2024屆河南省駐馬店部分學(xué)校普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬數(shù)學(xué)試題(二)（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省駐馬店部分學(xué)校2024屆普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬數(shù)學(xué)試題(二)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，若，則（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗A〖解析〗拋物線，準(zhǔn)線，,由拋物線的定義可知，解得.故選：A.2.電影《孤注一鄭》的上映引發(fā)了電信詐騙問(wèn)題的熱議，也加大了各個(gè)社區(qū)反電信詐騙的宣傳力度.已知某社區(qū)共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年齡進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，共抽取36人作為代表，則中年人比青少年多（）A.6人 B.9人 C.12人 D.18人〖答案〗B〖解析〗設(shè)中年人抽取人，青少年抽取人，由分層隨機(jī)抽樣可知，解得，故中年人比青少年多9人.故選:B.3.已知，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時(shí)，，且，故，C項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；，故D項(xiàng)正確.故選：D.4.已知向量，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，則在方向上的投影向量為：.故選：C.5.已知某正六棱柱的體積為，其外接球體積為，若該六棱柱的高為整數(shù)，則其表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)該正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，其外接球的半徑為，易知，則①，且②，聯(lián)立①②，因，解得，所以正六棱柱的表面積.故選：D.6.已知甲?乙兩地之間的路線圖如圖所示，其可大致認(rèn)為是的圖象，某日小明和小紅分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)沿著路線相向而行，當(dāng)小明到達(dá)乙地時(shí)，小紅也停止前行.若將小明行走軌跡的點(diǎn)記為，小紅行走軌跡的點(diǎn)記為，且滿足，函數(shù)，則的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意可得，，且，解得，所以，令，則，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞減且，在上單調(diào)遞減且，在上單調(diào)遞增且，在上單調(diào)遞增且，所以在區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞減.故選：A.7.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上但不在坐標(biāo)軸上，且是等腰三角形，其中一個(gè)內(nèi)角的余弦值為，則（）A.4 B.5 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗依題意得，設(shè)，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，若，有，故或，解得或，又9，所以.若，有，同理可得.此時(shí)，，不符合點(diǎn)第一象限，所以.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，令，則.令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以，可化為，即.令，則，當(dāng)x∈0,1時(shí)，h'x>0，hx在0,1單調(diào)遞增，當(dāng)x∈又，當(dāng)時(shí)，，所以，解得.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A.的虛部為B.是純虛數(shù)C.在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限D(zhuǎn).〖答案〗BC〖解析〗的虛部為1，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；為純虛數(shù)，故B項(xiàng)正確；，其在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故C項(xiàng)正確；，，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗依題意得，所以945，故A項(xiàng)正確；令，得，令，得，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；令，得①，又②，由①+②可得，故C項(xiàng)正確；同理，由②-①得，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.11.設(shè)是定義在上的奇因函數(shù)，是指的最大奇因數(shù)，比如：，，則（）A.對(duì)B.C.D.〖答案〗ABD〖解析〗由題意得，故B項(xiàng)正確；，故A項(xiàng)正確；，所以，故D項(xiàng)正確；，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，若，則__________；若，則的取值范圍為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗即，則，所以，若，則，，若，，則，故的取值范圍為.13.某校擬開(kāi)設(shè)“生活中的數(shù)學(xué)”“音樂(lè)中的數(shù)學(xué)”“邏輯推理論”“彩票中的數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)建?！?門(mén)研究性學(xué)習(xí)課程，要求每位同學(xué)選擇其中2門(mén)進(jìn)行研修，記事件為甲?乙兩人至多有1門(mén)相同，且甲必須選擇“音樂(lè)中的數(shù)學(xué)”，則__________.〖答案〗〖解析〗若甲、乙兩人的選課都不相同則共有種；若甲、乙兩人的選課有1門(mén)相同，則共有種.故.14.定義：對(duì)于函數(shù)和數(shù)列，若，則稱(chēng)數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”.已知二次函數(shù)圖象的最低點(diǎn)為，且，若數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”，且首項(xiàng)為1的數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的最小值為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由二次函數(shù)最低點(diǎn)為可知：，又，所以，則.由題意得，又由，得，因?yàn)?，所以，即，又，所以，則，即，故是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.令.，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其中，且．（1）求；（2）求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理得，，則，因?yàn)椋?，則，又，所以．（2）由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，且，所以，綜上，的取值范圍為．16.已知函數(shù).（1）討論的最值；（2）若，且，求的取值范圍.解：（1）由題意得的定義域?yàn)?,+∞，當(dāng)時(shí)，f'x所以在區(qū)間0,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，無(wú)最大值，無(wú)最小值；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為，無(wú)最大值.綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)最大值，無(wú)最小值；當(dāng)時(shí)，的最小值為，無(wú)最大值.（2）當(dāng)時(shí)，由，得，整理得，即令，則，由（1）知，當(dāng)時(shí)，的最小值為，即恒成立，所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，單調(diào)遞減故當(dāng)時(shí)，hx取得最大值，即，故的取值范圍為.17.在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面，過(guò)點(diǎn)作，且，連接，所得圖形如圖②所示，其中為線段的中點(diǎn)，連接.（1）求證：平面；（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.（1）證明：在菱形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平?因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面.（2）解：在菱形中，因?yàn)?，所以和都是正三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，又平面，所以，即兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，.設(shè)平面的法向量為，則取，則.記直線與平面所成角為，則.，解得，即的值為2.18.某汽車(chē)銷(xiāo)售公司為了提升公司的業(yè)績(jī)，現(xiàn)將最近300個(gè)工作日每日的汽車(chē)銷(xiāo)售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如圖所示.（1）求的值以及該公司這300個(gè)工作日每日汽車(chē)銷(xiāo)售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）以頻率估計(jì)概率，若在所有工作日中隨機(jī)選擇4天，記汽車(chē)銷(xiāo)售量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）為增加銷(xiāo)售量，公司規(guī)定顧客每購(gòu)買(mǎi)一輛汽車(chē)可以進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：抽獎(jiǎng)區(qū)有兩個(gè)盒子，其中盒中放有9張金卡?1張銀卡，盒中放有2張金卡?8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機(jī)選擇其中一個(gè)盒子進(jìn)行抽獎(jiǎng)，直到抽到金卡則抽獎(jiǎng)結(jié)束（每次抽出一張卡，然后放回原來(lái)的盒中，再進(jìn)行下次抽獎(jiǎng)，中途可更換盒子），卡片結(jié)果的排列對(duì)應(yīng)相應(yīng)的禮品.已知顧客小明每次抽獎(jiǎng)選擇兩個(gè)盒子的概率相同，求小明在首次抽獎(jiǎng)抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個(gè)盒子中抽獎(jiǎng)抽出金卡的概率.解：（1）依題意得解得.所求平均數(shù)為.（2）因汽車(chē)銷(xiāo)售量在區(qū)間內(nèi)的概率為，在所有工作日中隨機(jī)選擇4天，相當(dāng)于一個(gè)4重伯努利試驗(yàn)，故，則，01234故.（3）設(shè)“選到盒”為事件，“選到盒”為事件，摸到金卡”為事件，摸到銀卡”為事件，因?yàn)槭菍?duì)立事件，而，則由題意得，所以則.故所求的概率.19.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，直線與的一條漸近線平行，且與交于點(diǎn)，直線的斜率為．（1）求的方程；（2）已知直線與交于兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在滿足的點(diǎn)？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由題可知，的一條漸近線方程為，則，設(shè)，又，直線的斜率為，所以，解得，則，代入中，解得，故的方程為．（2）因?yàn)?，所以，即，所以，同理可得，設(shè)，聯(lián)立，整理得，由題意知，且，解得或，且，所以，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線的方程為，設(shè)該直線與的右支交于另一點(diǎn)，聯(lián)立，整理得，解得或（舍去），所以，因?yàn)?，所以，同理可證，又，所以與重合，所以在上，則，故存在點(diǎn)滿足，且的值為16．河南省駐馬店部分學(xué)校2024屆普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬數(shù)學(xué)試題(二)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，若，則（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗A〖解析〗拋物線，準(zhǔn)線，,由拋物線的定義可知，解得.故選：A.2.電影《孤注一鄭》的上映引發(fā)了電信詐騙問(wèn)題的熱議，也加大了各個(gè)社區(qū)反電信詐騙的宣傳力度.已知某社區(qū)共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年齡進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，共抽取36人作為代表，則中年人比青少年多（）A.6人 B.9人 C.12人 D.18人〖答案〗B〖解析〗設(shè)中年人抽取人，青少年抽取人，由分層隨機(jī)抽樣可知，解得，故中年人比青少年多9人.故選:B.3.已知，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時(shí)，，且，故，C項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；，故D項(xiàng)正確.故選：D.4.已知向量，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，則在方向上的投影向量為：.故選：C.5.已知某正六棱柱的體積為，其外接球體積為，若該六棱柱的高為整數(shù)，則其表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)該正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，其外接球的半徑為，易知，則①，且②，聯(lián)立①②，因，解得，所以正六棱柱的表面積.故選：D.6.已知甲?乙兩地之間的路線圖如圖所示，其可大致認(rèn)為是的圖象，某日小明和小紅分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)沿著路線相向而行，當(dāng)小明到達(dá)乙地時(shí)，小紅也停止前行.若將小明行走軌跡的點(diǎn)記為，小紅行走軌跡的點(diǎn)記為，且滿足，函數(shù)，則的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意可得，，且，解得，所以，令，則，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞減且，在上單調(diào)遞減且，在上單調(diào)遞增且，在上單調(diào)遞增且，所以在區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞減.故選：A.7.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上但不在坐標(biāo)軸上，且是等腰三角形，其中一個(gè)內(nèi)角的余弦值為，則（）A.4 B.5 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗依題意得，設(shè)，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，若，有，故或，解得或，又9，所以.若，有，同理可得.此時(shí)，，不符合點(diǎn)第一象限，所以.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，令，則.令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以，可化為，即.令，則，當(dāng)x∈0,1時(shí)，h'x>0，hx在0,1單調(diào)遞增，當(dāng)x∈又，當(dāng)時(shí)，，所以，解得.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A.的虛部為B.是純虛數(shù)C.在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限D(zhuǎn).〖答案〗BC〖解析〗的虛部為1，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；為純虛數(shù)，故B項(xiàng)正確；，其在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故C項(xiàng)正確；，，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗依題意得，所以945，故A項(xiàng)正確；令，得，令，得，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；令，得①，又②，由①+②可得，故C項(xiàng)正確；同理，由②-①得，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.11.設(shè)是定義在上的奇因函數(shù)，是指的最大奇因數(shù)，比如：，，則（）A.對(duì)B.C.D.〖答案〗ABD〖解析〗由題意得，故B項(xiàng)正確；，故A項(xiàng)正確；，所以，故D項(xiàng)正確；，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，若，則__________；若，則的取值范圍為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗即，則，所以，若，則，，若，，則，故的取值范圍為.13.某校擬開(kāi)設(shè)“生活中的數(shù)學(xué)”“音樂(lè)中的數(shù)學(xué)”“邏輯推理論”“彩票中的數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)建?！?門(mén)研究性學(xué)習(xí)課程，要求每位同學(xué)選擇其中2門(mén)進(jìn)行研修，記事件為甲?乙兩人至多有1門(mén)相同，且甲必須選擇“音樂(lè)中的數(shù)學(xué)”，則__________.〖答案〗〖解析〗若甲、乙兩人的選課都不相同則共有種；若甲、乙兩人的選課有1門(mén)相同，則共有種.故.14.定義：對(duì)于函數(shù)和數(shù)列，若，則稱(chēng)數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”.已知二次函數(shù)圖象的最低點(diǎn)為，且，若數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”，且首項(xiàng)為1的數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的最小值為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由二次函數(shù)最低點(diǎn)為可知：，又，所以，則.由題意得，又由，得，因?yàn)椋?，即，又，所以，則，即，故是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.令.，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其中，且．（1）求；（2）求的取值范圍．解：（1）因?yàn)椋?，由正弦定理得，，則，因?yàn)?，所以，則，又，所以．（2）由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，且，所以，綜上，的取值范圍為．16.已知函數(shù).（1）討論的最值；（2）若，且，求的取值范圍.解：（1）由題意得的定義域?yàn)?,+∞，當(dāng)時(shí)，f'x所以在區(qū)間0,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，無(wú)最大值，無(wú)最小值；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為，無(wú)最大值.綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)最大值，無(wú)最小值；當(dāng)時(shí)，的最小值為，無(wú)最大值.（2）當(dāng)時(shí)，由，得，整理得，即令，則，由（1）知，當(dāng)時(shí)，的最小值為，即恒成立，所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，單調(diào)遞減故當(dāng)時(shí)，hx取得最大值，即，故的取值范圍為.17.在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面，過(guò)點(diǎn)作，且，連接，所得圖形如圖②所示，其中為線段的中點(diǎn)，連接.（1）求證：平面；（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.（1）證明：在菱形中，，因?yàn)槠矫妫矫妫?，又，平面，所以平?因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面.（2）解：在菱形中，因?yàn)椋院投际钦切?，取的中點(diǎn)，連接，則，又平面，所以，即兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，.設(shè)平面的法向量為，則取，則.記直線與平面所成角為，則.，解得，即的值為2.18.某汽車(chē)銷(xiāo)售公司為了提升公司的業(yè)績(jī)，現(xiàn)將最近300個(gè)工作日每日的汽車(chē)銷(xiāo)售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如圖所示.（1）求的值以及該公司這300個(gè)工作日每日汽車(chē)銷(xiāo)售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)