2024七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章有理數(shù)的運(yùn)算2.1有理數(shù)的加法與減法2.1.1有理數(shù)的加法課件新版新人教版

2.1有理數(shù)的加法與減法第二章有理數(shù)的運(yùn)算2.1.1有理數(shù)的加法逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2有理數(shù)的加法法則有理數(shù)加法的運(yùn)算律知識(shí)點(diǎn)有理數(shù)的加法法則知1－講11.有理數(shù)加法法則(1)同號(hào)兩數(shù)相加，和取相同的符號(hào)，且和的絕對(duì)值等于加數(shù)的絕對(duì)值的和.知1－講(2)絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，和取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，且和的絕對(duì)值等于加數(shù)的絕對(duì)值中較大者與較小者的差.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0.同號(hào)兩數(shù)相加：絕對(duì)不相等的異號(hào)兩數(shù)相加：知1－講(3)一個(gè)數(shù)與0相加，仍得這個(gè)數(shù).知1－講2.有理數(shù)加法運(yùn)算的各種情況如下表和用字母表示符號(hào)絕對(duì)值同號(hào)兩數(shù)相加取相同的符號(hào)取相同的符號(hào)若a﹥0，b﹥0，則a＋b=＋(|a|＋|b|)若a﹤0，b﹤0，則a＋b=－(|a|＋|b|)知1－講異號(hào)兩數(shù)相加絕對(duì)值不相等取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)相減(大減小)若a﹥0，b﹤0，且|a|﹥|b|，則a＋b=＋(|a|－|b|)若a﹤0，b﹥0，且|a|﹥|b|，則a＋b=－(|a|－|b|)互為相反數(shù)0若a﹥0，b﹤0，且|a|=|b|，則a＋b=0一個(gè)數(shù)與0相加仍得這個(gè)數(shù)a＋0=a知1－講3.有理數(shù)加法運(yùn)算的步驟知1－講特別提醒1.若a＋b=0，則a=－b.2.若a＋b=0，且a≥0，b

≥0，則a=b=0.例：若|m－1|＋|n＋2|=0，則有m－1=0，n＋2=0.3.兩個(gè)有理數(shù)相加，和是一個(gè)有理數(shù).4.任何數(shù)加上一個(gè)正數(shù)，和都比原數(shù)大.知1－講特別解讀1.若兩個(gè)數(shù)的和為正數(shù)，則這兩個(gè)加數(shù)有三種可能：(1)兩個(gè)都是正數(shù)；(2)一個(gè)是正數(shù)、一個(gè)是負(fù)數(shù)，且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值；(3)一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是0.2.若兩個(gè)數(shù)的和為負(fù)數(shù)，則這兩個(gè)加數(shù)有三種可能：(1)兩個(gè)都是負(fù)數(shù)；(2)一個(gè)是正數(shù)、一個(gè)知1－練例1

解題秘方：先確定兩個(gè)數(shù)相加的類型，然后根據(jù)法則計(jì)算.知1－練

知1－練

B知1－練下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.兩個(gè)有理數(shù)的和一定大于任何一個(gè)加數(shù)B.若兩個(gè)有理數(shù)的和為正數(shù)，則這兩個(gè)有理數(shù)中至少有一個(gè)是正數(shù)C.若兩個(gè)有理數(shù)的和為0，則這兩個(gè)有理數(shù)一定互為相反數(shù)D.兩個(gè)異號(hào)有理數(shù)相加，和可能是正數(shù)也可能是負(fù)數(shù)或0例2知1－練解題秘方：結(jié)合有理數(shù)的加法法則進(jìn)行辨析.解：A.錯(cuò)誤，例如，(－3)＋1=－2，(－3)＋(－1)=－4，(－3)＋0=－3.答案：A知1－練特別提醒：有理數(shù)加法的結(jié)果：可正，可負(fù)，可為零，可能比兩個(gè)加數(shù)都大，如3＋5=8；可能比兩個(gè)加數(shù)都小，如(－3)＋(－5)=－8；可能比一個(gè)加數(shù)大，比另一個(gè)加數(shù)小，如(－3)＋5=2.知1－練2-1.[期中·杭州拱墅區(qū)]已知x

＞0，y

＜0，且|x|＜|y|，則x＋y

的值是(

)A．零 B．正數(shù)C．負(fù)數(shù) D．非負(fù)數(shù)C知1－練2-2.[期中·北京西城區(qū)]已知兩個(gè)有理數(shù)的和比其中任何一個(gè)加數(shù)都小，則一定是(

)A．這兩個(gè)有理數(shù)同為正數(shù)B．這兩個(gè)有理數(shù)同為負(fù)數(shù)C．這兩個(gè)有理數(shù)異號(hào)D．這兩個(gè)有理數(shù)中有一個(gè)為零B知2－講知識(shí)點(diǎn)有理數(shù)加法的運(yùn)算律21.有理數(shù)加法的運(yùn)算律運(yùn)算律文字?jǐn)⑹鲇米帜副硎炯臃ń粨Q律兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變a＋b=b＋a加法結(jié)合律三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變(a＋b)＋c=a＋(b＋c)知2－講2.加法運(yùn)算律的運(yùn)用技巧(1)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)先相加——“相反數(shù)結(jié)合法”；(2)符號(hào)相同的數(shù)先相加——“同號(hào)結(jié)合法”；(3)整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)、分母相同(或分母成倍數(shù)關(guān)系易化成同分母)的數(shù)先相加——“同形結(jié)合法”；(4)幾個(gè)相加得整數(shù)的數(shù)先相加——“湊整法”；(5)帶分?jǐn)?shù)相加時(shí)，可先拆成整數(shù)與分?jǐn)?shù)的和，再分別相加——“拆項(xiàng)結(jié)合法”.知2－講特別提醒1.有理數(shù)的加法運(yùn)算律不但適用于兩個(gè)數(shù)或三個(gè)數(shù)相加，而且適用于三個(gè)以上有理數(shù)相加.2.利用有理數(shù)的加法交換律交換加數(shù)位置時(shí)，各加數(shù)要連同其性質(zhì)符號(hào)一起交換.3.根據(jù)需要靈活利用加法運(yùn)算律，可以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.知2－練

例3解題秘方：先找相反數(shù)，然后利用加法交換律和結(jié)合律將相反數(shù)結(jié)合計(jì)算.

知2－練

知2－練計(jì)算：(＋13)＋(－12)＋(＋37)＋(－78)例4解題秘方：先把正數(shù)、負(fù)數(shù)分別結(jié)合，再計(jì)算.知2－練解：(＋13)＋(－12)＋(＋37)＋(－78)=(＋13)＋(＋37)＋(－12)＋(－78)=[(＋13)＋(＋37)]＋[(－12)＋(－78)]=(＋50)＋(－90)=－40.加法交換律加法結(jié)合律加法結(jié)合律同號(hào)兩數(shù)相加同號(hào)兩數(shù)相加異號(hào)兩數(shù)相加知2－練4-1.計(jì)算：(1)41＋(－22)＋(－33)＋19；(2)(－2)＋3＋1＋(－7)＋2＋(－4).解：41＋(－22)＋(－33)＋19＝(41＋19)＋[(－22)＋(－33)]＝60＋(－55)＝5；(－2)＋3＋1＋(－7)＋2＋(－4)＝[(－2)＋(－7)＋(－4)]＋(3＋1＋2)＝(－13)＋6＝－7.知2－練

例5解題秘方：將同分母的分?jǐn)?shù)通過(guò)交換結(jié)合在一起，再計(jì)算.

知2－練方法點(diǎn)撥：在計(jì)算過(guò)程中往往把整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)、分母相同或容易通分的分?jǐn)?shù)結(jié)合在一起，以達(dá)到簡(jiǎn)便運(yùn)算的效果，簡(jiǎn)稱“同形結(jié)合法”.知2－練

知2－練

例6解題秘方：將能湊成整數(shù)的加數(shù)進(jìn)行交換結(jié)合，再計(jì)算.

知2－練方法點(diǎn)撥：多個(gè)有理數(shù)相加時(shí)，把能湊成整數(shù)的數(shù)結(jié)合在一起，可以使計(jì)算簡(jiǎn)便，這種方法簡(jiǎn)稱“湊整法”.知2－練

原式＝[(－18.35)＋(－3.65)]＋[(＋6.15)＋(－18.15)]＝(－22)＋(－12)＝－34.知2－練

例7解題秘方：先把帶分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)之和，將整數(shù)和真分?jǐn)?shù)分別相加，再求和.知2－練

知2－練

知2－練方法點(diǎn)撥：在有理數(shù)的加法計(jì)算中，可以先把帶分?jǐn)?shù)拆分成整數(shù)和真分?jǐn)?shù)的和，再把整數(shù)和真分?jǐn)?shù)分別結(jié)合相加，但拆數(shù)時(shí)應(yīng)特別注意負(fù)的帶分?jǐn)?shù)應(yīng)拆成負(fù)整數(shù)與負(fù)分?jǐn)?shù)的和.???????知2－練

知2－練

有理數(shù)的加法有理數(shù)的加法轉(zhuǎn)化兩個(gè)數(shù)相加多個(gè)數(shù)相加加法法則加法運(yùn)算律題型有理數(shù)加法與相反數(shù)、絕對(duì)值的綜合1[期中·汕頭潮南區(qū)]若a與b互為相反數(shù)，c的絕對(duì)值為1，則a＋b＋c的值為(

)A.0 B.1 C.－1 D.±1例8類型1與相反數(shù)、絕對(duì)值的代數(shù)意義相結(jié)合思路引導(dǎo)：解：因?yàn)閍與b互為相反數(shù)，所以a＋b＝0.因?yàn)閏的絕對(duì)值為1，所以c＝±1.當(dāng)c＝1時(shí)，a＋b＋c＝0＋1＝1；當(dāng)c＝－1時(shí)，a＋b＋c＝0＋(－1)＝－1.答案：D特別提醒1.解含絕對(duì)值的問(wèn)題時(shí)，由于正負(fù)不定，因此要進(jìn)行分類討論.2.分類時(shí)，注意不要漏掉任何一種情況.已知|a＋4|＋|3－b|＝0，則a＋b＝________．例9類型2與絕對(duì)值的非負(fù)性相結(jié)合解題秘方：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.解：因?yàn)閨a＋4|＋|3－b|＝0，所以|a＋4|＝0，|3－b|＝0，所以a＋4＝0，3－b＝0，即a＝－4，b＝3，則a＋b＝(－4)＋3＝－1．答案：－1解題關(guān)鍵絕對(duì)值具有非負(fù)性，在解題中起著關(guān)鍵的作用.題型有理數(shù)加法與數(shù)軸的綜合2若有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖2.1－1所示，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

圖2.1－1A.a＋b<0 B.b＋c<0C.a＋b＋c<0 D.|a＋b|＝a＋b例10思路引導(dǎo)：解：根據(jù)有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可知，a>0，b<0，c<0，且|c|>|b|>|a|，所以a＋b<0是正確的，b＋c<0是正確的，a＋b＋c<0也是正確的.因?yàn)閨a＋b|>0，而a＋b<0，所以選項(xiàng)D是錯(cuò)誤的.答案：D規(guī)律總結(jié)在數(shù)軸上，利用數(shù)形結(jié)合思想，一般可讀出三個(gè)方面的信息：1.對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)；2.對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即絕對(duì)值的大??；3.對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示的數(shù)的大小關(guān)系，即數(shù)軸上的數(shù)從左往右越來(lái)越大.題型有理數(shù)加法與程序框圖的綜合3

[期末·重慶綦江區(qū)]按如圖2.1－2所示的程序輸入－2進(jìn)行計(jì)算，輸出的結(jié)果是(

)

A.4 B.5 C.6 D.7例11思路引導(dǎo)：解：由題意可得，當(dāng)輸入－2時(shí)，－2＋4＋(－3)＋1＝0<2，0＋4＋(－3)＋1＝2＝2，2＋4＋(－3)＋1＝4>2.即當(dāng)輸入－2時(shí)，輸出的結(jié)果是4.答案：A方法點(diǎn)撥1.解決程序計(jì)算的關(guān)鍵是搞清計(jì)算的順序和輸出規(guī)則.2.本題也可以將中間3步簡(jiǎn)化為＋2進(jìn)行計(jì)算判斷.題型利用有理數(shù)加法法則解決實(shí)際問(wèn)題4情境題飛行表演應(yīng)我國(guó)邀請(qǐng)，俄羅斯特技飛行隊(duì)在黃山風(fēng)景區(qū)進(jìn)行特技表演.其中一架飛機(jī)起飛后的高度變化如下表：(1)此時(shí)這架飛機(jī)比起飛點(diǎn)高了多少千米？(2)若飛機(jī)平均上升1km需消耗4L燃油，平均下降1km需消耗2L燃油，則這架飛機(jī)在此時(shí)一共消耗多少升燃油？(3)某架飛機(jī)從地面起飛后先上升5km，然后做了兩個(gè)特技動(dòng)作表演，這兩個(gè)動(dòng)作產(chǎn)生的高度變化分別是0.6km和1.8km，求這兩個(gè)特技動(dòng)作表演結(jié)束后，飛機(jī)離地面的高度.例12高度變化上升5.5km下降3.2km上升1km下降1.5km下降0.8km記作＋5.5km－3.2km＋1km－1.5km－0.8km思路引導(dǎo)：解：(1)5.5＋(－3.2)＋1＋(－1.5)＋(－0.8)＝1(km).答：此時(shí)這架飛機(jī)比起飛點(diǎn)高了1km．(2)(5.5＋1)×4＋(3.2＋1.5＋0.8)×2＝26＋11＝37(L).答：這架飛機(jī)在此時(shí)一共消耗37L燃油．(3)5＋0.6＋1.8＝7.4(km)；5＋0.6＋(－1.8)＝3.8(km)；5＋(－0.6)＋(－1.8)＝2.6(km)；5＋(－0.6)＋1.8＝6.2(km).答：飛機(jī)離地面的高度為7.4km或3.8km或2.6km或6.2km．方法點(diǎn)撥1.對(duì)于運(yùn)動(dòng)型實(shí)際問(wèn)題，畫(huà)出線段圖可以更加直觀地分析問(wèn)題.2.加上一個(gè)負(fù)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的意義等同于小學(xué)學(xué)習(xí)的減法.題型利用有理數(shù)加法法則解決實(shí)際問(wèn)題5

例13

(2)兩數(shù)同號(hào)或其中一數(shù)為0時(shí)，絕對(duì)值的和等于兩數(shù)和的絕對(duì)值；兩數(shù)異號(hào)時(shí)，絕對(duì)值的和大于兩數(shù)和的絕對(duì)值.所以兩數(shù)的絕對(duì)值的和大于或等于兩數(shù)和的絕對(duì)值．即當(dāng)a，b為有理數(shù)時(shí)，|a|＋|b|≥|a＋b|．(3)因?yàn)閨x|＋5＝|x|＋|－5|＝|x＋(－5)|，所以x≤0．錯(cuò)題通法求兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和，與這兩個(gè)數(shù)的和的絕對(duì)值的關(guān)系的步驟:第一步：求出兩數(shù)的絕對(duì)值的和；第二步：求出兩數(shù)和的絕對(duì)值；第三步：比較絕對(duì)值的和與和的絕對(duì)值的大小.易錯(cuò)點(diǎn)已知和的情況判斷加數(shù)的情況有誤下列說(shuō)法正確的是(

)A.兩個(gè)有理數(shù)的和一定大于任何一個(gè)加數(shù)B.若兩個(gè)有理數(shù)的和為0，則這兩個(gè)有理數(shù)一定互為相反數(shù)C.若兩個(gè)有理數(shù)的和為負(fù)數(shù)，則這兩個(gè)有理數(shù)一定都是負(fù)數(shù)D.若兩個(gè)有理數(shù)的和為正數(shù)，則這兩個(gè)有理數(shù)一定都是正數(shù)錯(cuò)解：A或C或D例14正解：結(jié)合有理數(shù)的加法法則進(jìn)行辨析，也可以運(yùn)用特殊值法進(jìn)行判斷，但是舉例要全面.設(shè)兩個(gè)有理數(shù)為a，b.當(dāng)a＝2，b＝－1時(shí)，a＋b＝2＋(－1)＝1，1<2，故A，D錯(cuò)誤；當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，a＋b＝1＋(－2)＝－1，故C錯(cuò)誤；當(dāng)a＋b＝0時(shí)，a＝－b，故B正確.答案：B診誤區(qū)由和的符號(hào)判斷加數(shù)符號(hào)時(shí)，要分兩數(shù)同號(hào)、異號(hào)和一個(gè)加數(shù)為0幾種情況進(jìn)行討論.考法利用有理數(shù)加法直接運(yùn)算1[中考·溫州]如圖2.1－3，比數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)大3的數(shù)是(

)圖2.1－3A.－1 B.0 C.1 D.2試題分析：本題考查有理數(shù)加法的應(yīng)用，熟練掌握加法法則是解題關(guān)鍵.解：由數(shù)軸可得，點(diǎn)A表示的數(shù)是－1，則比數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)大3的數(shù)是(－1)＋3＝2.答案：D例15考法利用數(shù)軸判斷和的符號(hào)2[中考·新疆]有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖2.1－4所示，下列結(jié)論中正確的是(

)

圖2.1－4A.a＞b B.|a|＞|b|C.－a＜b D.a＋b＞0例16試題評(píng)析：本題主要考查數(shù)軸的特征在有理數(shù)的加法法則中的應(yīng)用，正確結(jié)合數(shù)軸分析是解題關(guān)鍵.解：A.a<b，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.|a|>|b|，故此選項(xiàng)正確；C.－a>b，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.因?yàn)閨a|>|b|，且a<0，b>0，所以a＋b<0，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.答案：B1.[中考·武漢]溫度由－4℃上升7℃是(

)A.3℃ B.－3℃ C.11℃ D.－11℃A2.新考法分類討論法已知|a|＝1，b是2的相反數(shù)，則a＋b的值為(

)A.－3 B.－1C.－1或－3 D.1或－3C3.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B分別表示數(shù)a和b，則下列式子正確的是(

)

A.a>b B.a＋b<0C.a＋b＝0 D.a＋b>0B4.新考法推理辨析法關(guān)于“三個(gè)有理數(shù)的和為0”這個(gè)話題，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組成員甲、乙、丙、丁四位同學(xué)發(fā)表了下列看法：甲：這三個(gè)有理數(shù)可能都是0；乙：這三個(gè)有理數(shù)中一定有兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；丙：這三個(gè)有理數(shù)中最多有兩個(gè)正數(shù)；?。哼@三個(gè)有理數(shù)中最少有兩個(gè)負(fù)數(shù).其中看法正確的是(

)A.甲、乙、丙、丁 B.甲、乙、丙C.甲、丙 D.乙、丙、丁C5.新考法分組求和法計(jì)算：1＋(－2)＋3＋(－4)＋5＋(－6)＋…＋2023＋(－2024)＝_______.－10126.若a﹥0，b﹤0，且a＋b﹥0，則|a|_______|b|(填“﹥”“﹤”或“＝”).7.[期中·常州武進(jìn)區(qū)]已知|x|＝2，|y|＝3，且x﹥y，則x＋y的值是________.＞－1或－5

原式＝(24＋7)＋[(－15)＋(－20)]＝31＋(－35)＝－4；

9.母題教材P29例3有一批食品罐頭,標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每瓶454g，先抽取10瓶樣品進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果(單位：g)如下：求這10瓶罐頭的總質(zhì)量．瓶號(hào)12345678910質(zhì)量444459454459454454449454459464解：方法一(直接計(jì)算)：這10瓶罐頭的總質(zhì)量為：444＋459＋45