2025屆山西省汾陽(yáng)市第二高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2025屆山西省汾陽(yáng)市第二高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線(xiàn)的傾斜角為（）A.60° B.30°C.120° D.150°2．已知分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B.C. D.3．一個(gè)袋中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球，3個(gè)綠色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，下列結(jié)論正確的是（）A.第一次摸到綠球的概率是 B.第二次摸到綠球的概率是C.兩次都摸到綠球的概率是 D.兩次都摸到紅球的概率是4．下列命題中是真命題的是（）A.“”是“”的充分非必要條件B.“”是“”的必要非充分條件C.在中“”是“”的充分非必要條件D.“”是“”的充要條件5．已知數(shù)列{}滿(mǎn)足，且，若，則＝（）A.－8 B.－11C.8 D.116．如圖，是對(duì)某位同學(xué)一學(xué)期次體育測(cè)試成績(jī)（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到的散點(diǎn)圖，關(guān)于這位同學(xué)的成績(jī)分析，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.該同學(xué)的體育測(cè)試成績(jī)總的趨勢(shì)是在逐步提高，且次測(cè)試成績(jī)的極差超過(guò)分B.該同學(xué)次測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)是分C.該同學(xué)次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是分D.該同學(xué)次測(cè)試成績(jī)與測(cè)試次數(shù)具有相關(guān)性，且呈正相關(guān)7．在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若．則（）A. B.C. D.8．函數(shù)在區(qū)間（0，e）上的極小值為（）A.－e B.1－eC.－1 D.19．已知是上的單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是A.﹣1b2 B.﹣1b2C.b﹣2或b2 D.b﹣1或b210．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將在2022年2月4日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行．這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市．同時(shí)中國(guó)也成為第一個(gè)實(shí)現(xiàn)奧運(yùn)“全滿(mǎn)貫”（先后舉辦奧運(yùn)會(huì)、殘奧會(huì)、青奧會(huì)、冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)）國(guó)家．根據(jù)規(guī)劃，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥(niǎo)巢）成為北京冬奧會(huì)開(kāi)、閉幕式的場(chǎng)館．國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)和短軸一端點(diǎn)分別向內(nèi)層橢圓引切線(xiàn)，（如圖），且兩切線(xiàn)斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．已知直線(xiàn)，兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則12．以橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_____.14．已知函數(shù)，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則__________15．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________.16．若滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前100項(xiàng)和18．（12分）已知圓C的圓心在直線(xiàn)上，且圓C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線(xiàn)與圓C交于A，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O）兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，試問(wèn)直線(xiàn)l是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知圓，P（2，0），M點(diǎn)是圓Q上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段PM的垂直平分線(xiàn)交半徑MQ于點(diǎn)C，當(dāng)M點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為曲線(xiàn)C（1）求曲線(xiàn)C方程；（2）已知直線(xiàn)l：x＝8，A、B是曲線(xiàn)C上的兩點(diǎn)，且不在x軸上，，垂足為，，垂足為，若D（3，0），且的面積是△ABD面積的5倍，求△ABD面積的最大值21．（12分）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，（1）求的值；（2）求展開(kāi)式的所有有理項(xiàng)(指數(shù)為整數(shù))，并指明是第幾項(xiàng)22．（10分）在如圖所示的多面體中，且，，，且，，且，平面，（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求出斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：，即，直線(xiàn)的斜率為，即直線(xiàn)的傾斜角為120°.故選：C.2、D【解析】利用及等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，故，且，故，故選：D3、C【解析】對(duì)選項(xiàng)A，直接求出第一次摸球且摸到綠球的概率；對(duì)選項(xiàng)B，第二次摸到綠球分兩種情況，第一次摸到綠球且第二也摸到綠球和第一次摸到紅球且第二次摸到綠球；對(duì)選項(xiàng)C，直接求出第一次摸到綠球且第二也摸到綠球的概率；對(duì)選項(xiàng)D，直接求出第一次摸到紅球且第二也摸到紅球的概率【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，第一次摸到綠球的概率為：，故錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，第二次摸到綠球的概率為：，故錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，兩次都摸到綠球的概率為：，故正確；對(duì)選項(xiàng)D，兩次都摸到紅球的概率為：，故錯(cuò)誤故選：C4、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的定義依次判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，非充分，故A錯(cuò).當(dāng)不能推出，所以非充分，，所以是必要條件，故B正確.當(dāng)在中，，反之，故為充要條件，故C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，，，充分條件，因?yàn)?，?dāng)時(shí)成立，非必要條件，故D錯(cuò).故選：B.5、C【解析】利用遞推關(guān)系，結(jié)合取值，求得即可.【詳解】因?yàn)椋遥?，故可得，解得（舍?；同理求得，，.故選：C.6、C【解析】根據(jù)給定的散點(diǎn)圖，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，由散點(diǎn)圖知，8次測(cè)試成績(jī)總體是依次增大，極差為，A正確；對(duì)于B，散點(diǎn)圖中8個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)是48，B正確；對(duì)于C，散點(diǎn)圖中的8個(gè)數(shù)由小到大排列，最中間兩個(gè)數(shù)都是48，則次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是分，C不正確；對(duì)于D，散點(diǎn)圖中8個(gè)點(diǎn)落在某條斜向上的直線(xiàn)附近，則次測(cè)試成績(jī)與測(cè)試次數(shù)具有相關(guān)性，且呈正相關(guān)，D正確.故選：C7、C【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得.故選：C.8、D【解析】求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解【詳解】的定義域?yàn)?0，＋∞)，，令，得x＝1，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，e)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在x＝1處取得極小值.故選：D.9、A【解析】利用三次函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，求出導(dǎo)數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)恒大于0即可解決問(wèn)題【詳解】∵∴∵函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)∴在上恒成立∴，即.∴故選A.【點(diǎn)睛】可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上（或）（在該區(qū)間的任意子區(qū)間都不恒等于0）恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，從而獲得參數(shù)的取值范圍，本題是根據(jù)相應(yīng)的二次方程的判別式來(lái)進(jìn)行求解.10、B【解析】分別設(shè)內(nèi)外層橢圓方程為、，進(jìn)而設(shè)切線(xiàn)、分別為、，聯(lián)立方程組整理并結(jié)合求、關(guān)于a、b、m的關(guān)系式，再結(jié)合已知得到a、b的齊次方程求離心率即可.【詳解】若內(nèi)層橢圓方程為，由離心率相同，可設(shè)外層橢圓方程為，∴，設(shè)切線(xiàn)為，切線(xiàn)為，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)內(nèi)外橢圓的離心率相同設(shè)橢圓方程，并寫(xiě)出切線(xiàn)方程，聯(lián)立方程結(jié)合及已知條件，得到橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.11、A【解析】根據(jù)線(xiàn)面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，A選項(xiàng)正確，對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，和可能相交，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，可能含于，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，可能含于，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A12、B【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得雙曲線(xiàn)的a，b，c，再求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵橢圓的方程為＋＝1，∴橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)為，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴雙曲線(xiàn)方程為，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)增區(qū)間是，故答案為：14、##9.5【解析】根據(jù)給定條件計(jì)算當(dāng)時(shí)，的值，再結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則，，同理，令，又，則有，，所以.故答案為：15、10【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，所以，所以故答案為：1016、5【解析】作出可行域，作直線(xiàn)，平移該直線(xiàn)可得最優(yōu)解【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線(xiàn)，直線(xiàn)中是直線(xiàn)的縱截距，代入得，即平移直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最小值5故答案為：5三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意得出，然后與原式結(jié)合，兩式相減并化簡(jiǎn)求出，最后根據(jù)等差數(shù)列的定義求得答案；（2）結(jié)合（1），分別討論，和三種情況，分別求出，進(jìn)而求出.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，兩式相減得，所以又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.18、（1）（2）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為【解析】（1）設(shè)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意列出方程從而可得答案.（2）設(shè)，，將直線(xiàn)的方程與圓C的方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由條件可得，從而得出答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意可得解得，，.故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，.聯(lián)立整理的，則，，故.因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以，即則，化簡(jiǎn)得.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)不滿(mǎn)足以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).所以，則，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線(xiàn)面角的向量公式求出【詳解】（1）中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)?，所以，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)主要考查線(xiàn)面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系直線(xiàn)較多，易證平面，從而使問(wèn)題得以解決；第二問(wèn)思路直接，由第一問(wèn)的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線(xiàn)面角的向量公式即可計(jì)算得出20、（1）（2）【解析】（1）由定義法求出曲線(xiàn)C的方程；（2）先判斷出直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)H(2,0)或H(4,0).當(dāng)AB過(guò)定點(diǎn)H(4,0)，求出最大；當(dāng)H(2,0)時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)AB：.用“設(shè)而不求法”表示出，不妨設(shè)（），利用函數(shù)的單調(diào)性求出△ABD面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榫€(xiàn)段PM的垂直平分線(xiàn)交半徑MQ于點(diǎn)C，所以,所以,符合橢圓的定義，所以點(diǎn)C的軌跡為以P、Q為焦點(diǎn)的橢圓，其中，所以，所以曲線(xiàn)C的方程為.【小問(wèn)2詳解】不妨設(shè)直線(xiàn)l：x＝8交x軸于G(8,0)，直線(xiàn)AB交x軸于H(h,0)，則,.因?yàn)?，，，所?又因?yàn)榈拿娣e是△ABD面積的5倍，所以.因?yàn)镚(8,0)，D（3，0），所以，所以H(2,0)或H(4,0).當(dāng)H(4,0)時(shí)，則H與A（或H與B）重合，不妨設(shè)H與A重合，此時(shí)，，要使△ABD面積最大，只需B在短軸頂點(diǎn)時(shí)，=2最大，所以最大；當(dāng)H(2,0)時(shí)，要想構(gòu)成三角形ABD，直線(xiàn)AB的斜率不為0，可設(shè)直線(xiàn)AB：.設(shè),則，消去x可得：，所以，，，所以.不妨設(shè)（），則，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=4時(shí)，，此時(shí)最大綜上所述，△ABD面積的最大值為.【點(diǎn)睛】（1）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見(jiàn)的解題方法，可以解決直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)相交的問(wèn)題；（2）解析幾何中最值計(jì)算方法有兩類(lèi)：①幾何法：利用幾何圖形求最值；②代數(shù)法：表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.21、（1）（2）【解析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)和公式可得答案；（2）求出的通項(xiàng)，利用的指數(shù)為整數(shù)可得答案.【小問(wèn)1詳解】