàng)選擇題

L若函數(shù)/(x)滿(mǎn)足條件(D),則存在ξe(a,b),使得/'e)="力-/〉

b-a

A.在(a,b)內(nèi)連續(xù)B.在(a,與內(nèi)可導(dǎo)

C.在(a,0)內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)D.在［a,6］內(nèi)連續(xù),在(α,b)內(nèi)可導(dǎo)

2.函數(shù)/(x)=/+4尤-1的單調(diào)增加區(qū)間是(D).

A.(—8,2)B.(-L1)

C.(2,+oo)D.(—2,+8)

3.函數(shù)/=/+4Χ-5在區(qū)間(-6,6)內(nèi)滿(mǎn)足(A).

A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B.單調(diào)下降

C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降D.單調(diào)上升

4.函數(shù)/(x)滿(mǎn)足/'(x)=0的點(diǎn),一定是/(x)的(C).

A.間斷點(diǎn)B.極值點(diǎn)

C.駐點(diǎn)D.拐點(diǎn)

5.設(shè)/")在(α,份內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，x。e(a,b)，若/O)滿(mǎn)足(C),則/(x)在XO取到

極小值?

A./'(x°)>O,/"(XO)=OB.尸(XO)<0,尸(XO)=O

C./'(x°)=0,/"(/)>0D./'(Xo)=O∕(∕)<O

6.設(shè)/8)在3,加內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且/'(%)<0,/"(Χ)<0,則/(*)在此區(qū)間內(nèi)是(A).

A.單調(diào)減少且是凸的B.單調(diào)減少且是凹的

C.單調(diào)增加且是凸的D.單調(diào)增加且是凹的

(二)填空題

1?設(shè)/(x)在3,勾內(nèi)可導(dǎo),XOG(α,6),且當(dāng)%<%時(shí).尸(X)<0,當(dāng)X>/時(shí)/'(x)>0,則/是

/(X)的極小值.點(diǎn)?

2.若函數(shù)F(X)在點(diǎn)/可導(dǎo),且X。是/(x)的極值點(diǎn)，則尸(XO)0

3.函數(shù)y=ln(l+x2)的單調(diào)減少區(qū)間是(一"').

4.函數(shù)/(X)=e/的單調(diào)增加區(qū)間是(°L")

5?若函數(shù)/(χ)在［α,b］內(nèi)恒有/'(X)<0,則/(x)在［α,M上的最大值是f(a).

6.函數(shù)/(X)=2+5X-3X3的拐點(diǎn)是(0.2)

(三)計(jì)算題

1.求函數(shù)y=(x+l)(尤一5)2的單調(diào)區(qū)間和極值.

解：y=-(x+1)3(x-5)-+2(X+1)3(X-5)=I(X+1)3(X-5)(3x-15+4x+4)

11

=-(x+1):(x+5χ7x-11)=0

2.求函數(shù)y=f-2x+3在區(qū)間［0,3］內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值.

#：y=∣(χ2_2x)^3(2x-2)=0得駐點(diǎn)χ=l

又當(dāng)x=0x=2時(shí)y無(wú)意義，但原函數(shù)連續(xù)

.?.￠0)=0f(l>1f(2)=0f(3>V9

X0(OJ)1(⑵7(2,3)3

Y無(wú)意義+0—無(wú)意義++

極大值極小值

V0//

f(l)=1f(2)=0

二最小值f(0)=f(2)=0最大值是R3)=4G極大值f(l)=l極小值f(2)=0

3.求曲線(xiàn)V=2x上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)A(2,0)的距離最短.

解：?.,=αx3+Ix2+cx+d的圖形過(guò)點(diǎn)(-2,44)和點(diǎn)(1,-10),且x=-2是駐點(diǎn),

X=I是拐點(diǎn).

—8x+4b-2c+d=44a=l

a+b+c+d=-10=>b=-3

12α-4b+c=0c=-24

{6α+2b=0、d=16

4.圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L(zhǎng),問(wèn)當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大?

解：設(shè)圓柱體的底面半徑為工,高為"，則力=/-Y

V=TTC2h=7iκ2J/2-X」

X=火∕,力=立∕時(shí)，圓柱體的體積最大。

33

5.一體積為V的圓柱體，問(wèn)底半徑與高各為多少時(shí)表面積最小？

解：設(shè)圓柱體的底面半徑為XJ高為力，V=亦%則"=-1

2

S=17[xh+27tx^=2/一r+2亦'=-+2^

KX

2V,4^X3-2VC

-S=......T+4亦=------；.......=0

當(dāng)h=時(shí)，圓柱體的表面積最小。

6.欲做一個(gè)底為正方形，容積為62.5立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最?。?/p>

解：設(shè)長(zhǎng)方體底面正方形的邊長(zhǎng)為X米，長(zhǎng)方體的高為h米，

則容積62.5=X2/?力=牢

士，、62.5、250

表面積：5=xx+4x∕?=.τx+4x—L=χ'+-----

X

3

C2502X-250λ業(yè)

s=2x-——=------；-----=0x=5(木)

???X=5/?=2.5時(shí)用料最省。

(四)證明題

1?當(dāng)x>0時(shí)，證明不等式x>ln(l+x).

證明利用函數(shù)的單調(diào)性證明

設(shè)/(x)=x-ln(l+x)/(x)=1-----=——>0.(x>0)

1+X1+X

???f(x)在［0+□C)內(nèi)單調(diào)增加，當(dāng)x>0時(shí)，有F(X)>〃0)

即/(χ)=X-1∏(1+x)>O

.?.I>ln(l+x)成立

2.當(dāng)X>0時(shí)，證明不等式e'>x+l.

證明利用函數(shù)的單調(diào)性證明

設(shè)/(x)=ex-X-1/(x)=ex-1>0,(χ>0)

???∕(.j在［θ+□c)內(nèi)單調(diào)增加，當(dāng)x>0時(shí)，有/(x)>f(θ)

即/(χ)=ex-X-I>0

?-?e*>x+l成立

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)4：

第5章不定積分

第6章定積分及其應(yīng)用

(-)單項(xiàng)選擇題

1?若/(x)的一個(gè)原函數(shù)是!，則/'(X)=(D).

A.1Π∣Λ∣B.-----—

-12

C.—D.-—

2.下列等式成立的是(D)?

A∫∕,(x)dx=∕(x)B.∫d∕(x)=/(x)C.

可/(x)dx=/(x)D.^∫∕(x)dx=∕(x)

3?若/(χ)=COSX,則Jr(X)dx=(B).

A.sinx+cB.CoSX+C

C.-SinX+cD.-CoSX+C

4,［χ2∕(χ3)dx=(

B).

dxJ

A.F(X3)B.X2f(xi)

C.∣∕(x)D-/(Y)

則J}√(Λ?X=(B).

A.F(V^)+cB.2/(五)+C-9cos0x)

7

C.∕(26)+cF(G)+c

6.下列無(wú)窮限積分收斂的是(D).

廣+CO1p+∞

A.—dxB.J。exdx

C.『/D.「―

(二)填空題

1?函數(shù)/(X)的不定積分是I|(*)"r=Ia)-C

2.若函數(shù)F(X)與G(X)是同一函數(shù)的原函數(shù)，則F(X)與G(X)之間有關(guān)系式G(X)=尸(X)+C。

3?dj√a=e亦。

4.∫(tanx),dx=tanx~c°

5.若∫/(x)dx=cos3x+c,則/'(X)=-9COS*。

6?(sinx+-)dx=3

J-32

7.若無(wú)窮積分JjedΛ收斂，則＞ι。

(三)計(jì)算題

11,1.1

cos-fcosd=-sin+c

ι.f^?=J