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絕密★啟用前
2020-2021學(xué)年江蘇省如東高級(jí)中學(xué)泰州高級(jí)中學(xué)高二11月聯(lián)考數(shù)學(xué)
一、選擇題(本大題共8小題,共40分)
1.已知函數(shù)y=V-%2+2x+3的定義域?yàn)榧螹,集合N={x|0WxW2},則
MCIN=()
A.[-1,3]B.[0,2]C.[0,1]D.[-1,4]
【答案】B
【解析】令一/+24+3》。得一l《x43,
所以M={x|-1<%<3},所以MCN={x|04x42},
故選B.
2.命題[2,+8),刀224”的否定為()
A.VxG[2,+oo),X2<4B.VxG(-00,2),x2>4
e
C.3x0e[2,+oo),XQ<4D.3x0[2,+8),就24
【答案】C
【解析】???命題"Vxe[2,+8),X2>4",
???命題的否定是三支06[2,+8),XQ<4
故選C.
3.已知二次函數(shù)f(x)=(x-m)(x-n)+l,且%i,%2是方程/(x)=0的兩個(gè)根,則
X2>W,"的大小關(guān)系可能是()
A.x1<x2<m<nB.<m<x2<n
C.m<n<xx<x2D.m<<x2<n
【答案】D
【解析】/(x)=(x-m)(x-n)+1,并且%i,%2是方程/(x)=0的兩根,
即有f(m)=/(n)=1./(%!)=f(x2)=0,
由于拋物線y=/(x)開口向上,可得加,〃在兩根&之外,
可得A,B,C均錯(cuò),。正確,
故選:D.
4,已知圓C:/+y2-2%+4y=0關(guān)于直線3x—2ay-11=0對(duì)稱,則圓C中以
己一夕為中點(diǎn)的弦長(zhǎng)為()
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】
依題意可知直線過圓心(1,一2),即3+4。-11=0,。=2.故(泉—卞=(1,-1).
圓方程配方得(x-1)2+(y+2)2=5,(1,一1)與圓心距離為1,
故弦長(zhǎng)為2臼=1=4.
故選:D.
5.正確使用遠(yuǎn)光燈對(duì)于夜間行車很重要.已知某家用汽車遠(yuǎn)光
燈(如圖)的縱斷面是拋物線的一部分,光源在拋物線的焦點(diǎn)
處,若燈口直徑是20am燈深10?!?,則光源到反光鏡頂
點(diǎn)的距離是()
A.2.5cmB.3.5cmC.4.5cmD.5.5cm
【答案】A
【解析】
設(shè)對(duì)應(yīng)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px,由題意知拋物線過點(diǎn)(10,10),
得100=2px10.得p=5,
則々=2.5,即焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2.5,0),
則光源到反光鏡頂點(diǎn)的距離是2.5.
故選A.
6.平流層是指地球表面以上10和1到50府的區(qū)域,下述不等式中,x能表示平流層高
度的是()
A.|%+10|<50B.|x-10|<50C.|x+30|<20D.|x-30|<20
【答案】D
【解析】
解:由題意知10cx<50,
4選項(xiàng),不等式可化為-50<x+10<50,即—60<x<40,不正確;
第2頁,共12頁
8選項(xiàng),不等式可化為一5010<50,即—40<x<60,不正確;
C選項(xiàng),不等式可化為-20<x+30<20,即-50<x<-10,不正確;
。選項(xiàng),不等式可化為一20<》一30<20,即10cx<50,正確;
故選D.
7.在公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列{用}中,a4=l,則當(dāng)2a2+取得最小值時(shí),1咤2勺等
于()
A.;B.C.iD.-i
【答案】A
22
【解析】由。4=4,及等比數(shù)列的性質(zhì)可得2a2+a6=2X4xQ-+4q>
2,8q-2義4q2=訴
當(dāng)且僅當(dāng)q=好時(shí)取得最小值.
所以log2q=3故選A.
8.設(shè)a>0,b>0,且2a+b=l,則三+--()
A.有最小值為2夜+1B.有最小值為e+1
C.有最小值為gD.有最小值為4
【答案】A
【解析】a>0,b>0,且2a+b=1,則0<a<土
12a12a
:.__?=__|
aa+ba1-a
1—2(1—CL)+212
=—I---------------------=—F----------2
a1—aa1-a
又!+W=G+E)(a+l-a)
=3+^+—>3+2V2,
a1-a
當(dāng)且僅當(dāng)與士=言,即當(dāng)且僅當(dāng)a=a-1時(shí)等號(hào)成立,
所以2+g的最小值為2夜+L故選人
aa+b
二、不定項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,共16分)
9.下列不等式成立的是()
A.若a<Z?<0,則a2>b2B.若ab=4,則a+Z?>4
C.若a>b,則ac2>be2D.若a>b>0,m>0,則&<竺上
aa+m
【答案】AD
【解析】對(duì)于A,若QVbvO,根據(jù)不等式的性質(zhì)則Q2>〃,故A正確;
對(duì)于8,當(dāng)Q=—2,b=—2時(shí),a4-h=—4<4,顯然B錯(cuò)誤;
22
對(duì)于C當(dāng)c=0時(shí),ac=bcf故于錯(cuò)誤;
-bb+mb(a+m)-a(b+m)(b-a)m
對(duì)于。,-------=-----;---;---=-----7,
aa+ma{a+m)a(a+m)
因?yàn)镼>b>0,m>0,所以b—aVO,a4-m>0,所以()<0
aia+m)
所以巴一處巴<o,即2<處及成立,故。正確.故選AZZ
aa+maa+m
10.下面命題正確的是()
A.“a>1”是叫<r的充分不必要條件
B.在△ABC中,asinA+cosA=sinB+cosBn是“A=B”的充要條件
C.設(shè)x,yeR,則“x>2且y>2”是“小+y2>4”的必要而不充分條件
D.設(shè)a,bGR,則“aH0”是“abH0”的必要不充分條件
【答案】AD
【解析】對(duì)于A,由三<1可得a>1或a<0,
a
所以“a>r是“5<1”的充分不必要條件,故A正確;
a
對(duì)于B,由sin/4+cosA=sinB+cosB,可得疝i(j+*)=sin(B+,
所以.A+g="+;或A+]+B+J=7T,即A=B或,4+B=1,
所以“sinA+cosA=sinB+cosB”是uA=Bn的必要不充分條件,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,設(shè)x,y6R,由x22且y22可得M+y224,反之不成立,
則“x22且y22”是+丫2>4”的充分不必要條件,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于。,由ab片0可得aH0,反之不成立,
所以“a短0”是“ab#0”的必要不充分條件,故。正確,
故選AD.
第4頁,共12頁
11.已知雙曲線\一,=l(a〉O,b〉O)的左、右焦點(diǎn)分別為尺,F(xiàn)2,尸為雙曲線上一
點(diǎn),且仍0|=2仍員1,若sin/FiPF2=半,則對(duì)雙曲線中a,b,c,e的有關(guān)結(jié)論
正確的是()
A.e=V6B.e=4C.b=y/5aD.b=V3a
【答案】ACD
【解析】IPFJ=2\PF2\,
???由雙曲線定義可知:IPFJ-\PF2\=\PF2\=2a,AIPFJ=4a,
由sinNFiPEi=—,得cos乙&PF2=±;.
1
在APFiF2中,由余弦定理可得:絲*竺七空=±3,
12x2ax4a4
解得,底=4或a=6,
???c—2a或c=V6a>
:,b=y/c2—a2=百a或b=Vc2-a2=V5a?
e=~=2或幾,
.?.8選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤,故選ACD
12.在數(shù)列{a"中,若嫌一嫌_1=2(7122/£/7*/為常數(shù)),則稱{6}為“等方差數(shù)
列”,下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是()
A.若{an}是等差數(shù)列,則{冊(cè)}是等方差數(shù)列
B.{(一1嚴(yán)}}是等方差數(shù)列
C.若{an}是等方差數(shù)列,則{akn}(keN*),/c為常數(shù))也是等方差數(shù)列
D.若{a“}既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,則該數(shù)列為常數(shù)列
【答案】BCD
【解析】對(duì)于4,若{%}是等差數(shù)列,如斯=心
則聯(lián)—an-i=n4—(n—I)4=(2n—l)(2n2—2n+1)不是常數(shù),
故{嗎}不是等方差數(shù)列,故4錯(cuò)誤;
對(duì)于8,數(shù)列{(一1為中,成一碎_i=[(T)呼一[(一1)"-平=0(常數(shù)),
{(一1尸}是等方差數(shù)列,故B正確;
對(duì)于C,數(shù)列{6}中的項(xiàng)列舉出來是,即,。2,…,ak'a2k'
數(shù)列{akn}中的項(xiàng)列舉出來是,ak^a2k>…,
(或+1-破)=(或+2-或+D=(或+3-或+2)=…=(喙-吸-1)=P,
二(成+1-al)+(磕+2—或+1)+(或+3-或+2)+…+(a金-a泉-1)=切,
(a金—或)=kp,■1?(dfc(n+i)—a短)=kp,
■■{akn}(/cGN*,k為常數(shù))是等方差數(shù)列,故C正確;
對(duì)于是等差數(shù)列,
**,Q九=d9
???{a"是等方差數(shù)列,
?n-Wt=p,
二(an+an-i)d=p,
1°當(dāng)d=0時(shí),數(shù)列{a,J是常數(shù)列,
2。當(dāng)dHO時(shí),〃為偶數(shù)時(shí),冊(cè)=畀裊〃為奇數(shù)時(shí),an=;合數(shù)列5}是常數(shù)歹U,
綜上數(shù)列{aj是常數(shù)列,故。正確.
故選BCD.
三、填空題(本大題共4小題,共20分)
13.已知正數(shù)x,y滿足3xy+y?-4=0,則3x+5y的最小值為。
【答案】8
【解析】
?.?正數(shù)x,y滿足3xy+y2-4=0,
C4
???3x=——y,
y
???3x+5y=(+4y>2J;?4y=8,
當(dāng)且僅當(dāng)j=4y,即y=i時(shí)取等號(hào),
3x+5y的最小值為8.
故答案為8.
14.拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是;經(jīng)過點(diǎn)P(4,l)的直線/與拋物線C相交
于4,8兩點(diǎn),且點(diǎn)P恰為A8的中點(diǎn),/為拋物線的焦點(diǎn),則|而j+|FF|=
【答案】C,0);9
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【解析】
由拋物線C:y2=2x,得2P=2,p=1,則]=J
???拋物線的焦點(diǎn)尸G,0).
過A作4M_L準(zhǔn)線,BN_L準(zhǔn)線,PK_L準(zhǔn)線,M、N、K分別為垂足,
則由拋物線的定義可得|4M|+\BN\=\AF\+\BF\.
再根據(jù)P為線段A8的中點(diǎn),有“|AM|+\BN\)=\PK\=l,
■.\AF\+\BF\=9,
故答案為:G,0),9.
15.過P(2,2)作圓C:(x—l)2+y2=i的切線,則其切線方程為
【答案】x=2或3K-4y+2=0
【解析】圓C:(x—l)2+y2=1的圓心為(1,0),半徑為1,
(1)當(dāng)過點(diǎn)(2,2)的直線垂直于x軸時(shí),
此時(shí)直線斜率不存在,方程是x=2,
???圓心。(1,0)到直線的距離為d=1=r,
???直線x=2符合題意;
(2)當(dāng)過點(diǎn)(2,2)的直線不垂直于x軸時(shí),
設(shè)直線方程為y—2=k(x—2),即kx-y-2k+2=0.
?.?直線是C(》一1)2+丫2=1的切線,
.??點(diǎn)。(1,0)到直線的距離為d==1,解之得k=
此時(shí)直線方程為3x-4y+2=0.
切線方程為x=2或3%-4y+2=0.
故答案為久=2或3%-4y+2=0.
16.若關(guān)于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+8),則關(guān)于x的不等式誓>0的解集
X-Z
是.
【答案】(—1,2)
【解析】由題意得,ax-b<0的解集是(1,+8),
則廣1,
la<0
而不等式筆>0等價(jià)于a(%+1)(%-2)>0,
X—2
即(%+1)(%—2)<0,
解得—1<x<2,
所以不等式箸>0的解集是(-L2);
故答案為(一1,2).
四、解答題(本大題共6小題,共72分)
17.已知圓C:(X-3尸+(y-4產(chǎn)=4.
(I)若直線/過點(diǎn)4(2,3)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2次,求直線/的方程;
(U)若直線/過點(diǎn)與圓C相交于P,Q兩點(diǎn),求ACPQ的面積的最大值,并求
此時(shí)直線/的方程.
【答案】(I)圓C的圓心坐標(biāo)為C(3,4),半徑R=2,
???直線/被圓E截得的弦長(zhǎng)為26,二圓心C到直線/的距離d=1.
(1)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí),/:x=2,顯然滿足d=l;
(2)當(dāng)直線/的斜率存在時(shí),設(shè)/:y-3=fc(x-2),即kx-y+3-2k=0,
由圓心C到直線/的距離d=l得:羋嗎=1,解得k=0,故/:y=3;
vl+fcz
綜上所述,直線/的方程為久=2或y=3
(!!)???直線與圓相交,的斜率一定存在且不為0,設(shè)直線/方程:y=k(x-l),
即kx-y—k=0,則圓心C到直線I的距離為d=警整,
/vl+kz
第8頁,共12頁
又「△CPQ的面積S=1xdx2V4—d2=y/d2(4—d2)=(-(d2-2尸+4,
???當(dāng)d=魚時(shí),S取最大值2.由d=隼瞿=VL得k=l或k=7,
vl+fcz
二直線/的方程為x-y-1=0或7%-y-7=0.
18.在①%,。2成等差數(shù)列,②%,a2+l,。3成等比數(shù)列,③$3=:,三個(gè)條件
中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中,并作答.
已知%為數(shù)列{須}的前〃項(xiàng)和,3Sn=an+2ai,(n€N*),%片0,且____.
(1)求數(shù)列{Qn}的通項(xiàng)公式;
(2)記g=一log?成,求數(shù)列{bn}的前〃項(xiàng)和〃.
【答案】解:選①,
(1)?;口1,:,口2成等差數(shù)列,二。1+。2=5
v3sH=@九+2alf
???3(%+a2)=a2+2%,即%+2a2=0,
Y1
???Ql=1,@2=-5,
??,當(dāng)n>2時(shí),3Sn_i=Qn_i+2QI,
???3a=3S—3S_i=Qn—an-i??*,T-2-=-2,
nnnan-i』
二數(shù)列{a,J是以1為首項(xiàng),-沙公比的等比數(shù)列,
斯=(一曠:
2
(2)-bn=-log2an=-log2(-0=-log2=2n-2.
數(shù)列{b}的前n項(xiàng)和7;=0+2+4+…+(2律-2)=吟衛(wèi)=n2-n.
2
19.已知等差數(shù)列{&J的前“項(xiàng)和為又,Sn=n+n+m.
⑴求m的值;
(2)已知%=^-+2an,求數(shù)列{%}的前"項(xiàng)和
2
【答案】(1)5rl=n+n+m,
當(dāng)九>2時(shí),Sn_1=(九一I)?+九一i+爪,
兩式相減可得Qn=2n,
???{an}為等差數(shù)列,
???當(dāng)九=1時(shí),%=2+m=2,
Am=0,
2
(2)由(1)可得Sn=n+n=n(n+1),
..飛弋+2斯=儡+22"=(^^)+4”,
11111114(1一4n)
A7^=(1--+---+---4-???4-------------)+
nk22334nn+Y1-4
Y1,1477+144n+111
1---------F-x4n+1——=-------------------
n+1333n+l3
20.已知p:%2—7%+10<0,q:x2—4mx+3m2<0其中m>0.
(1)已知m=4,若pAq為真,求x的取值范圍;
(2)若7?是"的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】解:(1)由M—7%+10V0,解得2VXV5,
所以p02cx<5;
對(duì)于不等式—4mx+3m2<o,
因?yàn)橐唬篤2+:+24-;,解得M<%<3ni,
3A2
所以q<=>m<x<3m.
當(dāng)一2V—4?」<一工時(shí),,qQ4Vxe12,
33m2+4—2
又m2為真,p,q都為真,
所以4<x<5,
即x的取值范圍是(4,5);
(2)由m<-卓是「p的充分不必要條件,
??.p為q的充分不必要條件,
由(l)p<=>2<x<5,q<=>m<x<3m,
第10頁,共12頁
m<2①
3m>5(2),且①②不能同時(shí)取等號(hào),
m>0③
/.-<m<2,
3
??.實(shí)數(shù)m的取值范圍是自21
21.設(shè)函數(shù)y=QM+%一匕(QcbER).
(1)求不等式y(tǒng)<(2a+2)x-b-2的解集;
(2)當(dāng)Q>0,h>1時(shí),記不等式y(tǒng)>0的解集為P,集合Q={%|-2-t<x<-2+
t}.若對(duì)于任意正數(shù)r,PCQ力。,求;一3的最大值.
【答案】
解(1)lily<(2a+2)x-b-2得a/_(2a+l)x+2V0,即(ax-l)(x-2)<0.
(/)當(dāng)a>0時(shí),不等式可以化為—2)<0.
①若0,則*2,此時(shí)不等式的解集為(2,*;
②若。=也則不等式為。一2¥<0,不等式的解集為a;
③若a>:,則5<2,此時(shí)不等式的解集為(%2).
(口)當(dāng)a=0時(shí),不等式即-x+2<0,此時(shí)不等式的解集為(2,+8).
(〃)當(dāng)a<0時(shí),不等式可以化為(x-》(x-2)>0,解集為(一8,》〃(2,+8).
綜上所述,第a<0時(shí),不等式的解集為(-8,》U(2,+8);
當(dāng)Q=0時(shí),不等式的解集為(2,+8);
當(dāng)0<a<襯,不等式的解集為(2,;);
當(dāng)。=泄,不等式的解集為0;
當(dāng)a>決寸,不等式的解集為(;,2).
(2)集合Q={x\-2-t<x<-2+t}
又PCQ手所以滿足當(dāng)x=—2時(shí),函數(shù)y>0,即4a-2-b>0,所以4a>b+2>3,
11,413b-2…6-?..t+2
正一/再?記t=3b-2>l,此u時(shí)匕=丁,
1141_3b-2_9t_91
則益~~b~~b+2~b~b(b+2)~~(t+2)(t+8)~~tTy+lO-
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