（人教A版）2021年新高二數(shù)學(xué)暑假講義-第二十講空間向量的運(yùn)用

第二十講空間向量的運(yùn)用

【知識梳理】

1.直線的方向向量和平面的法向量

(1)直線的方向向量：給定一個定點(diǎn)A和一個向量a,再任給一個實(shí)數(shù)3以A為起點(diǎn)作向量辦

=ta,則此向量方程叫做直線/的參數(shù)方程.向量a稱為該直線的方向向量.

(2)平面的法向量：直線/_La,取直線/的方向向量a,則向量。叫做平面a的法向量.

2.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

直線1\,11的方向向量分l\//hn\//

別為H2"1-L"2=」1〃2=O

直線/的方向向量為n,I//an_Lm<^n-m=Q

平面a的法向量為ml-Lan//

平面a,B的法向量分別a//pn//m^>n=Xm

為〃，ma工0n-Lm^>nm=O

3.異面直線所成的角

設(shè)a,8分別是兩異面直線/i,/2的方向向量，則

a與方的夾角尸/l與，2所成的角0

?

范圍(0,7t)

C0S

Rab夕=9。5陰=品

求法cos^~\a\\b\

4.求直線與平面所成的角

設(shè)直線/的方向向量為a,平面a的法向量為〃，直線/與平面a所成的角為仇則sin。=幽

5.求二面角的大小

(1)如圖①，AB,CD是二面角a-1-p的兩個面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小3=_

〈油，eb).

W1

（2）如圖②③，n\,m分別是二面角a—/一夕的兩個半平面a,4的法向量，則二面角的大小。

滿足|cos8l=|cos〈〃1,〃2）二面角的平面角大小是向量n\與“2的夾角（或其補(bǔ)角）.

6.點(diǎn)到平面的距離

用向量方法求點(diǎn)8到平面距離基本思路：確定平面法向量，在平面內(nèi)取一點(diǎn)A,求向量油到

法向量的投影向量，投影向量的長度即為所要求的距離.如圖平面a的法向量為〃，點(diǎn)B到平

面a的距離4=嚕菖.

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一利用空間向量證明平行問題

【例1】如圖，在四面體ABCO中，AOL平面BCD,BC1CD,AD=2,BD=2巾,M是A。

的中點(diǎn)，尸是8M的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC

證明：P?！ㄆ矫鍮CD

【解析】證明法一如圖，取8。的中點(diǎn)。，以。為原點(diǎn)，OD,0P所在射線分別為y,z

軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z.

由題意知，A（0,啦，2）,5（0,一啦，0）,0（0,啦，0）.

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（xo,yo，0）.

因?yàn)樵?3無，

所以陪必，乎+5o,9

因?yàn)镸為AO的中點(diǎn)，故M（0,啦，1）.

又P為8M的中點(diǎn)，故，0,0,鄉(xiāng)，

所以的=txo,乎+$o,0）.

又平面8c。的一個法向量為。=（0,0,1）,故用“二。.

又PQ6平面BCD,

所以P。〃平面BCD.

法二在線段CD上取點(diǎn)R使得OF=3FC,連接OR同法一建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)

A,B,C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（次，"，0）.

VCF=|cb,設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（x,y,0）,則

（x—xoty-”，0）=（（一沏,啦一yo,0）.

"=3

j3二科A，孚+私。）

7=4+加，

又由法一知所=生0,乎+5o，0），

：.OF=PQ,：.PQ//OF.

又PQC平面BCD,OFu平面BCD,

.?.P?！ㄆ矫鍮CD.

規(guī)律方法（1）恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和

垂直的關(guān)鍵.

(2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線

的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向

量平行，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.

考點(diǎn)二利用空間向量證明垂直問題

【例2】如圖所示，已知四棱錐的底面是直角梯形，ZABC=ZBCD=90°,AB=

BC=PB=PC=2CD,側(cè)面P8C_L底面ABCD證明：

⑵平面平面PAB.

【解析】證明⑴取8c的中點(diǎn)0,連接P0,

?.?平面P8CL底面ABCD,APBC為等邊三角形，

底面ABCD

以BC的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)。與AB平行的直線為y軸，0P

所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

不妨設(shè)8=1,則A8=BC=2,P0=p

-2,0),B(l,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,4)

：.BD=(-2,-1,0),"=(1,-2,一小).

?.?麗?成=(-2)Xl+(—l)X(—2)+0X(一小)=0,

：.PALBD,：.PALBD.

⑵取物的中點(diǎn)M,連接DM,則“，-1,

'：DM=\^,0,孚],PB={\,0,一小)，

.?.曲而=]X1+0X0+當(dāng)'X(一小)=0,

VDMM=1xi+0X(-2)+^X(-^/3)=0,

.?.加，或，即。M_L以.

XVMnPB=P,.?.QM_L平面如8.

?.,QMu平面玄。，平面必平面以B.

規(guī)律方法(1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而

將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.

(2)用向量證明垂直的方法

①線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.

②線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.

③面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?

考點(diǎn)三用空間向量解決有關(guān)位置關(guān)系的探索性問題

角度1與平行有關(guān)的探索性問題

【例3—1】如圖，棱柱ABCO-AiBGDi的所有棱長都等于2,NABC和NAiAC均為60。，

平面AAiGUL平面ABCD.

⑴求證：BDYAAi；

⑵在直線CG上是否存在點(diǎn)P,使8P〃平面D41C,若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在,

請說明理由.

【解析】⑴證明設(shè)3。與AC交于點(diǎn)。，則連接40,在△AAiO中，A4i=2,

AO=1,/4AO=60°,

￡

：.AIO2=AAI+AC)2-2AA\-AOCOS600=3,

：.AO2+A\O2=AAI,

：.A\OLAO.

由于平面441CC平面ABC。,且平面A4iGCn平面A3C￡>=AC,Ai0u平面A41clC,.,.40,

平面ABCD.

以O(shè)B,OC,04所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,

-1,0),B(小,0,0),C(0,1,0),D(一小,0,0),4(0,0,4)，Ci(0,2,小).

由于防=（一2小，0,0）,筋i=（0,1,小）,

筋1歷=0X(—2小)+1*0+小X0=0,

：.BD±AA\,BPBDlAAi.

⑵解假設(shè)在直線CG上存在點(diǎn)P，使BP〃平面QAG,

設(shè)浮=4芯,P(x,y,z),則(x,y-l,z)=A(0,1,回

從而有P(0,1+九小乃，BP=(~y[3,1+2,小Q.

,I〃3_LA|C1,

設(shè)〃3_1_平面DA\C\,則一

[/13-LDAl,

又慶i=(0,2,0),血=電0,小)，

J2y3=0,

設(shè)“3=(X3，”，Z3)，

?小X3+小Z3=0,

取“3=(1,0,-1),因?yàn)锽P〃平面DA\C\,

則“3,濟(jì)，即“3?而=一小一小2=0,得2=-1,

即點(diǎn)P在GC的延長線上，且GC=CP.

角度2與垂直有關(guān)的探索性問題

【例3—2】如圖，正方形AOEE所在平面和等腰梯形ABC。所在的平面互相垂直，已知BC

=4,AB=AD=2.

⑴求證：ACLBF-,

⑵在線段BE上是否存在一點(diǎn)P,使得平面平面3CEF?若存在，求出器的值；若不存

在，請說明理由.

【解析】⑴證明?.,平面平面ABCD,平面ADEFA平面ABCO=A￡>,AFA.AD,ARu

平面ADEF,

：.AF±^1^ABCD.

「ACu平面ABCD,：.AF±AC.

過A作AHLBC于“，貝Ij8〃=l,AH=?CH=3,

：.AC=2y/3,：.AB2+AC2=BC2,：.AC±AB,

".'ABHAF=A,.'.ACL平面或8,

VBFc^?FAB,：.AC±BF.

(2)解存在.由(1)知，AF,AB,AC兩兩垂直.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,喬的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則A(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2S，0),￡(-1,事,2).

假設(shè)在線段BE上存在一點(diǎn)P滿足題意，則易知點(diǎn)P不與點(diǎn)8,E重合，設(shè)算=九則2>0,

2T2%)

T+I,i+xT+Ir

設(shè)平面出C的法向量為m=(x,y,z).

2-zy/3A11'

由協(xié)=]+X7+1,Ac=（o,2小，0）,

fH，2T02A

俎門”=市'+1+產(chǎn)而z—0n，

得v

j/t.AC=2y[^y=0,

y=0,

A—2

即4—2令x=l，貝lJz==-,

Z=^TX9

所以邢=(1,0,牙)為平面外。的一個法向量.

同理，可求得〃=11,坐，1)為平面8cM的一個法向量.

2

當(dāng)加〃=0,即時，平面平面BC",

故存在滿足題意的點(diǎn)P,此時瞿

rtLJ

規(guī)律方法解決立體幾何中探索性問題的基本方法

(1)通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理.

⑵探索性問題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)：①空間中的點(diǎn)可設(shè)為(x,y,z);②坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)其中一個坐標(biāo)

為0,如xQy面上的點(diǎn)為(x,y,0);③坐標(biāo)軸上的點(diǎn)兩個坐標(biāo)為0,如z軸上的點(diǎn)為(0,0,z);

④直線(線段)AB上的點(diǎn)P,可設(shè)為辦=加，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，或直接利用向量運(yùn)算.

考點(diǎn)四用空間向量求異面直線所成的角

【例4】(1)已知直三棱柱ABC—4BQ中，ZABC=nO°,AB=2,BC=CCi=l,則異面直

線AB\與BC\所成角的余弦值為()

⑵在三棱錐P—ABC中，△ABC和均為等邊三角形，且二面角P—BC—A的大小為120。,

則異面直線PB和AC所成角的余弦值為()

5371

B-C--

A.8-484

【答案】(1)C(2)A

【解析】⑴法一以B為原點(diǎn)，建立如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系.

A,

圖⑴

則3(0,0,0),3(0,0,1),Ci(l,0,1).

又在△ABC中，NABC=120。，AB=2,則4(一1,小,0).

所以翁尸(1,一小，1),BCi=(l,0,1),

則cos(瓶，BCD=ABrBC

\ABi\-\BCi\

(1,一小，1)?(1,0,1)2yib

小.啦.小.啦—5，

因此，異面直線與BG所成角的余弦值為手.

法二將直三棱柱ABC—補(bǔ)形成直四棱柱48。。一48|。。］(如圖(2)),連接A。，B\D\,

則AD\//BC\.

圖⑵

則/BAD為異面直線與8。所成的角(或其補(bǔ)角)，易求得ABi=由,8。=4￡>1=啦,8|￡)1

=小.

由余弦定理得cos/BADi=邛.

(2)法一取的中點(diǎn)0,連接。尸,。4,因?yàn)椤鰽8C和△PBC均為等邊三角形，所以A0J_8C,

PO1.BC,所以NPOA就是二面角P-BC—A的平面角，即NPOA=120。，過點(diǎn)8作AC的平

行線交A。的延長線于點(diǎn)。，連接PD,則NPBO或其補(bǔ)角就是異面直線尸8和AC所成的角.

/+。2-

5

設(shè)AB=a,則P6=BD=a,PO=PD=^a,所以cosNPBD=

2XaXa=8,

法二如圖，取的中點(diǎn)。，連接OP,OA,因?yàn)椤鰽8C和△PBC均為等邊三角形，所以

AOLBC,POLBC,所以3C,平面PAO,即平面必。，平面A8C且NPOA就是其二面角P

—3C—A的平面角，即NPOA=120。，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.

1\

!

設(shè)A5=2,則A（小,0,0）,C（0,-1,0）,B(O,1/

3

所以危=（一小，-1,0）,麗=惇，1，--

2

cos<AC,PB}=-1,所以異面直線P8與AC所成角的余弦值為卷.

OO

法三如圖所示，取8C的中點(diǎn)。，連接。P,OA,

因?yàn)椤鰽BC和△P8C是全等的等邊三角形，所以AOL8C,POLBC,所以NPOA就是二面角

的平面角，設(shè)A8=2,則比=Jt一次，PB^OB-OP,

故充麗=（灰>一次）.而一辦=一去

所以cos（Ac,PB）="fPB=—

\AC\-m

即異面直線PB與AC所成角的余弦值為《

o

規(guī)律方法1.利用向量法求異面直線所成角的一般步驟是：（1）選好基底或建立空間直角坐標(biāo)

系；(2)求出兩直線的方向向量。1,。2；(3)代入公式|cos〈初，。2〉|=］：；篇求解.

2.兩異面直線所成角的范圍是ee(0,兩向量的夾角a的范圍是［0,兀］,當(dāng)異面直線的方向

向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，

其補(bǔ)角才是異面直線的夾角.

考點(diǎn)五用空間向量求線面角

【例5】如圖，在三棱錐產(chǎn)一ABC中，AB=BC=2y［2,PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn).

P

(1)證明：PO_L平面ABC；

⑵若點(diǎn)M在棱上，且二面角M—孫一C為30。，求PC與平面所成角的正弦值.

【解析】(1)證明因?yàn)锳P=CP=AC=4,。為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PLAC,且OP=2小.

連接OB,因?yàn)锳B=3C=陰C,

所以A序+BC2=AC2,

所以△ABC為等腰直角三角形，

且OBUC,OB=|AC=2.

由O產(chǎn)+OB2=P82知POLOB.

由OPLOB,OP±ACHOBQAC=O,知平面ABC.

(2)解如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，彷的方向?yàn)闊o軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。一X”.

由已知得0(0,0,0),8(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2/)，AP=(0,2,

2仍).取平面R1C的一個法向量份=(2,0,0).

設(shè)M(a,2~a,0)(0<aW2),則加=(a,4一m0).

設(shè)平面以M的法向量為〃=(x,y,z).

由淳〃=0,能〃=0得

2)，+2a=0,

方丁取般=(小(〃—4),小a,一)，

ax+(4—a)y=0,

____2s(a-4)_____

所以cos(OB,n)

2y3(a—4)2+3/+〃2

由已知可得|cos<OB,n)\=29

小口2小|〃―4|=幣

「2寸3(〃—4)2+3/+。22，

44

解得。=—4(舍去)，a=y

所以“=(—卑，華，_知

又無=(0,2,一24),所以cos(PC,?)二拳

所以PC與平面出M所成角的正弦值為

規(guī)律方法利用向量法求線面角的方法：

⑴分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)

角)；

(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，

取其余角就是斜線和平面所成的角.

考點(diǎn)六用空間向量求二面角

【例6】如圖1,在高為6的等腰梯形A3CZ)中，AB//CD,且CO=6,AB=\2,將它沿對稱

軸OOi折起，使平面ADOO_L平面8coiO,如圖2,點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上(不

同于A,3兩點(diǎn))，連接0E并延長至點(diǎn)Q,使AQ〃。區(qū)

圖2

(1)(一題多解)證明：平面必。；

(2)若BE=2AE,求二面角C-BQ-A的余弦值.

【解析】⑴證明法一取。。的中點(diǎn)E,連接A凡PF,如圖所示.

?.?P為8C的中點(diǎn)，：.PF//OB,

'：AQ//OB,PF//AQ,

：.P,F,A,。四點(diǎn)共面.

由題圖I可知

?.?平面A。。。，平面BCQ。，且平面AOOiOCl平面8C0i0=00”03u平面BCO。

.*.08_1_平面4。0。,

.?m平面

又。Ou平面A。。。，C.PFLOD.

由題意知，AO=OO\,OF=O\D,ZAOF=ZOOiD,

：./\AOF^/\OOiD,

：.^FAO=ADOO\,

：.ZFAO+ZAOD=ZDOOi+NAOD=90。，J.AFLOD.

'：AFHPF=F,且AFu平面B4。，PFu平面B4。，

平面PAQ.

法二由題設(shè)知。A,OB,。。兩兩垂直，.?.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4OB,0。所在直線分別

為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)A。的長為m,則0(0,0,0),A(6,0,0),8(0,6,0),C(0,3,6),0(3,0,6),。(6,

m,0).

：點(diǎn)尸為8c的中點(diǎn)，.??K。，3，3),

：.OD=O,0,6),碩=(0,m,0),PQ=[(),-3).

'：ODAQ=0,而質(zhì)=0,

：.ODLAQ,dblPQ,又破與所不共線，

,。。，平面PAQ.

⑵解,:BE=2AE,AQ//OB,：.AQ=^OB=3,

則Q(6,3,0),.?.凄=(一6,3,0),BC=(0,-3,6).

設(shè)平面C3。的法向量為〃i=(x,y,z),

QB=0,―6x+3y=0,

由'得?

、一

-BC=0,3y+6z=0,

令z=l,則y=2,x—1,2,1).

易得平面A8Q的一個法向量為“2=(0,0,1).

設(shè)二面角C-BQ-A的大小為仇由圖可知，。為銳角,

即二面角C—8Q—A的余弦值為平.

規(guī)律方法利用空間向量計算二面角大小的常用方法：

(1)找法向量：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量

的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.

⑵找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩

個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

【過關(guān)檢測】

1.設(shè)平面a與平面￡的夾角為氏若平面久，的法向量分別為），晨，則|cos6|=（）

I〃2IDI勺U%I

l?1Il?2II?1III〃1?%I，〃2?

【答案】B

【詳解】

—.—.fl.fl

由題意，cos〈勺，％〉=」二.，

■1nliI&I

因平面a與平面夕的夾角。與其法向量晨雇的夾角〈晨成〉相等或互補(bǔ),

所以|cos81=|cos〈n（,〃°〉|=|32|=也吧.

hiII?2Il?!Il?2I

故選：B

2.在三棱錐P-ABC中，Q4,平面ABC,ZBAC=90°,D,E,F分別是棱AB，BC,CP的中

點(diǎn)，AB=AC=\,24=2,則直線94與平面OE戶所成角的正弦值為（）

2石口后n

-----D?---1?----LJ.----------

5555

【答案】B

【詳解】

因?yàn)镹B4C=90°，所以84_LAC，因?yàn)锽4_L平面ABC,84,ACu平面ABC,

所以PA，AC,P4_LA3,以A為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以ABAC,AP所在的直線為無，，*軸，建

生。,0),嗚,別,尸(。,用

立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，A(0,0,0),P(0,0,2),Z)

PA=(0,0,2),方=(0,g,0),DF=rr1J,

設(shè)平面DEF的法向量為m=(x,y,z),

—y=0

m±DEmDE=02

所以有〈=>%=(2,0,1),

ml.DFm?DF=01

——x+y+z=0

22

設(shè)直線PA與平面DEF所成角為依

所以sin*?s(麗於卜箭

故選：B

X

3.若直線/的方向向量為2=(1,0,2),平面。的法向量為3=(—2,0,T),貝I]()

A.IHaB.ILa

C.luaD./與a斜交

【答案】B

【詳解】

由已知可得［=—2公，則自/￡，因此，/_La.

故選：B.

4.如果直線/的方向向量是￡=（一2,0,1）,且直線/上有一點(diǎn)P不在平面a內(nèi)，平面a的法向量是石=（2,

0,4）,那么（）

A./_LaB.I//a

C.luaD./與a斜交

【答案】B

【詳解】

因?yàn)椤?B=-2x2+0x0+lx4=0，所以￡_L方，

又因?yàn)橹本€/上有一點(diǎn)P不在平面a內(nèi)，

所以/<ta,所以/〃a.

故選：B

5.若平面a,4的法向量分別為￡=仁,一1,3）3=（-1,2,-6）,則（）

A.alipB.a與￡相交但不垂直

C.aL/3D.c///?或a與夕重合

【答案】D

【詳解】

由題意，向量a=（；,T,3）,B=（-l,2,-6）,可得￡=—，，

所以平面名尸的法向量共線，故a//夕或a與￡重合.

故選：D.

6.過正方形A3CO的頂點(diǎn)A作線段Q4J_平面ABCD，若A5=B4,則平面ABP與平面COP所成的銳

二面角的余弦值為（）

A.1B.巫C.BD.史

3223

【答案】B

【詳解】

解：設(shè)AP=A8=1，

以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為N軸，”為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

P(0,0,1),。(0,1,0),C(l,1,0),

PC=(1,1,-1).PD=(0.1,-1).

設(shè)平面PCD的法向量玩=(x,y,z),

mPC=x+y—z=0.八

則《—」,取y=l,得加=(o,i,1),

mPD=y-z=0

平面ABP的法向量萬=(。，1,0),

設(shè)平面A5P與平面COP所成的銳二面角為6,

...八|nuri\15/2

貝ijcos0=-----=—7=—=——,

I問?l萬IV2xl2

故選：B.

7.在正方體45CO—agGA中，E是CC的中點(diǎn)，則直線距與平面3/。所成角的正弦值為()

人VioRVior5/15nVis

5555

【答案】B

【詳解】

解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D4為X軸，以O(shè)C為y軸，以。2為Z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體的棱長為2,則。(0,0,0),8(2,2,0),4(2,2,2),￡(0,2,1)

.,.麗=(-2,-2,0),甌=(0,0,2),BE=(-2,0,1)

設(shè)平面4BO的法向量為5=(x,y,z),

?/n±fiD>n±BB^

-2x-2y=0一

???八'，令y=L則〃=(一1,1,0)，

2z=0

Vio

cos<n,BE>=JBJ.

\n\-\BE\

設(shè)直線BE與平面B}BD所成角為。,則sin0=|cos<E,屁>|=半，

故選:B.

8.在正四棱錐P—ABC。中，側(cè)棱PA=4近，底面邊長A8=2幾，。是P在平面A8CD內(nèi)的射影，M

是PC的中點(diǎn)，則異面直線OP與所成角為()

A.30B.45C.60D.90'

【答案】C

【詳解】

由正四棱錐定義可知：四邊形ABC。為正方形，ACP\BD=O.

則AC18。，PO_L平面ABC。，

則以。為原點(diǎn)，麗,而，而正方向?yàn)閤，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

AB=2娓>OA=OB=—,24+24=2+,OP=J32-12-2-\/5,

.?.0（0,0,0）,P（0,0,275）,M（-73,0,75）,5（0,273,0）,

OP=（0,0,275）,麗=卜"-2百,6）,

?_______1\OP-BM\101

???COS<OP,BM〉|=J-11—=—『----j==-,

11|OP|.|5A/|2V5X2V52

二異面直線OP與BM所成角為60.

故選：C.

21

9.如圖所示，正方體ABC。-A4G〃中，點(diǎn)E,尸分別在A。,AC上，\E=-\D,AF=-AC,

則EF與G2所成角的余弦值為（）

A.3B.逅

96

「

6nV6

33

【答案】C

【詳解】

以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為3,則

ULUI

E（l,0,l）,F（2,l,0）,EF=（l,l,-l）

G（0,1,1）,R（0,0,1）,麗'=（0,-1,0）,設(shè)所與GR所成的角為。,

uinuuum

EF犀班0-1+0

則cos6==2

Gxl一三

故選：c

10.己知通=（2,2,1）,AC=（4,5,3）,則平面ABC的一個單位法向量為（）

,122、,122、

A-（-3，_3，_3）B.

333

,122、122、

仁（一了丁丁D.

【答案】B

【詳解】

設(shè)平面ABC的法向量為”=（x,y,z）,

2x+2y+z=0,

則有，[4x+5y+3z=0取尤=1則y=-2,z=2.

所以萬=（1,一2,2）.因?yàn)橥?3,

1?2

所以平面A5C的一個單位法向量可以是（__§）.

11.如圖，在三棱錐A—6c。中，△BCD與AA6c是全等的等邊三角形，且平面A8C，平面。8C.

（1）證明：ADA.BC-,

（2）求AC與平面板）所成角的正弦值

【詳解】

解：（1）取6C的中點(diǎn)0,連接A0、B0,因?yàn)椤?C。與是全等的等邊三角形，所以8CLAO,

BC±DO,因?yàn)锳Oc￡）O=。，40,。。匚面49￡）,所以8cl.面A。。，因?yàn)锳Du面A8，所

以BC_LA￡>

(2)因?yàn)槠矫鍭BC，平面DBC,平面A8CA平面DBC=3C,AO±BC,所以AOJ_平面。BC,

如圖以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，令BC=2,則A(0,0,0)，D(V3,0,0),C(0,l,0),

3(0,—1,0),所以9=(0,-1,百)，防=(G,l,0),AD=(73,0,-73),設(shè)面曲的法向量為

n-BD=0

n=(x,y,z)，貝人___,所以，i-,令x=l,則y=—G，z=1>所以〃=(1,—6』),

n-AD=0岳-任=0'

-lx(-V3)+lxV3|_岳

CA*n

設(shè)AC與平面曲所成的角為。，則sin。=+(可./+(可+12丁

12.如圖甲，正方形AA'A'A邊長為12,AAJIBBJICC、,AB=3,BC=4,AA；分別交8%C￡于點(diǎn)

P,Q,將正方形沿BBt,CC,折疊使得A