湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

機(jī)密★啟用前三湘名校教育聯(lián)盟·2024年上學(xué)期高一期中大聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè).全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在數(shù)學(xué)實(shí)踐課堂上小明將手中的非等腰直角三角形板繞著該直角板的斜邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為（）A.圓柱B.兩個(gè)大小相同的圓錐組成的組合體C.兩個(gè)大小不同的圓錐組成的組合體D.八面體2.已知集合，則（）A.B.C.D.3.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4.已知平面向量與共線，則（）A.2B.4C.D.5.用斜二測(cè)畫(huà)法得到一個(gè)水平放置的四邊形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，已知，四邊形的面積為，則（）A.1B.C.D.6.定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，若時(shí)，，則（）A.先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞減D.單調(diào)性不確定7.已知，則（）A.B.C.D.28.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為為上一點(diǎn)，且，，則的面積為（）A.8B.9C.12D.14二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知某扇形的周長(zhǎng)和面積均為18，則扇形圓心角的弧度數(shù)可能為（）A.4B.3C.2D.110.已知平面向量，則（）A.B.與可作為一組基底向量C.與夾角的余弦值為D.在方向上的投影向量的坐標(biāo)為11.當(dāng)一束光通過(guò)一個(gè)吸光物質(zhì)（通常為溶液）時(shí)，溶質(zhì)吸收了光能，光的強(qiáng)度減弱；吸光度就是用來(lái)衡量光被吸收程度的一個(gè)物理量，其影響因素有溶劑?濃度?溫度.分析物濃度越高，穿過(guò)材料的光子被吸收的機(jī)會(huì)就越大.吸光度的測(cè)量簡(jiǎn)便高效，因此被廣泛應(yīng)用于液體和氣體的光譜測(cè)量技術(shù)，集成至工業(yè)測(cè)試系統(tǒng)，還可以用于科研分析.其中透光率是指光子通過(guò)物體的能量占發(fā)出光能量的比例.在實(shí)際生產(chǎn)和生活中，通常用吸光度和透光率來(lái)衡量物體材料的透光性能，著名的朗伯—比爾定律表明了兩者之間的等量關(guān)系為，其中，是吸光度，為透光率，為入射光強(qiáng)度，為透射光強(qiáng)度，某化學(xué)有機(jī)高分子材料研究所測(cè)得了如下表不同有機(jī)高分子材料的透光率：有機(jī)高分子材料塑料纖維薄膜0.60.70.8設(shè)塑料?纖維?薄膜的吸光度分別為，則（）A.B.C.D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正數(shù)滿足，則當(dāng)取得最小值時(shí)，__________，__________.13.由數(shù)學(xué)王子高斯證明出的代數(shù)基本定理的內(nèi)容可知一元次多項(xiàng)式方程有個(gè)復(fù)數(shù)根，且對(duì)于一元二次方程，其兩個(gè)復(fù)數(shù)根互為共軌復(fù)數(shù).若復(fù)數(shù)是一元二次方程的一個(gè)根，則__________.14.已知，函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）在中，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，設(shè).（1）用分別表示；（2）證明：三點(diǎn)共線.16.（15分）已知復(fù)數(shù).（1）若，求的值；（2）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)能否位于直線上？若能，求；若不能，說(shuō)明理由.17.（15分）已知函數(shù)的最大值為2.（1）求的解析式；（2）求曲線的對(duì)稱軸方程和的單調(diào)遞增區(qū)間.18.（17分）在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求的值；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.19.（17分）現(xiàn)定義“維形態(tài)復(fù)數(shù)”，其中為虛數(shù)單位，.（1）當(dāng)時(shí)，證明：“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“1維形態(tài)復(fù)數(shù)”之間存在平方關(guān)系；（2）若“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“3維形態(tài)復(fù)數(shù)”相等，求的值；（3）若正整數(shù)滿足，證明：存在有理數(shù)，使得.三湘名校教育聯(lián)盟·2024年上學(xué)期高一期中大聯(lián)考·數(shù)學(xué)參考答案?提示及評(píng)分細(xì)則1.【答案】C【解析】由題干所給的情景可知旋轉(zhuǎn)后得到的是兩個(gè)大小不同的圓錐組成的組合體，故選C.2.【答案】A【解析】由題意可得，所以，故選A.3.【答案】D【解析】由題意知，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故選D.4.【答案】D【解析】因?yàn)榕c共線，所以，解得，故，故選D.5.【答案】D【解析】如圖所示，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，得到原四邊形，設(shè)，則，則，，且為原圖形中梯形的高，故，解得，故，故選D.6.【答案】B【解析】任取，令，則，因?yàn)椋?，所以，所以在上單調(diào)遞增.故選B.7.【答案】C【解析】由，可知：，故選C.8.【答案】C【解析】在中，由正弦定理可知：，由題干條件可得，聯(lián)立可得，由余弦定理可得，解得，且，故面積為，故選C.9.【答案】AD【解析】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，圓心角為，則，解得或，則或1.故選.10.【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，所以，故錯(cuò)誤；易得與為一組不共線的非零向量，根據(jù)基底向量的定義可得正確；因?yàn)?，所以，故C正確；因?yàn)?，所以在方向上的投影向量的坐?biāo)為，故D錯(cuò)誤，故選BC.11.【答案】AC【解析】由，得，，即，選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，C選項(xiàng)正確；，，，所以，所以，又，所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AC.12.【答案】，（填對(duì)一個(gè)得3分，填對(duì)2個(gè)得5分）【解析】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，故答案為.13.【答案】64【解析】由題意可得是一元二次方程的另一個(gè)根，故由一元二次方程的韋達(dá)定理可得，故，故答案為64.14.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，，即時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以時(shí)，且.由不等式，解得不等式.價(jià)于時(shí)，，設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，等價(jià)于，即，由不等式解得，所以時(shí)，的解集為，綜上，的取值范圍是，故答案為.15.（13分）【解析】（1）由題意可得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.（2）由（1）知，，所以，即，而有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線.16.（15分）【解析】（1）因?yàn)椋?，解得（舍去）或，此時(shí)，故.（2）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若該點(diǎn)位于直線上，則，解得，故能在直線上，此時(shí).17.（15分）【解析】（1）因?yàn)?，其中，所以，解得，又因?yàn)?，所?故，（2）由，解得，所以曲線的對(duì)稱軸方程為；由得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為.18.（17分）【解析】（1）由及正弦定理得，又因?yàn)?，所以，所以，所以，?（2）由得，在中，因?yàn)?，所?因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，所以.19.（17分）【解析】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則.因?yàn)?，所以，故?維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“1維形態(tài)復(fù)數(shù)”之間存在平