2020-2021學(xué)年江蘇省如東某中學(xué)泰州某中學(xué)高二11月聯(lián)考數(shù)學(xué)解析版

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2020-2021學(xué)年江蘇省如東高級(jí)中學(xué)泰州高級(jí)中學(xué)高二11月聯(lián)考數(shù)學(xué)

一、選擇題(本大題共8小題，共40分)

1.已知函數(shù)y=V-%2+2x+3的定義域?yàn)榧螹,集合N={x|0WxW2},則

MCIN=()

A.[-1,3]B.[0,2]C.[0,1]D.[-1,4]

【答案】B

【解析】令一/+24+3》。得一l《x43,

所以M={x|-1<%<3},所以MCN={x|04x42},

故選B.

2.命題[2,+8),刀224”的否定為()

A.VxG[2,+oo),X2<4B.VxG(-00,2),x2>4

e

C.3x0e[2,+oo),XQ<4D.3x0[2,+8),就24

【答案】C

【解析】???命題"Vxe[2,+8),X2>4",

???命題的否定是三支06[2,+8),XQ<4

故選C.

3.已知二次函數(shù)f(x)=(x-m)(x-n)+l,且%i，%2是方程/(x)=0的兩個(gè)根，則

X2>W,"的大小關(guān)系可能是()

A.x1<x2<m<nB.<m<x2<n

C.m<n<xx<x2D.m<<x2<n

【答案】D

【解析】/(x)=(x-m)(x-n)+1,并且%i，%2是方程/(x)=0的兩根，

即有f(m)=/(n)=1./(%!)=f(x2)=0,

由于拋物線y=/(x)開口向上，可得加，〃在兩根&之外，

可得A,B,C均錯(cuò)，。正確，

故選：D.

4,已知圓C:/+y2-2%+4y=0關(guān)于直線3x—2ay-11=0對(duì)稱，則圓C中以

己一夕為中點(diǎn)的弦長(zhǎng)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

依題意可知直線過圓心（1,一2）,即3+4。-11=0,。=2.故（泉—卞=（1,-1）.

圓方程配方得（x-1）2+（y+2）2=5,（1,一1）與圓心距離為1,

故弦長(zhǎng)為2臼=1=4.

故選：D.

5.正確使用遠(yuǎn)光燈對(duì)于夜間行車很重要.已知某家用汽車遠(yuǎn)光

燈（如圖）的縱斷面是拋物線的一部分，光源在拋物線的焦點(diǎn)

處，若燈口直徑是20am燈深10?！?，則光源到反光鏡頂

點(diǎn)的距離是（）

A.2.5cmB.3.5cmC.4.5cmD.5.5cm

【答案】A

【解析】

設(shè)對(duì)應(yīng)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px,由題意知拋物線過點(diǎn)（10,10）,

得100=2px10.得p=5,

則々=2.5,即焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2.5,0）,

則光源到反光鏡頂點(diǎn)的距離是2.5.

故選A.

6.平流層是指地球表面以上10和1到50府的區(qū)域，下述不等式中，x能表示平流層高

度的是（）

A.|%+10|<50B.|x-10|<50C.|x+30|<20D.|x-30|<20

【答案】D

【解析】

解：由題意知10cx<50,

4選項(xiàng)，不等式可化為-50<x+10<50,即—60<x<40,不正確；

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8選項(xiàng)，不等式可化為一5010<50,即—40<x<60,不正確；

C選項(xiàng)，不等式可化為-20<x+30<20,即-50<x<-10,不正確；

。選項(xiàng)，不等式可化為一20<》一30<20,即10cx<50,正確；

故選D.

7.在公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列｛用｝中，a4=l,則當(dāng)2a2+取得最小值時(shí)，1咤2勺等

于（）

A.；B.C.iD.-i

【答案】A

22

【解析】由。4=4，及等比數(shù)列的性質(zhì)可得2a2+a6=2X4xQ-+4q>

2,8q-2義4q2=訴

當(dāng)且僅當(dāng)q=好時(shí)取得最小值.

所以log2q=3故選A.

8.設(shè)a>0,b>0,且2a+b=l,則三+--（）

A.有最小值為2夜+1B.有最小值為e+1

C.有最小值為gD.有最小值為4

【答案】A

【解析】a>0,b>0,且2a+b=1,則0<a<土

12a12a

:.__?=__|

aa+ba1-a

1—2（1—CL）+212

=—I---------------------=—F----------2

a1—aa1-a

又！+W=G+E）（a+l-a）

=3+^+—>3+2V2,

a1-a

當(dāng)且僅當(dāng)與士=言，即當(dāng)且僅當(dāng)a=a-1時(shí)等號(hào)成立，

所以2+g的最小值為2夜+L故選人

aa+b

二、不定項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，共16分）

9.下列不等式成立的是（）

A.若a<Z?<0,則a2>b2B.若ab=4,則a+Z?>4

C.若a>b,則ac2>be2D.若a>b>0,m>0,則&<竺上

aa+m

【答案】AD

【解析】對(duì)于A,若QVbvO,根據(jù)不等式的性質(zhì)則Q2>〃，故A正確；

對(duì)于8,當(dāng)Q=—2,b=—2時(shí)，a4-h=—4<4,顯然B錯(cuò)誤；

22

對(duì)于C當(dāng)c=0時(shí)，ac=bcf故于錯(cuò)誤;

-bb+mb(a+m)-a(b+m)(b-a)m

對(duì)于。，-------=-----;---;---=-----7,

aa+ma{a+m)a(a+m)

因?yàn)镼>b>0,m>0,所以b—aVO,a4-m>0,所以()<0

aia+m)

所以巴一處巴<o,即2<處及成立，故。正確.故選AZZ

aa+maa+m

10.下面命題正確的是()

A.“a>1”是叫<r的充分不必要條件

B.在△ABC中，asinA+cosA=sinB+cosBn是“A=B”的充要條件

C.設(shè)x,yeR,則“x>2且y>2”是“小+y2>4”的必要而不充分條件

D.設(shè)a,bGR,則“aH0”是“abH0”的必要不充分條件

【答案】AD

【解析】對(duì)于A,由三<1可得a>1或a<0,

a

所以“a>r是“5<1”的充分不必要條件，故A正確；

a

對(duì)于B,由sin/4+cosA=sinB+cosB,可得疝i(j+*)=sin(B+,

所以.A+g="+；或A+]+B+J=7T,即A=B或,4+B=1，

所以“sinA+cosA=sinB+cosB”是uA=Bn的必要不充分條件,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,設(shè)x,y6R,由x22且y22可得M+y224,反之不成立，

則“x22且y22”是+丫2>4”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由ab片0可得aH0,反之不成立，

所以“a短0”是“ab#0”的必要不充分條件，故。正確，

故選AD.

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11.已知雙曲線\一，=l（a〉O,b〉O）的左、右焦點(diǎn)分別為尺，F(xiàn)2,尸為雙曲線上一

點(diǎn)，且仍0|=2仍員1，若sin/FiPF2=半，則對(duì)雙曲線中a，b,c,e的有關(guān)結(jié)論

正確的是（）

A.e=V6B.e=4C.b=y/5aD.b=V3a

【答案】ACD

【解析】IPFJ=2\PF2\,

???由雙曲線定義可知:IPFJ-\PF2\=\PF2\=2a,AIPFJ=4a,

由sinNFiPEi=—，得cos乙&PF2=±；.

1

在APFiF2中，由余弦定理可得：絲*竺七空=±3,

12x2ax4a4

解得，底=4或a=6,

???c—2a或c=V6a>

:，b=y/c2—a2=百a或b=Vc2-a2=V5a?

e=~=2或幾，

.?.8選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤，故選ACD

12.在數(shù)列｛a"中，若嫌一嫌_1=2（7122/￡/7*/為常數(shù)），則稱｛6｝為“等方差數(shù)

列”,下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）

A.若｛an｝是等差數(shù)列，則｛冊(cè)｝是等方差數(shù)列

B.｛（一1嚴(yán)｝｝是等方差數(shù)列

C.若｛an｝是等方差數(shù)列，則｛akn｝（keN*）,/c為常數(shù)）也是等方差數(shù)列

D.若｛a“｝既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列

【答案】BCD

【解析】對(duì)于4,若｛%｝是等差數(shù)列，如斯=心

則聯(lián)—an-i=n4—（n—I）4=（2n—l）（2n2—2n+1）不是常數(shù),

故｛嗎｝不是等方差數(shù)列，故4錯(cuò)誤；

對(duì)于8,數(shù)列｛（一1為中,成一碎_i=［（T）呼一［（一1）"-平=0（常數(shù)）,

｛（一1尸｝是等方差數(shù)列，故B正確；

對(duì)于C,數(shù)列｛6｝中的項(xiàng)列舉出來是，即，。2，…，ak'a2k'

數(shù)列｛akn｝中的項(xiàng)列舉出來是，ak^a2k>…，

（或+1-破）=（或+2-或+D=（或+3-或+2）=…=（喙-吸-1）=P，

二（成+1-al）+（磕+2—或+1）+（或+3-或+2）+…+（a金-a泉-1）=切，

（a金—或）=kp,■1?（dfc（n+i）—a短）=kp,

■■｛akn｝（/cGN*,k為常數(shù)）是等方差數(shù)列，故C正確；

對(duì)于是等差數(shù)列，

**,Q九=d9

???｛a"是等方差數(shù)列，

?n-Wt=p,

二（an+an-i）d=p，

1°當(dāng)d=0時(shí)，數(shù)列｛a,J是常數(shù)列，

2。當(dāng)dHO時(shí)，〃為偶數(shù)時(shí)，冊(cè)=畀裊〃為奇數(shù)時(shí)，an=；合數(shù)列5｝是常數(shù)歹U，

綜上數(shù)列｛aj是常數(shù)列，故。正確.

故選BCD.

三、填空題（本大題共4小題，共20分）

13.已知正數(shù)x,y滿足3xy+y?-4=0,則3x+5y的最小值為。

【答案】8

【解析】

?.?正數(shù)x,y滿足3xy+y2-4=0,

C4

???3x=——y,

y

???3x+5y=（+4y>2J；?4y=8,

當(dāng)且僅當(dāng)j=4y,即y=i時(shí)取等號(hào)，

3x+5y的最小值為8.

故答案為8.

14.拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是；經(jīng)過點(diǎn)P（4,l）的直線/與拋物線C相交

于4,8兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰為A8的中點(diǎn)，/為拋物線的焦點(diǎn)，則|而j+|FF|=

【答案】C，0）；9

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【解析】

由拋物線C：y2=2x,得2P=2,p=1,則］=J

???拋物線的焦點(diǎn)尸G，0).

過A作4M_L準(zhǔn)線，BN_L準(zhǔn)線，PK_L準(zhǔn)線，M、N、K分別為垂足,

則由拋物線的定義可得|4M|+\BN\=\AF\+\BF\.

再根據(jù)P為線段A8的中點(diǎn)，有“|AM|+\BN\)=\PK\=l，

■.\AF\+\BF\=9,

故答案為：G，0），9.

15.過P(2,2)作圓C：(x—l)2+y2=i的切線，則其切線方程為

【答案】x=2或3K-4y+2=0

【解析】圓C：(x—l)2+y2=1的圓心為(1,0),半徑為1,

(1)當(dāng)過點(diǎn)(2,2)的直線垂直于x軸時(shí)，

此時(shí)直線斜率不存在，方程是x=2,

???圓心。(1,0)到直線的距離為d=1=r,

???直線x=2符合題意；

(2)當(dāng)過點(diǎn)(2,2)的直線不垂直于x軸時(shí)，

設(shè)直線方程為y—2=k(x—2),即kx-y-2k+2=0.

?.?直線是C(》一1)2+丫2=1的切線，

.??點(diǎn)。(1,0)到直線的距離為d==1,解之得k=

此時(shí)直線方程為3x-4y+2=0.

切線方程為x=2或3%-4y+2=0.

故答案為久=2或3%-4y+2=0.

16.若關(guān)于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+8),則關(guān)于x的不等式誓>0的解集

X-Z

是.

【答案】(—1,2)

【解析】由題意得，ax-b<0的解集是(1,+8),

則廣1,

la<0

而不等式筆>0等價(jià)于a(%+1)(%-2)>0,

X—2

即(％+1)(%—2)<0,

解得—1<x<2,

所以不等式箸>0的解集是(-L2)；

故答案為(一1,2).

四、解答題(本大題共6小題，共72分)

17.已知圓C：(X-3尸+(y-4產(chǎn)=4.

(I)若直線/過點(diǎn)4(2,3)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2次，求直線/的方程；

(U)若直線/過點(diǎn)與圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，求ACPQ的面積的最大值，并求

此時(shí)直線/的方程.

【答案】(I)圓C的圓心坐標(biāo)為C(3,4),半徑R=2,

???直線/被圓E截得的弦長(zhǎng)為26，二圓心C到直線/的距離d=1.

(1)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，/：x=2,顯然滿足d=l；

(2)當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/：y-3=fc(x-2),即kx-y+3-2k=0,

由圓心C到直線/的距離d=l得：羋嗎=1，解得k=0,故/：y=3；

vl+fcz

綜上所述，直線/的方程為久=2或y=3

(!!)???直線與圓相交，的斜率一定存在且不為0,設(shè)直線/方程：y=k(x-l),

即kx-y—k=0,則圓心C到直線I的距離為d=警整，

/vl+kz

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又「△CPQ的面積S=1xdx2V4—d2=y/d2(4—d2)=(-(d2-2尸+4,

???當(dāng)d=魚時(shí)，S取最大值2.由d=隼瞿=VL得k=l或k=7,

vl+fcz

二直線/的方程為x-y-1=0或7%-y-7=0.

18.在①%,。2成等差數(shù)列，②%，a2+l,。3成等比數(shù)列，③$3=：，三個(gè)條件

中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.

已知％為數(shù)列｛須｝的前〃項(xiàng)和，3Sn=an+2ai，(n€N*),%片0,且____.

(1)求數(shù)列｛Qn｝的通項(xiàng)公式；

(2)記g=一log?成，求數(shù)列｛bn｝的前〃項(xiàng)和〃.

【答案】解：選①，

(1)?；口1，：,口2成等差數(shù)列，二。1+。2=5

v3sH=@九+2alf

???3(%+a2)=a2+2%,即%+2a2=0，

Y1

???Ql=1，@2=-5，

??,當(dāng)n>2時(shí)，3Sn_i=Qn_i+2QI，

???3a=3S—3S_i=Qn—an-i??*,T-2-=-2,

nnnan-i』

二數(shù)列｛a,J是以1為首項(xiàng)，-沙公比的等比數(shù)列，

斯=(一曠:

2

(2)-bn=-log2an=-log2(-0=-log2=2n-2.

數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和7；=0+2+4+…+(2律-2)=吟衛(wèi)=n2-n.

2

19.已知等差數(shù)列｛&J的前“項(xiàng)和為又，Sn=n+n+m.

⑴求m的值;

(2)已知%=^-+2an,求數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和

2

【答案】(1)5rl=n+n+m,

當(dāng)九>2時(shí)，Sn_1=(九一I)?+九一i+爪,

兩式相減可得Qn=2n,

???{an}為等差數(shù)列，

???當(dāng)九=1時(shí)，%=2+m=2,

Am=0,

2

(2)由(1)可得Sn=n+n=n(n+1),

..飛弋+2斯=儡+22"=(^^)+4”，

11111114(1一4n)

A7^=(1--+---+---4-???4-------------)+

nk22334nn+Y1-4

Y1,1477+144n+111

1---------F-x4n+1——=-------------------

n+1333n+l3

20.已知p：%2—7%+10<0,q：x2—4mx+3m2<0其中m>0.

(1)已知m=4,若pAq為真，求x的取值范圍；

(2)若7?是"的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】解：(1)由M—7%+10V0,解得2VXV5,

所以p02cx<5；

對(duì)于不等式—4mx+3m2<o,

因?yàn)橐唬篤2+：+24-；，解得M<%<3ni,

3A2

所以q<=>m<x<3m.

當(dāng)一2V—4?」<一工時(shí)，，qQ4Vxe12,

33m2+4—2

又m2為真,p,q都為真,

所以4<x<5,

即x的取值范圍是(4,5)；

(2)由m<-卓是「p的充分不必要條件，

??.p為q的充分不必要條件，

由(l)p<=>2<x<5,q<=>m<x<3m,

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m<2①

3m>5(2),且①②不能同時(shí)取等號(hào)，

m>0③

/.-<m<2,

3

??.實(shí)數(shù)m的取值范圍是自21

21.設(shè)函數(shù)y=QM+%一匕(QcbER).

(1)求不等式y(tǒng)<(2a+2)x-b-2的解集;

(2)當(dāng)Q>0,h>1時(shí)，記不等式y(tǒng)>0的解集為P,集合Q={%|-2-t<x<-2+

t}.若對(duì)于任意正數(shù)r,PCQ力。，求;一3的最大值.

【答案】

解(1)lily<(2a+2)x-b-2得a/_(2a+l)x+2V0,即(ax-l)(x-2)<0.

(/)當(dāng)a>0時(shí)，不等式可以化為—2)<0.

①若0,則*2,此時(shí)不等式的解集為(2,*;

②若。=也則不等式為。一2￥<0,不等式的解集為a;

③若a>：,則5<2,此時(shí)不等式的解集為(%2).

(口)當(dāng)a=0時(shí)，不等式即-x+2<0,此時(shí)不等式的解集為(2,+8).

(〃)當(dāng)a<0時(shí)，不等式可以化為(x-》(x-2)>0,解集為(一8,》〃(2,+8).

綜上所述，第a<0時(shí)，不等式的解集為(-8,》U(2,+8)；

當(dāng)Q=0時(shí)，不等式的解集為(2,+8)；

當(dāng)0<a<襯，不等式的解集為(2,；);

當(dāng)。=泄,不等式的解集為0；

當(dāng)a>決寸,不等式的解集為(；,2).

(2)集合Q={x\-2-t<x<-2+t}

又PCQ手所以滿足當(dāng)x=—2時(shí)，函數(shù)y>0,即4a-2-b>0,所以4a>b+2>3,

11,413b-2…6-?..t+2

正一/再？記t=3b-2>l,此u時(shí)匕=丁，

1141_3b-2_9t_91

則益~~b~~b+2~b~b(b+2)~~(t+2)(t+8)~~tTy+lO-