第9講　運動的合成與分解

第9講運動的合成與分解小船過河問題與切割玻璃問題的區(qū)別1小船在200m寬的河中橫渡,水流速度為2m/s,船在靜水中的速度是4m/s,要使小船到達正對岸,應(yīng)如何行駛?2寬9m的成型玻璃以2m/s的速度連續(xù)不斷地向前行進,在切割工序處,金剛割刀的速度為10m/s,為了使割下的玻璃板都成規(guī)定尺寸的矩形,金剛割刀的軌道應(yīng)如何控制?[解析]這是兩道經(jīng)典題,但大多數(shù)學(xué)生搞不清這兩道題在解法上有什么區(qū)別.如例1的解法如下:要使小船垂直過河,即合速度應(yīng)垂直于河岸,如圖甲所示,則cosθ=v所以θ=60°,即航向與河岸上游成60°角.對例2的解法,多數(shù)學(xué)生認為與例1的解法相同,即合速度應(yīng)垂直于玻璃板,如圖乙所示,則cosθ=v即θ=arccos15實際上,例1的解法正確,例2的解法錯誤,例2的正確解法如下:由題目條件知,割刀運動的速度是實際的速度,所以為合速度,其分速度的效果恰好相對玻璃垂直切割.設(shè)割刀的速度v2的方向與玻璃板速度v1的方向的夾角為θ,如圖丙所示,要保證割下矩形的玻璃板,由v2是合速度,得v1=v2cosθ所以cosθ=v即θ=arccos1要割下矩形板,割刀速度方向與玻璃板速度所成角度θ=arccos15這兩道題看起來非常相似,解法上卻有很大區(qū)別,為什么呢?這也是很多學(xué)生的疑點,分析可知,關(guān)鍵是找合速度的問題,例2中割刀運動的速度v2為什么是合速度?原來,割刀是由機器控制速度方向,它不會隨玻璃行進的方向的改變而改變,也就是割刀運動的實際速度,所以為合速度.而例1中船行進的方向會隨水流速度的改變而改變,故v船不是合速度,這就是兩道題的區(qū)別.曲線運動的條件與軌跡分析1.(多選)如圖為一個做勻變速曲線運動的質(zhì)點的軌跡示意圖,已知在B點的速度方向與加速度方向相互垂直,則下列說法中正確的是 (AC)A.在D點的速度比在C點的速度大B.在A點的加速度與速度方向間的夾角小于90°C.在A點的加速度和在D點的加速度相等D.從A到D過程中,加速度與速度的夾角先增大后減小[解析]質(zhì)點做勻變速曲線運動,合力的大小與方向均不變,加速度不變,故C正確;由B點的速度方向與加速度方向相互垂直可知,合力方向與B點切線垂直且向下,故質(zhì)點由C到D的過程中,合力做正功,速度增大,A正確;A點的加速度方向與過A點的切線即速度方向的夾角大于90°,B錯誤;從A到D過程中,加速度與速度方向間的夾角一直變小,D錯誤.2.一小球受到外力作用在豎直平面內(nèi)運動,軌跡的頻閃照片如圖所示,AB為水平直線,D為軌跡的最低點.不計空氣阻力,下列說法正確的是 (C)A.在AB段時小球受到的合力大于0B.在BD段小球受到的合力等于0C.在D點時小球處于超重狀態(tài)D.EF段時小球受到的合力方向可能豎直向上[解析]由圖可知,在AB段時小球做勻速直線運動,所受合力為零,故A錯誤;由運動軌跡可知,小球在BD段的速度先增大后減小,則小球所受到的合力不為零,故B錯誤;由圖可知,在D點時小球所受的合力向上,則加速度向上,故小球處于超重狀態(tài),故C正確;由圖可知,小球在EF段時豎直方向的分速度不變,水平方向的分速度減小,則受到的合力方向為水平向左,故D錯誤.運動的合成與分解3.質(zhì)量為m=2kg的物體(可視為質(zhì)點)靜止在光滑水平面上的直角坐標系的原點O處,先用沿x軸正方向的力F1=8N作用2s,然后撤去F1,再用沿y軸正方向的力F2=10N作用2s,則物體在這4s內(nèi)的軌跡為 (D)[解析]物體在F1的作用下由靜止開始從坐標系的原點O沿x軸正方向做勻加速直線運動,加速度a1=F1m=4m/s2,2s末的速度為v1=a1t1=8m/s,位移x1=12a1t12=8m,到2s末撤去F1,再受到沿y軸正方向的力F2的作用,在F2作用的2s內(nèi),物體在x軸正方向做勻速直線運動,x2=v1t2=16m,在y軸正方向做勻加速直線運動,加速度a2=F2m=5m/s2,方向向上,豎直方向的位移y=12a2t22=10m,4.2022年10月20日杭州學(xué)軍中學(xué)第60屆田徑運動會隆重舉行,各班進行入場式表演時,無人機從地面開始起飛,在空中進行跟蹤拍攝.若無人機在水平和豎直方向運動的速度隨時間變化關(guān)系圖像如圖所示,則無人機 (C)A.在0~t1的時間內(nèi),運動軌跡為曲線B.在t1~t2的時間內(nèi),運動軌跡為直線C.在t1~t2的時間內(nèi),速度均勻變化D.在t3時刻的加速度方向豎直向上[解析]在0~t1的時間內(nèi),無人機沿x方向和y方向均做初速度為零的勻加速直線運動,其合運動仍是直線運動,故A錯誤;在t1~t2的時間內(nèi),無人機的加速度沿y軸負向,但初速度為t1時刻的末速度,方向不是沿y軸方向,初速度和加速度不共線,因此運動軌跡應(yīng)是曲線,故B錯誤;在t1~t2的時間內(nèi),無人機加速度沿y軸負向,且為定值,因此其速度均勻變化,故C正確;在t3時刻,無人機有x軸負方向和y軸正方向的加速度分量,合加速度方向不是豎直向上,故D錯誤.小船渡河問題5.如圖所示,直線AB和CD表示筆直且彼此平行的河岸,若河水不流動,小船船頭垂直于河岸由A點勻速駛向?qū)Π?小船的運動軌跡為直線P.若河水以穩(wěn)定的速度沿平行于河岸方向流動,且整個河流中水的流速處處相等,現(xiàn)仍保持小船船頭垂直于河岸由A點勻加速駛向?qū)Π?則小船實際運動的軌跡可能是圖中的(D)A.直線P B.曲線Q C.直線R D.曲線S[解析]小船在流動的河水中行駛時,同時參與兩個方向的分運動,一是沿水流方向的勻速運動,二是沿垂直于河岸方向的勻加速運動.小船沿垂直于河岸方向具有加速度,由牛頓第二定律可知,小船所受的合力沿該方向,根據(jù)曲線運動的加速度方向指向軌跡凹側(cè)可知,軌跡可能是曲線S.6.如圖所示,河寬為d,河水的流速v水恒定,船在靜水中的速度v靜的大小不變,船從河岸的A點沿虛線軌跡運動,勻速到達河對岸的B點,v水、v靜與虛線的夾角分別為α、β,下列說法正確的是 (D)A.幾個物理量的關(guān)系為v水cosα=v靜cosβB.船的實際運行速度v=v水sinα+v靜sinβC.渡河時間與河水的流速v水有關(guān)D.當(dāng)α+β=60°時,渡河的時間為2[解析]v水、v靜的合速度即船的實際運行速度,沿虛線所在的方向,把v水、v靜分別沿著虛線和垂直于虛線所在的方向正交分解,則有v水sinα=v靜sinβ,船的實際運行速度v=v水cosα+v靜cosβ,A、B錯誤;渡河的時間t=dv靜sinα+β,由v靜、α、β、d幾個量共同決定的,與v水無關(guān),C錯誤;當(dāng)α+β=60°時,7.為了跟蹤拍攝飛行中的炮彈,獲得炮彈的高清畫面,科學(xué)家通過電腦控制一面旋轉(zhuǎn)的鏡子使炮彈的像一直和攝像機鏡頭在一條直線上,如圖所示,水平飛行的炮彈的速度為v,與攝像機的豎直距離為d,鏡子的入射光和反射光之間的夾角為θ,則此時鏡子旋轉(zhuǎn)角速度ω的大小為(C)A.vsinθ2C.vsin2[解析]炮彈的速度可以分解成以O(shè)為圓心的切向速度和徑向速度,當(dāng)鏡子的角速度為ω時,實際炮彈的角速度為2ω,半徑r=dsinθ,根據(jù)速度的合成與分解有vsinθ=2ω×dsinθ,可得ω=“關(guān)聯(lián)速度”類問題8.如圖所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過一根不可伸長的細繩帶動小車沿水平面向右運動。若當(dāng)滑輪右側(cè)的繩與豎直方向成β角，且重物下滑的速率為v時，滑輪左側(cè)的繩與水平方向成α角，則小車的速度為（D）A.vsinβC.vcosβ[解析]將重物與小車的速度分別沿細繩方向和垂直細繩方向分解，如圖甲、乙所示.設(shè)小車的速度為v車，沿細繩方向的分速度為v3＝v車cosα，重物M速度沿細繩方向的分速度v1＝vcosβ。由于細繩不可伸長，小車和重物沿細繩方向的速度相等，即v車cosα＝vcosβ，解得v車＝vcosβcosα9.如圖所示,一輕桿兩端分別固定質(zhì)量為mA和mB的兩個小球A和B(可視為質(zhì)點).將其放在一個光滑球形容器中從位置1開始下滑,當(dāng)輕桿到達位置2時球A與球形容器球心等高,其速度大小為v1,已知此時輕桿與水平方向成θ=30°角,球B的速度大小為v2,則 (C)A.v2=12v1 B.v2=2vC.v2=v1 D.v2=3v1[解析]球A與球形容器球心等高,速度v1方向豎直向下,速度分解如圖所示,有v11=v1sin30°=12v1,球B此時速度方向與桿成α=60°角,因此v21=v2cos60°=12v2,沿桿方向兩球速度相等,即v21=v11,解得v2=v1,C10.曲柄連桿結(jié)構(gòu)是發(fā)動機實現(xiàn)工作循環(huán)、完成能量轉(zhuǎn)換的主要運動零件，如圖所示，連桿下端連接活塞Q，上端連接曲軸P.在工作過程中，活塞Q在汽缸內(nèi)上下做直線運動，帶動曲軸繞圓心O旋轉(zhuǎn)，若P做線速度大小為v0的勻速圓周運動，則下列說法正確的是(A)A．當(dāng)OP與OQ垂直時，活塞運動的速度等于v0B．當(dāng)OP與OQ垂直時，活塞運動的速度大于v0C．當(dāng)O、P、Q在同一直線時，活塞運動