2025屆山西省汾陽市第二高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2025屆山西省汾陽市第二高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線的傾斜角為（）A.60° B.30°C.120° D.150°2．已知分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B.C. D.3．一個袋中裝有大小和質(zhì)地相同的5個球，其中有2個紅色球，3個綠色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個球，下列結(jié)論正確的是（）A.第一次摸到綠球的概率是 B.第二次摸到綠球的概率是C.兩次都摸到綠球的概率是 D.兩次都摸到紅球的概率是4．下列命題中是真命題的是（）A.“”是“”的充分非必要條件B.“”是“”的必要非充分條件C.在中“”是“”的充分非必要條件D.“”是“”的充要條件5．已知數(shù)列{}滿足，且，若，則＝（）A.－8 B.－11C.8 D.116．如圖，是對某位同學(xué)一學(xué)期次體育測試成績（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到的散點(diǎn)圖，關(guān)于這位同學(xué)的成績分析，下列結(jié)論錯誤的是（）A.該同學(xué)的體育測試成績總的趨勢是在逐步提高，且次測試成績的極差超過分B.該同學(xué)次測試成績的眾數(shù)是分C.該同學(xué)次測試成績的中位數(shù)是分D.該同學(xué)次測試成績與測試次數(shù)具有相關(guān)性，且呈正相關(guān)7．在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若．則（）A. B.C. D.8．函數(shù)在區(qū)間（0，e）上的極小值為（）A.－e B.1－eC.－1 D.19．已知是上的單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是A.﹣1b2 B.﹣1b2C.b﹣2或b2 D.b﹣1或b210．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，將在2022年2月4日在中華人民共和國北京市和張家口市聯(lián)合舉行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會，北京成為奧運(yùn)史上第一個舉辦夏季奧林匹克運(yùn)動會和冬季奧林匹克運(yùn)動會的城市．同時中國也成為第一個實(shí)現(xiàn)奧運(yùn)“全滿貫”（先后舉辦奧運(yùn)會、殘奧會、青奧會、冬奧會、冬殘奧會）國家．根據(jù)規(guī)劃，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點(diǎn)和短軸一端點(diǎn)分別向內(nèi)層橢圓引切線，（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．已知直線，兩個不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則12．以橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以這個橢圓的長軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為______.14．已知函數(shù)，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則__________15．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________.16．若滿足約束條件，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前100項(xiàng)和18．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且圓C經(jīng)過，兩點(diǎn).（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線與圓C交于A，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O）兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，試問直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，請說明理由.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知圓，P（2，0），M點(diǎn)是圓Q上任意一點(diǎn)，線段PM的垂直平分線交半徑MQ于點(diǎn)C，當(dāng)M點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)C的軌跡為曲線C（1）求曲線C方程；（2）已知直線l：x＝8，A、B是曲線C上的兩點(diǎn)，且不在x軸上，，垂足為，，垂足為，若D（3，0），且的面積是△ABD面積的5倍，求△ABD面積的最大值21．（12分）已知的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，（1）求的值；（2）求展開式的所有有理項(xiàng)(指數(shù)為整數(shù))，并指明是第幾項(xiàng)22．（10分）在如圖所示的多面體中，且，，，且，，且，平面，（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求出斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：，即，直線的斜率為，即直線的傾斜角為120°.故選：C.2、D【解析】利用及等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，故，且，故，故選：D3、C【解析】對選項(xiàng)A，直接求出第一次摸球且摸到綠球的概率；對選項(xiàng)B，第二次摸到綠球分兩種情況，第一次摸到綠球且第二也摸到綠球和第一次摸到紅球且第二次摸到綠球；對選項(xiàng)C，直接求出第一次摸到綠球且第二也摸到綠球的概率；對選項(xiàng)D，直接求出第一次摸到紅球且第二也摸到紅球的概率【詳解】對選項(xiàng)A，第一次摸到綠球的概率為：，故錯誤；對選項(xiàng)B，第二次摸到綠球的概率為：，故錯誤；對選項(xiàng)C，兩次都摸到綠球的概率為：，故正確；對選項(xiàng)D，兩次都摸到紅球的概率為：，故錯誤故選：C4、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的定義依次判斷.【詳解】當(dāng)時，，非充分，故A錯.當(dāng)不能推出，所以非充分，，所以是必要條件，故B正確.當(dāng)在中，，反之，故為充要條件，故C錯；當(dāng)時，，，，充分條件，因?yàn)?，?dāng)時成立，非必要條件，故D錯.故選：B.5、C【解析】利用遞推關(guān)系，結(jié)合取值，求得即可.【詳解】因?yàn)?，且，，故可得，解得（舍?；同理求得，，.故選：C.6、C【解析】根據(jù)給定的散點(diǎn)圖，逐一分析各個選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】對于A，由散點(diǎn)圖知，8次測試成績總體是依次增大，極差為，A正確；對于B，散點(diǎn)圖中8個數(shù)據(jù)的眾數(shù)是48，B正確；對于C，散點(diǎn)圖中的8個數(shù)由小到大排列，最中間兩個數(shù)都是48，則次測試成績的中位數(shù)是分，C不正確；對于D，散點(diǎn)圖中8個點(diǎn)落在某條斜向上的直線附近，則次測試成績與測試次數(shù)具有相關(guān)性，且呈正相關(guān)，D正確.故選：C7、C【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得.故選：C.8、D【解析】求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解【詳解】的定義域?yàn)?0，＋∞)，，令，得x＝1，當(dāng)x∈(0，1)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，e)時，，單調(diào)遞增，故在x＝1處取得極小值.故選：D.9、A【解析】利用三次函數(shù)的單調(diào)性，通過其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，求出導(dǎo)數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)恒大于0即可解決問題【詳解】∵∴∵函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)∴在上恒成立∴，即.∴故選A.【點(diǎn)睛】可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上（或）（在該區(qū)間的任意子區(qū)間都不恒等于0）恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍，本題是根據(jù)相應(yīng)的二次方程的判別式來進(jìn)行求解.10、B【解析】分別設(shè)內(nèi)外層橢圓方程為、，進(jìn)而設(shè)切線、分別為、，聯(lián)立方程組整理并結(jié)合求、關(guān)于a、b、m的關(guān)系式，再結(jié)合已知得到a、b的齊次方程求離心率即可.【詳解】若內(nèi)層橢圓方程為，由離心率相同，可設(shè)外層橢圓方程為，∴，設(shè)切線為，切線為，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)內(nèi)外橢圓的離心率相同設(shè)橢圓方程，并寫出切線方程，聯(lián)立方程結(jié)合及已知條件，得到橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.11、A【解析】根據(jù)線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識對選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，A選項(xiàng)正確，對于B選項(xiàng)，當(dāng)，時，和可能相交，B選項(xiàng)錯誤，對于C選項(xiàng)，當(dāng)，時，可能含于，C選項(xiàng)錯誤，對于D選項(xiàng)，當(dāng)，時，可能含于，D選項(xiàng)錯誤.故選：A12、B【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和長軸端點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得雙曲線的a，b，c，再求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵橢圓的方程為＋＝1，∴橢圓的長軸端點(diǎn)坐標(biāo)為，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴雙曲線方程為，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，當(dāng)時，，所以的單調(diào)增區(qū)間是，故答案為：14、##9.5【解析】根據(jù)給定條件計(jì)算當(dāng)時，的值，再結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，，因數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則，，同理，令，又，則有，，所以.故答案為：15、10【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用對數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，所以，所以故答案為：1016、5【解析】作出可行域，作直線，平移該直線可得最優(yōu)解【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，直線中是直線的縱截距，代入得，即平移直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時取得最小值5故答案為：5三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意得出，然后與原式結(jié)合，兩式相減并化簡求出，最后根據(jù)等差數(shù)列的定義求得答案；（2）結(jié)合（1），分別討論，和三種情況，分別求出，進(jìn)而求出.【小問1詳解】因?yàn)椋?，兩式相減得，所以又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.18、（1）（2）過定點(diǎn)，定點(diǎn)為【解析】（1）設(shè)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意列出方程從而可得答案.（2）設(shè)，，將直線的方程與圓C的方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由條件可得，從而得出答案.【小問1詳解】設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意可得解得，，.故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)，.聯(lián)立整理的，則，，故.因?yàn)橐訟B為直徑的圓過原點(diǎn)，所以，即則，化簡得.當(dāng)時，直線，直線l過原點(diǎn)，此時不滿足以AB為直徑的圓過原點(diǎn).所以，則，則直線過定點(diǎn).19、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】（1）中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)椋?，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)算得出20、（1）（2）【解析】（1）由定義法求出曲線C的方程；（2）先判斷出直線AB過定點(diǎn)H(2,0)或H(4,0).當(dāng)AB過定點(diǎn)H(4,0)，求出最大；當(dāng)H(2,0)時，可設(shè)直線AB：.用“設(shè)而不求法”表示出，不妨設(shè)（），利用函數(shù)的單調(diào)性求出△ABD面積的最大值.【小問1詳解】因?yàn)榫€段PM的垂直平分線交半徑MQ于點(diǎn)C，所以,所以,符合橢圓的定義，所以點(diǎn)C的軌跡為以P、Q為焦點(diǎn)的橢圓，其中，所以，所以曲線C的方程為.【小問2詳解】不妨設(shè)直線l：x＝8交x軸于G(8,0)，直線AB交x軸于H(h,0)，則,.因?yàn)?，，，所?又因?yàn)榈拿娣e是△ABD面積的5倍，所以.因?yàn)镚(8,0)，D（3，0），所以，所以H(2,0)或H(4,0).當(dāng)H(4,0)時，則H與A（或H與B）重合，不妨設(shè)H與A重合，此時，，要使△ABD面積最大，只需B在短軸頂點(diǎn)時，=2最大，所以最大；當(dāng)H(2,0)時，要想構(gòu)成三角形ABD，直線AB的斜率不為0，可設(shè)直線AB：.設(shè),則，消去x可得：，所以，，，所以.不妨設(shè)（），則，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=4時，，此時最大綜上所述，△ABD面積的最大值為.【點(diǎn)睛】（1）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題；（2）解析幾何中最值計(jì)算方法有兩類：①幾何法：利用幾何圖形求最值；②代數(shù)法：表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.21、（1）（2）【解析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)和公式可得答案；（2）求出的通項(xiàng)，利用的指數(shù)為整數(shù)可得答案.【小問1詳解】