遼寧省本溪市第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

遼寧省本溪市第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列，，，，…，是其第（）項A.17 B.18C.19 D.202．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.3．若，則下列正確的是（）A. B.C. D.4．在數(shù)列中，若，則稱為“等方差數(shù)列”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷，其中不正確的為（）A.若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列 B.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列C.是等方差數(shù)列 D.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列5．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，，則（）A.54 B.71C.81 D.807．已知直線平分圓C：，則最小值為（）A.3 B.C. D.8．定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差．設(shè)是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為4，，則數(shù)列的前24項和為（）A. B.3C. D.69．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程，則x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A. B.C. D.10．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．已知雙曲線：，直線經(jīng)過點，若直線與雙曲線的右支只有一個交點，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當(dāng)時，n的最大值是（）A.8 B.9C.10 D.11二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，為實數(shù)，已知經(jīng)過點的橢圓與雙曲線有相同的焦點，則___________.14．已知向量，向量，若，則實數(shù)的值為________.15．設(shè)拋物線的準線方程為__________.16．已知為曲線：上一點，，，則的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓：（）的離心率為，遞增直線過橢圓的左焦點，且與橢圓交于兩點，若，求直線的斜率.18．（12分）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）（1）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；（2）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大19．（12分）已知橢圓的焦距為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若斜率為1的直線與橢圓交于不同的兩點，，求的最大值.20．（12分）已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上（1）求橢圓的標準方程；（2）若過定點的直線交橢圓于不同的兩點、(點在點、之間)，且滿足，求的取值范圍.21．（12分）為了了解高一年級學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12（1）第二小組的頻率是多少？樣本量是多少？（2）若次數(shù)在110以上(含110次)為達標，則該校全體高一年級學(xué)生的達標率是多少？（3）樣本中不達標的學(xué)生人數(shù)是多少？（4）第三組的頻數(shù)是多少？22．（10分）已知命題p：集合為空集，命題q：不等式恒成立（1）若p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意，分析歸納可得該數(shù)列可以寫成，，，……，，可得該數(shù)列的通項公式，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列，，，，…，，可寫成，，，……，，對于，即，為該數(shù)列的第20項；故選：D.【點睛】此題考查了由數(shù)列的項歸納出數(shù)列的通項公式，考查歸納能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】取的中點，連接，易證平面，進一步得到線面角，再解三角形即可.【詳解】如圖，取的中點，連接，三棱柱為直三棱柱，則平面，又平面，所以，又由題意可知為等腰直角三角形，且為斜邊的中點，從而，而平面，平面，且，所以平面，則為與平面所成的角.在直角中，.故選：C3、D【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)并結(jié)合反例，即可判斷命題真假.【詳解】對于選項A：若，則，由題意，，不妨令，，則此時，這與結(jié)論矛盾，故A錯誤；對于選項B：當(dāng)時，若，則，故B錯誤；對于選項C：由，不妨令，，則此時，故C錯誤；對于選項D：由不等式性質(zhì)，可知D正確.故選：D.4、B【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義逐一進行判斷即可【詳解】選項A中，符合等差數(shù)列的定義，所以是等差數(shù)列，A正確；選項B中，不是常數(shù)，所以不是等方差數(shù)列，選項B錯誤；選項C中，，所以是等方差數(shù)列，C正確；選項D中，所以是等方差數(shù)列，D正確故選：B5、C【解析】利用函數(shù)在上單調(diào)遞減即可求解.【詳解】解：因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以若，，則；反之若，，則.所以若，則“”是“”的充要條件，故選：C.6、C【解析】利用等差數(shù)列的前n項和公式求解.【詳解】∵是等差數(shù)列，，∴，得，∴.故選：C.7、D【解析】根據(jù)直線過圓心求得，再利用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】根據(jù)題意，直線過點，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最小值.故選：D.8、C【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，運用裂項相消法進行求解即可.【詳解】因為是方公差為4的等方差數(shù)列，所以，，∴，∴，∴，故選：C9、B【解析】作出散點圖，由散點圖得出回歸直線中的的符號【詳解】作出散點圖如圖所示．由圖可知，回歸直線＝x＋的斜率＜0，當(dāng)x＝0時，＝＞0.故選B【點睛】本題考查了散點圖的概念，擬合線性回歸直線第一步畫散點圖，再由數(shù)據(jù)計算的值10、C【解析】先求出方程表示雙曲線時滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”原則進行判斷即可.【詳解】因為方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.11、D【解析】以雙曲線的兩條漸近線作為邊界條件，即可保證直線與雙曲線的右支只有一個交點.【詳解】雙曲線：的兩條漸近線為和兩漸近線的傾斜角分別為和由經(jīng)過點的直線與雙曲線的右支只有一個交點，可知直線的傾斜角取值范圍為，故直線的斜率的取值范圍是故選：D12、B【解析】先求出數(shù)列和的通項公式，然后利用分組求和求出，再對進行賦值即可求解.【詳解】解：因為數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列所以因為是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列所以由得：當(dāng)時，即當(dāng)時，當(dāng)時，所以n的最大值是.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用分組求和求出，再通過賦值法即可求出使不等式成立的的最大值.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由點P在橢圓上，可得的值，再根據(jù)橢圓與雙曲線有相同的焦點即可求解.【詳解】解：因為點在橢圓上，所以，解得，所以橢圓方程為，又橢圓與雙曲線有相同的焦點，所以，解得，故答案為：1.14、2【解析】根據(jù)，由求解.【詳解】因為向量，向量，且，所以，解得，故答案為：215、【解析】由題意結(jié)合拋物線的標準方程確定其準線方程即可.【詳解】由拋物線方程可得，則，故準線方程為.故答案為【點睛】本題主要考查由拋物線方程確定其準線方法，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】曲線是拋物線的右半部分，是拋物線的焦點，作出拋物線的準線，把轉(zhuǎn)化為到準線的距離，則到準線的距離為所求距離和的最小值【詳解】易知曲線是拋物線的右半部分，如圖，因為拋物線的準線方程為，是拋物線的焦點，所以等于到直線的距離．過作該直線的垂線，垂足為，則的最小值為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、1【解析】根據(jù)離心率寫出，設(shè)出直線為，把直線的方程與橢圓進行聯(lián)立消，寫出韋達定理，再利用，即可解出，進而求出直線的斜率.【詳解】，.設(shè)遞增直線的方程為，把直線的方程與橢圓進行聯(lián)立：.①，②.③.把③代入①中得④.把④代入②中得...18、（1）V（r）=（300r﹣4r3）（0，5）（2）見解析【解析】（1）先由圓柱的側(cè)面積及底面積計算公式計算出側(cè)面積及底面積，進而得出總造價，依條件得等式，從中算出，進而可計算，再由可得；（2）通過求導(dǎo)，求出函數(shù)在內(nèi)的極值點，由導(dǎo)數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，進而得出取得最大值時的值.（1）∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為元，底面積成本為元∴蓄水池的總建造成本為元所以即∴∴又由可得故函數(shù)的定義域為（2）由（1）中，可得（）令，則∴當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)當(dāng)，函數(shù)為減函數(shù)所以當(dāng)時該蓄水池的體積最大考點：1.函數(shù)的應(yīng)用問題；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù).19、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)可得且，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系求，即可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線整理成一元二次方程的形式，由求m的范圍，再應(yīng)用韋達定理及弦長公式求關(guān)于m的表達式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可.小問1詳解】由題設(shè)，且，故，，則，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線為，聯(lián)立橢圓并整理得：，所以，可得，且，，所以且，故當(dāng)時，.20、（1）（2）【解析】（1）代入點坐標，結(jié)合離心率，以及即得解；（2）設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達定理和判別式，分析即得解【小問1詳解】由題意可知：，解得：橢圓的標準方程為：【小問2詳解】①當(dāng)直線斜率不存在，方程為，則，.②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得：.由得：.設(shè)，，則，，又，，，則，，所以，所以，解得：,又，綜上所述：的取值范圍為.21、（1）0.08，150；（2）88%；（3）18；（4）51.【解析】頻率分布直方圖以面積的形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，所以計算面積之比即為所求小組的頻率.可用此方法計算（1），（2），由公式直接計算可得（1）中樣本容量；根據(jù)（2）問中的達標率，可計算不達標率，從而求出不達標人數(shù)，可得（3）；單獨計算第三組的頻率，由公式計算頻數(shù)，可求出（4）.【小問1詳解】頻率分布直方圖以面積形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為＝0.08所以樣本容量＝＝150.【小問2詳解】由直方圖可估計該校高一年級學(xué)生的達標率為×100%＝88%.【小問3詳解】由（1）（2）知達標率為88%，樣本量為150，不達標的學(xué)生頻率為1－0.88＝0.12所以樣本中不達標的學(xué)生人數(shù)為150×0.12＝18(人)【小問4詳解】第三小組的頻率為＝0.34又因為樣本量為150，所以第三組的頻數(shù)為150×0.34＝512