初中數(shù)學解答題綜合訓練50題含完整答案

初中數(shù)學解答題綜合訓練50題含完整答案

學校:姓名：班級：考號：

一、解答題

1.問題探究

（1）請在圖①、圖②各作兩條直線，使它們將正方形與半。O的面積三等分;

（2）如圖③，在矩形ABCZ）中，A8=3,8c=4,請在圖③中過頂點A作兩條直線，使

它們將矩形A8CO的面積三等分，并說明理由；

問題解決

（3）位于寶雞市鳳翔區(qū)的機場將計劃于2024年建成通航.如圖④，在機場旁邊有一塊

平行四邊形4BCD空地，其中AB=AC=IOO米，BC=120米，根據(jù)視覺效果和花期特

點，機場設(shè)計部門想在這塊空地上種上等面積的三種不同的花，要求從入口點A處修兩

條筆直的小路（小路面積忽略不計）方便旅客賞花，兩條小路將這塊空地的面積三等

分.那么設(shè)計部門能否實現(xiàn)自己的想法？若能實現(xiàn)，請通過計算，畫圖說明；若不能,

圖①

2.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，ND4G45。，以線段AC為直徑的圓與AB和

AO的延長線分別交于點E和尸.過點8作4c的垂線，垂足為求證：E,H,尸三

點共線.

3.如圖，已知△A8C的三個頂點均在格點上，求/8AC的余弦值.

4.已知矩形48C。的邊A8=21,BC=T9,r是給定的小于1的正實數(shù).

⑴在矩形ABCO內(nèi)任意放入114個直徑為1的圓.證明：在矩形4BCO內(nèi)一定還可以

放入一個直徑為r的圓，它和這114個圓都沒有交點(也不在某個圓的內(nèi)部)；

⑵在矩形A8C。內(nèi)任意放入95個單位正方形(邊長為1的正方形).證明：在矩形ABCO

內(nèi)一定還可以放入一個直徑為，的圓，它和這95個正方形都沒有交點(也不在某個正

方形的內(nèi)部).

5.將1,2,3,…，16這16個數(shù)分成8組(％4)，(《，打)，…，(/，5)，若

22

M-用+…+|q-可=62.求(q-4)?+(a2-b2)+?--+(ai-b8)的最小值.

必要時可以利用排序不等式(又稱排序原理)：設(shè)凡4/?…《當，其"%?…為兩

組實數(shù)，ZiKZzS.Yz,是yKy2K…K”的任一排列，則

XX,+占L?W用4+&Zz+…x"z“<XV+電刈+….

6.若一個三位數(shù)f=人(其中。，4c不全相等且都不為0),重新排列各數(shù)位上的數(shù)

字必可得到一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，此最大數(shù)和最小數(shù)的差叫做原數(shù)的差數(shù)，記為

T(t).例如，357的差數(shù)7(357)=753—357=396.

(1)7(384)=；

⑵已知一個三位數(shù)^(其中的差數(shù)丁?記)=792,且各數(shù)位上的數(shù)字之和為

一個完全平方數(shù)，求這個三位數(shù)：

(3)若一個三位數(shù)正(其中a,b都不為0)能被4整除，將個位上的數(shù)字移到百位得

到一個新數(shù)前被4除余1,再將新數(shù)個位數(shù)字移到百位得到另一個新數(shù)麗被4除余

2,則稱原數(shù)為4的“閨蜜數(shù)”.例如：因為612=4x153,261=4x65+1,126=4x31+2,

所以612是4的一個閨蜜數(shù).求所有小于500的4的“閨蜜數(shù)常,并求丁?)的最大值.

7.一個多位數(shù)N(NNIO)乘以11,得到一個新的數(shù)，我們把這個新數(shù)的首位和末位上的

數(shù)字去掉后剩下的數(shù)叫做多位數(shù)N的“留守數(shù)”，如果兩個多位數(shù)的“留守數(shù)”的數(shù)字相同

或之和相等，我們稱這兩個多位數(shù)為“攣生數(shù)(ID：721x11=231,67x11=737,A21

和67的“留守數(shù)”均為3(3=3),所以21和67是“李生數(shù)”；再如：:36x11=396,

108x11=1188,，36的留守數(shù)是9,108的“留守數(shù)”的數(shù)字之和為9,9=1+8,所以36

和108是“李生數(shù)”.

(1)42的“留守數(shù)”是_；42與2021_“攣生數(shù)”(填“是”或“不是

(2)如果兩個兩位數(shù)M和N是“攣生數(shù)”(MNN),其中M=10?+)，N=10c+d,且

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3a+b=l\(a>b)tc+dvlO其中〃，c均為1到9之間的整數(shù)，b,d均為。到9之間

的整數(shù)，求出所有符合條件的兩位數(shù)N.

8.【閱讀】下列是多項式9-6x+5因式分解的過程：

X2-6X+5=X2-6X+9+5-9=(X-3)2-4=(X-3+2)(X-3-2)=(A:-1)(X-5).請利用上

述方法解決下列問題.

【應(yīng)用】

(1)因式分解：Y+8X-9;

(2)若笛>5,試比較/一44-5與0的大小關(guān)系；

(3)【靈活應(yīng)用】若/+〃一2a-8〃+17=0,求4+8的值.

9.某商場經(jīng)營甲、乙兩種商品，甲種商品每件進價100元，售價比進價多40%,乙種

商品每件售價160元，售價比進價多

(1)求每件甲種商品的售價和每件乙種商品的進價；

(2)若該商場同時購進甲、乙兩種商品共100件，花去11120元，求該商場購進乙種商品

多少件？

(3)春節(jié)期間，該商場對甲、乙兩種商品進行如下優(yōu)惠活動：

①不超過2000元，不優(yōu)惠：

②超過2000元且不超過2500元，九折優(yōu)惠；

③超過2500元，八折優(yōu)惠.

按照上述優(yōu)惠條件，憂憂第一天只購買乙種商品一次性付款1760元，第二天只購買甲

種商品一次性付款2016元，那么這兩天憂憂在該商場購買甲、乙兩種商品一共多少件？

10.因式分解：

(l)2(x2+6x+l)'+5(x2+1)(X24-6X4-1)+2(X2+1)"

⑵丁(尸2)3+月2一刈3+22(%-?

II.在平面直角坐標系中，拋物線y=3謂-10ar+c?分別交x軸于點4、8(4左B右)、

交y軸于點C且O8=OC=6.

(1)如圖1,求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點P在第一象限對稱軸右側(cè)拋物線上，其橫坐標為3連接BC,過點尸

作BC的垂線交x軸于點D,連接。，設(shè)△BC。的面積為S,求S與，的函數(shù)關(guān)系式(不

要求寫出，的取值范圍)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，線段8的垂直平分線交第二象限拋物線于點區(qū)連

接E。、EC、ED,且NEOC=45。，點N在第一象限內(nèi)，連接0MDN〃EC,點、G在

DE上,連接NG,點M在BV上，NM=EG,在NG上截取N〃=NM,連接MH并延長

交CD于點、F,過點H作//KJ_FM交EO于點K,連接尸K,若NFKG=NHKD,GK=

2MM求點G的坐標.

12.已知如圖AABC是銳角三隹形，分別以邊AB、AC為邊向外作△A3。和AACE,

△A3。和AACE均為等邊三角形，且BE和CO交于點F,連接AF.

(1)求證：AACD-AEB；

(2)求出NCFE的度數(shù)；

(3)求證：ZAFB=ZBFC=ZAFC.

13.先閱讀后解題.

己知m2+2fn+n2-6n+10=0,求m和m的值.

解：把等式的左邊分解因式：(冽2+2〃[+1)+(〃2-6〃+9)=0.

即(7M+1)2+(w-3)2=0.

因為(機+1)2>0,(〃-3)2>0.

所以〃?+1=0,n-3=0即m=-I,n=-3.

利用以上解法，解下列問題：

(1)已知：/-4%+)N+2y+5=0,求x和y的值.

(2)已知。，。，c是的三邊長，滿足〃2+/=]2a+8b-52且"BC為等腰三角形,

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求c.

14.人和人之間講友情，有趣的是，數(shù)與數(shù)之間也有相類似的關(guān)系.若兩個不同的自然

數(shù)的所有其因數(shù)(即除了自身以外的正因數(shù))之和相等，我們稱這兩個數(shù)為“親和數(shù)”.例

如：18的正因數(shù)有1、2、3、6、9、18,它的真因數(shù)之和為1+2+3+6+9=21；51的

正因數(shù)有1、3、17、51,它的真因數(shù)之和為1+3+17=21,所以稱18和51為“親和數(shù)”.又

如要找8的親和數(shù)，需先找出8的真因數(shù)之和為1+2+4=7,而7=1+3+3,所以8的

親和數(shù)為Ix3x3=9,數(shù)還可以與動物形象地聯(lián)系起來，我們稱一個兩頭(首位與末位)

都是1的數(shù)為“兩頭蛇數(shù)例如：121、1351等.

(1)10的真因數(shù)之和為：

(2)求證：一個四位的“兩頭蛇數(shù)”而與它去掉兩頭后得到的兩位數(shù)的3倍的差，能

被7整除；

(3)一個百位上的數(shù)為4的五位“兩頭蛇數(shù)”，能被16的“親和數(shù)”整除，若這個五位“兩

頭蛇數(shù)”的千位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字，求滿足條件的五位“兩頭蛇數(shù)

15.先化簡，再求值：6ab-{-2b2-2[a2+2a-4(y+ab-2)]-3ia2+2b2')}-4(ab+

—a2-b),其中。、“滿足(a+b-3)2+(ab+4)2=0.

4

16.如圖，等邊△AOA,點C是邊AO所在直線上的動點，點。是x軸上的動點，在矩

形COE/中，8=6,DE=6,則。尸的最小值是多少？

17.解方程組1+二1+"產(chǎn)=34

(x4-2)2+(y+3)2+(x+2)(y+3)=741

18.如圖1,直線〃：丫=履與直線〃：相交于點A(4.3),直線〃：y=

?gx+b與x軸交于點8,點E為線段AB上一動點，過點E作E尸〃)，軸交直線//于點

F,連接BF.

(1)求左、力的值；

(2)如圖2,若點尸坐標為(8,6),NOPE的角平分線交x軸于點M.

①求線段OM的長；

②點N在直線〃的上方，當△OFN和△0尸例全等時，直接寫出點N的坐標.

19.如圖，已知尺/AABC和RiACDE,ZACB=ZCDE=9(r,RCAB=NCED,4C=8,

BC=6,點。在邊AB上，射線CE交射線84于點尸.

(1)如圖，當點尸在邊AB上時，聯(lián)結(jié)4E.

①求證：AE//BC；

②若砂=gb,求80的長；

(2)設(shè)直線AE與直線C。交于點尸，若△尸CE為等腰三角形，求M的長.

20.如圖，在中,ZBAC=90°,ZABC=40°f將△ABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得

到aAOE,使。點落在BC邊上.

(1)求NBA。的度數(shù)；

(2)求證：A、D、B、E四點共圓.

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E

21.如圖，在矩形4BC￡)中，AB=6,AD=S,點E,尸分別是邊CO,8c上的動點,

且NAFE=90。

(1)證明：AABFsAFCE；

(2)當OE取何值時，NAEO最大.

22.如圖，在平面直角坐標系中，4(2,0),8(0,2),。(4,0),0(3,2),P是以AOB

外部第一象限內(nèi)的一動點，且/8以=135。，則2"+尸。的最小值是多少？

23.在一次游戲中，魔術(shù)師請一個人隨意想一個三位數(shù)次(a,b,。依次是這個數(shù)的

百位、十位、個位數(shù)字)，并請這個人算出5個數(shù),bac、力ca、ca%與cba的和N,

把N告訴魔術(shù)師，于是魔術(shù)師就可以說出這個人所想的數(shù)茄？若N=3194,請你當魔

術(shù)師，求出該三位數(shù)次.

24.如圖，在ZkAB。中，AB=AD,以48為直徑的圓交A。于點M,交8。于點0,延

長A0至點C,使OC=AO,連結(jié)CO,BC.

(1)求證：四邊形A4CO是菱形；

(2)若AM=3,80=45,求cos/OAB.

25.如圖，在等腰R/AABC中，ZE4C=90°,ADLBC,垂足為。，點E為AC邊上一

點，連接七。并延長至尸，使￡D=H>,以防為底邊作等腰心△￡<；〃.

(1)如圖1,若NA0E=3O。，AE=4,求CE的長；

(2)如圖2,連接防，OG,點”為防的中點，連接。M,過。作0〃_LAC,垂足

為H,連接AG交?！ㄓ邳cN,求證：DM=NG；

(3)如圖3,點K為平面內(nèi)不與點。重合的任意一點，連接K￡),將KD繞點。順時針

旋轉(zhuǎn)90。得到K'。，連接KA,KB,直線K&與直線協(xié)交于點尸，以為直線8c上一

動點，連接47并在47的右側(cè)作C7)'_L4y且CD=A",連接AC',。為2?C邊上

一點，CD=3CQ,AB=\2yf2.當取到最小值時，直線CP與直線BC交于

點S,請直接寫出△BPS的面積.

26.如圖，在AABC中，ZACB=120°,AC=bC=2,點Z)是48邊上的一個動點，連

接8,將△BCO繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至“CE,連接OE,求△?1￡花面積的最大值.

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A

27.如圖所示，ACA.BC,ADLBD，試證明：A、B、C、。在同一圓上.

28.小明遇到這樣一個問題：

如圖1,在銳角AABC中，AD,BE,CF分別為AABC的高，求證：?AFE?ACB.

小明是這樣思考問題的：如圖2,以SC為直徑作半圓O。，則點尸，E在上，

4FE+NBCE=180。，所以？A莊?ACB.

(1)請回答：若NABC=40。，則NAEF的度數(shù)是

(2)參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3,在銳角AABC中，AD,BE,CF

分別為AABC的高，求證：NBDF=NCDE.

29.己知，如圖，四邊形A8co中，ZA=90°,AB=56,8C=8,8=6,AD=5.試

判斷點A,B,C,。是否在同一圓上；若在，請證明，并求出該圓的面積；若不在，

請說明理由.

30.直線y=H+攵與％軸交于A,與y軸交于。點，直線的解析式為y=X+Z,

k

與x軸交于B.

（1）如圖1,求點4的橫坐標；

（2）如圖2,。為BC延長線上一點，過。作x軸垂線于點E,連接CE,若CO=C4,

設(shè)AACE的面積為S,求S與k的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接0。交4c于點尸，將△CDF沿CF翻折得到AFCG,

直線尸6交?！暧邳cK,若3NACE—NCTO=45。，求點K的坐標.

圖1圖2圖3

31.某公司推出一款電子產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的日銷售量y（個）與銷售單

價X（元/個）之間滿足次函數(shù)關(guān)系.銷售單價、口銷售量、口銷售利潤的幾組對應(yīng)值

如表:

銷售單價X（元/個）60657()75

日銷售量y（個）1801308030

日銷售利潤卬（元）180019501600750

注：日銷售利潤=口銷售量X（銷售單價-成本單價）

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；

（2）該產(chǎn)品的成本價是元/個，求日銷售利潤W的最大值；

（3）直接寫出單價X滿足什么條件時，銷售利潤不低于1920元.

32.某班期中考試結(jié)束后，語文、數(shù)學、英語獲得90分以上的學生人數(shù)分別是22人、

18人、20人，其中語文和數(shù)學兩科都獲得90分以上的學生人數(shù)有3人，語文和英語兩

科都獲得90分以上的學生人數(shù)有9人，數(shù)學和英語兩科都獲得90分以上的學生人數(shù)有

7人，并且語文、數(shù)學、英語三科都沒有獲得90分以上的學生人數(shù)有5人.問這個班

最少有幾個學生？最多有幾個學生.

33.某年級語文、數(shù)學、英語三門課程，期中考試成績統(tǒng)計如下：至少一門課上90分

的有200人，語文上90分的有122人，數(shù)學上90分的有82人，英語上90分的有90

人,語文與數(shù)學兩科上90分的有48人，數(shù)學與英語兩科上90分的有28人，英語與語

文兩科上90分的有23人，問語文、數(shù)學和英語三科都上90分的有幾人？

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34.從1到100的正整數(shù)中能祓3整除或能被5整除的正整數(shù)共有多少個？

35.20人分為2組，每組10人，并且每組選出正、副組長各一人，共有多少種不同的

方法？

36.(1)6本書分給2個人，每人3本，有多少種不同的分法？

(2)6本書分成2堆，每堆3本，有多少種不同的分法？

(3)6本書分成3堆，每堆的書本數(shù)分別是3,2,1,有多少種不同的分法？

(4)6本書分成3堆，每堆2本，有多少種不同的分法？

37.(1)從10本不同的書中取3本書，分別送給3位朋友，每人恰好一本，共有多少

種不同的方法？

(2)從10本不同的書中任取3本書送給1位朋友，共有多少種不同的方法？

38.利用123,4,5,6共可組成

(1)多少個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？

(2)多少個數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)？

(3)多少個數(shù)字不重復(fù)的4的倍數(shù)？

39.360可以被多少個不同的正整數(shù)整除(包括1和360在內(nèi))？

40.在平面直角坐標系中，以原點為中心"為半徑的圓的內(nèi)部共有多少個格點？(格

點指的橫坐標和縱坐標都為整數(shù)的點)

41.解方程：^3x-5-s[x+2=\.

42.如圖，在ZkABC中，D是邊BC上一點,且

(1)請判斷直線AC是否是。。的切線，并說明理由；

⑵若CD=2,CA=4,求弦AB的長.

43.如圖，菱形ABCD,NABC=120。，點E為平面內(nèi)一點，連接4E.

(1)如圖I,點七在5c的延長線上，將AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得AF,連接E尸交AB

延長線于點從若NAM=15。，HF=4,求4E的長；

(2)如圖2,點石在CA的延長線上，將AE繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)60。得4凡點M為CE的

中點，連接BM,證明：FM=￡BM；

(3)如圖3,將48沿4S翻折得4E(NR4EV120。)，連OE交AS于點S,當OS取得最

大值時，連接了。，若AT=3,AO=6,求70-77?的最大值.

44.對于平面直角坐標系直萬中的線段AB,給出如下定義：線段AB上所有的點到x軸

的距離的最大值叫線段AA的界值，記作叫人如圖，線段A8上所有的點到x軸的最大

距離是3,則線段4B的界值%=3.

⑴若4(-1,-2),B(2,0),線段48的界值叫"=,線段48關(guān)于直線丁=2

對稱后得到線段CO,線段CO的界值卬⑺為;

(2)若七(-1,加)，F(xiàn)(2,機+2),線段所關(guān)于直線丁=2對稱后得到線段G”：

①當加＜0時，用含血的式子表示

②當叱;〃=3時，加的值為；

③當34%〃W5時，直接寫出/的取值范圍.

45.如圖1,“8C中，AC=BC=4,N4CB=90。，過點。任作一條直線8,將線段

BC沿直線C。翻折得線段CE,直線AE交直線CD于點凡直線BE交直線CO于G點.

試卷第12頁，共14頁

(1)小智同學通過思考推得當點E在A8上方時，的角度是不變的，請按小智的思

路幫助小智完成以下推理過程:

9：AC=BC=EC,

B、E三點在以C為圓心以4c為半徑的圓上，

???NAEB=N4CB,(填寫數(shù)量關(guān)系)

???ZAEB=°.

⑵如圖2,連接5F,求證A、8、尸、C四點共圓；

(3)線段AE最大值為，若取3C的中點M,則線段M尸的最小值為.

46.如果一個整數(shù)P能分解成兩個兩位數(shù)的乘積，且這兩個兩位數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和

相等，把這樣的整數(shù)P稱為“最美數(shù)”，把這樣的分解稱為“最美分解”.

例如：因為448=32x14,3+2=1+4,所以448是“最美數(shù)”；

又例如：因為391=23x17,2+3#1+7,所以391不是“最美數(shù)”

⑴判斷286(填“是”或“不是”)“最美數(shù)”；

⑵若一個，最美數(shù)”P進行“最美分解"P=Ax8,證明：A+2B能被3整除；

(3)把一個“最美數(shù)”P進行“最美分解"，即。=4><8.其中A=10a+3,B=lOc+d,

(1<?<5,0<b<9,14cW3,0<t/<5,a,b,c,d為整數(shù)).若A+25為完全平

方數(shù)，求所有滿足條件的整數(shù)P.

47.已知：數(shù)軸上A,8兩點表示的有理數(shù)為小b,且(a-4與M+2|互為相反數(shù).

(1)A,B各表示哪一個有理數(shù)？

⑵點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是c,且與A,8兩點的距離和為11,求數(shù)c的值.

(3)小螞蟻甲以1個單位長度/秒的速度從點B出發(fā)向其左邊6個單位長度處的一顆飯粒

爬去，3秒后位于點A的小螞蟻乙收到它的信號，以2個單位長度/秒的速度也迅速爬向

飯粒，小螞蟻甲到達后背著飯粒立即返回，與小螞蟻乙在數(shù)軸上。點相遇，則點。表

示的有理數(shù)是什么？從出發(fā)到此時，小螞蟻甲共用去多少時間？

48.在等邊AABC中，。是邊AC上一動點，連接8￡),將BO繞點。順時針旋轉(zhuǎn)120。，

得到。石，連接CE.

(1)如圖1,當B、A、E三點共線時，連接AE,若A8=2,求CE的長；

(2)如圖2,取CE的中點尸，連接。尸，猜想AO與。尸存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的猜想；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BE、M交于G點.若G尸=。尸，請直接寫出當凄

BE

的值.

49.已知A-2B=la2-lab,B=-a2-6ab+l.

⑴求A；

(2)已知(a+1)2+步?2|=0,求A的值.

50.如圖，AB=BC,ZABC=/BCE=a,點。是8c上一點，與座相交于點凡

￡NBFD=a.

(1)求證：△BFDsZVAHD；

(2)求證：AD=BE\

(3)若點。是BC中點，連接尸C,求證：FC平分NDFE.

試卷第14頁，共14頁

參考答案：

1.(1)見解析；(2)見解析；(3)設(shè)計部門能實現(xiàn)自己想法，理由見解析

【解析】

【分析】

⑴分別作AD、邊的三等分點，再分別過三等分點作直線即可；作圓心角為60。的扇形即

可；

(2)首先求得矩形48CO的面積，再根據(jù)三等分面積及三角形面積公式，即可求得8P,DQ

的長，即可作出；

(3)過A作AF±CD,根據(jù)勾股定理可求得AE的長，再根據(jù)矩形的面積可求得

A凡再根據(jù)三等分面積及三角形面積公式，即可求得BP,OQ的長，即可作出.

【詳解】

解：(1)如圖:

圖②

如圖：設(shè)過點A的直線分別交BC、CD于P、Q,使直線AP、AQ把矩形面積三等分

圖③

SMBP=SXQ=；S矩=4

ix3x?P=4,gx4xOQ=4

Q

BP=-DQ=2

3f

Q

???當3P=余DQ=2時，將矩形面積三等分.

（3）設(shè)計部門能實現(xiàn)自己想法.

如圖：過A作AE_L8C,AFLCD

答案第1頁，共79頁

圖④

\AB=AC

BE=-BC=60

2

:.AE=>JAB2-BE2=V1OO2-6O2=80

SmARrn=BCAE=120x80=96(M)

SpqABco=CDAF=100xAF=9600

，A尸=96

設(shè)過點A的直線分別交BC,CO于P,Q

使直線AP,4Q把平行四邊形ABC。的面積三等分

則S^ABP=S^ADQ=1x9600=3200

.,.gBPAE=goQAF=3200

1^Px80=1x96xDQ=3200

2()0

.-.BP=80,DQ=—

OfV)

二.當P8=80m,OQ=茅m直線AP,AQ把平行四邊形48co面積三等分.

【點睛】

本題考查了等分面積問題，勾股定理，找到三等分點，畫出三等分線是解決本題的關(guān)鍵.

2.見解析

【解析】

【分析】

如圖：證明尸，A,B,。四點共圓.可得NCBE二NAPC.①，證明C,E,B,〃四點

共圓，可得NC”E=NC8E.②，證明C,”,尸，P四點共圓，可得

由①代換可得NC//E+NCH尸=180。.可得結(jié)論；

【詳解】

如圖，延長8〃與直線AO相交于點尸，連接C尸.

答案第2頁，共79頁

因為ND4C=45。，BP1AC,

所以/94=45。.

又NBC4=ZZMC=45。，

所以N6P4=N8C4,于是尸，A.B,C四點共圓.

所以NC8E=NAPC.①

連接CE,由AC為圓直徑，得《*90。=/訓,

所以C,E,B,”四點共圓，

于是NCHE=NCBE.②

連接CF,由4C為圓直徑，得NCFP=90。=NCHP,

所以C,H,尸，尸四點共圓，

于是NAPC=18()。一NCH/L③

由②，①，③，ZCHE=ZCBE=ZAPC=180°-ZCHF,

所以ZCHE+NCHF=180°.

所以￡,”,產(chǎn)三點共線.

【點睛】

本題考查了圓內(nèi)接罩邊形的判斷及性質(zhì)，難度較大，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形.

3.運

5

【解析】

【分析】

先作輔助線8O_LAC于點D,AE_CB交CB的延長線于點E,然后根據(jù)等積法即可求得8。

的長，即可求得相應(yīng)的角的三角函數(shù)值.

【詳解】

答案第3頁，共79頁

解：作BQ_LAC于點。，作4E_LC8交C8的延長線于點E,

由圖可得,

BC=2,AE=3,AC=3&,AB==\Ao,

BCAEACBD

9：SAABC=

22

.2'3_3丘B(yǎng)D

??1—

22

解得，BD=近，

*?AD=>JAB2-BD2=J10-2=2收,

AD2>/2_2>/5

cosZ.BAC

~ABVio5-

【點睛】

本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵作B￡>_LAC于點。，作AE1CB交C8的延長線于

點、E,構(gòu)造直角三角形，根據(jù)SM8C兩種表示法，求出80的長度，進而求解.

4.(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)將矩形48CO的每條邊向內(nèi)縮進g得到矩形AqCA，再把直徑為1的小圓縮小為一

點。進行考慮，將原直徑為1的圓擴大，即以原圓心為圓心，直徑為2作114個新的圓，

計算可得114個新圓的面積和小于矩形。的面積，即可證明在矩形ABC。內(nèi)一定還可

以放入一個直徑為廣的圓，它和這114個圓都沒有交點(也不在某個圓的內(nèi)部)；

(2)將矩形A3。的每條邊向內(nèi)縮進g得到矩形A用GA，再把直徑為1的小圓縮小為一

點。進行考慮，把每個小正方形加框，即在小正方形的每條邊的外部和一個長和寬分別為1

和g的矩形，4個角上加上一個直徑為1的四分之一圓弧，計算此時95個加框圖形的面積

總和小于矩形A4GA的面積，即可證明在矩形A5CO內(nèi)一定還可以放入一個直徑為廣的圓,

答案第4頁，共79頁

它和這95個正方形都沒有交點（也不在某個正方形的內(nèi)部）.

（1）

解：將矩形A8C。的每條邊向內(nèi)縮進得到一個長和寬分別為20和18的矩形A4GA（如

圖1所示），則矩形4由6。的面積為20x18=360.對矩形ABCO內(nèi)任意放入的114個直徑

為1的圓，分別以這114個圓的圓心為圓心，直徑為2作114個新的圓（如圖2所示）.因為

這114個新圓的面積和等于114x1x12=114萬＜114x3.15=359.1小于矩形的面積.

所以在矩形A4GA內(nèi)，一定存在一點0,它在這114個新的圓的外部.因為點。到矩形

A8CD每條邊的距離都大于且點。到每個舊圓圓心的距離都大于I,所以以點。為圓心,

直徑為〃的圓一定在矩形A8CD內(nèi)，且與矩形內(nèi)原有的114個直徑為1的個圓都沒有交點，

也不在某個圓的內(nèi)部.

所以在矩形4BCD內(nèi)一定還可以放入一個直徑為一的圓，它和這114個圓都沒有交點（也不在

某個圓的內(nèi)部）.

圖1圖2

（2）

將矩形A5C。的每條邊向內(nèi)縮進得到一個長和寬分別為20和18的矩形A與GA，則矩

形44GA的面積為20x18=360.對矩形A8CD內(nèi)任意放入的95個單位正方形，將這95

個單位小正方形的每一個都加一個框：在小正方形的每條邊的外部加一個長和寬分別為1

和g的矩形，4個角上加上一個直徑為1的四分之一圓?。ㄈ鐖D3所示）.

圖3

答案第5頁，共79頁

因為這95個加框的圖形的面積和等于950+?卜95(3+亍卜359.8125小于矩形

A/iCA的面積.所以在矩形A8GA內(nèi)，一定存在一點0,它在這95個加框的圖形的外

部.因為點。到矩形A3CO每條邊的距離都大于g,且點0到每個單位正方形的邊上的點的

距離都大于所以以點。為圓心，直徑為，的圓一定在矩形A6CO內(nèi)，且與矩形內(nèi)原有的

95個單位正方形都沒有交點，也不在某個正方形的內(nèi)部.

所以在矩形48CD內(nèi)一定還可以放入一個直徑為廣的圓，它和這95個正方形都沒有交點(也

不在某個正方形的內(nèi)部).

【點睛】

本題主要考查了用創(chuàng)新性數(shù)學思維解決實際問題，解題關(guān)鍵是使用"縮''、"放”的構(gòu)思作為證

題技巧.

5.482

【解析】

【分析】

先根據(jù)題意設(shè)出一組實數(shù)，按照題干信息得出4+/+…+6=37,根據(jù)排序不等式，當伉，

外,…，”從小到大排列時，+…+6〃的值最大，S的值最小，然后分類進行討

論，得出結(jié)果即可.

【詳解】

由對稱性，不妨設(shè)i=l,2,8,且4<生<…</，

則62=k-R+loj-R+…+|%-勾=佃一4…

=(4+&+…+火+偽+8+…+々)-2(q+4+…+仆)

=(1+2+…+16)—2(q+/+…+勾)=136—2(4+%+…+4),

...%+a2+…+/=37,

,/>1,%之2,…，^>8,

:.%+/+，一"-1+2H---F8=36,

若田之8,則---1"%+仆之1+24---F6+8+9=38>37,不符合要求，

答案第6頁，共79頁

w

于是q=1,q=2,6=3,q=4,a5=5,?6=6,%=7,仆=9,R,比，…,優(yōu)是8,

10,11,12,13,14,15,16的一個排列，且4>9,

=S=（4-4）-+（々2一4）+…+（4-bj

=儲+a2+,,,+4）+（"+區(qū)+…+%-2（3+地+…+她）

=（F+2?+…+16~）—2（q4+a力2+…+a8a）.

根據(jù)排序不等式，當4，b2t仄從小到大排列時，4[+〃24+~+/々的值最大，S的

值最小.

?當4，”2，…,與從小到大排歹】時，S——4）2+（%—4）2+…+（%—4）2

=（1-8『+（2-10）2+（3-11）2+（4-12）2+（5-13）2+（6-14）2+（7-15『+（9-16）2=482,

*,?（4一4）~+（%-打）~*,--->■（4-88）~的最小值為482.

或：?"+22+...+162=史幽但竺%496,

6

當偽，b2t〃從小到大排列時，

岫+她+…+她=1x8+2x10+3x11+4x12+5x13+6x14+7x15+9x16=507,

S=（“一4）?+（q一a）2+…+（%—A）?=1496—2x507=482.

???（?4）3（%仇）3'（仆4）2的最小值為482.

【點睛】

本題主要考查力數(shù)列最小值計算，根據(jù)題干信息得出規(guī)律是解決本題得關(guān)鍵.

6.（1）495

（2）916

（3）693

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)新定義直接計算，即可得出答案；

答案第7頁，共79頁

（2）由一個三位數(shù)標（其中的差數(shù)7（布）=792,可得。=9,再根據(jù)三位數(shù)而

（其中a>b>l）的各數(shù)位上的數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，可得6=16-9-1=6,依此即可

求解；

（3）由一個三位數(shù)而（其中。、b都不為0）能被4整除，可得人=1或3或5或7或9,

再根據(jù)將新數(shù)個位數(shù)字移到百位得到另一個新數(shù)兩被4除余2并且av5,可得。=2,從

而得到所有小于500的4的“閨蜜數(shù)"，進一步求得了（，）的最大值.

（1）

7（384）=843-348=495,

故答案為：495；

（2）

???一個三位數(shù)（其中〃">1）的差數(shù)7（￡記）=792

T（a\b\=ab\-\ba

=100?+10Z?+l-100-10^-6/

=99。-99

=792,

a=9,

，一個三位數(shù)M的各位數(shù)字之和為9+1+6=6+10,

*：a>b>\t

l<b<9，

???ll<b+10<19,

??,各數(shù)位上的數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，

:?b=6,

??a\b=916，

即這個三位數(shù)為916；

（3）

???三位數(shù)而被4除余I,

，力=1或3或5或7或9,

V將新數(shù)個位數(shù)字移到百位得到另一個新數(shù)兩被4除余2并且a<5,

答案第8頁，共79頁

???。=2,

.?.所有小于500的4的“閨蜜數(shù)”，是212,232,252,272,292,

了。)的最大值是922—229=693.

【點睛】

本題考查了完全平方數(shù)，本題主要應(yīng)用“差數(shù)”“閨蜜數(shù)”的定義和整數(shù)性質(zhì)，先將三位“差數(shù)”

進行預(yù)選，然后再從中篩選出符合題意的數(shù).這是解答數(shù)學競賽題的一種常用方法.

7.(1)6,不是

(2)N取值為14、23、41

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)“留守數(shù)'’和“享生數(shù)”的概念直接計算即可得出結(jié)果：

211

(2)根據(jù)初+方=11以及b的取值范圍得出從而得出。可取1、2、3,然后根

據(jù)M和N是“李生數(shù)”可得c+d取值，從而得出N.

(1)

解：-.-42x11=462,

?.42的“留守數(shù)”是6；

?.-2021x11=22231,

2021的“留守數(shù)”是2+2+3=7,

???42與2021不是“攣生數(shù)”；

(2)

解：?.?3a+6=U(a>3且b為0到9之間的整數(shù)，

:.b=[\-3a,即OWU-%49,

211

—KaK—，即a可取1、23,

33

-.?Mxll=(10tz+Z>)x(10+l)=1006i+10(?+/?)+Z>,

?.?Nxll=(10c+d)(10+l)=100c+10(c+d)+d且c+d<10,

「.i當a=l時，匕=11-3。=11-3=8不符合題意，舍去；

正當。=2時，6=11-初=11-6=5不符合題意，舍去；

答案第9頁，共79頁

沆當。=3時，/?=11-3?=11-9=2,A/xl1=100x3+10x(3+2)+2=352,則加的“留守數(shù)”

是5,

???M和N是“攣生數(shù)”(M豐N),

:.c+d=5f

①取c=l,則d=4,A^xl1=100x1+10x(1+4)+4=154,N=14；

②取c=2,則d=3,Nxll=100x2+10x(2+3)+3=253,N=23：

③取c=3,則d=2,A^xl1=100x3+10x(3+2)+2=352,N=35=M,不合題意，舍棄：

④取c=4,則d=l,/Vxl1=100x4+10x(4+1)+1=451,N=41；

綜上所述，N的取值為14、23、41.

【點睛】

本題考查了數(shù)字變化類規(guī)律.讀懂題意，弄明白“留守數(shù)”和“攣生數(shù)''的概念是解題的關(guān)鍵.

8.⑴(x+9)(x-l)

(2),f-4工-5>0

(3)5

【解析】

【分析】

(1)先配方，然后利用平方差公式因式分解即可；

(2)先配方，然后利用平方差公式因式分解，根據(jù)條件得出x+l>0,x-5>0即可；

(3)先列用配方法化為偶次方的和為0,根據(jù)偶次方非負性質(zhì)，得出々-1=0,6-4=0解一

元一次方程即可.

(1)

解：f+8X-9=X2+8X+16-9-16=(X+4)2-25=(X+4+5)(X+4-5)=(X+9)(X-1),

(2)

解:x2-4x-5=x2-4x+4-5-4=(x-2)2-9=(x-2+3)(x-2-3)=(x+l)(x-5),,/x>5,

Ax+l>0,x-5>0,

.\(x+l)(x-5)>0,

答案第10頁，共79頁

.,.x2-4x-5>0;

(3)

22

解：-a+b-2a-8b+\7=Of

〃2―2°+1+〃-泌+16=(a-Ip+p-4)2=0,

V(a-l)2>0,(Z?-4)2>0,

：.a-\=O,。-4=0,

\a=1,b=4,

:.a+b=5.

【點睛】

本題考查配方法化為完全平方數(shù)，平方差公式因式分解，比較大小，半負數(shù)性質(zhì)，代數(shù)式的

值，掌握配方法化為完全平方數(shù)，平方差公式因式分解，比較大小，非負數(shù)性質(zhì)，代數(shù)式的

值是解題關(guān)鍵.

9.(1)每件甲種商品的售價是140元，乙種商品的進價是128元

(2)該商場購進乙種商品40件

(3)這兩天憂憂在該商場購買甲乙兩種商品一共27或29件

【解析】

【分析】

(1)由甲的售價比進價多40%,乙的售價比進價多!，分別計算甲的售價，乙的進價即可

解題；

<2)設(shè)乙種商品x件，根據(jù)購進甲、乙兩種商品共100件，花去11120元，列方程、解方

程即可解題；

(3)分兩種情況討論.

(1)

解:甲售價：100x(1+40%)=140(元)

乙進價：160+[1+￡)=128(元)

答：每件甲種商品的售價是140元，乙種商品的進價是128元.

(2)

設(shè)乙種商品x件,

答案第11頁，共79頁

100x(100-x)+128x=11120

x=40

答：該商場購進乙種商品40件.

(3)

第一天：1760-160=11(件)

第二天：2016+90%+140=16(件)或2016+80%+140=18(件)

11+16=27(件)或11+18=29(件)

答：這兩天憂憂在該商場購買甲乙兩種商品一共27或29件.

【點睛】

本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

10.(1)9(A:2+4A-+1)(X+1)2

(2)(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)

【解析】

【分析】

(1)先將d+6x+l和爐+1分別看作一個整體，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因

式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；

(2)原式是關(guān)于x、y、z的輪換式，若將原式視為關(guān)于x的多項式，則當x=y時，原式=0,

故原式含有因子x-幾又因為原式是關(guān)于x,y,z的輪換對稱式，故原式還含因子)t,

又因為原式為X,)，，2的五次式，因此可以設(shè)-(y-z)3+y2(z-x)3+z2(x-y)3

=(-v-y)(y-2)(2-x)[A(x24-/4-z2)4-B(A7+jz+zx)],利用待定系數(shù)法即可求解.

(1)

解：2(x2+6x+l)~+5(x2+l)(x2+6x+l)+2(x2+1)'

=(2x2+12x+2+x2+l)(x2+6x+l+2x2+2)

=9(X24-4X+1)(X2+2X+1)

=9(x2+4X+1)(X+1)2

(2)

解:當”=y時，原式等于o,故原式含有因子x-y,

答案第12頁，共79頁

又因為原式是關(guān)于-y,z的輪換對稱式，故原式還含因子尸；，

又四為原式為X，y,Z的五次式，故可設(shè)X‘(y-Z)3十

=(X_y)(y_Z)(Z_X)[A(12+y2+22)+33+了2+2^)]

令x=_l,y=OtZ=1得2A—B=-1,

令x=0,y=l,z=2得5A+2B=2,

解得A=0,B=l,

J?flUx2(y-z)3+y2(z-x)3+z2(x-y)3=(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx).

【點睛】

本題主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系數(shù)法，熟練掌握和運用這些方

法因式分解是解題的關(guān)鍵.

II.(1)產(chǎn)-力+如+6；(2)5=-2尸+：+36；(3)G(--,-)

848455

【解析】

【分析】

(1)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；

(2)分類討論，過點P作尸軸于點。，①當點。在“軸正半軸時，②當點。在x軸負半

軸時，求得30=—%2