2025屆遼寧省沈文新高考研究聯(lián)盟高三8月模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈文新高考研究聯(lián)盟2025屆高三8月模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，.則的子集共有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榧?，，所以，所以集合的子集為，共四個(gè).故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，故選：A.3.橢圓的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗在橢圓中，，，則，易知該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，因此，橢圓的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，.故選：D.4.把14個(gè)相同的球全部放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒內(nèi)，要求盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒號(hào)數(shù)，則不同的放入方法種數(shù)為（）A.36 B.45 C.72 D.165〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，先在14個(gè)球種取出1個(gè)球放到編號(hào)為2的盒子里，再取出2個(gè)球放在編號(hào)為3的盒子里，此時(shí)只需將剩下個(gè)球，分為3組，每組至少一個(gè)，分別放到三個(gè)盒子里即可；將11個(gè)球排成一列，排好后，有10個(gè)空位，在10個(gè)空位中任取2個(gè)，插入擋板，有種方法，即有45種將11個(gè)球分為3組的方法，將分好的3組對應(yīng)3個(gè)盒子，即可滿足盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒號(hào)數(shù)，則盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒號(hào)數(shù)的放入方法有45種，故選：．5.如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是和，則該圓臺(tái)的體積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，設(shè)上底面的半徑為，下底面的半徑為，高為，母線長為，則，，解得，，又，，設(shè)上底面面積為，下底面面積為，所以圓臺(tái)的體積.故選：B.6.若函數(shù)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)為R上的奇函數(shù)，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故選：D.7.已知數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，即，.故選：A.8.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，我們聽到的聲音中包含著正弦函數(shù)．若某聲音對應(yīng)的函數(shù)可近似為，則下列敘述正確的是（）A.為的對稱軸 B.為的對稱中心C.在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn) D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗D〖解析〗對于A，由已知得，即，故不關(guān)于對稱，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B錯(cuò)誤；對于C，利用二倍角公式知，令得或，即，所以該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對于D，求導(dǎo)，令，由，知，即，利用二次函數(shù)性質(zhì)知，即，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.給出下列說法，其中正確的是（）A.數(shù)據(jù)0，1，2，4的極差與中位數(shù)之積為6B.已知一組數(shù)據(jù)的方差是5，則數(shù)據(jù)的方差是20C.已知一組數(shù)據(jù)的方差為0，則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一D.已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，極差為，中位數(shù)為，所以極差與中位數(shù)之積為，A對；對于B，根據(jù)方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)的方差是，B錯(cuò)；對于C，由方差，可得，即此組數(shù)據(jù)眾數(shù)唯一，C對；對于D，，，D對.故選：ACD.10.已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于A，B兩點(diǎn)，以線段為直徑的與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，則（）A.直線的方程為 B.點(diǎn)的坐標(biāo)為C.的周長為 D.直線與相切〖答案〗AC〖解析〗A選項(xiàng)，依題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為，即，所以，即拋物線的方程為，則拋物線的焦點(diǎn)為.設(shè)直線的方程為，Ax1,y1聯(lián)立消去整理得恒成立，則，則，，又因?yàn)榫€段為的直徑，與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，所以，整理得，即，即，解得，所以直線的方程為，所以A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)榇怪庇跍?zhǔn)線，且，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入直線的方程，即，解得，可得點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義可得，所以的半徑為，所以的周長為，所以C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，圓心到直線的距離為，所以直線與相交，不相切，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B.C.若，則 D.，且，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由題意得，則，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，由于，所以，即，整理得，即，所以，故正確；對于B，由于，由于當(dāng)時(shí)，遞減，故，即，即，因?yàn)椋?，即，綜上，，故B正確；對于C，因?yàn)?，即，即，設(shè)，由于當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，故單調(diào)減函數(shù)，故，即，由于，不妨設(shè)，則，即，故C錯(cuò)誤；對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，不妨設(shè)，即，設(shè)，則，則，，分析法知：要證目標(biāo)不等式只需，設(shè)令，則，即為單調(diào)增函數(shù)，故，即成立，故，所以，即，故D正確，故選：ABD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若為銳角，，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)闉殇J角，所以，則.13.若向量，，則在上的投影向量為_____________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，在上的投影向量?14.在三棱錐中，已知，，，平面平面，且，則以下結(jié)論正確的是______（填序號(hào)）．①；②平面平面；③三棱錐的體積為；④三棱錐的外接球的表面積為.〖答案〗①②③④〖解析〗因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，，又平面，所以平面平面，所以①②正確；進(jìn)一步三棱錐的體積為，所以③正確；設(shè)三角形的外心為，過作平面，則三角形外接圓的半徑為，設(shè)為三棱錐外接球的球心，則，，所以，所以，解得，所以外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為，所以④正確．故〖答案〗為：①②③④.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.有4名同學(xué)下課后一起來到圖書館看書，到圖書館以后把書包放到了一起，后來停電了，大家隨機(jī)拿起了一個(gè)書包離開圖書館，分別計(jì)算下列事件的概率．（1）恰有兩名同學(xué)拿對了書包；（2）至少有兩名同學(xué)拿對了書包；（3）書包都拿錯(cuò)了．解：（1）設(shè)4名同學(xué)的書包分別為A，B，C，D，4名同學(xué)拿書包的所有可能可表示為

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24種情況．恰有兩名同學(xué)拿對了書包包含6個(gè)樣本點(diǎn)，分別為，，，，，，故其概率為．（2）至少有兩名同學(xué)拿對了書包包含7個(gè)樣本點(diǎn)，分別為，，，，，，，故其概率為．（3）書包都拿錯(cuò)了包含9個(gè)樣本點(diǎn)，分別為，，，，，，，，，故其概率為．16.如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上的點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線VC垂直于圓O所在平面，D，E分別是VA，VC的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面.證明：（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，又因?yàn)镈E?平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)闉榈闹睆?，點(diǎn)是上的點(diǎn)，所以，又因?yàn)榇怪庇谒诘钠矫妫以谒诘钠矫鎯?nèi)，所以，又因?yàn)?，所以、，又由且平面，所以平?17.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的值.（1）解：當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)椋?；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；的極大值為；極小值為.（2）假設(shè)與相切于點(diǎn)，，，即，又，，即；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即有唯一解：，，解得：.18.已知雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn).（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，E，F(xiàn)是雙曲線C上不同于D的兩點(diǎn)，且，于點(diǎn)G，證明:存在定點(diǎn)H，使為定值.（1）解：依題意，設(shè)雙曲線C的方程為，而點(diǎn)在雙曲線C上，于是，雙曲線C的方程為，即，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，由消去y并整理得，有，且，即且，有，又，，由，得，整理得，于是，化簡得，即，解得m=-2k或，均滿足條件，當(dāng)m=-2k時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對稱性不妨設(shè)直線的方程為：，由解得或，因此點(diǎn)的橫坐標(biāo)有，即直線過定點(diǎn)，綜上得直線過定點(diǎn)，由于，即點(diǎn)在以為直徑的圓上，為該圓圓心，為該圓半徑，所以存在定點(diǎn)，使為定值.19.記無窮數(shù)列前項(xiàng)中最大值為，最小值為，令.（1）若，請寫出的值；（2）求證:“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件；（3）若，求證:存在，使得，有.（1）解：因?yàn)?，所以，，，，所以，，?（2）證明：（必要性）當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，設(shè)其公差為d，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，當(dāng)d<0，，所以，所以，，當(dāng)是，，所以，所以，，綜上，總有，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（充分性）當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，設(shè)其公差為，因?yàn)椋鶕?jù)，的定義，有以下結(jié)論：，，且兩個(gè)不等式中至少有個(gè)取等號(hào)當(dāng)，則必有，所以，所以是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，所以，，所以，所以，即為等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則必有，所以，所以是一個(gè)單調(diào)遞減數(shù)列，所以，，所以，所以，即為等差數(shù)列，當(dāng)，，因?yàn)椋斜赜幸粋€(gè)為0，根據(jù)上式，一個(gè)為0，則另一個(gè)亦為0，所以，，所以為常數(shù)數(shù)列，所以為等差數(shù)列，綜上，結(jié)論得證.（3）證明：假設(shè)結(jié)論不成立.因?yàn)?，即或者，所以對任意，一定存在，使得，符?hào)相反，所以在數(shù)列中存在，，，……，，……，其中，且，，因?yàn)椋?，，注意，，且有且僅有一個(gè)等號(hào)成立，所以必有，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，，，……，所以，所以，所以，這與矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，所以存在，使得，有.遼寧省沈文新高考研究聯(lián)盟2025屆高三8月模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，.則的子集共有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榧?，，所以，所以集合的子集為，共四個(gè).故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，故選：A.3.橢圓的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗在橢圓中，，，則，易知該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，因此，橢圓的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，.故選：D.4.把14個(gè)相同的球全部放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒內(nèi)，要求盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒號(hào)數(shù)，則不同的放入方法種數(shù)為（）A.36 B.45 C.72 D.165〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，先在14個(gè)球種取出1個(gè)球放到編號(hào)為2的盒子里，再取出2個(gè)球放在編號(hào)為3的盒子里，此時(shí)只需將剩下個(gè)球，分為3組，每組至少一個(gè)，分別放到三個(gè)盒子里即可；將11個(gè)球排成一列，排好后，有10個(gè)空位，在10個(gè)空位中任取2個(gè)，插入擋板，有種方法，即有45種將11個(gè)球分為3組的方法，將分好的3組對應(yīng)3個(gè)盒子，即可滿足盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒號(hào)數(shù)，則盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒號(hào)數(shù)的放入方法有45種，故選：．5.如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是和，則該圓臺(tái)的體積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，設(shè)上底面的半徑為，下底面的半徑為，高為，母線長為，則，，解得，，又，，設(shè)上底面面積為，下底面面積為，所以圓臺(tái)的體積.故選：B.6.若函數(shù)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)為R上的奇函數(shù)，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故選：D.7.已知數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，即，.故選：A.8.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，我們聽到的聲音中包含著正弦函數(shù)．若某聲音對應(yīng)的函數(shù)可近似為，則下列敘述正確的是（）A.為的對稱軸 B.為的對稱中心C.在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn) D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗D〖解析〗對于A，由已知得，即，故不關(guān)于對稱，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B錯(cuò)誤；對于C，利用二倍角公式知，令得或，即，所以該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對于D，求導(dǎo)，令，由，知，即，利用二次函數(shù)性質(zhì)知，即，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.給出下列說法，其中正確的是（）A.數(shù)據(jù)0，1，2，4的極差與中位數(shù)之積為6B.已知一組數(shù)據(jù)的方差是5，則數(shù)據(jù)的方差是20C.已知一組數(shù)據(jù)的方差為0，則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一D.已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，極差為，中位數(shù)為，所以極差與中位數(shù)之積為，A對；對于B，根據(jù)方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)的方差是，B錯(cuò)；對于C，由方差，可得，即此組數(shù)據(jù)眾數(shù)唯一，C對；對于D，，，D對.故選：ACD.10.已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于A，B兩點(diǎn)，以線段為直徑的與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，則（）A.直線的方程為 B.點(diǎn)的坐標(biāo)為C.的周長為 D.直線與相切〖答案〗AC〖解析〗A選項(xiàng)，依題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為，即，所以，即拋物線的方程為，則拋物線的焦點(diǎn)為.設(shè)直線的方程為，Ax1,y1聯(lián)立消去整理得恒成立，則，則，，又因?yàn)榫€段為的直徑，與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，所以，整理得，即，即，解得，所以直線的方程為，所以A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)榇怪庇跍?zhǔn)線，且，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入直線的方程，即，解得，可得點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義可得，所以的半徑為，所以的周長為，所以C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，圓心到直線的距離為，所以直線與相交，不相切，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B.C.若，則 D.，且，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由題意得，則，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，由于，所以，即，整理得，即，所以，故正確；對于B，由于，由于當(dāng)時(shí)，遞減，故，即，即，因?yàn)?，故，即，綜上，，故B正確；對于C，因?yàn)?，即，即，設(shè)，由于當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，故單調(diào)減函數(shù)，故，即，由于，不妨設(shè)，則，即，故C錯(cuò)誤；對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，不妨設(shè)，即，設(shè)，則，則，，分析法知：要證目標(biāo)不等式只需，設(shè)令，則，即為單調(diào)增函數(shù)，故，即成立，故，所以，即，故D正確，故選：ABD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若為銳角，，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)闉殇J角，所以，則.13.若向量，，則在上的投影向量為_____________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，在上的投影向量?14.在三棱錐中，已知，，，平面平面，且，則以下結(jié)論正確的是______（填序號(hào)）．①；②平面平面；③三棱錐的體積為；④三棱錐的外接球的表面積為.〖答案〗①②③④〖解析〗因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，，又平面，所以平面平面，所以①②正確；進(jìn)一步三棱錐的體積為，所以③正確；設(shè)三角形的外心為，過作平面，則三角形外接圓的半徑為，設(shè)為三棱錐外接球的球心，則，，所以，所以，解得，所以外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為，所以④正確．故〖答案〗為：①②③④.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.有4名同學(xué)下課后一起來到圖書館看書，到圖書館以后把書包放到了一起，后來停電了，大家隨機(jī)拿起了一個(gè)書包離開圖書館，分別計(jì)算下列事件的概率．（1）恰有兩名同學(xué)拿對了書包；（2）至少有兩名同學(xué)拿對了書包；（3）書包都拿錯(cuò)了．解：（1）設(shè)4名同學(xué)的書包分別為A，B，C，D，4名同學(xué)拿書包的所有可能可表示為

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24種情況．恰有兩名同學(xué)拿對了書包包含6個(gè)樣本點(diǎn)，分別為，，，，，，故其概率為．（2）至少有兩名同學(xué)拿對了書包包含7個(gè)樣本點(diǎn)，分別為，，，，，，，故其概率為．（3）書包都拿錯(cuò)了包含9個(gè)樣本點(diǎn)，分別為，，，，，，，，，故其概率為．16.如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上的點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線VC垂直于圓O所在平面，D，E分別是VA，VC的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面.證明：（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，又因?yàn)镈E?平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)闉榈闹睆?，點(diǎn)是上的點(diǎn)，所以，又因?yàn)榇怪庇谒诘钠矫?，且在所在的平面?nèi)，所以，又因?yàn)椋?、，又由且平面，所以平?17.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的值.（1）解：當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)?，；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；的極大值為；極小值為.（2）假設(shè)與相切于點(diǎn)，，，即，又，，即；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即有唯一解：，，解得：.18.已知雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn).（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，E，F(xiàn)是雙曲線C上不同于D的兩點(diǎn)，且，于點(diǎn)G，證明:存在定點(diǎn)H，使為定值.