7.2-7.3 離散型隨機變量 -(選擇性必修第二、三冊) (教師版)

離散型隨機變量一離散型隨機變量及其分布列1隨機變量①概念一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中每個樣本點ω，都有唯一的實數X(ω)與之對應，我們稱X為隨機變量.②分類隨機變量分為離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量.Eg:投擲一個骰子，得到的點數為X，它是離散型隨機變量，能夠一一列舉出來；一人一天攝取的卡路里Y，它是連續(xù)型隨機變量.2分布列①概念一般地，設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,?,xiXxx?x?xPpp?p?p為隨機變量X的概率分布列，簡稱X的分布列.②性質離散型隨機變量的分布列具有下述兩個性質13兩點分布如果隨機變量X的分布列為X01P1?pp則稱X服從兩點分布，并稱p=P(X=1)為成功概率.二離散型隨機變量的數字特征1離散隨機變量的均值（數學期望）(1)概念一般地，隨機變量X的概率分布列為Xxx?x?xPpp?p?p則稱EX=x它是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數，反映了離散型隨機變量取值的平均水平.(2)若Y=aX+b，其中a,b為常數，則Y也是變量Yaa?a?aPpp?p?p則E(Y)=aE(X)+b，即E(aX+b)=aE(X)+b.(利用期望的概念可以證明)(3)一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E即若X服從兩點分布，則E(X)=p.2離散型隨機變量取值的方差和標準差（1）一般地,若離散型隨機變量x的概率分布列為Xxx?x?xPpp?p?p則稱D為隨機變量X的方差，有時候也記為V(x)，并稱D(X)為隨機變量X的標準差，記為σ(X)隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度.方差越小，隨機變量的取值越集中；方差越大，隨機變量的取值越分散.(2)一般地，D(aX+b)=a(3)DX=E(X證明D=====E=E=E(【題型一】離散型隨機變量的分布列性質【典題1】設隨機變量ξ的分布列如表：ξ123456Paaaaaa其中a1,aA．最大值為19B．最大值為136C．最小值為19【解析】a1+a2+所以a1a6所以a1a6故選：B．【典題2】設隨機變量ξ的分布列為P(ξ=kA．15a=1 B．P(0.5<ξ<0.8)=0.2 C．P(0.1<ξ<0.5)=0.2 D．P(ξ=1)=0.3【解析】由題意可得a+2a+3a+4a+5a=1，即15a=1，故A正確；P(0.5<ξ<0.8)=P(ξ=35)=3a=P(0.1<ξ<0.5)=p(ξ=15)+p(ξ=Pξ=1=1故選：ABC．【點撥】離散型隨機變量的分布列具有下述兩個性質：1鞏固練習1(★)若隨機變量X的分布列如表：X﹣3﹣20123P0.10.20.20.30.10.1則當P(X<m)=0.5時，m的取值范圍是()A．m≤2 B．0<m≤1 C．0<m≤2 D．1<m<2【答案】B【解析】由題意可得P(X<－2)=0.1，P(X<0)=0.3，P(X<1)=0.5，則m∈(0，1]．故選：B．2(★)設隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k4)=ak(k=1,2,3,4)A．15 B．14 C．13 【答案】D【解析】∵隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k∴a+2a+3a+4a=1，解得a=0.1，∴P(13<ξ<45)=P(ξ=2故選：D．3(★)已知隨機變量ξ的分布列為：ξ﹣2﹣10123P112312412112212112若P(ξ2<x)=A．4<x≤9 B．4≤x<9 C．x<4或x≥9 D．x≤4或x＞9【答案】A【解析】由隨機變量ξ的分布列，知：ξ2的可能取值為0，1，4，9，且P(ξ2=0)=412，P(ξ2P(ξ2=4)=112+212=∵P(ξ2<x)=∴實數x的取值范圍是4<x≤9．故選：A．【題型二】離散型隨機變量的數字特征【典題1】設離散型隨機變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機變量Y滿足Y=3X+1，則下列結果正確的有()A．q=0.2 B．EX=2,DX=1.4C．EX=2,DX=1.8 D．EY=7,DY=16.2【解析】由離散型隨機變量X的分布列的性質得：q=1－0.4－0.1－0.2－0.2=0.1，E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2，DX∵離散型隨機變量Y滿足Y=3X+1，∴E(Y)=3E(X)+1=7，D(Y)=9D(X)=16.2．故選：CD.【點撥】①熟悉期望EX=i=1②熟悉公式E(aX+b)=aE(X)+b和D(aX+b)=a【典題2】已知A=B={1,2,3}，分別從集合A,B中各隨機取一個數a,b，得到平面上一個點P(a,b)，事件“點A．P4=2P2C．E(X)=4 D．D(X)=【解析】由題意得對應的點P有9種可能：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)，∴對應的X的可能取值為2,3,4,5,6，P(X=2)=1(先求出隨機變量x的分布列)對于A，p4=P(X=4)=3對于B，P(3≤X≤5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=29+對于C，E(X)=2×19+3×對于D，D(X)=2－42×1故選：BCD．【典題3】已知隨機變量X的分布列如表：X－101Pabc其中a,b,c＞0．若X的方差DX≤13對所有A．b≤13 B．b≤23 C．【解析】依題意a+b+c=1，故c=1－a－b，當a∈(0,1－b)時，故EX=－a+c=1－b－2a，DX=EX=(a+c)－a+c令1－b=t，則t∈(0,1)DX=t－t2+4a(t－a)≤故4a2－4at+當a=t2時DX有最小值，故故t≤13，即－1－b≤1故選：D．【點撥】方差DX與期望EX之間除了DXDX=EX鞏固練習1(★★)【多選題】設離散型隨機變量X的分布列為X1234P0.20.10.2q若離散型隨機變量Y滿足Y=2X+1，則下列結果正確的有()A．q=0.2 B．E(X)=3,D(X)=1.4 C．E(X)=2,D(X)=1.8 D．E(Y)=7,D(Y)=5.6【答案】CD【解析】由離散型隨機變量X的分布列的性質得：q=1－0.4－0.1－0.2－0.2=0.1，E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2，DX∵離散型隨機變量Y滿足Y=3X+1，∴E(Y)=3E(X)+1=7，故選：CD．2(★★)【多選題】已知隨機變量ξ的分布列是ξ－101p121?p2p2隨機變量η的分布列是η123P121?p2p2則當p在(0,1)內增大時，下列選項中正確的是()A．E(ξ)=E(ξ) B．V(ξ)=V(η) C．E(ξ)增大 D．V(η)先增大后減小【答案】BC【解析】對于A，∵η=ξ+2，∴E(η)=E(ξ)+2，故A錯誤；對于B，∵η=ξ+2，∴V(ξ)=V(η)，故B正確；對于C，∵E(ξ)=∴當p在(0，1)內增大時，E(ξ)增大，故C正確；對于D，∵E(η)=∴V(η)=(?12?p2)∴當p在(0，1)內增大時，V(η)單調遞增，故D錯誤．故選：BC．【題型三】求離散型隨機變量的分布列【典題1】甲、乙兩袋裝有除顏色外其余均相同的白球和黑球若干個，其中甲袋裝有2個白球，2個黑球；乙袋裝有1個白球，3個黑球；現從甲、乙兩袋中各抽取2個球，記取到白球的個數為ξ，則P(ξ=2)=，E(ξ)=．【解析】由題意可得：ξ=0,1,2,3，P(ξ=0)=C22P(ξ=2)=C可得其分布列：ξ0123P(ξ)1551E(ξ)=0×故答案為：512，3【點撥】①古典概型事件A的概率P(A)=事件②若事件A與事件B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B).③求出分布列最好利用p1【典題2】甲、乙兩名運動員站在A,B,C三處進行定點投籃訓練，每人在這三處各投籃一次，每人每次投籃是否投中均相互獨立，且甲、乙兩人在A,B,(1)設X表示甲運動員投中的個數，求隨機變量X的分布列和數學期望；(2)求甲、乙兩名運動員共投中的個數不少于5的概率．【解析】(1)根據題意可知，隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3，所以P(X=0)=(1?1P(X=1)=1P(X=2)=1P(X=3)=1所以隨機變量X的分布列為：X0123P11111隨機變量X的數學期望為E(X)=0×1(2)設Y表示乙運動員投中的個數，同(1)可知，所以P(Y=0)=14，P(Y=1)=1124，所以P(X=2,Y=3)=P(X=3,Y=2)=14×所以P(X+Y≥5)=P(X=3,Y=2)+P(X=3,Y=2)+P(X=3,Y=3)=13所以甲、乙兩名運動員共投中的個數不少于5的概率為13576【點撥】此類型題目項目較多，其關系在做題過程中是容易混亂的，做錯了歸結粗心也不合適，建議在草稿紙上列個表格出來那就清晰多了，【典題3】核酸檢測是診斷新冠肺炎的重要依據，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質，如果有病毒，樣本檢測會呈現陽性，否則為陰性．根據統(tǒng)計發(fā)現，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為p(0<方案一：逐個化驗；方案二：四個樣本混在一起化驗；方案三：平均分成兩組化驗．在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢查能力不足，化檢次數的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．(1)若p=(2)若p=(3)若對4例疑似病例樣本進行化驗，且“方案一”比“方案二”更“優(yōu)”，求p的取值范圍．【解析】(1)由題意可知，2個疑似病例樣本混合化驗結果均為陰性的概率為(1?2個疑似病例樣本混合化驗結果為陽性的概率為P=1?(2)方案一：逐一檢測，檢驗次數為4次；方案二：檢測次數為X，X的可能取值為1,5，(混在一起4例均陰性則X=1，若成陽性還要逐一化驗，則X所以P(X=1)=(12)所以X的分布列為：X15P115X的數學期望為E(X)=1×1方案三：每組兩個樣本檢測時，若呈陰性，檢測次數為1，概率為14；若呈陽性，則檢測次數為3，概率為3(先考慮一組檢測情況)設方案三的檢測次數為隨機變量Y，則Y的可能取值為2,4,6，所以P(Y=2)=(14)2=所以隨機變量Y的分布列為：Y246P139Y的數學期望為E(Y)=2×1比較可得4<E(X)<E(Y)，故選擇方案一最“優(yōu)”；(3)方案二：即檢測次數為Z，則隨機變量Z的可能取值為1,5，所以PZ=1隨機變量Z的分布列為：Z15P1－p1－所以Z的數學期望為E(Z)=1－p由于“方案一”比“方案二”更“優(yōu)”，則E(Z)=5－41－p可得1－p4<1故當1?【點撥】該題型屬于“方案問題”，閱讀量大，需要較好的篩選有效信息的能力，在讀題過程中可先標出重要信息，也可通過列表的方式確定隨機變量x、y鞏固練習1(★★)小張的公司年會有一小游戲：箱子中有材質和大小完全相同的六個小球，其中三個球標有號碼1，兩個球標有號碼2，一個球標有號碼3，有放回的從箱子中取兩次球，每次取一個，設第一個球的號碼是x，第二個球的號碼是y，記ξ=x+2y，則P(ξ=7)=；若公司規(guī)定ξ=9,8,7時，分別為一二三等獎，獎金分別為1000元，500元，200元，其余無獎．則小張玩游戲一次獲得獎金的期望為元．【答案】536；【解析】抽中號碼是1的概率為12，抽中號碼是2的概率為13，抽中號碼是3的概率為令x+2y=7，則有x=1y=3或x=3所以P(ξ=7)=P(ξ=8)=P(x=2，y=3)=P(ξ=9)=P(x=3，y=3)=所以玩游戲一次獲得獎金的期望為E(獲得獎金)=1000×136+500×故答案為：536；2503．2(★★)某商場在兒童節(jié)矩形回饋顧客活動，凡在商場消費滿100元者即可參加射擊贏玩具活動，具體規(guī)則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎且不再繼續(xù)射擊，否則一直射擊到3次為止，設甲每次擊中的概率為p(p≠0)，射擊參數為η，若η的數學期望E(η)＞74，則p【答案】(0，0.5)【解析】根據題意，每次擊中的概率為p，即P(η=1)=p，二次射擊成功的概率P(η=2)=p(1－p)，三次射擊成功的概率P(η=3)=(1－p)2，則Ex=p+2p(1－p)+3(1－p)2=p2－3p+3，依題意有E(η)＞74，則p2解可得，p＞2.5或p<0.5，結合p的實際意義，可得0<p<0.5，即p∈(0，0.5)故答案為：(0，0.5)．3(★★★)某游戲的參與者現在從標有5,6,7,8,9的相同小球中隨機摸取一個，將小球上的數字作為其賭金(單位：元)；隨后放回該小球，再隨機摸取兩個小球，將兩個小球上數字之差的絕對值的2倍作為其獎金(單位：元)，若隨機變量ξ和η分別表示參與者在每一局游戲中的賭金與獎金，則E(ξ)－E(η)=(元)；D(ξ)－D(η)=(元)．【答案】3，－2【解析】由題意可得：①P(ξ=k)=1∴E(ξ)=15(5+6+7+8+9)=7，D(ξ)=15[(5－7)2+(6－7)2②P(η=2)=4C52=25，P(η=4)=可得η分布列：η2468P2311可得：E(η)=2×25+4×310D(η)=(2－4)2×25+(4－4)2×310+∴E(ξ)－E(η)=7－4=3(元)；D(ξ)－D(η)=2－4=－2(元)．故答案為：3，－2．4(★★★)某合資企業(yè)招聘大學生時加試英語聽力，待測試的小組中有男、女生共10人(其中女生人數多于男生人數)，若從中隨機選2人，其中恰為一男一女的概率為815．求該小組中女生的人數為；若該小組中每個女生通過測試的概率均為34，每個男生通過測試的概率均為23．現對該小組中男生甲、男生乙和女生丙3人進行測試．記這3人中通過測試的人數為隨機變量X【答案】6；25【解析】設女生的人數為n，則男生人數為10－n，且n＞5，∴815=Cn1C10?n1由題意可知X的取值為0，1，2，3，P(X=0)=13×13×14P(X=2)=23×23×14∴E(X)=0×136+1×736故答案為：6；2512．5(★★★)春節(jié)逛廟會，是中國特有的集吃喝玩樂于一體的傳統(tǒng)民俗文化活動，在一次廟會上，有個“套圈游戲”，規(guī)則如下：每組每人3個圓環(huán)，向A,B兩個目標投擲，先向目標A連續(xù)擲兩次，每套中一次得1分，都沒有套中不得分，再向目標B擲一次，每套中一次得2分，沒有套中不得分，根據最終得分由主辦方發(fā)放獎品．已知小華每投擲一次，套中目標A的概率為34，套中目標B的概率為12(1)求小華在一組游戲中恰好套中一次的概率；(2)求小華在一組游戲中的總分X的分布列及數學期望；(3)小華非常喜歡這個游戲，連續(xù)玩了5組套圈游戲，假設小華每組投擲的結果相互獨立，求小華恰有3組套圈游戲中得2分或者3分的概率．【答案】（1）732（2）52【解析】(1)設小華恰好套中1次為事件A，P(A)=3(2)由題意得X的可能取值為0，1，2，3，4，P(X=0)=14×14×1P(X=2)=34×34×1P(X=4)=3故X的分布列是：X01234P(X)132316516316932故E(X)=0×132+1×316+2(3)設小華1組中得2分或3分的事件為B，則P(B)=P(X=2)+P(X=3)=5設5組游戲中，小華恰有3組游戲中得2分或3分為事件C，則P(B)=1?1則P(C)=C6(★★★★)體檢時，為了確定體檢人是否患有某種疾病，需要對其血液采樣進行化驗，若結果呈陽性，則