河南省平頂山市2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題

2017~2018學(xué)年第一學(xué)期期末調(diào)研考試高二數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若坐標(biāo)原點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為，又由原點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，解得，故選A．2.命題“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系可知，命題“”的否定為“”，故選C．3.等差數(shù)列中，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：由等差數(shù)列性質(zhì)可知考點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)4.在中，內(nèi)角和所對的邊分別為和，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得，則，即又，則，即，所以是的充要條件，故選C．5.若不等式對任意實(shí)數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意，不等式，可化為，當(dāng)，即時(shí)，不等式恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，需，解得，綜上所述，所以的取值范圍為，故選B．6.已知雙曲線：（，），右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，到原點(diǎn)的距離為，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意，雙曲線，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，到原點(diǎn)的距離為，則雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為，又，代入得，解得，故選D．7.設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、.若，，，則（）A.B.C.D.【答案】A又，所以，所以，所以在直角中，，故選B．8.若，，，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，，當(dāng)時(shí)等號成立，則由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即的最小值為，故選B．9.設(shè)向量，，是空間基底，，有下面四個(gè)命題：：若，那么；：若，，則；：，，也是空間基底；：若，，則.其中真命題為（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】由題意得，若，根據(jù)向量相等可得是正確的；若，當(dāng)時(shí)，與不一定是共線向量，所以不正確；中，由三個(gè)不共面的向量，可以作為一個(gè)孔家基底，而向量是三個(gè)不共面的向量，所以可以作為一個(gè)空間的基底，所以是正確的；中，只有當(dāng)向量是三個(gè)兩兩垂直的單位向量時(shí)，才能使得成立，所以不正確，故選A．10.設(shè)，滿足約束條件，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】試題分析：作出約束條件的可行域，如圖，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)有最大值，由得，將代入得，即的最大值為，故選B．考點(diǎn)：1、可行域的畫法；2、最優(yōu)解的求法．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題．求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值．視頻11.過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)平分，則直線的方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)，代入橢圓的方程可得，兩式相減可得，又，即為，則直線的方程為：，化為，故選A．點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，注意運(yùn)用“點(diǎn)差法”的應(yīng)用，考查了學(xué)生的推理與計(jì)算能力，試題比較基礎(chǔ)，屬于基礎(chǔ)題，解答此類問題的關(guān)鍵在于把握弦的中點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)倪x擇“點(diǎn)差法”是解答的關(guān)鍵．12.定義數(shù)列如下：，，當(dāng)時(shí)，有；定義數(shù)列如下：，，當(dāng)時(shí)，有，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由，兩邊同除，可得，即，則數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以同理可得，則數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，可得，所以，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式和等差數(shù)列的通項(xiàng)、累乘法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識點(diǎn)的應(yīng)用，試題有一定的難度，屬于中檔試題，在利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形，運(yùn)算問題時(shí)，要注意采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是、，并且過點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________．【答案】【解析】由題意，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，可得，設(shè)橢圓的方程為，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，可得，解得，所以橢圓的方程為．14.已知三個(gè)數(shù)，，成等比數(shù)列，其倒數(shù)重新排列后為遞增的等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則能使不等式成立的自然數(shù)的最大值為__________．【答案】7【解析】因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)成等比數(shù)列，所以，所以，倒數(shù)重新排列后恰好為遞增的等比數(shù)列的前三項(xiàng)為，公比為，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則不等式等價(jià)為，整理，得，所以，所以的最大值為．15.在平行六面體中，，，，，，則__________．【答案】【解析】連接，因?yàn)?，所?根據(jù)，即，所以，則,而,根據(jù)余弦定理得......................16.函數(shù)（），，對，，使成立，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，且關(guān)于對稱，所以時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，可得的值域?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以為單調(diào)增函數(shù)，的值域?yàn)?，即，以為對，，使成立，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的值域，同時(shí)涉及到了“任意”、“存在”等量詞的理解，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，其中正確理解“任意”、“存在”等量詞，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域與最值之間的關(guān)系，列出不等式組是解答的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（1）解不等式；（2）已知、，求證：【答案】(1)或或(2)見解析【解析】試題分析：（1）把原不等式化簡為等價(jià)不等式，即可額牛街不等式的解集；（Ⅱ）由、是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差比較，即可作出證明．試題解析：（1）原不等式可化為繼續(xù)化為，其等價(jià)于．∴原不等式的解為或或．（Ⅱ）由、是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差可得：當(dāng)時(shí)，，從而，得；當(dāng)時(shí)，，從而，得；所以，．18.已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，.（1）求；（2）若，的面積為，求，.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由題設(shè)條件及正弦定理可化簡得，即求解角；（Ⅱ）由三角形的面積公式，可得，在由余弦定理得，即可求解的值．試題解析：（1）由及正弦定理得，∵，∴，又，故．（Ⅱ）∵的面積為，∴．由余弦定理得，故．解得.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且；數(shù)列是等比數(shù)列，且，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)，，，．(2)【解析】試題分析：（1）由，得，以上兩式相減，利用數(shù)列的累乘法，求解求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求解的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用乘公比錯(cuò)位相減法，即可求解數(shù)列的前項(xiàng)和．試題解析：（1）∵，∴．以上兩式相減得：，即．所以，，所以，，即，∴，，因此，，．（2）∵∴∴，以上兩式相減得：所以，．20.如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.（1）求平面與平面所成二面角的余弦值；（2）點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，當(dāng)直線與所成角最小時(shí)，求線段的長.【答案】(1)(2)【解析】試題分析：以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，．因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，則，即，令，解得．所以是平面的一個(gè)法向量，從而，所以平面與平面所成二面角的余弦值為．（2）因?yàn)椋O(shè)，又，則，又，從而，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為．因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，此時(shí)直線與所成角取得最小值．又因?yàn)?，所以．考點(diǎn)：二面角的計(jì)算，異面直線所成的角，最值問題.【方法點(diǎn)晴】求二面角常采用求法向量直接公式計(jì)算的方法去解決，原則是半平面有現(xiàn)成的垂線就直接做法向量，沒有現(xiàn)成的垂線就設(shè)法向量，求出法向量后再算二面角；第二步的最值問題很好，是高考很常見的形式，多發(fā)生在圓錐曲線題目中，一要會換元，如本題中的設(shè)，二要會處理分式如本題中的，當(dāng)然這一步有時(shí)使用均值不等式（或?qū)春瘮?shù)），個(gè)別題還可使用導(dǎo)數(shù)求最值.視頻21.已知是拋物線：（）上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）已知，過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，以為圓心的圓與直線相切，試判斷圓與直線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）拋物線的方程為；（2）圓與直線相切．【解析】試題分析：（1）由拋物線的方程，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，過作于點(diǎn)，連接，利用等邊三角形，求得的值，即可得到拋物線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得圓與直線相切．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，代入拋物線的方程，求得，進(jìn)而得到直線、的方程，求得點(diǎn)到直線的距離，得到，即可判定直線與圓相切．試題解析：（1）拋物線:（）的準(zhǔn)線方程為:，過作于點(diǎn)，連接，則，∵，∴為等邊三角形，∴，∴．∴拋物線的方程為．（2）直線的斜率不存在時(shí)，為等腰三角形，且．∴圓與直線相切．直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，代入拋物線方程，得，設(shè)，，則．直線的方程為，即，∴圓的半徑滿足．同理，直線的方程為，到直線的距離，．∴，∴，∴圓與直線相切，綜上所述，圓與直線相切．點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，考查了轉(zhuǎn)換與化歸能力，當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時(shí)，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)關(guān)系，找準(zhǔn)題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來，有時(shí)不一定要把結(jié)果及時(shí)求出來，可能需要整體代換到后面的計(jì)算中去，從而減少計(jì)算量．22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，為平面上一動點(diǎn)，到直線的距離為，.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）不過原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.【答案】(1)(2)面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為【解析】試題分析：（Ⅰ）直接法求動點(diǎn)軌跡方程,先設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo),再兩點(diǎn)間距離公式及點(diǎn)到直線距離公式將條件用坐標(biāo)表示,化簡整理成橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;（Ⅱ）涉及弦中點(diǎn)問題,一般利用點(diǎn)差法求弦中點(diǎn)坐標(biāo)與直線斜率的關(guān)系,本題由于弦中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率已知,所以可得弦所在直線斜率.根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長公式可得三角形底邊長（用直線在軸上截距表示），再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得高（用直線在軸上截距表示），利用三角形面積公式可得面積關(guān)于直線在軸上截距的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)基本不等式求最值，確定直線在軸上截距，可得直線方程.試題解析