江蘇省無錫市錫山區(qū)天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

第第頁無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023年秋學(xué)期初三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期中試卷一．選擇題（共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．【詳解】解：A．不是整式方程，故錯(cuò)誤．B．是一元一次方程，故錯(cuò)誤；C．方程含有兩個(gè)未知數(shù)，故錯(cuò)誤；D．符合一元二次方程的定義，正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解答的關(guān)鍵．2.已知，下列變形錯(cuò)誤的是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)比例式的性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】∵?，?，?，?，∴變形錯(cuò)誤的是選項(xiàng)B．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查比例式的性質(zhì)，掌握比例式的內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積，是解題的關(guān)鍵．3.若一元二次方程的兩個(gè)根是、，則的值是（）A.3 B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系直接可得答案．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個(gè)根，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．一元二次方程中（，a，b，c皆為常數(shù)）中，兩根，與系數(shù)的關(guān)系為，．前提條件是判別式．4.如圖，在中，，，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接運(yùn)用正切的定義解答即可．【詳解】解：∵在中，，，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切的定義，在Rt△ABC中,如果銳角A確定,那么角A的對(duì)邊與鄰邊的比值隨之確定,這個(gè)比叫做角A的正切．5.某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)年的新注冊(cè)用戶數(shù)為萬，年的新注冊(cè)用戶數(shù)為萬，設(shè)新注冊(cè)用戶數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x（），根據(jù)題意所列方程正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)年的新注冊(cè)用戶數(shù)為萬列方程即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程解決增長(zhǎng)率問題，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系式．6.下列說法正確的是（）A.等弧所對(duì)的圓心角相等 B.相等的弦所對(duì)的弧相等C.過三點(diǎn)一定可以確定一個(gè)圓 D.垂直于半徑的直線是圓的切線【答案】A【解析】【分析】根據(jù)弧，弦，圓心角的關(guān)系，圓的確定以及切線的判定，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、等弧所對(duì)的圓心角相等，選項(xiàng)正確，符合題意；B、弦對(duì)應(yīng)的弧有優(yōu)弧和劣弧，相等的弦所對(duì)的弧不一定相等，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、過不在直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、經(jīng)過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查弧，弦，圓心角的關(guān)系，圓的確定方法以及切線的判定．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．7.如圖，將一把兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上，使其一邊經(jīng)過圓心O，另一邊所在直線與半圓相交于點(diǎn)D、E，量出半徑OC=5cm，弦DE=8cm，則直尺的寬度是()A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)O作OM⊥DE于點(diǎn)M,連接OD，根據(jù)垂徑定理“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧”和勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可求出答案.【詳解】過點(diǎn)O作OM⊥DE于點(diǎn)M,連接OD.∴DE=DE，∵DE=8cm，∴DM=4cm，在Rt△ODM中，∵OD=OC=5cm，∴∴直尺的寬度為3cm.故答案選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，靈活運(yùn)用這些定理是解答本題的關(guān)鍵.8.如圖，在中，，過點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)D，平分交于點(diǎn)E．若，則的長(zhǎng)為（）A.3 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算即可．【詳解】過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，∵，∴，∴，∴；∵,，∴，，∵平分,∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴,故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直角三角形的特征，角的平分線的意義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的特征，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱為格點(diǎn)圖形，圖中的圓弧為格點(diǎn)外接圓的一部分，小正方形邊長(zhǎng)為1，圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)作的垂直平分線，作的垂直平分線，設(shè)與相交于點(diǎn)O，連接，則點(diǎn)O是外接圓的圓心，先根據(jù)勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，然后根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：如圖：作的垂直平分線，作的垂直平分線，設(shè)與相交于點(diǎn)O，連接，則點(diǎn)O是外接圓的圓心，由題意得：，，，∴，∴是直角三角形，∴，∵，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，扇形面積的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過、作，，垂足為、，先證，得，從而當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最大值，然后分別證，，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過、作，，垂足為、，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最大值，∵，，∴，∴，∵，∴，∵軸軸，，∴，∵，∴，∴即，解得，同理可得，，∴即，解得，∴，∴當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的一般概念以及坐標(biāo)與圖形，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題，每小題3分共計(jì)24分）11.在比例尺為的地圖上，相距的兩地的實(shí)際距離為______．【答案】75【解析】【分析】本題考查比例尺，比例尺圖上距離與實(shí)際距離的比，由此即可計(jì)算．【詳解】解：．∴兩地A、B的實(shí)際距離為，故答案為：75．12.已知圓錐的底面半徑是1cm，母線長(zhǎng)為3cm，則該圓錐的側(cè)面積為_____cm2．【答案】3π．【解析】【詳解】試題分析：圓錐的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2，把相應(yīng)數(shù)值代入，∴圓錐的側(cè)面積=2π×1×3÷2=3π．考點(diǎn)：圓錐側(cè)面積的計(jì)算．13.如圖，點(diǎn)P把線段的黃金分割點(diǎn)，且．如果，那么_______（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【答案】1.2【解析】【分析】由黃金分割的定義得，即可得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，∴，∴==≈故答案為：1.2．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值．14.如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，若∠CBA＝70°，則∠D的度數(shù)是__________．【答案】20°##20度【解析】【分析】先根據(jù)圓周角定理得∠ACB的度數(shù)及∠A=∠D，再利用直角三角形銳角互余，即可得答案．【詳解】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CBA=70°，∴∠A=90°－70°=20°，∴∠D=∠A=20°，故答案為：20°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角是解題關(guān)鍵．15.如圖，過原點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的圖象分別交于點(diǎn)A1，A2，若，則＝_____．【答案】【解析】【分析】利用k的幾何意義和相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：分別過作，則：∴，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反比例系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．16.小明對(duì)《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進(jìn)行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個(gè)門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一顆大樹，向樹的方向走9里到達(dá)城堡邊，再往前走6里到達(dá)樹下．則該城堡的外圍直徑為____________里．【答案】9【解析】【分析】由切圓于D，切圓于C，連接，得到，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案．【詳解】解：如圖，表示圓形城堡，由題意知：切圓于D，切圓于C，連接，∴，里，∵里，∴里，∴，∵，∴，∴（里）．∴城堡的外圍直徑為（里）．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解直角三角形，切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，關(guān)鍵是理解題意，得到，求出長(zhǎng)即可．17.若實(shí)數(shù)滿足，則代數(shù)式的最大值為______．【答案】####【解析】【分析】聯(lián)立方程組，解得，設(shè)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意，，解得：，設(shè)，∴，∵，∴有最大值，最大值為故答案為：．18.如圖，平分等邊的面積，折疊得到分別與相交于兩點(diǎn)．若，用含的式子表示的長(zhǎng)是________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，然后將兩個(gè)等式相加即可得．【詳解】解：是等邊三角形，，∵折疊得到，，，，平分等邊的面積，，，又，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三．解答題（共10小題，共計(jì)96分）19.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程．（1）利用解一元二次方程-因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用解一元二次方程-配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【小問1詳解】解：或解得：；【小問2詳解】解：解得：．20.計(jì)算：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值化簡(jiǎn)．（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】解：原式．21.如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【答案】（1）證明見試題解析；（2）90°．【解析】【詳解】試題分析：（1）由兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，即可證明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．試題解析：（1）∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵．∴△ACD∽△CBD；（2）∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．22.已知關(guān)于x的一元二次方程（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5．當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求k的值【答案】（1）詳見解析（2）或【解析】【分析】（1）先計(jì)算出△=1，然后根據(jù)判別式意義即可得到結(jié)論；（2）先利用公式法求出方程的解為x1=k，x2=k+1，然后分類討論：AB=k，AC=k+1，當(dāng)AB=BC或AC=BC時(shí)△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．【詳解】（1）證明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解為x=，即x1=k，x2=k+1，∵k＜k+1，∴AB≠AC．當(dāng)AB=k，AC=k+1，且AB=BC時(shí)，△ABC是等腰三角形，則k=5；當(dāng)AB=k，AC=k+1，且AC=BC時(shí)，△ABC是等腰三角形，則k+1=5，解得k=4，所以k的值為5或4．【點(diǎn)睛】本題考查了：1．根的判別式；2．解一元二次方程；3．三角形三邊關(guān)系；4．等腰三角形的性質(zhì)．23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、、．（1）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心M的坐標(biāo)為______；（2）這個(gè)圓的半徑為______；（3）直接判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系．點(diǎn)在______（內(nèi)、外、上）；（4）在方格中，連接，，，將以原點(diǎn)O為位似中心，縮小為原來的，請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉挟嫵隹s小后的圖形．【答案】（1）（2）（3）內(nèi)（4）見解析【解析】【分析】本題主要考查與圓有關(guān)的作圖，垂徑定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和位視變化，（1）連接，，分別作線段，的垂直平分線，交于點(diǎn)M即為圓的圓心點(diǎn)，由圖即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）連接，利用勾股定理得，即為圓的半徑；（3）連接，由勾股定理得的長(zhǎng)，與半徑做對(duì)比即可判定與圓的位置關(guān)系；（4）根據(jù)位視的性質(zhì)作圖即可；【小問1詳解】解：如圖，連接，，分別作線段，的垂直平分線，交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心點(diǎn)，M的坐標(biāo)為；【小問2詳解】連接，由勾股定理得，，則這個(gè)圓的半徑為；【小問3詳解】連接，由勾股定理得，，則點(diǎn)在內(nèi)；【小問4詳解】如圖上圖，即為所求；24.如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且．（1）求證：EF與相切；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）．【解析】【分析】（1）利用圓周角定理得到，結(jié)合已知推出，再證明，推出，即可證明結(jié)論成立；（2）設(shè)半徑為x，則，在中，利用正弦函數(shù)求得半徑的長(zhǎng)，再在中，解直角三角形即可求解．【小問1詳解】證明：連接，∵，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵為半徑，∴EF與相切；【小問2詳解】解：設(shè)半徑為x，則，∵，，∴，在中，，，∴，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，∴半徑為4，則，在中，，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、圓周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25.山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請(qǐng)回答：（1）每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折【解析】【分析】（1）設(shè)每千克核桃降價(jià)x元，利用銷售量×每件利潤=2240元列出方程求解即可；

（2）為了讓利于顧客因此應(yīng)下降6元，求出此時(shí)的銷售單價(jià)即可確定幾折．【詳解】解：（1）設(shè)每千克核桃應(yīng)降價(jià)x元根據(jù)題意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，化簡(jiǎn)，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃應(yīng)降價(jià)4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降價(jià)4元或6元.∵要盡可能讓利于顧客，∴每千克核桃應(yīng)降價(jià)6元此時(shí)，售價(jià)為：60﹣6=54（元），答：該店應(yīng)按原售價(jià)的九折出售．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程．26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊落在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，邊與軸交于點(diǎn)．（1）直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在軸上取點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．①當(dāng)時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）①或；②或【解析】【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)求出相應(yīng)線段，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義解答即可；（2）①求出線段，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法解答即可；②利用分類討論的思想方法分兩種情況：Ⅰ、當(dāng)以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時(shí)，Ⅱ、當(dāng)以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時(shí)，利用直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：點(diǎn)B的坐標(biāo)為，．∵矩形中，．；【小問2詳解】解：①∵點(diǎn)，．，．．，或．或．或．∴或．解得：或∴直線的函數(shù)表達(dá)式為：或；②設(shè)的中點(diǎn)為G，過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，則，如圖，由題意：以線段EM為直徑的圓與矩形的邊，所在直線相交．∴以線段為直徑的圓與矩形的邊，所在直線可能相切，Ⅰ、以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線可能相切時(shí)，則．設(shè)，則，．，．，∴為梯形的中位線．．∴．解得：．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程根，；Ⅱ、以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線可能相切時(shí)，則．，．，∴為梯形的中位線．．∴．解得：．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，．綜上，當(dāng)以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定直線的解析式，點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．27.如圖，正方形中，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，交于，交于.（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求證；（2）若線段滿足.①求證：；②求的值.【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得,，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，推得，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可求得，即可證明；（2）①根據(jù)題意可得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，推得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明；②設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，設(shè)，，根據(jù)列方程，求解得出，代入即可求解．【小問1詳解】證明：∵四邊形是正方形，∴,，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，∴，∵為中點(diǎn)，∴，即，∵，∴，∴，∴．【小問2詳解】解：①證明：∵，∴，∵，∴，∴；∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，∴垂直平分，∴，∴，∴．在和中，∴，∴；②由①知：，∴；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，設(shè)，∴，