2020-2021學(xué)年廣東省深圳市羅湖區(qū)布心中學(xué)九年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試卷六（附答案詳解）

2020-2021學(xué)年廣東省深圳市羅湖區(qū)布心中學(xué)九年級(jí)(下)

期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試卷(6)

1.如圖，。。是AABC的外接圓，4c是直徑，弦8。=

BA,EBLDC,交DC的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：BE是。。的切線；

(2)當(dāng)sin/BCE=|,AB=3時(shí)，求⑷?的長.

2.如圖1,。是。。的直徑BC上的一點(diǎn)，過。作交。。于E、N,尸是。。上的

一點(diǎn)，過F的直線分別與CB、OE的延長線相交于4、P,連結(jié)CF交PD于M,4c=

(1)求證：P4是。。的切線；

(2)若41=30。，。。的半徑為4,DM=1,求PM的長；

(3)如圖2,在(2)的條件下，連結(jié)BF、BM；在線段DN上有一點(diǎn)并且以H、D、

C為頂點(diǎn)的三角形與尸M相似，求?！钡拈L度.

3.如圖，在Rt△力BC中，ZC=90°,點(diǎn)。，D分別為ZB,BC的中點(diǎn)，連接。D,作。。

與4c相切于點(diǎn)E,在4C邊上取一點(diǎn)F,使DF=D。，連接DF.

(1)判斷直線DF與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)當(dāng)NA=30。，。F=四時(shí)，求。。的半徑.

第2頁，共46頁

4.已知4D為0。的直徑，BC為。。的切線，切點(diǎn)為M,分別過A,D兩點(diǎn)作BC的垂線,

垂足分別為B,C,AD的延長線與BC相交于點(diǎn)E.

(1)求證：AABMfMCD；

(2)若40=8,AB=5,求ME的長.

5.如圖，4B為。。的直徑，C,G是。。上兩點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線CD_LBG于點(diǎn)。，交B4

的延長線于點(diǎn)E,連接BC,交0D于點(diǎn)F,且BC平分N4BD.

(1)求證：CO是。。的切線；

(2)若色="求NE的度數(shù)；

(3)連結(jié)力。，在(2)的條件下，若CD=2w，求4。的長.

E0B

6.如圖，在△ABC中，Z.C=90°,AE平分4BAC交BC于點(diǎn)E,

。是4B上一點(diǎn)，經(jīng)過4,E兩點(diǎn)的。。交48于點(diǎn)。，連接。E,

作4DE4的平分線EF交。。于點(diǎn)尸，連接4F.

(1)求證：BC是。。的切線.

(2)若sin/E凡4=g,AF=5V2,求線段AC的長.

7.如圖，在A4BC中，以BC為直徑的。。交4C于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作AB的垂線交4B于點(diǎn)尸,

交CB的延長線于點(diǎn)G,且N4BG=24c.

(1)求證：EG是。。的切線；

(2)若tanC=g,AC=8,求。。的半徑.

第4頁，共46頁

A

E

8.如圖，點(diǎn)。是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，。。與邊AC相切

于點(diǎn)E，與邊BC,AB分別相交于點(diǎn)。，凡且DE=EF.

(1)求證：ZC=90°；

(2)當(dāng)BC=3,=2寸，求ZF的長.

9.如圖所示，。。的半徑為4,點(diǎn)4是。。上一點(diǎn)，直線，過點(diǎn)4；P是。。上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)(不與點(diǎn)4重合)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)B,交。。于點(diǎn)E,直徑尸。延長線交直線I于

點(diǎn)尸，點(diǎn)4是血的中點(diǎn).

(1)求證：直線/是。。的切線；

(2)若P4=6,求PB的長.

p

10.如圖，AB是。。的直徑，AC為弦，4BAC的平分線交。。于點(diǎn)。，過點(diǎn)。的切線交AC

的延長線于點(diǎn)E.求證：

E

⑴DE_LAE；

(2)AE+CE=AB.

11.如圖，力B為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，。為B4延長線上一點(diǎn)，^ACD=Z.B.

(1)求證：CC為。。的切線;

第6頁，共46頁

(2)線段DF分別交AC,BC于點(diǎn)E,F且4CEF=45。，。。的半徑為5,sinB=|,求

CF的長.

12.$nS，^ABC^,AB=BC,以AB為直徑的。。交BC于

點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CE〃/1B,與過點(diǎn)4的切線相

交于點(diǎn)E,連接4D.

(1)求證：AD=AE；

(2)若4B=6,AC=4,求4E的長.

13.如圖,AB為。。的直徑，點(diǎn)C在。。外，乙4BC的平分線與0。

交于點(diǎn)。，4c=90°.

(1)CD與。。有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由;

(2)若ZCDB=60°,AB=6,求?的長.

14.如圖，4B為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，4。和過點(diǎn)C的

切線互相垂直，垂足為。，且交。。于點(diǎn)E.連接。C,BE,

相交于點(diǎn)F.

(1)求證：EF=BF-,

(2)若DC=4,DE=2,求直徑的長.

15.如圖，已知4、B是。0上兩點(diǎn)，AO/IB外角的平分線交。。于

另一點(diǎn)C,CD交4B的延長線于D.

(1)求證：CD是。。的切線；XA

(2)E為觸的中點(diǎn)，F(xiàn)為。。上一點(diǎn)，EF交4B于G,若tan乙4FE=

BE=BG,EG=3V10，求。。的半徑.

第8頁，共46頁

16.如圖，4B是。M的直徑，BC是。M的切線，切點(diǎn)為B,

C是BC上(除B點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)，連接CM交OM于點(diǎn)G,

過點(diǎn)C作。C1BC交BG的延長線于點(diǎn)D,連接4G并延

長交BC于點(diǎn)E.

(1)求證：4ABE7BCD；

(2)若MB=BE=1,求CD的長度.

17.如圖1,平行四邊形4BCD中，AB1AC,AB=6,力。=10,點(diǎn)P在邊4D上運(yùn)動(dòng)，

以P為圓心，P4為半徑的(DP與對(duì)角線4C交于4E兩點(diǎn).

(1)如圖2,當(dāng)OP與邊CC相切于點(diǎn)尸時(shí)，求4P的長；

(2)不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OP與邊CD相切時(shí)，OP與平行四邊形4BCD的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，

隨著ZP的變化，OP與平行四邊形4BCC的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也在變化，若公共點(diǎn)

的個(gè)數(shù)為4,直接寫出相對(duì)應(yīng)的4P的值的取值范圍______.

18.如圖，RtA4BC中，448c=90。，以4B為直徑作。。，

點(diǎn)。為。。上一點(diǎn)，且CD=CB,連接。。并延長交CB的延

長線于點(diǎn)E.

(1)判斷直線CD與0。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若BE=4,DE=8,求4c的長.

19.如圖，4B為。。的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，將弧BC沿直線BC翻折，使弧BC的中

點(diǎn)。恰好與圓心。重合，連接。C,CD,BD,過點(diǎn)C的切線與線段B4的延長線交于

點(diǎn)P,連接4D,在P8的另一側(cè)作4MPB=N4DC.

第10頁，共46頁

A/

(1)判斷PM與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若PC=V3,求四邊形OCCB的面積.

20.如圖，力B是。。的弦，過4B的中點(diǎn)后作￡77J.。4垂足為點(diǎn)C,過點(diǎn)B作直線BC交

CE的延長線于點(diǎn)D,使得DB=DE.

(1)求證：BD是。。的切線;

(2)若48=12,DB=5,求4408的面積.

21.如圖，A/IBC中，AB=AC,以48為直徑的。。交

BC于點(diǎn)D,交4C于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作FG14C于點(diǎn)F,

交48的延長線于點(diǎn)G.

(1)求證：FG是。。的切線;

(2)若tcmC=2,求加的值.

22.如圖，P是。。外的一點(diǎn),PA,PB是。。的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，P0交48于點(diǎn)

F,延長B。交。。于點(diǎn)C,交P力的延長線于點(diǎn)Q,連接4c.

(1)求證：AC//PO；

(2)設(shè)。為P8的中點(diǎn)，Q0交4B于點(diǎn)E,若。。的半徑為3,CQ=2,求器的值.

第12頁，共46頁

23.如圖,4B是(D。的直徑，元=位是0B的中點(diǎn)，連接CE并延長到點(diǎn)尸，使EF=CE.

連接AF交。0于點(diǎn)。，連接BD,BF.

(1)求證：直線BF是。。的切線；

(2)若。8=2,求BD的長.

24.如圖，已知4B是。。的直徑，P是84延長線上一點(diǎn)，PC切。0于點(diǎn)C,CG是。。的

弦，CG1AB,垂足為D.

(1)求證：4PCA=LABC.

(2)過點(diǎn)4作4E〃PC交00于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,連接BE,若cos"='CF=10,

求BE的長.

pB

第14頁，共46頁

答案和解析

1.【答案】解：(1)證明：連結(jié)OB,0D,

在△480和408。中,

(AB=BD

lB0=B0,

WA=0D

:?xAB0e〉DB0(SSS),

???乙DBO=乙ABO,

???/,ABO=Z.0AB=乙BDC,

**?Z-DBO=乙BDC,

:.0B//ED,

vBE1ED,

??.EB1BO,

???BE是。。的切線；

(2)???4C是直徑，

???/.ABC=90°,

???Z-OBA+乙OBC=乙EBC+乙OBC=90°,

:.Z.OBA=乙EBC,

:.Z-BAC=Z-EBC,

,:BE1DE,

???乙E=90°,

:.(BCE+乙EBC=￡.BAC+乙ACB=90°,

vZ.BAC=乙EBC,

:.Z-ACB=乙BCE,

3

vsinZ-BCE=

4

3

???sinzJlCB=

4

-AB=3,

???AC=4,

???乙BDE=Z.BAC,

3

???sinZ.DBE=

4

???BD=AB=3,

二吟

BE=\IBD2-DE2=—

4

,:乙CBE=Z.BAC=乙BDC,乙E=乙E,

BDE~>CBEf

BE_DE

CE~BE

7

ACE=

4

???哈，

???AD=^AC2-CD2=V

【解析】本題考查了圓的切線判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)的定義和

相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，綜合程度較高，需要學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí).

(1)連接。B,0D,證明△AB。三△DB。，推出OB//DE,繼而判斷BE1。8,可得出結(jié)

論；

(2)根據(jù)圓周角定理得到乙4BC=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到乙4cB=乙BCE,求得AC=4,

根據(jù)勾股定理得到BE=7BD2-DE2="根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CE=根據(jù)

44

勾股定理即可得到結(jié)論.

???乙PHM=4CDM=90°,

???乙PMH=乙DMC,

???ZC=匕MPH,

第16頁，共46頁

VAC=-AFPM,

2

???乙HPF=乙HPM,

???乙HFP+乙HPF=90°,乙HMP+乙HPM=90°,

???乙PFH=乙PMH,

???OF=OC,

:.Z.C=乙OFC,

vzC+乙CDM=ZC+乙PMF=zC+乙PFH=90°,

ZOFC+ZPFC=90°,

???Z.OFP=90°,

二直線P4是。。的切線；

(2)解:如圖1中,

???44=30°,^AFO=90°,

???AAOF=60°,

vNAOF=NOFC+Z.OCF,乙OFC=4OCF,

“=30°,

的半徑為4,DM=1,

???OA=2OF=8,CD=6DM=娼,

OD=OC-CD=4-y/3,

二AD=。4+。。=8+4-百=12-百，

在RtAADP中，

DP=AD-tan30°=(12-V3)xy=4V3-1,

???PM=PD-DM=4V3-2;

(3)如圖2中,

由(2)可知：BF=^BC=4,FC=y/3BF=4V3，CM=2DM=2,CD=V3.

???FM=FC-CM=4V3-2,

①當(dāng)ACDH-aBFM時(shí)，—=^,

DH_V3

473-2-4

6—V3

：?DH=

2

②當(dāng)ACDZ/sAMFBB寸，—=^,

DH_W

4-46-2’

12+2V3

???DH-------,

ii

?：DN=J42-(4-V3)2=J8V5-3,

■.DH<DN,符合題意,

綜上所述，滿足條件的。”的值為三四或三衿

【解析】(1)如圖1中，作PH1FM于H.想辦法證明NPFH=4PMH,ZC=Z.OFC,再根

據(jù)等角的余角相等即可解決問題；

(2)解直角三角形求出AD,PD即可解決問題；

(3)分兩種情形①當(dāng)△CDHYBFM時(shí)，器=

②當(dāng)ACDH-AMFB時(shí)，詈=器，分別構(gòu)建方程即可解決問題；

本題考查圓綜合題、切線的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題.

3.【答案】解：(1)結(jié)論：DF是。。的切線.

理由：作。G1DF于G.連接。E.

第18頁，共46頁

B

BD—DC,BO=0Af

???OD//AC,

:.Z.ODG=乙DFC,

vWGD=Z.DCF=90°,ODDF,

??.OG—DC,

???AC是O。的切線，

:.OE1AC,

???乙4E0=ZC=90°,

???OE//BC,

???OD//CE,

???四邊形CDOE是平行四邊形，

???CD=OE,

???OG=OE,

???。尸是。0的切線.

(2)vFA,FD是。。的切線,

???FG=FE,設(shè)EG=FE=x,

???△0GDWADCF(A4S),

.?.DG=FC=V2,

:.OD=DF=V2+x,

-AC=2OD,CE=OD,

???AE=EC=OD=V24-%,

???LA=30°,

在RtADCF中，VDF2=CD2+CF2,

???(V2+x)2=(V2)2+(箸尸，

解得x=V3—四或—遍—&(舍棄),

V3

【解析】本題考查切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形中位線定理，全等三角形的判

定和性質(zhì)，切線長定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)

造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

⑴結(jié)論：。尸是O。的切線.作0G1。尸于G.連接0E.想辦法證明0G=0E即可解決問題;

(2)由尸4FD是。。的切線，推出尸G=FE,設(shè)尸G=FE=X,由^OGDEADCF(AAS),

推出DG=CF=y[2,推出。0=DF=^2+x,由4c=20D,CE=OD,推出AE=EC=

0D=y/2+x,由N4=30。，推出CD=OE=窄，在RtADCF中，^DF2=CD2+

V3

CF2,構(gòu)建方程即可解決問題.

4.【答案】(1)證明：,.?AD為圓。的直徑,

:.Z-AMD=90°,

v乙BMC=180°,

Z2+Z3=90°,

v4ABM=乙MCD=90°,

???Z24-Z1=90°,

???zl=z3,

則△48M*MCD；

(2)解:連接。M,

???BC為圓。的切線，

???OM1BC,

vAB1BCf

:?AB"OM

EBAs&EMO

UMf\DUM

—=—,即an-----=—

AEOEAO+OEOE

vAD=8,AB=5,

第20頁，共46頁

焉=蔡即0E=16,

根據(jù)勾股定理得：ME=yJOE2-OM2="62-42=4V15.

【解析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，以及切線的性質(zhì)，熟練學(xué)

握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

(1)由4。為直徑，得到所對(duì)的圓周角為直角，利用三角關(guān)系得到一對(duì)角相等，進(jìn)而利用

兩對(duì)角相等的三角形相似即可得證;

(2)連接。M,由BC為圓的切線，得到?！迸cBC垂直，利用相似三角形的性質(zhì)及勾股定理

即可求出所求.

5.【答案】解：(1)證明：連接0C,

???0C=OB,BC平分Z71BD,

???Z-OCB=乙OBC,Z-OBC=乙DBC,

:.Z.DBC=Z-OCB,

???OC//BD,

?，?Z-BDC=乙ECO,

???CD1BD,

??.乙BDC=90°,

???乙ECO=90°,

.??。。是。。的半徑，

??.CD是。。的切線；

(2)由(1)知，

OC//BD,

，乙OCF=LDBF,(COF=(BDF,

???△OCF~ADBD,

.OF_OC

,?~D—F—DB?

OF2

,,__——，

?FD—3

???一OC=2

DB3

???OC//BD,

EOC^LEDB,

.oc_EO

BDEB

.EO_2

??-—一，

EB3

設(shè)OE=2a,EB=3a,

OB=a,

???OC=a,

VZ.OCE=90°,OC=^OE,

???ZF=30°；

(3)vNE=30°,乙BDE=90°,BC平分4BE,

???乙EBD=60°,/.OBC=乙DBC=30。，

???CD=25/3.

BC=4V3,BD=6,

OC_2

—=一,

DB3

:.OC=4,

作OMJL/8于點(diǎn)M,

???乙DBM=90°,

vBD=6,乙DBM=60°,

???BM=3,DM=3后

第22頁，共46頁

???OC=4,

???AB=8,

???4M=5,

V/.DMA=90°,DM=3痘,

J(3V3)2+52=2V13.

AD=y/DM2+AM2=

【解析】本題是一道圓的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條

件，利用相似三角形的判定與性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合的思想解答.

(1)連接。C,然后根據(jù)題意和角平分線的性質(zhì)可以判斷OC〃BD,由NBDC=90。，從而

以證明結(jié)論成立；

(2)根據(jù)題意和三角形的相似、銳角三角函數(shù)，可以求得4E的度數(shù)；

(3)根據(jù)題意和(2)中的條件，作出合適的輔助線，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理可以求

得的長.

6.【答案】證明：(1)連接。E,

vOE—OA,

???Z.OEA=Z-OAE,

???4E平分4

???Z.OAE=Z.CAE,

Z-CAE=Z.OEA,

???OE//AC,

???(BEO=ZC=90°,

???8C是。。的切線；

(2)過4作A/1EF于H,

Rt^AHF^>,sin^EFA

AF5

?：AF=5V2，

AH=4V2.

???4。是。。的直徑，

???AAED=90°,

■:EF平分ZJ1ED,

???Z.AEF=45°,

???△4EH是等腰直角三角形，

???AE—y/2AH=8,

4AF

vsinZ-EFA=sinZ-ADE=-=—,

5AD

???AD=10,

???乙DAE=Z.EAC,/.DEA=Z-ECA=90°,

???△AED^LACE,

AE_AD

ACAE1

【解析】此題屬于圓的綜合題，涉及的知識(shí)有：切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，

銳角三角函數(shù)定義，以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

(1)連接OE,可得：0E//4C,貝叱BE。=NC=90。，解決問題；

(2)過4作4H1EF于H,根據(jù)三角函數(shù)先計(jì)算4"=4五,證明△4EH是等腰直角三角形,

則AE=&AH=8，證明△AEDSAACE,可解決問題.

7.【答案】證明(1)如圖：連接。E,BE

第24頁，共46頁

???Z.ABG=2z.C,Z.ABG=4。+ZJ1

???乙C=Z-A

???BC—AB,

???BC是直徑

???乙CEB=90°,且4B=BC

???CE=AEf且C。=OB

??.OE//AB

???GE1AB

:.EG1OE,且OE是半徑

???胡是0。的切線

(2)???4C=8,

???CE=AE=4

BE1

???tanz.C=——=-

CE2

???BE=2

BC=yJCE2+BE2=2>/5

CO=V5

即。。半徑為遙

【解析】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用切線的判定解決問

題.

⑴由N4BG=2”.可得△4BC是等腰三角形，且BE14c可得4E=CE,根據(jù)中位線定

理可得0E〃4B,且力BJ.EG可得。E_LEG,即可證EG是。。的切線

(2)根據(jù)三角函數(shù)求BE,CE的長，再用勾股定理求BC的長即可求半徑的長.

8.【答案】解：(1)連接OE,BE,

DE-EF,

DE=EF>

???乙OBE=乙DBE,

???OE—OB,

???Z.OEB=Z.OBE,

???Z.OEB=乙DBE,

???OE//BC,

???。0與邊4。相切于點(diǎn)￡,

???OE1AC,

???BC1AC,

???ZC=90°；

(2)在△ABC,Z.C=90°,BC=3,sinA="o

:.AB=5,

設(shè)OO的半徑為r,則4。=5-r,

在中，sinA=77=7—=

OA5-r5

_15

T——,

8

AF=5-2x-=~.

84

【解析】(1)連接OE,BE,因?yàn)?。E=E/，所以虎=介，從而易證4OEB=4DBE,

所以。E〃BC,從可證明BC1AC；

(2)設(shè)。。的半徑為r,則4。=5—r,在RtA40E中，sinA==7—~從而可求

OA5—r5

出r的值.

本題考查圓的綜合問題，涉及平行線的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解方程等知識(shí)，綜

合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).

9.【答案】(1)證明：連接DE,0A.

PD是直徑，

Z.DEP=90°,

vPB1FB,

???乙DEP=乙FBP,

???DE//BF,

AD=AEy

???OA1DE,

???OA1BF,

???直線/是。。的切線.

第26頁，共46頁

(2)解：作0HJ.P4于H.

v0A=OP,OH1PA,

.?.AH=PH=3,

vOA//PB,

???Z.OAH=Z.APB,

v/-AHO=^ABP=90°,

.??△40H7PAB,

OAAH

,??__—__，

PAPB

???4一=一3,

6PB

【解析】(1)連接DE,。4想辦法證明。AIB尸即可；

(2)作。H_LPA于H,只要證明MOHsAPaB,可得等=笫即可解決問題.

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、切線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考常考題型.

10.【答案】證明：(1)連接0。，如圖1所示.

???OA=OD,4。平分NB4C,

???Z-OAD=Z-ODA,Z.CAD=Z.OAD,

???Z.CAD=Z.ODA,

^AE//OD.圖1

???05是0。的切線，

:.LODE=90°,

???0D1DE,

:.DE1AE.

(2)過點(diǎn)D作。M1AB于點(diǎn)M,連接CD、DB,如圖2所示.

???AD平分NB4C,DELAE,DMLAB,

：.DE=DM.

(DE=DM

在△D4E和4M中，\AAED=/.AMD=90°,

圖

[AD=AD2

???△DAE^Ln4M(SAS),

-.AE=AM.

???Z.EAD=乙MAD,

???CD=如，

-CD=BD.

在Rt△DEC和RtADMB中，=??

ICC=BD

???Rt△DECmRt△DMB(HL),

CE=BM,

???AE+CE=AM+BM=AB.

【解析】(1)連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得出/CAD=N0D4

利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可得出4E〃。。，結(jié)合切線的性質(zhì)即可證出DE1AE；

(2)過點(diǎn)。作。M14B于點(diǎn)M,連接C。、DB,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出DE=DM,結(jié)

合AD=AD,乙AED=/.AMD=90。即可證出4DAE^^DAM(SAS'),根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)可得出ZE=AM,由NE4D=NM4C可得出力=BD，進(jìn)而可得出CD=BD,結(jié)合

DE=DM可證出Rt△DEC=Rt△DMB(HL),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出CE=BM,

結(jié)合AB=AM+BM即可證出AE+CE=AB.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性

質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是：(1)利用平行線的判定定理

找出4E〃00；(2)利用全等三角形的性質(zhì)找出4E=4M、CE=BM.

11.【答案】(1)證明：連接OC,

???4B為。。的直徑，

Z.ACB=Z.BCO+Z.OCA=90°,

OB-OC,

:.乙B=乙BCO,

,:Z.ACD=乙B,

:.Z-ACD=乙BCO,

???4/。。+2。￡71=90。，BPzOCD=90°,

??.DC為。。的切線；

(2)解：RtAACB中，AB=10,

第28頁，共46頁

:.AC=6,BC=8,

vZ-ACD=乙B,Z,ADC=乙CDB,

?，?△CAD^^BCD,

ACAD63

——=——=—=—,

BCCD84

設(shè)AD=3%,CD=4%,

RtAOCD中，0。2+亦=。。2,

5?+(4x)2=(5+3x)2,

x=0(舍)或9，

vZCFF=45°,Z.ACB=90°,

ACE=CF,

設(shè)CF=Q,

vZ-CEF=Z-ACD+乙CDE,

Z.CFE=+乙BDF,

???Z-CDE=乙BDF,

vZ.ACD=乙B,

???△CED~ABFD,

.CE_BF

,,~~~f

CDBD

.a_8-a24

,?謔一；^a=f，

771

CF=

7

【解析】(1)根據(jù)圓周角定理得：NACB=LBCO+^OCA=90°,根據(jù)同圓的半徑相等

和已知相等的角代換可得：N0CD=90。，可得結(jié)論；

(2)先根據(jù)三角函數(shù)計(jì)算AC=6,BC=8,證明△a4D8BCD,得保=券=￡=：,設(shè)

AD=3%,CD=4x,利用勾股定理列方程可得x的值，證明△CEDs^BFD,列比例式

可得CF的長.

本題考查切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？?/p>

題型.

12.【答案】⑴證明：與O。相切，AB是。。的直徑，

AZ.BAE=90°,/,ADB=90°,

???CE//AB,

???ZE=90°,

:.乙E=Z.ADB,

???在中，AB=BC,

???Z.BAC=Z.BCA,

vZ.BAC4-Z-EAC=90°,Z-ACEZ-EAC=90°,

:.Z.BAC=Z.ACE9

???乙BCA=乙4c￡*,

又「AC=AC,

???△4DC三△4EC(44S),

???AD=AE；

(2)解：設(shè)AE=AD=x,CE=CD=y,

則8。=(6-y),

???△AEC^\LADB為直角三角形,

???AE2+CE2=AC2,AD2+BD2=AB2,

AB=6,AC=4,AE=AD=x,CE=CD=y,BD=(6—y)代入，

解得：x=隨，y=i

3J

即AE的長為隨.

3

【解析】⑴利用平行線的性質(zhì)，圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，證明AAEC和△?!￡)(；全

等即可證明4。=AE,

(2)設(shè)AE=AD=x,CE=CD=y,利用勾股定理列出關(guān)于x和y的等式，即可求出2E的

長.

本題考察了圓的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，切線性質(zhì)，全等三角形的性

質(zhì)及判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合程度較高.

第30頁，共46頁

13.【答案】解：(1)相切.理由如下:

連接0D,

???80是Z71BC的平分線,

???乙CBD=乙ABD,

又???0D=0B,

:,Z-0DB=乙ABD,

:.Z.0DB=乙CBD,

???0D//CB,

:.Z.0DC=ZC=90°,

???。。與。。相切；

(2)若乙CDB=60°,可得匕ODB=乙CBD=30°,

???Z,AOD=60°,

又?.?AB=6,

???AO=3,

60X71X3

???AD==7T.

180

【解析】(1)連接。D,只需證明乙。。。=90。即可；

(2)由(1)中的結(jié)論可得乙。。8=30。，可求得弧40的圓心角乙4。。的度數(shù)，再利用弧長

公式求得結(jié)果即可.

此題主要考查圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理的運(yùn)用.一條直線和圓

只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn).

14.【答案】解：(1)證明：???CD與。。相切于點(diǎn)D,

???OC1CD,乙OCD=90°,

vAD1CD,

???OC//AD,

???Z.OFE=Z-AEB.

???4B為。。的直徑，

:.Z.AEB=90°,

:.Z.OFE=Z.AEB=90°,

???OF1BE,

???EF=BF；

(2),??Z.AEB=乙DEF="CD=乙CFE=90°,

???四邊形"CD是矩形，

???EF=CD,DE=CF,

vDC=4,DE=2,

??.EF=BF=4,CF=2,

設(shè)O。的為r,

v乙OFB=90°,

:.OB2=OF2+BF2,

即產(chǎn)=0一2產(chǎn)+42,

解得，r=5,

???AB=2r=10,

即直徑4B的長是10.

【解析】本題考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解答本題的

關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

(1)根據(jù)題意證出OF1BE,再根據(jù)垂徑定理即可證明結(jié)論成立；

(2)根據(jù)題意，證出四邊形EFCD是矩形，求出EF=BF=4,CF=2,設(shè)。。的為r,

根據(jù)勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出r的值，即可求解.

15.【答案】(1)證明：連接0C,如圖，

???BC平分乙0BD,

:.乙OBD=乙CBD,

???OB=0C,

???Z.OBC=/.OCB,

???Z.OCB=Z.CBD,

：.OC//AD,

而CD1AB,

第32頁，共46頁

OC1CD,

??.CD是。。的切線；

（2）解：連接0E交AB于H,如圖，

???E為您的中點(diǎn)，

OE1AB,

???Z.ABE=Z-AFE,

3

tanZ.ABE=tanZ-AFE=

4

.?.在Rt△BE”中，tanZ.HBE=-BH=4

設(shè)EH=3%,BH=4%,

BE—5x,

??,BG=BE=5x,

???GH=%,

在RtAEHG中,一+（3X）2=（3同）2,解得％=3,

EH=9,BH=12,

設(shè)。。的半徑為r,則0H=r-9,

在RtAOHB中，（r-9y+122=「2,解得「=

即。。的半徑為

【解析】（1）連接OC,如圖，先證明NOCB=NCBD得至IJOC7/4C,再利用CD14B得到

OC1CD,然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

（2）解：連接0E交48于H,如圖，利用垂徑定理得到。E14B,再利用圓周角定理得到

乙4BE=AAFE,在Rt△BE”中利用正切可設(shè)EH=3x,BH=4x,則BE=5x,所以BG=

BE=5x,GH=x,接著在RMEHG中利用勾股定理得到/+（3x）2=（3同）2,解方

程得久=3,接下來設(shè)。。的半徑為r,然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程（r-

9）2+122=/,最后解關(guān)于r的方程即可.

本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓

心作這條直線的垂線”；有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”.也考查了圓周角

定理、垂徑定理和解直角三角形.

16.【答案】(1)證明：???BC為OM切線,

???A.ABC=90°,

?.,DC1BC,

???乙BCD=90°,

?，?Z.ABC=乙BCD,

,??力8是OM的直徑，

???乙AGB=90°,

即：BGLAE,

???Z-CBD4-Z.ABG=Z.A+Z.ABG=90°,

???乙CBD=乙4,

ABEBCD;

(2)解：過點(diǎn)G作GH1BC于H,

???MB=BE=1,

???AB-2,

AE=7AB2+BE2=V5,

由(1)根據(jù)面積法

AB-BE=BG-AE,

BG=—,

5

由勾股定理：

AG=—，GE=—，

55

vGH//AB,

GHGE

J.-----=一,

ABAE

.GH_f

-2一也，

GH=短2

又「GH〃AB,

第34頁，共46頁

HCGH~

——fT)

BCMBJ

BH_GH小

同理:~BC~而②

①+②，得

HC+BHGH,GH

=-----F—，

BCMBDC

空+色=1,

MBDC

'CD=|

【解析】本題是幾何綜合題，綜合考察了圓周角定理、切線性質(zhì)和三角形相似.解答時(shí)，

注意根據(jù)條件構(gòu)造相似三角形.

(1)根據(jù)直徑所對(duì)圓周角和切線性質(zhì)，證明三角形相似；

(2)利用勾股定理和面積法得到4G、GE,根據(jù)三角形相似求得GH,得到MB、GH和CD的

數(shù)量關(guān)系，求得CD.

17.【答案】解：(1)如圖2所示，連接PF,

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=V102-62=8.

設(shè)4P=x,則DP=10—x,PF=x,

?：。。與邊(7。相切于點(diǎn)產(chǎn)，

PF1CD,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

.-.AB//CD,

vABLAC,

???AC1CD,

???AC//PF,

???△DPFfDAC,

PF_PD

AC~ADf

x_10-X

8-10

4040

???%=一AP

99

(2)曰<4P<當(dāng)或4P=5

【解析】

解：(1)見答案

(2)當(dāng)。P與BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為G,如圖3,

1

SaABCD=±x6x8x2=10PG,

2

PG=g，

①當(dāng)。P與邊4D、CD分別有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),^<AP<^,即此時(shí)0P與平行四邊形

48C。的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4,

②OP過點(diǎn)4、C、D三點(diǎn)、.，如圖4,0P與平行四邊形4BCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4,

此時(shí)AP=5,

綜上所述，4P的值的取值范圍是：或4P=5.

故答案為：?<4P<g或AP=5.

【分析】⑴連接PF，則PF1CD,由4B1AC和四邊形4BCD是平行四邊形，得PF〃AC,

可證明△OPFs^OAC,列比例式可得4P的長；

(2)有兩種情況：

①與邊AD、CD分別有兩個(gè)公共點(diǎn)；②OP過點(diǎn)4、C、D三點(diǎn).

本題是圓與平行四邊形的綜合題，考查了圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形性質(zhì)

和面積公式，第2問注意利用分類討論的思想，并利用數(shù)形結(jié)合解決問題.

第36頁，共46頁

18.【答案】(1)證明：連接0C.

vCB=CD,CO=CO,OB=OD,

??.△OCB=^OCD,

:.乙ODC=乙OBC=90°,

OD1DC,

???DC是。。的切線；

(2)解：設(shè)。0的半徑為r.

在中，222

RtZkOBEv0E=EB4-0Bf

:.(8—r)2=r24-42,

r=3,

?OBCD

vtanzE=—=一,

EBDE

???-3=一CD,

48

:.CD=BC=6,

在Rt△ABC中，AC=7AB2+BC2=V62+62=6V2.

【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型.

(1)欲證明CD是切線，只要證明。DLCD,利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；

(2)設(shè)。。的半徑為r.在Rt△OBE中，根據(jù)0E?=EB2+0B2,可得(8-r)2=r24-42,

推出r=3,由tan”=^=9推出可得CD=BC=6,再利用勾股定理即可

EBDE48

解決問題.

19.【答案】解：(1)PM與。。相切.

理由如下：

連接。。并延長交PM于E,如圖，

E

???弧BC沿直線BC翻折，使弧BC的中點(diǎn)。恰好與圓心0重合，

，0C—DC,BO—BD,

???OC=DC=BO=BD,

???四邊形08DC為菱形，

???OD1BC,

：.△。。。和408。都是等邊三角形，

:.乙C0D=乙BOD=60°,

??.(COP=乙E0P=60°,

v4MPB=Z.ADC,

而4ADC=Z.ABC,

:.^ABC=乙MPB,

???PM//BC,

OE1PM,

OE=-2OP,

???PC為。。的切線，

OC1PC,

OC=-2OP,

:.OE—OC,

而OE1PM,

???PM是OO的切線；

(2)在RtZkOPC中，OC=yPC=yXV3=1,

二四邊形。CD8的面積=2s4OCD=2x，x仔=11,

【解析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線,

必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.也考查了直線與圓的關(guān)系、圓周角定

第38頁，共46頁

理和折疊的性質(zhì).

(1)連接。。并延長交PM于E,如圖，利用折疊的性質(zhì)得0C=DC,BO=BD,則可判斷

四邊形OBDC為菱形，所以0D1BC,△OCD和AOBD都是等邊三角形，從而計(jì)算出

/.COP=/.EOP=60°,接著證明PM〃BC得到。E1PM,所以O(shè)E=^OP，根據(jù)切線的

性質(zhì)得到0clpC,則OC=：OP,從而可判定PM是。。的切線；

(2)先在Rt△OPC中計(jì)算出OC=1,然后根據(jù)等邊三角形的面積公式計(jì)算四邊形OCDB

的面積.

20.【答案】(1)證明：???0A=OB,DB=DE,

???Z.A=Z-OBA,Z.DEB=乙DBE,

vEC1OA,乙DEB=Z-AEC,

:.N4+乙DEB=90°,

:?乙OBA+乙DBE=90。,

:.乙OBD=90°,

???。8是圓的半徑，

??.8。是。。的切線；

(2)過點(diǎn)。作DF14B于點(diǎn)F,連接OE,

???點(diǎn)E是4B的中點(diǎn)，AB=12,

???AE=EB=6,OE1AB,

又,：DE=DB,DF1BE,DB=5,

???EF=BF=3,

:.DF=y/DE2-EF2=4,

vZ.AEC=乙DEF,

:.Z-A=(EDF,

vOEA.AB,DF1AB,

???Z.AEO=^DFE=90°,

???△AEOs〉DFE，

EQ_AE

FE-DF

即*=4f得EO=4.5,

【解析】本題考查切線的判定、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，屬于

中檔題.

⑴根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和切線的判定方法可以求得乙OBD的度數(shù)，從而可以證明結(jié)論

成立；

(2)要求△4。8的面積只要求出0E的長即可，根據(jù)題目中的條件和三角形相似的知識(shí)可

以求得0E的長，從而可以解答本題.

21.【答案】(1)證明：連接40、0D.

???48是直徑，

A^ADB=90°,即4。IBC,

-AC=AB,

CD=BD,

v0A=OB,

???OD//AC,

-DFLAC,

:.OD1DF,

??.打；是0。的切線.

An

(2)解：vtanC==2,BD=CD,

???BD：AD=1：2,

第40頁，共46頁

???(GDB+乙ODB=90°,^ADO+乙ODB=90°,

vOA=OD,

???Z-OAD=Z.ODA,

???Z-GDB=Z-GAD,

vZ-G=zG,

???△GDBGAD,設(shè)8G=a,

.BD_BG_DG_i

??-i-—~,

ADGDGA2

:.DG—2Q,AG—4a,

???BG：GA=1：4.

【解析】(1)欲證明FG是。。的切線，只要證明。D1FG；

pripz'rjz'i

由△設(shè)BG.可得；，推出由

(2)G4C,=a7A7D=7G7D=7G7A=2DG=2a,AG=4a,

此即可解決問題；

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、圓周角定

理、切線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線或相似

三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

22.【答案】(1)證明：???「％、PB是0。的兩條切線，4、8是切點(diǎn)，

???PA=PB,且P。平分ZBP4

???PO1