空間向量的應(yīng)用(附答案)

空間向量的應(yīng)用一．選擇題（共20小題）1．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若+，則x、y的值分別為（）A．x=1，y=1B．x=1，y=C．x=，y=D．x=，y=12．如圖：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A．B．C．D．3．如圖，空間四邊形OABC中，=a，=b，=c，點(diǎn)M在OA上，且OM=MA，N為BC中點(diǎn)，則等于（）A．﹣a+b+cB．a(chǎn)﹣b+cC．a(chǎn)+b﹣cD．a(chǎn)+b﹣c4．設(shè)OABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點(diǎn)，且OG=3GG1，若=x+y+z，則（x，y，z）為（）A．（，，）B．（，，）C．（，，）D．（，，）5．在平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，向量、、、是（）A．有相同起點(diǎn)的向量B．等長(zhǎng)的向量C．共面向量D．不共面向量6．有以下命題：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；②O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O，A，B，C一定共面；③已知向量是空間的一個(gè)基底，則向量，也是空間的一個(gè)基底．其中正確的命題是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③7．（2011?重慶）高為的四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)S，A，B，C，D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為（）A．B．C．D．8．（2004?黑龍江）已知球O的半徑為1，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且每?jī)牲c(diǎn)間的球面距離均為，則球心O到平面ABC的距離為（）A．B．C．D．9．（2007?湖北）設(shè)，在上的投影為，在x軸上的投影為2，且，則為（）A．（2，14）B．C．D．（2，8）10．（2004?貴州）已知球的表面積為20π，球面上有A、B、C三點(diǎn)，如果AB=AC=2，BC=2，則球心到平面ABC的距離為（）A．1B．C．D．211．如圖，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=2，點(diǎn)G與E分別為線段A1B1和C1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)．若GD⊥EF，則線段DF長(zhǎng)度的最小值是（）A．B．1C．D．12．在四面體P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，M是面ABC內(nèi)一點(diǎn)，M到三個(gè)面PAB，PBC，PCA的距離分別是2，3，6，則M到P的距離是（）A．7B．8C．9D．1013．一個(gè)n棱錐的所有側(cè)面與底面所成二面角都為30°，若此棱錐的底面積為S，則它的側(cè)面積為（）A．B．C．D．14．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)等于2，側(cè)面與底面成60°的二面角，此四棱錐體積為（）A．9B．12C．15D．1815．將面積為2的長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使二面角D﹣AC﹣B的大小為α（0°＜α＜180°），則三棱錐D﹣ABC的外接球的體積的最小值是（）A．B．C．D．與α的值有關(guān)的數(shù)16．下列四個(gè)圖是正方體或正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的圖的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．417．在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥面ABCD，PA=1，則PC與面ABCD所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°18．如圖，直線l是平面α的斜線，AB⊥α，B為垂足，如果θ=45°，∠AOC=60°，則∠BOC=（）A．45°B．30°C．60°D．15°19．PA，PB，PC是從點(diǎn)P引出的三條射線，每?jī)蓷l的夾角均為60°，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值為（）A．B．C．D．20．如圖，∠C=90°，AC=BC，M，N分別為BC和AB的中點(diǎn)，沿直線MN將△BMN折起，使二面角B′﹣MN﹣B為60°，則斜線B'A與平面ABC所成角的正切值為（）A．B．C．D．二．填空題（共6小題）21．（2007?安徽）在四面體O﹣ABC中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則=_________（用a，b，c表示）22．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分別是A1B、B1C1上的點(diǎn)，且BM=2A1M，C1N=2B1N，設(shè)，，，則向量=_________（用表示）23．已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一點(diǎn)，若λ，則λ=_________．24．已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有2A=XM﹣B+4C，則x=_________．25．A、B是直線l上的兩點(diǎn)，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC與BD成60°的角，則C、D兩點(diǎn)間的距離是_________26．已知向量=（2，﹣1，2），=（1，0，3），則cos∠OAB=_________．三．解答題（共4小題）27．（2012?浙江）如圖，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面B1C1E與直線AA1的交點(diǎn)．（1）證明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值．28．（2012?西山區(qū)）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)，AE=．（Ⅰ）求證：平面AEF⊥平面PAB．（Ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．29．（2012?天津）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）證明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng)．30．（2012?四川）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直線PC與平面ABC所成角的大??；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大?。?/p>

2012年10月胡金朋的高中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共20小題）1．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若+，則x、y的值分別為（）A．x=1，y=1B．x=1，y=C．x=，y=D．x=，y=1考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征；空間向量的加減法。專題：計(jì)算題；作圖題。分析：畫出正方體，表示出向量，為+的形式，可得x、y的值．解答：解：如圖，++（）．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，向量加減運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．2．如圖：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A．B．C．D．考點(diǎn)：空間向量的基本定理及其意義。專題：計(jì)算題。分析：利用向量的運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則表示出．解答：解：∵====故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查利用向量的運(yùn)算法則將未知的向量用已知的基底表示從而能將未知向量間的問題轉(zhuǎn)化為基底間的關(guān)系解決．3．如圖，空間四邊形OABC中，=a，=b，=c，點(diǎn)M在OA上，且OM=MA，N為BC中點(diǎn)，則等于（）A．﹣a+b+cB．a(chǎn)﹣b+cC．a(chǎn)+b﹣cD．a(chǎn)+b﹣c考點(diǎn)：空間向量的基本定理及其意義。專題：計(jì)算題。分析：由題意，把，，三個(gè)向量看作是基向量，由圖形根據(jù)向量的線性運(yùn)算，將用三個(gè)基向量表示出來，即可得到答案，選出正確選項(xiàng)解答：解：由題意=++=+﹣+=﹣++﹣=﹣++又=，=，=∴=﹣++故選A點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是空間向量基本定理，考查了用向量表示幾何的量，向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形把所研究的向量用三個(gè)基向量表示出來，本題是向量的基礎(chǔ)題．4．設(shè)OABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點(diǎn)，且OG=3GG1，若=x+y+z，則（x，y，z）為（）A．（，，）B．（，，）C．（，，）D．（，，）考點(diǎn)：空間向量的加減法。專題：計(jì)算題；待定系數(shù)法。分析：由題意推出，使得它用，，，來表示，從而求出x，y，z的值，得到正確選項(xiàng)．解答：解：∵==（+）=+?[（+）]=+[（﹣）+（﹣）]=++，而=x+y+z，∴x=，y=，z=．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量的加減法，考查待定系數(shù)法，是基礎(chǔ)題．5．在平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，向量、、、是（）A．有相同起點(diǎn)的向量B．等長(zhǎng)的向量C．共面向量D．不共面向量考點(diǎn)：共線向量與共面向量。專題：綜合題。分析：畫出平行六面體，找出相應(yīng)向量，利用共面向量定理判斷，即可得到正確選項(xiàng)．解答：解：向量、、顯然不是有相同起點(diǎn)的向量，A不正確；等長(zhǎng)的向量，不正確；是共面向量，D不正確；選項(xiàng)A、B、D結(jié)合圖形，明顯錯(cuò)誤．又∵﹣==，∴、、共面．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查共線向量與共面向量，考查學(xué)生空間想象能力，判斷能力．6．有以下命題：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；②O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O，A，B，C一定共面；③已知向量是空間的一個(gè)基底，則向量，也是空間的一個(gè)基底．其中正確的命題是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③考點(diǎn)：共線向量與共面向量。專題：綜合題。分析：空間向量的基底判斷②③的正誤，找出反例判斷①命題的正誤，即可得到正確選項(xiàng)．解答：解：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；如果有一個(gè)向量為零向量，共線但不能構(gòu)成空間向量的一組基底，所以不正確．②O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O，A，B，C一定共面；這是正確的．③已知向量是空間的一個(gè)基底，則向量，也是空間的一個(gè)基底；因?yàn)槿齻€(gè)向量非零不共線，正確．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查共線向量與共面向量，考查分析問題解決問題的能力，是基礎(chǔ)題．7．（2011?重慶）高為的四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)S，A，B，C，D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算。專題：計(jì)算題。分析：由題意可知ABCD是小圓，對(duì)角線長(zhǎng)為，四棱錐的高為，推出高就是四棱錐的一條側(cè)棱，最長(zhǎng)的側(cè)棱就是球的直徑，然后利用勾股定理求出底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離．解答：解：由題意可知ABCD是小圓，對(duì)角線長(zhǎng)為，四棱錐的高為，點(diǎn)S，A，B，C，D均在半徑為1的同一球面上，球的直徑為2，所以四棱錐的一條側(cè)棱垂直底面的一個(gè)頂點(diǎn)，最長(zhǎng)的側(cè)棱就是直徑，所以底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為：=故選A點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接多面體的知識(shí)，能夠正確推出四棱錐的一條側(cè)棱垂直底面的一個(gè)頂點(diǎn)，最長(zhǎng)的側(cè)棱就是直徑是本題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．8．（2004?黑龍江）已知球O的半徑為1，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且每?jī)牲c(diǎn)間的球面距離均為，則球心O到平面ABC的距離為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算。專題：計(jì)算題；作圖題；綜合題。分析：先確定內(nèi)接體的形狀，確定球心與平面ABC的關(guān)系，然后求解距離．解答：解：顯然OA、OB、OC兩兩垂直，如圖，設(shè)O1為ABC所在平面截球所得圓的圓心，∵OA=OB=OC=1，且OA⊥OB⊥OC，∴AB=BC=CA=．∴O1為△ABC的中心．∴O1A=．由OO12+O1A2=OA2，可得OO1=．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查球的內(nèi)接體問題，球心與平面的距離關(guān)系，考查空間想象能力，是中檔題．9．（2007?湖北）設(shè)，在上的投影為，在x軸上的投影為2，且，則為（）A．（2，14）B．C．D．（2，8）考點(diǎn)：向量的投影；向量的幾何表示。專題：常規(guī)題型；計(jì)算題。分析：先由在x軸上的投影為2，設(shè)，再根據(jù)在上的投影為，求得y，最后由，取舍得到結(jié)果．解答：解：∵在x軸上的投影為2，∴設(shè)∵在上的投影為，∴∴7y2﹣96y﹣28=0∴∵∴故選B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量投影的定義及其應(yīng)用，考查靈活，巧妙既有知識(shí)的運(yùn)用，也有少量的運(yùn)算，還有取舍問題的考查，是一道好題．10．（2004?貴州）已知球的表面積為20π，球面上有A、B、C三點(diǎn)，如果AB=AC=2，BC=2，則球心到平面ABC的距離為（）A．1B．C．D．2考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算。專題：計(jì)算題。分析：由已知中球的表面積為20π，我們可以求出球半徑R，再由△ABC中，AB=AC=2，BC=2，解三角形我們可以求出△ABC所在平面截球所得圓（即△ABC的外接圓半徑），然后根據(jù)球心距d，球半徑R，截面圓半徑r，構(gòu)造直角三角形，滿足勾股定理，我們即可求出球心到平面ABC的距離．解答：解：∵球的表面積為20π∴球的半徑R=∵又AB=AC=2，BC=2，由余弦定理得CosA=﹣則SinA=則△ABC的外接圓半徑2r==4則r=2則球心到平面ABC的距離d==1故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間點(diǎn)、線、面之間的距離計(jì)算，其中根據(jù)球心距d，球半徑R，截面圓半徑r，構(gòu)造直角三角形，滿足勾股定理，是與球相關(guān)的距離問題常用方法．11．如圖，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=2，點(diǎn)G與E分別為線段A1B1和C1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)．若GD⊥EF，則線段DF長(zhǎng)度的最小值是（）A．B．1C．D．考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算。專題：計(jì)算題；探究型。分析：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出F、D的坐標(biāo)，求出向量，利用GD⊥EF求得關(guān)系式，寫出DF的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)求最值．解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），E（0，2，1），G（1，0，2），F(xiàn)（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以x+2y﹣2=0DF===當(dāng)y=時(shí)，線段DF長(zhǎng)度的最小值是故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力，空間直角坐標(biāo)系，數(shù)量積等知識(shí)，是中檔題．12．在四面體P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，M是面ABC內(nèi)一點(diǎn)，M到三個(gè)面PAB，PBC，PCA的距離分別是2，3，6，則M到P的距離是（）A．7B．8C．9D．10考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算。專題：計(jì)算題；作圖題；綜合題。分析：由題意畫出圖形，M到P的距離是，圖形中長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，求解即可．解答：解：由于PA，PB，PC兩兩垂直，M是面ABC內(nèi)一點(diǎn)，作出長(zhǎng)方體如圖，M到三個(gè)面PAB，PBC，PCA的距離分別是2，3，6，則M到P的距離，就是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)：故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力，計(jì)算能力，作圖能力，邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題13．一個(gè)n棱錐的所有側(cè)面與底面所成二面角都為30°，若此棱錐的底面積為S，則它的側(cè)面積為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題。專題：計(jì)算題。分析：側(cè)面與底面所成二面角都為30°，轉(zhuǎn)化為側(cè)面斜高與底面三角形的高的關(guān)系，然后求出側(cè)面積．解答：解：n棱錐的所有側(cè)面與底面所成二面角都為30°，頂點(diǎn)在底面的射影與多邊形的頂點(diǎn)連線的小三角形的高與斜高成30°；所以，故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積，二面角及其度量，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．14．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)等于2，側(cè)面與底面成60°的二面角，此四棱錐體積為（）A．9B．12C．15D．18考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；棱錐的結(jié)構(gòu)特征；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題。專題：計(jì)算題；作圖題。分析：畫出正四棱錐圖形，根據(jù)題意，側(cè)面與底面成60°的二面角，求出棱錐的高，即可求出體積．解答：解：由題意作出圖形如圖：因?yàn)閭?cè)面與底面成60°的二面角，所以棱錐的高為：tan60°=3，所以棱錐的體積：．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，二面角及其度量，還考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．15．將面積為2的長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使二面角D﹣AC﹣B的大小為α（0°＜α＜180°），則三棱錐D﹣ABC的外接球的體積的最小值是（）A．B．C．D．與α的值有關(guān)的數(shù)考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題。專題：計(jì)算題。分析：由題意可知，AC的中點(diǎn)就是外接球的球心，三棱錐D﹣ABC的外接球的體積的最小，就是球的半徑最小，就是AC最短，利用長(zhǎng)方形的面積求出AC的最小值即可．解答：解：將面積為2的長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使二面角D﹣AC﹣B的大小為α（0°＜α＜180°），則三棱錐D﹣ABC的外接球的球心就是AC的中點(diǎn)，三棱錐D﹣ABC的外接球的體積的最小，就是球的半徑最小，就是AC最短，由題意可設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：a，寬為：b，所以ab=2，AC=≥=2，此時(shí)a=b=，AC=2，球的半徑為：1，三棱錐D﹣ABC的外接球的體積的最小值是：．故選C點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接多面體，確定體積的求法，本題的關(guān)鍵是確定球心，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．16．下列四個(gè)圖是正方體或正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的圖的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4考點(diǎn)：空間點(diǎn)、線、面的位置。專題：閱讀型。分析：由中點(diǎn)構(gòu)成的中位線和幾何體的特征先判斷是否平行，再判斷是否在同一個(gè)平面內(nèi)．解答：解：A、有題意和長(zhǎng)方體知，PS∥QR，則P、Q、R、S四個(gè)點(diǎn)共面，故A不對(duì)；B、有題意和長(zhǎng)方體知，P、Q、R、S四個(gè)點(diǎn)共面，故B不對(duì)；C、因PR和QS分別是相鄰側(cè)面的中位線，所以PR∥QS，即P、Q、R、S四個(gè)點(diǎn)共面，故C不對(duì)；D、根據(jù)圖中幾何體得，P、Q、R、S四個(gè)點(diǎn)中任意兩個(gè)點(diǎn)都在兩個(gè)平面內(nèi)，并且任意兩個(gè)點(diǎn)的連線既不平行也不相交，故四個(gè)點(diǎn)共面不共面，故D對(duì)；故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了公理2以及推論的應(yīng)用、棱柱和棱錐的結(jié)構(gòu)特征，主要根據(jù)中點(diǎn)構(gòu)成中位線的性質(zhì)和幾何體進(jìn)行判斷．17．在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥面ABCD，PA=1，則PC與面ABCD所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°考點(diǎn)：直線與平面所成的角。專題：計(jì)算題。分析：連接AC，由PA⊥面ABCD，可得∠PAC是PC與面ABCD所成的角，即為所求角，再結(jié)合題中條件與三角形的有關(guān)知識(shí)即可得到答案．解答：解：連接AC，如圖所示：因?yàn)镻A⊥面ABCD，所以∠PAC是PC與面ABCD所成的角，即為所求角．因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，AB=1，BC=，所以AC=，又因?yàn)镻A=1，所以tan∠PAC=，所以PC與面ABCD所成的角∠PAC是30°．故選A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查線面角，空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，是求角的關(guān)鍵，也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)知識(shí)解決空間角等問題．18．如圖，直線l是平面α的斜線，AB⊥α，B為垂足，如果θ=45°，∠AOC=60°，則∠BOC=（）A．45°B．30°C．60°D．15°考點(diǎn)：直線與平面所成的角。專題：計(jì)算題。分析：作AC⊥OC，根據(jù)三垂線定理可得，OC⊥BC，根據(jù)三角函數(shù)可得cos∠AOB?cos∠BOC=cos∠AOC，結(jié)合已知可求．解答：解：作AC⊥OC，垂直為C∵AB⊥α，根據(jù)三垂線定理可得，OC⊥BC在Rt△OAB，cos∠AOB==，Rt△AOC中，Rt△OCB中，∴cos∠AOB?cos∠BOC==cos∠AOC∴∴∠BOC=45°故選A．點(diǎn)評(píng)：本題以三垂線定理為載體，主要考查了三余弦定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是要熟練應(yīng)用三垂線定理找出已知角之間的余弦關(guān)系．19．PA，PB，PC是從點(diǎn)P引出的三條射線，每?jī)蓷l的夾角均為60°，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：直線與平面所成的角。專題：計(jì)算題。分析：過PC上一點(diǎn)D作PO⊥平面APB，則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角，說明點(diǎn)O在∠APB的平分線上，通過直角三角形PED、DOP，求出直線PC與平面PAB所成角的余弦值．解答：解：過PC上一點(diǎn)D作PO⊥平面APB，則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角．因?yàn)椤螦PC=∠BPC=60°，所以點(diǎn)O在∠APB的平分線上，即∠OPE=30°．過點(diǎn)O作OE⊥PA，OF⊥PB，因?yàn)镻O⊥平面APB，則DE⊥PA，DF⊥PB．設(shè)PE=1，∵∠OPE=30°∴OP==．在直角△PED中，∠DPE=60°，PE=1，則PD=2．在直角△DOP中，OP=，PD=2．則cos∠DPO==．即直線PC與平面PAB所成角的余弦值是．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線與平面所成角正弦值的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查空間想象能力，計(jì)算能力，熟練掌握基本定理、基本方法是解決本題的關(guān)鍵．20．如圖，∠C=90°，AC=BC，M，N分別為BC和AB的中點(diǎn)，沿直線MN將△BMN折起，使二面角B′﹣MN﹣B為60°，則斜線B'A與平面ABC所成角的正切值為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：直線與平面所成的角。專題：計(jì)算題；作圖題。分析：由題意及折疊之前與折疊之后BM與CM都始終垂直于MN，且折疊之前圖形為等腰直角三角形，由于要求直線與平面所成的線面角，所以由直線與平面所陳角的定義要找到斜線B′A在平面ACB內(nèi)的射影，而射影是有斜足與垂足的連線，所以關(guān)鍵是要找到點(diǎn)B′在平面ABC內(nèi)的投影點(diǎn)，然后放到直角三角形中進(jìn)行求解即可．解答：解：由題意做出折疊前與折疊之后圖形為：由于折疊之前BM與CM都始終垂直于MN，這在折疊之后仍然成立，所以折疊之后平面B′MN與平面BMN所成的二面角即為∠B′MH=60°，并且B′在底面ACB內(nèi)的投影點(diǎn)H就在BC上，且恰在BM的中點(diǎn)位置，連接B′A和AH，在直角三角形ACH中AH=；在直角三角形B′MH中，由于BM=，∠B′MH=60°，∠BHM=90°，所以B′M=，最后在直角三角形B′AH中，故選B點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了折疊圖形的做題關(guān)鍵應(yīng)抓住折疊前與折疊后之間的變量與不變量，還考查了二面角的概念及直線與平面所成角的概念吧，此外多次使用了求解時(shí)把邊與角放到直角三角形中進(jìn)行求解的方法．二．填空題（共6小題）21．（2007?安徽）在四面體O﹣ABC中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則=（用a，b，c表示）考點(diǎn)：空間向量的加減法；中點(diǎn)坐標(biāo)公式。專題：計(jì)算題。分析：利用D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，=（+），=（+），化簡(jiǎn)可得結(jié)果．解答：解：在四面體O﹣ABC中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，∴=（+）=+=+×（+）=+（+）=++，故答案為：++．點(diǎn)評(píng)：本題考查向量中點(diǎn)公式的應(yīng)用，以及兩個(gè)向量的加減法的法則和幾何意義．22．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分別是A1B、B1C1上的點(diǎn)，且BM=2A1M，C1N=2B1N，設(shè)，，，則向量=（用表示）考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義；空間向量的基本定理及其意義。專題：計(jì)算題；探究型。分析：作出如圖的圖象，把三個(gè)向量看作是基向量，由向量的線性運(yùn)算將用三個(gè)基向量表示出來，再用表示即可得到答案解答：解：由題意三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分別是A1B、B1C1上的點(diǎn)，且BM=2A1M，C1N=2B1N，由圖，==又，，，∴=故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義，考查了向量加法與減法法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減法的法則，根據(jù)圖象將所研究的向量用基向量表示出來，本題考察數(shù)形結(jié)合的思想，是向量在幾何中運(yùn)用的基礎(chǔ)題型．23．已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一點(diǎn)，若λ，則λ=3．考點(diǎn)：空間向量的基本定理及其意義。專題：計(jì)算題。分析：由題意推出，使得它用，，來表示，從而求出λ的值，得到答案．解答：解：如圖，正方體中，，∴λ=3．故答案為3．點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量的基本定理，和三角形的重心等基礎(chǔ)知識(shí)，解此類題的關(guān)鍵是要把要求向量放在封閉圖形中，利用向量加法的三角形法則求解，是一般方法，屬基礎(chǔ)題．24．已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有2A=XM﹣B+4C，則x=﹣1．考點(diǎn)：共線向量與共面向量。專題：計(jì)算題。分析：利用四點(diǎn)共面的充要條件，若，則x+y+z=1，列出方程求出x．解答：解：∵，∴又點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)∴解得x=﹣1故答案為：﹣1．點(diǎn)評(píng)：本題考查四點(diǎn)共面的充要條件：P∈平面ABC，若，則x+y+z=1，屬基礎(chǔ)題．25．A、B是直線l上的兩點(diǎn)，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC與BD成60°的角，則C、D兩點(diǎn)間的距離是5或考點(diǎn)：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算。分析：將C．D兩點(diǎn)間的距離轉(zhuǎn)化成的模，表示出，然后用向量的數(shù)量積求解．解答：解：=，，CD=，θ=120°或60°，CD=．CD=5或故答案為：5或點(diǎn)評(píng)：本題考查空間中兩點(diǎn)間的距離，向量的模，是個(gè)中檔題．26．已知向量=（2，﹣1，2），=（1，0，3），則cos∠OAB=latex=““＞39．考點(diǎn)：空間向量的夾角與距離求解公式。專題：計(jì)算題。分析：由向量=（2，﹣1，2），=（1，0，3），知，再由公式cos∠OAB=，能求出cos∠OAB的大?。獯穑航猓骸呦蛄?（2，﹣1，2），=（1，0，3），∴∴，，∴cos∠OAB===．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：考查空間向量的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間向量的夾角公式cos∠OAB=的運(yùn)算．易錯(cuò)點(diǎn)是誤把cos∠OAB看成是向量=（2，﹣1，2），=（1，0，3）所成的角．三．解答題（共4小題）27．（2012?浙江）如圖，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面B1C1E與直線AA1的交點(diǎn)．（1）證明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值．考點(diǎn)：直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定。專題：綜合題。分析：（1）（i）先由C1B1∥A1D1證明C1B1∥平面ADD1A1，再由線面平行的性質(zhì)定理得出C1B1∥EF，證出EF∥A1D1．（ii）易通過證明B1C1⊥平面ABB1A1得出B1C1⊥BA1，再由tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，得出BA1⊥B1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；（2）設(shè)BA1與B1F交點(diǎn)為H，連接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1與平面B1C1EF所成的角．在RT△BHC1中求解即可．解答：（1）證明（i）∵C1B1∥A1D1，C1B1?平面ADD1A1，∴C1B1∥平面ADD1A1，又C1B1?平面B1C1EF，平面B1C1EF∩平面平面ADD1A1=EF，∴C1B1∥EF，∴EF∥A1D1；（ii）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1，又∵B1C1⊥B1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥BA1，在矩形ABB1A1中，F(xiàn)是AA1的中點(diǎn)，tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，故BA1⊥B1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；（2）解：設(shè)BA1與B1F交點(diǎn)為H，連接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1與平面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB=，AA1=2，得BH=，在RT△BHC1中，BC1=2，sin∠BC1H==，所以BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值是．點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線、平面位置故選的判定，線面角求解．考查空間想象能力、推理論證能力、轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．28．（2012?西山區(qū)）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)，AE=．（Ⅰ）求證：平面AEF⊥平面PAB．（Ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定。專題：綜合題。分析：（Ⅰ）由四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)，AE=，知AD=CD=AB=2，在△ADE中，AE=，DE=1，所以AE⊥CD．由AB∥CD，知AE⊥AB．由此能夠證明平面AEF⊥平面PAB．（Ⅱ）法一：由AE⊥平面PAB，AE?平面PAE，知平面PAE⊥平面PAB，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD．由AE⊥CD，PA∩AE=A，知CD⊥平面PAE，由CD?平面PCD，知平面PAE是平面PAB與平面PCD的公垂面，由此能夠求出平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．（Ⅱ）法二：以A為原點(diǎn)，AB、AE分別為x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，因?yàn)镻A=AB=2，AE=，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，，0）、C（1，，0），則，，，由AE⊥平面PAB，知平面PAB的一個(gè)法向量為，求出平面PCD的一個(gè)法向量．由此能求出平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．解答：解：（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=CD=AB=2，在△ADE中，AE=，DE=1，∴AD2=DE2+AE2，∴∠AED=90°，即AE⊥CD．∵AB∥CD，∴AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE．∵PA∩AB=A，∴AE⊥平面PAB，∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAB．…（6分）（Ⅱ）解法一：由（1）知AE⊥平面PAB，而AE?平面PAE，∴平面PAE⊥平面PAB，…（6分）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．由（Ⅰ）知AE⊥CD，又PA∩AE=A，∴CD⊥平面PAE，又CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAE．∴平面PAE是平面PAB與平面PCD的公垂面…（8分）所以，∠APE就是平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的平面角．…（9分）在RT△PAE中，PE2=AE2+PA2=3+4=7，即．…（10分）∵PA=2，∴．所以，平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值為．…（12分）（Ⅱ）解法二：以A為原點(diǎn)，AB、AE分別為x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，如圖所示．因?yàn)镻A=AB=2，AE=，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，，0）、C（1，，0），則，，，…（7分）由（Ⅰ）知AE⊥平面PAB，故平面PAB的一個(gè)法向量為，…（8分）設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，則，即，令y=2，則．…（10分）∴==．所以，平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值為．…（12分）點(diǎn)評(píng)：本題考查平面AEF⊥平面PAB的證明，求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運(yùn)用．29．（2012?天津）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）證明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng)．考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；用空間向量求直線間的夾角、距離；二面角的平面角及求法。專題：綜合題。分析：解法一（1）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，通過得出?=0，證出PC⊥AD．（2）求出平面PCD，平面PCD的一個(gè)法向量，利用兩法向量夾角求解．（3）設(shè)E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜＞=cos30°=，得出關(guān)于h的方程求解即可．解法二：（1）通過證明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．（2）作AH⊥PC于點(diǎn)H，連接DH，∠AHD為二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△DAH中求解（3）因?yàn)椤螦DC＜45°，故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF，故∠EBF（或其補(bǔ)角）為異面直線BE與CD所成的角．在△EBF中，因?yàn)镋F＜BE，從而∠EBF=30°，由余弦定理得出關(guān)于h的方程求解即可．解答：解法一：如圖，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2）．（1）證明：易得=（0，1，﹣2），=（2，0，0），于是?=0，所以PC⊥AD．（2）解：=（0，1，﹣2），=（2，﹣1，0），設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則即取z=1，則以=（1，2，1）．又平面PAC的一個(gè)法向量為=（1，0，0），于是cos＜＞==，sin＜＞=所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值為．（3）設(shè)E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（，﹣，h）．由=（2，﹣1，0），故cos＜＞===所以=cos30°=，解得h=，即AE=．解法二：（1）證明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以PC⊥AD．（2）解：如圖，作AH⊥PC于點(diǎn)H，連接DH，由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，從而∠AHD為二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH==，因此sin∠AHD==．所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值為．（3）解：如圖，因?yàn)椤螦DC＜45°，故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF，故∠EBF（或其補(bǔ)角）為異面直線BE與CD所成的角．由于BF∥C