《計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)》

CAGD出

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計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)

廈門(mén)大學(xué)曾曉明教授

助教楊軍

1.課程簡(jiǎn)介

計(jì)

算

計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(ComputerAidedGeometric

機(jī)Design,簡(jiǎn)稱(chēng)CAGD)這一術(shù)語(yǔ)1974年由巴恩希爾

輔(Barnhill)與里森費(fèi)爾德(Riesenfeld)在美國(guó)猶他(Utah

助大學(xué)的一次國(guó)際會(huì)議上提出，以描述計(jì)算機(jī)輔助設(shè)

幾計(jì)(CAD)的更多的數(shù)學(xué)方面，為此加上“幾何”的

何修飾詞，在當(dāng)時(shí)，其含義包括曲線(xiàn)、曲面和實(shí)體的

表示，及其在實(shí)時(shí)顯示條件下的設(shè)計(jì)，也擴(kuò)展到其

設(shè)

他方面，例如四維曲面的表示與顯示。自此以后，

計(jì)

◎計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)開(kāi)始以一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科出現(xiàn)。

碎

計(jì)

算

機(jī)

1971年英國(guó)的福里斯特(Forrest)曾給出了含

輔義與CAGD大致相同的另一名稱(chēng)——計(jì)算幾何

助(ComputationalGeometry),定義為形狀信息的計(jì)

幾算機(jī)表示、分析與綜合。但是由于“計(jì)算幾何”

何同時(shí)也用于另外一門(mén)介紹關(guān)于幾何搜索、凸包、

設(shè)近似、相交等算法的學(xué)科，因此為避免“計(jì)算幾

計(jì)何”這一名稱(chēng)的二義性，這里沿用計(jì)算機(jī)輔助幾

何設(shè)計(jì)這一學(xué)科名稱(chēng)。

◎

碎

1.1CAGD的研究對(duì)象與核心問(wèn)題

計(jì)

算本學(xué)科是隨著航空、汽車(chē)等現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展與

機(jī)計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)而產(chǎn)生與發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新興學(xué)科。

輔其主要研究對(duì)象是工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀。一類(lèi)僅在

初等解析曲面（例如平面、圓柱面、圓錐面、森面、

助

幾圓環(huán)面等）組成，大多數(shù)機(jī)械零件屬于這一類(lèi)；第

何二類(lèi)由以復(fù)雜方式自由變化的曲線(xiàn)曲面即所謂自由

型曲線(xiàn)曲面組成，例如飛機(jī)、汽車(chē)、船舶的外形零

設(shè)

件，而這一類(lèi)形狀單純用畫(huà)法幾何與機(jī)械制圖是不

計(jì)

◎能表達(dá)清楚的。

碎

圖例：工業(yè)產(chǎn)品中的解析曲面和自由型曲面

計(jì)

算

機(jī)

輔

助

幾

何

設(shè)

計(jì)

◎滑動(dòng)軸承座及軸承蓋等汽車(chē)車(chē)身由若干自由型

機(jī)械零件，由若干解析曲面拼接而成，無(wú)法用

碎曲面拼接而成。解析曲面表示。

計(jì)

算

機(jī)

輔在工業(yè)上，人們一直在尋求用數(shù)學(xué)方法惟一

地定義自由型曲線(xiàn)曲面的形狀以便由計(jì)算機(jī)來(lái)完

助成大量的工作。形狀的幾何定義為所有的后置處

幾理（如數(shù)控加工、物性計(jì)算、有限元分析等）提供

何了必要的先決條件。在形狀信息的計(jì)算機(jī)表示、

設(shè)分析與綜合中，々心內(nèi)向紅］計(jì)算機(jī)表示，即要

計(jì)找到既適合計(jì)算機(jī)處理且有效地滿(mǎn)足形狀表示與

幾何設(shè)計(jì)要求，又便于形狀信息傳遞和產(chǎn)品數(shù)據(jù)

交換的形狀描述的數(shù)學(xué)方法。

1.2形狀數(shù)學(xué)描述的發(fā)展主線(xiàn)(歷史回顧)

計(jì)

算自由型曲線(xiàn)曲面因不能由畫(huà)法幾何與機(jī)械制圖

機(jī)方法表達(dá)清楚，成為工程師們首先要解決的問(wèn)題。

輔1963年，美國(guó)波音(Boeing)飛機(jī)公司的弗格森

助(Ferguson)首先提出將曲線(xiàn)曲面用參數(shù)方程表示。

幾他最早引入?yún)?shù)三次曲線(xiàn)，構(gòu)造了組合曲線(xiàn)和由四

何角點(diǎn)的位置矢量及兩個(gè)方向的切矢定義的弗格森雙

設(shè)三次曲面片。弗格森所采用的曲線(xiàn)曲面的參數(shù)形式

計(jì)從此成為形狀數(shù)學(xué)描述的標(biāo)準(zhǔn)形式。

爭(zhēng)

碎

計(jì)

算1964年，美國(guó)麻省理工學(xué)院(Massachusetts

機(jī)InstituteOfTechnology,簡(jiǎn)稱(chēng)MIT)的孔斯(Coons)發(fā)

輔表了一個(gè)具有一般性的曲面描述方法。但它與

助弗格森曲面片一樣都存在形狀控制與連接問(wèn)題。

幾同年，舍恩伯格(schoenberg)提出的樣條函

何數(shù)提供了解決連接問(wèn)題的一種技術(shù)，樣條方法用

設(shè)于解決插值問(wèn)題，在構(gòu)造整體上達(dá)到某種參數(shù)連

計(jì)續(xù)階(指可微性)的插值曲線(xiàn)、曲面時(shí)是很方便的

,但不存在局部形狀調(diào)整的自由度，而且樣條曲

線(xiàn)和曲面的形狀難以預(yù)測(cè)。

◎

碎

計(jì)

算法國(guó)雷諾(Renault)汽車(chē)公司的貝齊爾(Bezier)于

機(jī)1971年發(fā)表了一種由控制多邊形定義曲線(xiàn)的方法。

輔設(shè)計(jì)員只要移動(dòng)控制頂點(diǎn)就可方便地修改曲線(xiàn)的形

助狀，而且形狀的變化完全在預(yù)料之中，貝齊爾方法

幾簡(jiǎn)單易用，又出色地解決了整體形狀控制問(wèn)題。為

何CAGD的進(jìn)一步發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。貝齊爾方

法仍存在連接問(wèn)題，還有局部修改問(wèn)題。稍早于貝

設(shè)齊爾，在法國(guó)雪鐵龍(Citroen)汽車(chē)公司工作的德卡

計(jì)斯特里奧(deCasteljau)也曾獨(dú)立地研究發(fā)展了同樣

的方法，但結(jié)果從未公開(kāi)發(fā)表。

@

山

計(jì)

算

機(jī)德布爾(deBoor)于1972年給出了關(guān)于B樣條

輔的一套標(biāo)準(zhǔn)算法。美國(guó)通用汽車(chē)公司的戈登

助(Gordon)和里森費(fèi)爾德(Riesenfeld)于1974年將

B樣條理論應(yīng)用于形狀描述.提出了B樣條曲線(xiàn)

幾曲面。它幾乎繼承了貝齊爾方法的一切優(yōu)點(diǎn)，克

何服了貝齊爾方法存在的缺點(diǎn)，較成功地解決了局

設(shè)部控制問(wèn)題，又輕而易舉地在參數(shù)連續(xù)性基礎(chǔ)上

計(jì)解決了連接問(wèn)題。

◎

碎

計(jì)

算B樣條方法較成功地解決了自由型曲線(xiàn)曲面形狀

機(jī)的描述問(wèn)題。然而，將其應(yīng)用于圓錐截線(xiàn)及初等解

輔析曲面卻是不成功的，都只能給出近似表示。為此

助,1975年美國(guó)錫拉丘茲(Syracuse)大學(xué)的弗斯普里

幾爾(Versprille)在他的博士論文中首先提出了有理B樣

何條方法。以后，主要由于皮格爾(Piegl)、蒂勒

設(shè)(Tiller)和法林(Farin)等人的功績(jī)，至20世紀(jì)80年代

計(jì)后期，非均勻有理B樣條(NonUniformRationalB

spline,簡(jiǎn)稱(chēng)NURBS)方法成為用于曲線(xiàn)曲面描述的

最廣為流行的數(shù)學(xué)方法。

◎

碎

1.3其他一些重要進(jìn)展與趨向

計(jì)

算

機(jī)當(dāng)今大部分CAD系統(tǒng)中的曲面都定義在矩形

輔上。其主要原因要追溯到曲面設(shè)計(jì)方法的最初應(yīng)用

助上。當(dāng)初設(shè)計(jì)的汽車(chē)與飛機(jī)機(jī)身等物體的外形曲面

幾均具有內(nèi)在的矩形結(jié)構(gòu)。這導(dǎo)致早期系統(tǒng)都圍繞矩

何形曲面片建立。后來(lái)，在一些更復(fù)雜的零件造型中

9

設(shè)矩形曲面片與矩形拓?fù)涞木窒扌跃捅┞冻鰜?lái)。N

邊曲面片特別是三邊曲面片成為一個(gè)廣泛