163二次根式的加減(精講)-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)(人教版)

16.3二次根式的加減1.同類二次根式1.定義：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式.

注意：

(1)判斷幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；

(2)幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號外的因式無關(guān).

2.合并同類二次根式

合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根式的方法與整式加減運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)類似)

注意：

(1)根號外面的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)；

(2)二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要變成假分?jǐn)?shù)的形式.1.與不是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】各項(xiàng)化簡后，利用同類二次根式的概念進(jìn)行判斷．【解答】解：A、原式＝＝，與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；B、原式＝2，與是同類二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；C、原式＝3，與是同類二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；D、原式＝，與是同類二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【變式11】若最簡二次根式與最簡二次根式是同類二次根式，則a的值是（）A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)＝﹣1 C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)＝﹣2【分析】根據(jù)同類二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由題意可知：a+1＝2a解得：a＝1故選：A．【變式12】若最簡二次根式和能合并，則a、b的值分別是（）A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【分析】根據(jù)題意得到兩個(gè)二次根式是同類二次根式，列出方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值．【解答】解：∵最簡二次根式和能合并，∴，即，①×2+②得：7a＝7，解得：a＝1，把a(bǔ)＝1代入②得：1+2b＝3，解得：b＝1．故選：D．【變式13】當(dāng)x＝時(shí)，最簡二次根式﹣4與3能夠合并．【分析】根據(jù)同類二次根式能夠合并得出x2﹣1＝x+1，求出方程的解，即可得出答案．【解答】解：∵最簡二次根式﹣4與3能夠合并，∴x2﹣1＝x+1，解得：x1＝2，x2＝﹣1，當(dāng)x＝2或﹣1時(shí)，最簡二次根式﹣4與3能夠合并．故答案為：2或﹣1．二次根式的加減

1.二次根式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式，即先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把其中的同類二次根式進(jìn)行合并.對于沒有合并的二次根式，仍要寫到結(jié)果中.要點(diǎn)詮釋：（1）在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號、添括號法則仍然適用.（2）二次根式加減運(yùn)算的步驟：

1)將每個(gè)二次根式都化簡成為最簡二次根式；

2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結(jié)合為一組；

3)合并同類二次根式.

2一個(gè)三角形的三邊長分別為，，，則它的周長為．【分析】運(yùn)用二次根式加減運(yùn)算法則，化簡為最簡二次根式即可求解．【解答】解：三角形的周長為：＝2+4+5＝2+9，故答案為：2+9．【變式21】計(jì)算（1）4﹣+．（2）．【答案與解析】解：(1)原式=4×﹣3+2=2﹣3+2=．（2）原式=2+3﹣2=．【變式22】計(jì)算:【答案】二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算是對二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.

要點(diǎn)詮釋：

(1)二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的；

(2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用；

(3)二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果要寫成最簡形式.3.計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）原式==；（2）原式=1－12－(3+1－)=1－12－4+=－15+．【總結(jié)】二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律,所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律．【變式31】計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）原式==；（2）原式=1－12－(3+1－)=1－12－4+=－15+．【變式32】計(jì)算：已知，則=_______,=________.【答案】1；10.【解析】【變式33】已知求的值。【答案與解析】所以原式=二次根式簡單的實(shí)際應(yīng)用4已知一個(gè)長方形面積是，寬是，則它的長是（）A．3 B． C．2 D．4【分析】直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：∵一個(gè)長方形面積是，寬是，∴它的長是：÷＝＝2．故選：C．【變式41】已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為和，則這個(gè)直角三角形的面積為（）A．16 B．8 C．163 D．【分析】直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊的長分別為：和，∴這個(gè)直角三角形的面積為：．故選：D．【變式42】如圖，從一個(gè)大正方形中裁去面積為8cm2和18cm2的兩個(gè)小正方形，則留下的陰影部分的面積為（）A．5cm2 B．12cm2 C．8cm2 D．24cm2【分析】通過兩個(gè)小正方形的面積，分別求出正方形的邊長，則可求最大的正方形的邊長為5cm，再求面積即可．【解答】解：∵